Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 19. September 2016 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2016, RWTH Aachen University

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1 Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen wir eine Menge der Form (a, b] := {x R : a < x b} bzw. [a, b) := {x R : a x < b} ein nach links bzw. ein nach rechts offenes Intervall. Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob es sich bei den angegebenen Mengen um Intervalle handelt. Geben Sie in diesem Fall bitte die Intervallschreibweise an. a) [, ] (, ], b) [, ] [, 3] c) [, 3] (, 4), d) (, 5] \ (4, 5], e) (, 5] (, 6), f) {x : x R}, g) { n : n N}, h) {, 7}, i) {x R : x < }, j) (, ) Q, k) {x R : x < }, l) {x R : x > 7}. Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob die angegebenen Mengen nach oben und/oder unten beschränkt sind. Geben Sie in den entsprechenden Fällen jeweils Supremum bzw. Infimum an. Handelt es sich hierbei auch um Maxima bzw. Minima? a) [, ], b) (, ), c) {, 7}, d) {π, e} } e) { + n : n N, f) {}, g) [, ] [, 3], h) {r Q : r < } i) {r Q : r < 4}, j) {r Q : r < }, k) {, π 3, π, } l) {p : p Primzahl}, m) {( ) n n : n N}, n) {x + : x R}, o) {x R : x = x}, p) {3 n : n N}. Aufgabe 3 Sei S R nach oben beschränkt. Zeigen Sie: Falls sup(s) S, so ist sup(s) = max(s).

2 Aufgabe 4 ( ) Sei S R nicht leer und nach oben (bzw. unten) beschränkt. Zeigen Sie, dass das Supremum (bzw. Infimum) von S eindeutig bestimmt ist. Aufgabe 5 ( ) Sei S R nicht leer, nach oben beschränkt und S := { s : s S}. Zeigen Sie, dass inf( S) = sup(s). Funktionen Aufgabe 6 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich von f /g. Untersuchen Sie, ob sich f /g in den Definitionslücken noch sinnvoll erklären lässt. Falls ja, mit welchem Funktionswert? a) f : R R, f (x) = x, g : R R, g(x) = x 7x + b) f : R R, f (x) = x 3, g : R R, g(x) = x x + c) f : R R, f (x) =, g : R R, g(x) = x 5 d) f : R R, f (x) = x, g : R R, g(x) = x 3 Aufgabe 7 Gegeben seien die Funktionen f : R R, f (x) = x und g : R + R, g(x) = x. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche D( f g) und D(g f ) und geben Sie f g und g f explizit an. Aufgabe 8 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf ihrem Definitionsbereich auf (strenge) Monotonie. Bestimmen Sie die maximalen Monotoniebereiche ohne Zuhilfenahme von Methoden der Differentialrechnung. Versuchen Sie dabei möglichst die jeweils voranstehenden Aufgabenteile zu benutzen. a) f : R R, f (x) = x 5, b) f : R \ {} R, f (x) = x, c) f : R R, f (x) = x, d) f : R + R, f (x) = x, e) f : R R, f (x) = x, f) f : R R, f (x) = x + x +, g) f : [, ] R, f (x) = x, h) f : R \ {3, 4} R, f (x) = (x 7x + ). Hinweis: Benutzen Sie in Teil d) die 3. Binomische Formel. Aufgabe 9 Seien D, E R nichtleere Teilmengen. Zeigen Sie:

3 a) Ist f : D R eine (streng) monoton wachsende Funktion, so ist f : D R mit ( f )(x) := f (x) (streng) monoton fallend. b) Seien f, g : D R monoton wachsende Funktionen mit f, g auf D, so ist auch f g : D R mit ( f g)(x) := f (x) g(x) monoton wachsend. c) Seien f : D R und g : E R monoton mit g(e) D. Zeigen Sie, dass dann auch f g : E R monoton ist. Welche Art von Monotonie liegt jeweils vor? d) Sei f : D W streng monoton und bijektiv. Zeigen Sie, dass dann auch f : W D streng monoton ist. Aufgabe Bestimmen Sie den Wertebereich der folgenden Funktionen. a) f : R \ {} R, f (x) =, b) f : [, ] R, f (x) = x x 3 c) f : ( 4, ] R, f (x) = x + x +, d) f : [, ] R, f (x) = x e) f : R R, f (x) = + x, f) f : (, ) R, f (x) = x g) f : (4, 5] R, f (x) = (x 7x + ). Aufgabe Betrachten Sie die Funktion f : [, ] R, welche gegeben ist durch x +, falls x f (x) := x, falls < x < x, falls x. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Aufgabe Betrachten Sie die Funktion f : (, ] R, welche gegeben ist durch x +, falls x < f (x) := x, falls x x, falls x >. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Aufgabe 3 Betrachten Sie die Funktion f : (, ) R, welche gegeben ist durch x + falls x < f (x) := x falls x x falls x >. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. 3

