Mathematik Rechenfertigkeiten

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1 0 Mathematik Rechenfertigkeiten Lösungen zu den Übungen Donnerstag Dominik Tasnady, Mathematik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrasse 90, 8057 Zürich Erstellt von Dr. Irmgard Bühler (Überarbeitung: Dominik Tasnady 8.August 0

2 Kurvendiskussion. Diskutieren Sie die Graphen (Nullstellen, Extrema, Bild: x x x, f(x = x x = 0 x = und x =. f (x = x = 0 x e = f (x = f ( = > 0 f hat bei ein Minimum. x x 3 x, f(x = x 3 x = 0 x = x = 0, x 3 = f (x = 3x x = 0 x e = 0, x e = 3 f (x = 6x f (0 = < 0, f ( 3 = > 0 f hat bei 0 ein Maximum und bei 3 ein Minimum. x x 3 + 9x 08 Wir nehmen zuerst an, f(x = x 3 + 9x 08 und kümmern uns erst am Schluss um die Betragsstriche. f(x = x 3 + 9x 08 = 0 x = 3 (raten, Polynomdivision durch x 3 ergibt x = x 3 = 6 f (x = 3x + 8x = 0 x e = 0, x e = 6 f (x = 6x + 8 f (0 = 8 > 0, f ( 6 = 8 < 0 f hat bei 0 ein Minimum und bei 6 ein Maximum. Da f(0 = 08 < 0 und f( 6 = 0 sowie f(x < 0 für x < 3, erhalten wir nach dem Betrag nehmen ein Maximum bei 0 und ein Minimum bei 6. Da wir für f(x den negativen Teil an der x Achse spiegeln, erhalten wir auch noch bei x = 3 ein Minimum.

3 . Bestimmen Sie die Extrema: x x x + 3, f (x = x = 0 x e =. x x, x + f (x = x + x x (x + = x (x + = 0 x = 0 x e =, x e =. x (x a 4. f (x = 4(x a 3 = 0 x a = 0 x e = a. 3. Wo liegen bei nachfolgenden Funktionen die absoluten und die lokalen Extrema? 3x x 3 auf dem Intervall [ 3, 5] Zuerst berechnen wir den Funktionswert bei den Intevallsgrenzen: f( 3 = 54, f(5 = 50. Weiter die möglichen Extrema innerhalb des Intervalls: f (x = 6x 3x = 0 x e = 0, x e = f (x = 6 6x f (0 = 6 > 0, f ( = 6 < 0 0 Minimum, Maximum

4 Da f(0 = 0 und f( = 4, erhalten wir in 5 ein absolutes Minimum, in ein lokales Maximum, in 0 ein lokales Minimum und in 3 ein absolutes Maximum. t(t 5 auf dem Intervall [0, 4] f(0 = 0, f(4 = 4 f (t = (t 5 + t(t 5 = 0 (t 5(t 5 + t = (t 5(3t 5 = 0 t e = 5, t e = 5 3 f (t = 3t 5 + 3(t 5 = 6t 0 f (5 = 0 > 0, f ( 5 3 = 0 < 0 5 Minimum, 5 3 Maximum Da 5 [0, 4] und f( 5 8, 5, hat f in 0 ein absolutes Minimum, in Maximum und in 4 ein lokales Minimum. ein absolutes x x+ auf dem Intervall (, Da wir keine Grenzen im Intervall haben (das Intervall ist offen, müssen wir diese auch nicht betrachten. f (x = x + x (x + = Es gibt keine Extrema! cos(x auf dem Intervall [ π, ] = 0 Unmöglich in R (x + f( π =, f( 0, 8 f (x = sin(x = 0 x e { π, 0, π, π, 3π} f (x = cos(x f ( π = f (π = f (3π =, f (0 = f (π = Somit hat f in π, π, 3π absolute Minima, in 0, π absolute Maxima und in ein lokales Maximum. 3