4 Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n N auf Monotonie und Beschränktheit. a) a n = n, b) a n = n + 5n, c) a n = n n +, d) a n = ( )n n + 3, e) a n = n 3n n, f) a n = n n +, 5n g) a n =, h) a n = n n + n + n, i) a n = n + n. Elementare Funktionen Aufgabe 5 Es seien a, u, v > und r R. Beweisen Sie die Logarithmengesetze: ( u ) a) log a = log v a (u) log a (v), b) log a (u r ) = r log a (u). Aufgabe 6 Bestimmen Sie die folgende Logarithmen. a) log (4), b) log 4 (64), c) log ( 8 ), d) log 4 (), e) log 7 (7 x ), x R. Aufgabe 7 a) Drücken Sie log 3 (4) als Logarithmus einer einzigen Zahl aus. b) Vereinfachen Sie ( ) ( ) ( ) log log 6 + log c) Vereinfachen Sie für a > den Ausdruck log a ( 3) log a (7). Aufgabe 8 Bestimmen Sie jeweils Definitionsbereich und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) log (x) = log (), b) log (x) = log (5) log (4), c) log 3 (x ) =, d) ln(3x 3) =, e) log 4 (x) = log 4 (6), f) log (x ) =, g) log (x + ) log () =, h) log (x) = log 3 (x), i) log (x + ) =. 4

5 Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich der folgenden Terme. Drücken Sie im Anschluss die Terme durch einen Logarithmus aus. a) log a (x + ) 3 log a ( x) + log a (x), ( ) ( ) b) log a x + log x+ a x. Aufgabe Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme. a) { x y = x 3 y = 43 }, b) log (x) + log (y) = ( ) 5 log (x) log (y) = log, x, y > c) { 4 x = 5 y 4 x = 7 y }. Aufgabe Beweisen Sie die Additionstheoreme für Tangens und Cotangens. Bestimmen Sie auch den Definitionsbereich der Gleichungen. a) tan(α + β) = Aufgabe Zeigen Sie mit Hilfe der Addtionstheoreme: tan(α) + tan(β) cot(α) cot(β), b) cot(α + β) = tan(α) tan(β) cot(α) + cot(β). a) sin ( α + π ) = cos(α), b) cos ( α + π ) = sin(α), c) tan ( α + π ) = cot(α), d) cot ( α + π ) = tan(α). Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Gleichungen. Bestimmen Sie im Anschluß die Lösungsmenge. 5