5 4. Diskutieren Sie die Graphen anhand von ( Definitionsbereich ( Polstellen (Was passiert in den Definitionslücken? (3 Nullstellen (4 Asymptote (Was ist lim f(x? x ± (5 Extrema und zeichnen Sie den Graphen auf. x +x, D = R, keine Polstellen, keine Nullstellen, lim f(x = 0 x ± f (x = x ( + x = 0 x = 0 f (x = ( + x x ( + x x ( + x 4 f (0 = Somit existiert in 0 ein absolutes Maximum. x x +x+ x, x D = R\{0}, Polstelle bei 0 mit lim +x+ = ± x ±0 x lim x ± = ± f(x = 0 x = x = f (x = (x + x (x + x + = x = 0 4x x x e =, x e = f (x = x x (x 4x = 4x 4x 4 4x = 4 x 3 f ( =, f ( = Somit hat die Funktion in ein lokales Maximum und in ein lokales Minimum. 4

6 x 5 (x+. D = R\{ }, Polstelle in mit lim f(x = 0 x ± f (x = 5 ( lim f(x =. Es gibt keine Nullstellen. x (x + 3 Somit hat auch f keine Nullstellen und es existieren keine Extrema. 5. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: x lim n x, wobei n, m N \ {0} x m Mit der Regel von de L Hôpital folgt x n lim x x m = lim nx n x mx = n m m. lim x 0 cos(x cos(x Es gilt mit zweimaligem Anwenden der Regel von de L Hôpital cos(x lim x 0 cos(x = lim sin(x x 0 sin(x = lim x 0 4 cos(x cos(x = * Welche Polynomfunktion dritten Grades besitzt einen Graphen, der symmetrisch ist zum Nullpunkt und im Punkt (, 4 ein lokales Minimum annimmt? Wir nehmen an, dass f(x = ax 3 + bx + cx + d gilt und wir a, b, c, d bestimmen müssen. Da f symmetrisch zum Nullpunkt ist und stetig ist, bedeutet dies, dass f(0 = 0. Es folgt bereits d = 0. Ausserdem folgt aus der Symmetrie f(x = f( x für alle x R. Das heisst, es gilt ax 3 + bx + cx = a ( x 3 b ( x c ( x = ax 3 bx + cx. Daraus schliessen wir b = 0. Da f (x = 3ax + bx + c, 5

7 haben wir die Gleichung 3a ( + b ( + c = a + c = 0, also c = a, da (, 4 ein Minimum und somit f ( = 0. Da weiter f( = 4, folgt, 8a c = 4 und zusammen mit c = a erhalten wir a =, c = 3 und somit 4 f(x = 4 x3 + 3x. 6

8 Optimieren. Von einem rechteckigen Stück Karton mit den Seitenlängen a und b wird an jeder Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge x weggeschnitten. Durch Auffalten der vorstehenden Rechtecke lässt sich aus dem Reststück eine oben offene Schachtel bilden. Für welches x hat die Schachtel maximales Volumen, wenn ( a = b = cm ( a = 5 cm und b = 4 cm (3 a, b allgemein Volumen der Schachtel: V (x = (a x(b xx = abx x (a + b + 4x 3 Es folgt V (x = ab 4x(a + b + x und für die möglichen Extrema folgt x e,e = 4(a + b ± 6(a + b 48ab 4 = a + b ± a ab + b. 6 Da V (x = 4(a + b + 4x und somit V ( a + b ± a ab + b = 4 a + b ± a ab + b 6 6 = ±4 a ab + b 4(a + b erhalten wir in a+b a ab+b 6 ein Maximum. Wir erhalten somit ad (: x = ad (: x = 3. 7

9 . Zerlegen Sie eine reelle Zahl a so in zwei Summanden a und a, dass deren Produkt möglichst gross wird! Sei a = a + a und y = a a. Wir müssen y maximieren. Da y = a (a a = a a a erhalten wir durch ableiten von y nach a und nullsetzen y = a a = 0 a = a a = a. 3. Ein Stück Draht wird in zwei Teile zerschnitten. Aus dem einen wird ein Quadrat, aus dem anderen ein Kreis geformt. Wie muss man schneiden, damit die Summe der Flächeninhalte der beiden Figuren ( minimal ( maximal wird? Sei l die Länge des Drahts und x, y die Längen der Teile. Wir erhalten l = x + y ( x x F Quadrat = = 4 6 ( y y F Kreis = π = π 4π Somit müssen wir die folgende Fläche maximieren: F (x = x + (l x 6 4π. Da F (x = 8 x (l x = π 8π ((π + 4x 4l = 0 x e = 4l π + 4. Weiter erhalten wir F (0 = l 4π und F (l = l 6. Da F (x e = 6l 6(π l π 4π(π + 4 = l (π + 4 ( + π 4 = l 4(π + 4 erhalten wir in x e = 4l π+4 e = l x e = πl π+4 ein absolutes Minimum und in x max = 0, y max = l ein absolutes Maximum. 8

10 4. Ein Landwirt möchte angrenzend an seine Scheune mit einer Längswand von Meter ein rechteckiges Stück Land einzäunen, wobei er die Wand mitbenutzen will. Er verfügt über a Laufmeter Zaunmaterial und möchte die eingezäunte Fläche so gross wie möglich machen. Wie hängt der maximal mögliche Flächeninhalt von a ab? Gib eine formelmässige und eine graphische Darstellung an. Wie ist der Zaun anzulegen für a = 6m, a = 30m oder a = 40m? Wir bezeichnen mit x und y die Seiten des eingezeunten Landes. Nehmen wir zuerst an, eine der Längsseiten sei grösser als, sagen wir x >, und diese enthält auf einer Seite die Wand. Der Flächeninhalt ist F = xy und a = y + x. Somit erhalten wir F = x( a x + 6 F = ( a x + 6 x = 0 x e = a 4 + 3, y e = a und somit F = ( a Aus x > folgern wir, dass a + 3 >, also a > Betrachten wir nun den Fall, wo x <, und der Zaun nicht mehr die ganze Wand enthält. Dann ist nach wie vor F = xy aber a = y + x. Wir erhalten somit F = x( a x Somit gilt F = ( a x x = a x und nullsetzen ergibt x e = a und y e = a 4 Betrachten wir nun den Fall x =. Dann folgt Somit erhalten wir als Lösung a, also F =. Aus x < folgt a < 4. 8 F = xy = ( a = 6a 7. ( a falls a > 36 F max = 6a 7 falls 4 a 36 a falls a <

11 Schliesslich erhalten wir als konkrete Lösungen: ad (: x = 8, y = 4 ad (: x =, y = 9 ad (3: x = 3, y = 3 5. * Fermatsches Brechungsgesetz, auch Gesetz von Snellius : Ein Lichtstrahl vom Punkt P zum Punkt Q schlägt stets den zeitkürzesten Weg ein. Der Lichtstrahl überquere dabei die Grenze zwischen zwei Materialien. Dabei seien die Lichtgeschwindigkeiten im oberhalb bzw. unterhalb der Materialgrenze gelegenen Medium durch c und c gegeben. Leiten Sie eine Beziehung her zwischen α, β, c und c. f(x = l c + l c = Somit erhalten wir für die Ableitung: x + (a c (b x + c +. c c f (x = x b x x + (a c c (b x + c c = x b x c l c l = sin(α c sin(β c Nullsetzen ergibt sin(α c = sin(β c. 0

12 6. * Maximum Likelihood Schätzungen: Man wirft einen unfairen Würfel n mal und wirft dabei m Mal eine Sechs. Aus diesem Ergebnis möchte man die Chance auf eine Sechs bei einmaligem Werfen schätzen. Ist diese Chance p, so ist die Wahrscheinlichkeit, bei n Mal werfen m Sechsen zu werfen, gleich ( n p m ( p n m m (die Binomische Verteilung. Bestimmen Sie p so, dass diese Wahrscheinlichkeit am grössten ist. Wir maximieren die Funktion f(p = ( n m p m ( p n m. f (p = = = ( ( n n m p m ( p n m p m (n m ( p n m m m ( n p m ( p n m (m( p (n mp m ( n p m ( p n m (m np = 0. m Da 0 < p < folgt, dass m np = 0, also p = m n sein muss.

13 3 Folgen. Die Fibonacci-Folge (,,, 3, 5, 8, 3,... lässt sich auch nicht-rekursiv berechnen, mit der Formel: F n = 5 (( + n ( 5 n 5, (n. Berechnen Sie von Hand F, resp. mit dem Taschenrechner F 0. ( F = 5 = ( 5 5 ( = F 0 = Bestimmen Sie einige Glieder der nachstehenden Folgen und untersuchen Sie, ob die Folgen beschränkt, wachsend oder fallend sind. n n+ 0,, 4 3, 9 4,..., nicht beschränkt (lim n wachsend denn n = und streng monoton n+ n (n n + n und somit a n > a n. = n3 (n + (n n + n(n + = n + n n(n + = n + n > 0 a n = ( n n,,,,..., beschränkt (lim 3 4 n ( n n fallend. = 0 und weder wachsend noch a n = n,, 3, 4,..., beschränkt (lim n n da n < n n < n = und streng monoton fallend,