6 a) tan(x) = sin(x), b) tan(x) = 3 cos(x), c) sin(x) = tan(x), d) cos(3x) = 5 4 cos (x). Hinweis: Beweisen Sie für die Aufgabenteile c) bzw. d) zunächst die Identitäten sin(x) = tan(x) + tan (x), cos(3x) = 4 cos3 (x) 3 cos(x). Aufgabe 4 Es seien α, β, γ R mit α + β + γ = π. Zeigen Sie: a) sin(β) cos(γ) + cos(β) sin(γ) = sin(α), b) sin(α) sin(β) cos(β) cos(α) = cos(γ). Aufgabe 5 In einiger Entfernung zu einer Antenne wird ein Lichstrahl vom Boden (Messebene) auf die Spitze der Antenne gerichtet. Der Winkel des Strahls zur Messebene wird mit α bezeichnet. Nun geht man a Meter auf den Antennenmast zu und wiederholt die Messung. Man erhält nun einen Winkel β. Es ist insbesondere < α < β < π. Wie hoch ist der Mast? Konvexe Funktionen Aufgabe 6 Es sei I ein offenes Intervall in R. Zeigen Sie, dass eine Funktion f : I R genau dann konvex ist, wenn f konkav ist. Benutzen Sie nicht, dass f eine differenzierbare Funktion ist. Aufgabe 7 Die Funktionen f, g : I R seien beide konkave Funktionen. Keine der Funktionen ist notwendigerweise differenzierbar. Untersuchen Sie die Funktion h(x) = f (x) + g(x) auf Konvexität und Konkavität. Untersuchen Sie die Funktion h(x) = f (x) g(x) auf Konvexität und Konkavität. Aufgabe 8 Die Funktion f : I R sei konkav aber nicht notwendigerweise differenzierbar. Finden Sie alle Werte für die Konstanten a und b, so dass a f (x) + b konkav ist. Argumentieren Sie ohne die Annahme der Differenzierbarkeit. Aufgabe 9 Die Funktion g : R R ist gegeben durch g(x) = f (ax + b). Die Funktion f sei eine konkave Funktion, die nicht notwendigerweise differenzierbar ist. a und b sind Konstanten in R mit a =. Beweisen oder widerlegen Sie: g ist eine konkave Funktion. 6

7 Stetigkeit Aufgabe 3 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in den angegebenen Punkten. a) f : R R, f (x) = x in x =. b) c) d) in x = in x = f : R R, f (x) = f : R R, f (x) = f : R R, f (x) = { x, x =, x = { x x+ x, x =, x = { x, x x, x < in x =. Aufgabe 3 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in ihrem Definitionsbereich. a) f : R R, f (x) = x + 4 b) f : R \ {4} R, f (x) = x 6 x 4 { x + 4, < x 4 c) f : R R, f (x) = x + 6, 4 < x < x 6 d) f : R R, f (x) = x 4, x = 4, x = 4 7

8 Differentialrechnung Aufgabe 3 Bestimmen Sie jeweils die Ableitung f der Funktionen f, welche auf geeigneten Definitionsbereichen durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind: a) f (x) = 5x 3 + 7x 4x + 9, b) f (x) = 3 x6 + x + x, c) f (x) = 4x 4 4x, d) f (x) = 8x x x 4, e) f (x) = x + x 3 3x 4, f) f (x) = x + x + 3 x 5, g) f (x) = e x x + 3x 5, h) f (x) = 4x 4 4 x, i) f (x) = x ln(x) + ln(x 3 ), j) f (x) = 3x 4 sin(x), k) f (x) = (e x + 4 x ), l) f (x) = ln(x) e x, m) f (x) = 3x + 4, n) f (x) = x o) f (x) = 7x + 3x + q) f (x) = + x, x, p) f (x) = (5x 3) 5 ( + x 3x 4 ) 4 x + 7, r) f (x) = 3 (x 3 + 3x) 5. Aufgabe 33 Untersuchen Sie die Funktion auf Differenzierbarkeit. Aufgabe 34 Untersuchen Sie die Funktion f : R R, x x f : R R, x x x auf Differenzierbarkeit im Nullpunkt. Bestimmen Sie gegebenenfalls f (). Aufgabe 35 Bestimmen Sie zunächst die Definitionsbereiche der Funktionen f, welche durch die folgenden Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie im Anschluss f. a) f (x) = x 3x + x, b) f (x) = + (x 4) 3, c) f (x) = x (x 4x + 3). 8