14 n n 0,,, 9 5,,, 9,..., beschränkt, da lim n n = 0 und ab n 3 streng n monoton fallend, da n (n = n + 4n < 0 n n n für n 4. Also gilt schon a 4 fallend. a 3 und die Folge ist ab n 3 streng monoton 3. Suchen Sie ein Bildungsgesetz und eine Formel für das allgemeine Glied nachstehender Folgen. Welche der Folgen sind beschränkt, welche wachsend, welche fallend? Welche arithmetisch oder geometrisch? 5,, 9, 6, 33, 40,... a n = 5 + 7n, respektive a n = a n + 7, a 0 = 5 Unbeschränkt, streng monoton wachsend, arithmetisch.,, 4, 7,,... a n = + n(n + respektive a n = a n + n, a 0 = Unbeschränkt, streng monoton wachsend, nicht arithmetisch, nicht geometrisch 4, 8, 6, 3, 64, 8,... a n = 4 n respektive a n = a n, a 0 = 4 Unbeschränkt, streng monoton wachsend, geometrisch,, 6, 4,... a n = n! =... n respektive a n = a n n, a = Unbeschränkt, streng monoton wachend, nicht arithmetisch, nicht geometrisch 3

15 , 3, 3 4, 4 5,... beschränkt, (lim n geometrisch. n n+ a n = n n + =, streng monoton wachsend, nicht arithmetisch, nicht 4. Welche der folgenden Folgen sind beschränkt, wachsend oder fallend? a =, a n+ = 3a n Streng monoton wachsend, nicht beschränkt. b =, b =, b n+ = b n b n Streng monoton wachsend, nicht beschränkt. 5. * Wir betrachten die Folge a n = q n. Untersuchen Sie mit konkreten Zahlenbeispielen die Konvergenz der Folge für die Fälle: q >, q =, 0 < q <, < q < 0, q =, q <. q n konvergiert, falls < q divergiert, falls q, q > Im ersten Fall wo die Folge konvergiert, ist der Grenzwert für q = gerade und für < q < ist er gleich 0. 4

16 6. * Betrachen Sie die Folge: a = a = a 3 = 3 + a 4 = Berechnen Sie die ersten 0 Glieder der Folge und stellen Sie ein Vermutung auf. Diese Vermutung lässt sich geometrisch begründen, indem man zeigt, dass a n der halbe Umfang des dem Einheitskreis einbeschriebenen regulären n+ Ecks ist. (Beginnen Sie beim Quadrat und verdoppeln Sie anschliessend die Eckenzahlen. Die Vermutung ist, dass die Folge gegen π konvergiert. Als erstes stellen wir fest, dass der halbe Umfang des regulären n+ Ecks ( π n+ sin n+ ist. Dies wird aus der Figur unten ersichtlich, da das halbe n+ Eck gerade n+ halbe Seiten der Länge sin ( π n+ hat. sin ( π n+ π n+ Um zu zeigen, dass dies gerade a n ist, verwenden wir die Halbwinkelformeln von Sinus 5

17 und Cosinus. ( π n+ sin n+ ( π = n sin n+ = n cos ( π n ( π = n cos n = n + cos ( π n ( π = n + cos n =... = n cos ( π. Da cos ( π = 0 ist, folgt ( π a n = n+ sin. n+ Nun verwenden wir die Regel von de L Hôpital, um die Vermutung zu beweisen. ( π lim n n sin n ( π = lim x sin x ( x π x = lim sin x x π cos = lim x = π, ( π x ( x x was die Behauptung beweist. 6

18 4 Reihen. Berechnen sie die folgenden endlichen Summen. 5 3 n n= n=3 n n=0 + n 500 n=0 + n = 50 n= n = = n= = 500. Berechnen sie die folgenden Summen bis zum 00 sten Glied. 5, 5, 45, 35, 405,... Entspricht der Folge a n = 5 3 n und somit gilt s 00 = = 5 (30, 4, 8, 6, 3, 64,... Entspricht der Folge a n = n und somit gilt s 00 = 0 = 0 7

19 3. Bestimmen Sie die Summe der folgenden unendlich geometrischen Reihen: Da = entspricht sie der Folge a n = ( n und somit gilt a n = n=0 = Da 0 5 = entspricht sie der Folge a n = 5 ( n und somit gilt a n = 5 + n=0 = Gegeben ist eine geometrische Folge (a 0, a 0 q, a 0 q,... durch s 3 = 75 und a 4 +a = 8. Gesucht sind a und a 5. Da und i=0 3 i=0 a i = a 0 q4 q = 75 a i = a 0 q = = 56 folgt durch auflösen nach a 0 56( q = 75( q q 4 und es folgt durch auflösen nach q: q = 3 4, a 0 = 64 Somit gilt a = 48 und a 5 = 5,

20 5. * Behauptung 0.9 =. Beweisen Sie mit Hilfe einer unendlichen geometrischen Reihe. Betrachten wir die Reihe 0.9, 0.09, 0.009, ,... Dies entspricht 9 0, 9 0, 9 0, 9 3 0,... 4 also der geometrischen Folge a n = 9 ( 0 n. Somit gilt 0.9 = a n = i= i=0 a n 9 = =. 6. * Zeigen Sie, dass die harmonische Reihe Hinweis: Beweisen Sie die Ungleichung n= divergiert. n n + + n n > und leiten Sie daraus die Divergenz der harmonischen Reihe her. Wir wissen, dass n+k > n für alle k < n. Somit ist n + + n n > n n =. Wir fassen nun die Folgenglieder wie folgt zusammen }{{ 4} }{{ 8} }{{ 6} Wir sehen, dass jede Klammer eine Zahl grösser ist. Es ist also unmöglich, dass die Summe konvergent ist, also gleich einer rellen Zahl M, denn sonst könnten wir einfach genügend solche Klammern aufsummiern (nämlich zum Beispiel M und würden bereits eine Summe bekommen, welche grösser ist als M, und wir erhalten einen Widerspruch. Also muss die Summe divergent sein. 9

21 7. * Eine punktförmige Schnecke kriecht auf einem m langen Gummiband mit einer konstanten Geschwindigkeit von 5 cm/h. Am Ende der ersten und jeder weiteren Stunde wird das ganze Band homogen um jeweils einen Meter gedehnt. Wird die Schnecke in endlicher Zeit das rechte Ende erreichen, wenn sie zu Beginn der ersten Stunde am linken Ende startete? Wir bezeichnen mit x k den Anteil des Gummibandes, welchen die Schnecke in der k-ten Stunde zurücklegt. Dann gilt x k = =. Nun betrachten wir die Partialsummen s n = n 0 k 0k k= x k. Dies sind bis auf den Faktor gerade die Partialsummen der 0 harmonischen Reihe. Diese Reihe aber divergiert. Daher gibt es n N mit s n. Also hat die Schnecke das ganze Band (= Anteil nach n Stunden überquert. Bemerkung: n mal Erdumfang. 8. *Koch-Kurven (Helge von Koch, schwedischer Mathematiker Ein Quadrat der Seitenlänged wird durch Ergänzung von kleineren Quadraten nach jedem Iterationsschritt zu einer neuen Figur. (Siehe Abbildung! Interessante Fragen (zuerst schätzen, dann berechnen: (a Wie gross ist der Flächeninhalt der Grenzfigur? (b Wie gross ist der Umfang der Grenzfigur? Hinweis für die Berechnung: Konzentrieren Sie sich zunächst auf eine Seite des Quadrats und fügen Sie dann den Faktor 4 hinzu. Bestimmen Sie den Faktor q falls eine geometrische Folge vorliegt; resp. das Konvergenzverhalten, falls eine beliebige Folge vorliegt. In jedem Schritt sind es 4 5 n Seiten. Die Seitenlänge beim n ten Schritt beträgt noch. Dies ergibt 3 n Fläche = + n=0 ( 4 5 n = + 3 n+ n=0 4 9 ( n 5 = = Länge = n 5n = 4 + n= Die Länge kann man auch direkt über die Folge Länge n = 4 ( n 5 3 berechnen. Da diese Folge divergiert, wird die Länge unendlich gross. n= 8 5 ( n 5 = 3 0