9 Aufgabe 36 Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der Funktionen f, welche durch die folgenden Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie in jedem Punkt, in welchem f differenzierbar ist, die Ableitung. (Randpunkte des Definitionsbereichs sind dabei zu vernachlässigen.) a) f (x) = 3 x 3 + 4x 5, b) x + 4 x + 5 x, c) f (x) = cos ( tan( + x ) ). Aufgabe 37 Bestimmen Sie die lokalen und globalen Maxima und Minima der Funktionen aus Aufgabe 35. Aufgabe 38 Betrachten Sie die Funktion f : R R, f (x) = 3x 5 5x 3 + 6x 3. a) Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima von f. b) Bestimmen Sie die Wendepunkte von f. c) Bestimmen Sie die größten Intervalle, auf denen f streng monoton wachsend ist. d) Fertigen Sie eine Skizze von f an. Aufgabe 39 Untersuchen Sie analog zu vorigen Aufgabe die Funktion f : R \ { } R, f (x) = 3x (x ). (x + ) Hinweis: Die einzige reelle Nullstelle von f ist x = 3. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktionen a) f : [, 3] R, f (x) = 4 x, b) f : [, 4] R, f (x) = x 5 5x 4 + 5x auf lokale und globale Maxima und Minima. Bestimmen Sie auch die entsprechenden Extremalwerte. Aufgabe 4 Entscheiden Sie ob die Funktion f (x) = (/3)x + 8x 3 konvex oder konkav ist. Aufgabe 4 Es sei f : (, ) R mit f (x) = Ax α, wobei A > und α Parameter sind. Für welche Werte von α ist f monoton steigend und konkav auf dem Intervall (, )? 9

10 Aufgabe 43 Finden Sie Zahlen a und b, so dass der Graph von f (x) = ax 3 + bx den Punkt (, ) enthält und einen Wendepunkt in x = / besitzt. Aufgabe 44 Seien a R, m, n Z mit m = n und m, n =. a) Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass deren Produkt möglichst groß wird. b) Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass das Produkt der m-ten Potenz des einen Summanden und der n-ten Potenz des anderen Summanden möglichst groß wird. Aufgabe 45 Die Summe der Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt k. Wie groß müssen die einzelnen Kathetenlängen gewählt werden, damit die Hypothenusenlänge möglichst klein wird? Aufgabe 46 Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Sein Umfang sei U. Für welchen Halbkreisradius wird der Flächeninhalt des Querschnitts am grössten? Integralrechnung Aufgabe 47 Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = 4x 3 + 3x +, b) f (x) = 5 x 3, c) f (x) = e x, d) f (x) = 4 4 x, e) f (x) = 5x x + 3, f) f (x) =, x x g) f (x) = (x ), h) f (x) = 4 x. Aufgabe 48 Bestimmen Sie:

11 a) (3x + ) dx, b) d) f) i) x 4 dx 3 ( x 4 + x 5 ) x 4 dx x 4 dx, e) dx, g) 5 x dx, j) ( x + x) dx, c) x(x + x) dx x dx, h) 4 x dx. 4 ( x) dx + (x 3 + x ) dx 7 (x ) dx, (x 3 + x ) dx, ( e x 3 + 3x ) dx, Aufgabe 49 Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitutionsmethode jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = (x + 3) 3, b) f (x) = ex 3 + e x, c) f (x) = x x + 3, d) f (x) = 9x + x(3x + ), e) f (x) = 3 3x ln(x) + x, f) f (x) = (x + ) ln(x + ). Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Wert I der folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode. a) d) (x + 3) 4 dx, b) x dx, e) x + 5 ( + x 3 ) 3x dx, c) (6x + 5) e 3x +5x dx, f) x + 4 x + 4x dx, 4x 4 x + 4 dx. Aufgabe 5 Bestimmen Sie mit Hilfe der partiellen Integration jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = x e x, b) f (x) = e x (x + 3x), c) f (x) = ln(x), d) f (x) = x ln(x), e) f (x) = log (x), f) f (x) = ln(x). Aufgabe 5 Bestimmen Sie die folgenden Integrale unter Benutzung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

12 a) d) g) / π/3 dx, b) 3 + 7x x dx, e) x 5 sin(x) dx, h) + 3 cos(x) / 3 3 π/6 dx, c) 4 + 9x 3 4x dx, f) 5x + cos(x) sin(x) dx. Aufgabe 53 Bestimmen Sie mit Hilfe partieller Integration die folgenden Integrale. a) c) π/4 π/6 cos(x) ln(sin(x)) dx, b) x 5 ln(x 3 + ) dx, d) π x sin(x) dx, x 3 e x dx. Aufgabe 54 Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode. 6 x x 5 dx, 8x 5 4x 5x + dx, a) c) 3 sinh() 3 cosh() x dx, b) x 9 dx, d) x dx, x 3 x + dx.