2.3 Elementare Funktionen

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1 .3 Elementare Funktionen Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x [0,π]. Alternativ werden die Argumente der Winkelfunktionen in Winkelgraden angegeben. Hier entspricht der Winkelgrad α = 360 o der Bogenlänge x = π, und Anteile am Vollkreiswinkel 360 o werden entsprechend in Anteile des Kreisumfangs umgerechnet: α = 360o entspricht x = π t t d.h. die Bogenlänge zum Winkel α ist x = π 180 α. (i) Sinus Als Winkelfunktion ist die Sinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für einen Winkel α [0, π Gegenkathete ] ist sinα = Hypothenuse, wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α [ π,π] ist sinα = sin(π α). Für α [π,π] ist sinα = sin(α π). 100

2 Ist x R, dann schreiben wir x = mπ +α mit m Z, α [0,π), und setzen sinx = sinα. Dadurch ist die Sinus-Funktion auf ganz R erklärt. Sie ist periodisch mit Periode π, d.h. sin(x + π) = sin(x). Ihr Wertebereich ist W(sin) = {y R : 1 y 1} = [ 1,1]. π/ α Gegenkathete Hypothenuse α Ankathete Diese Skizze zeigt noch einmal die Größen, die bei der Definition der trigonometrischen Funktionen eine Rolle spielen. (ii) Cosinus: Als Winkelfunktion ist die Cosinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für einen Winkel α [0, π Ankathete ] ist cosα = Hypothenuse, wobei hier die (Länge der) Ankathete bzw. Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α [ π,π] ist cosα = cos(π α). 101

3 x Abbildung 1: Graphen von sinx (rot) und cosx (blau) Für α [π,π] ist cosα = cos(α π). Ist x R, dann schreiben wir x = mπ +α mit m Z, α [0,π), und setzen cosx = cosα. Auch die Cosinus-Funktion ist periodisch mit Periode π. Ihr Wertebereich ist ebenfalls W(cos) = [ 1,1]. Es gilt sin(x+ π ) = cosx und sin(x) = cos(x π ) 10

4 Das bedeutet, dass der Graph der Sinus-Funktion aus dem Graph der Cosinus-Funktion durch Verschiebung um π/ nach rechts entsteht. (iii) Tangens: Als Winkelfunktion ist die Tangens-Funktion für einen Winkel α [0, π ) definiert als tanα = Gegenkathete Ankathete wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Es ist also tanα = sinα cosα Wie vorher wird tan fortgesetzt, diesmal allerdings nur auf den Definitionsbereich D = {x R : x π +m π, m Z}, und es ist tan : D R, tanx = sinx cosx. Als Wertebereich ergibt sich W(tan) = R. Der Tangens ist auf den Intervallen ( π +zπ, π +zπ), z Z, streng monoton wachsend. (iv) Cotangens: Diese Funktion ist auf D = {x R x m π, m Z} definiert durch cotx = cosx sinx. 103

5 10 8 y x Abbildung : Graphen von tanx (rot) und cotx (blau) Als Wertebereich ergibt sich W(cot) = R. Der Cotangens ist streng monoton fallend auf den Intervallen (zπ,π +zπ), z Z. Im folgenden Bild sind die Graphen für den Tangens rot und den Cotangens blau eingezeichnet. 104

6 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen 1. Einige spezielle Werte sind 0 π/6 π/4 π/3 π/ sin cos tan cot

7 . Periodizität: sin(x+π) = sinx, cos(x+π) = cosx 3. Symmetrie: sin( x) = sinx, cos( x) = cosx (sin ist eine ungerade und cos eine gerade Funktion.) 4. Satz des Pythagoras: sin x+cos x =

8 5. Additionstheoreme: sin(x+y) = sinx cosy +cosx siny cos(x+y) = cosx cosy sinx siny 6. Die trigonometrische Funktion tan ist streng monoton steigend auf ( π/, π/) und und die Funktion cot ist streng monoton fallend auf (0/π) (und den entsprechend verschobenen Intervallen). 107

9 7. Verschiebungen um π/ und π: sin(x+ π ) = cos(x) cos(x π ) = sin(x) sin(x+π) = sin(x) cos(x+π) = cos(x) tan(x+π) = tan(x) tan(x+ π = cot(x) cot(x+ π = tan(x) cot(x+π) = cot(x) tan(x) = 1 cot(x). Treppenfunktionen Das sind Funktionen, die intervallweise konstant sind; bis auf die konstante Funktion haben solche Funktionen Sprungstellen. 108

10 3 ο 1 ο ο ο x ο 1 ο 3 Beispiel.17 Ganzzahliger Anteil: Sei f : R R, f(x) = trunc(x) wobei für x R durch trunc(x) der ganzzahlige Anteil von x (Vorkommastelle) bezeichnet sei. Als Wertebereich ergibt sich W(f) = Z. Vorzeichenfunktion: 109

11 Es sei sgn : R R, x 1 falls x > 0 0 falls x = 0 1 falls x < 0 1ο x 0.5 ο 1 110

12 .4 Polynome Eine Funktion P : R R gegeben durch P(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 n = a k x k, k=0 wobei n N 0, a k R und a n 0, heißt Polynom(funktion) vom Grad grad(p(x)) = n. Die Funktion P(x) = 0 heißt das Nullpolynom. Wir setzen grad(0) =. Die Zahlen a 0,a 1,...,a n heißen die Koeffizienten des Polynoms. Ist a n = 1, dann heißt P normiert. 111

13 x 0 Abbildung 3: Graph von x 4 10x +3x 10 Division mit Rest Seien S(x), T(x) zwei Polynome, T(x) 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q(x) und R(x) mit der Eigenschaft S(x) = T(x)Q(x)+R(x) und grad(r(x)) < grad(t(x)) Die Polynome Q(x), R(x) werden genauso wie beim schriftlichen Dividieren berechnet. R(x) heißt Rest von S(x) bei Division durch T(x). Gilt dabei R(x) = 0, so heißt T(x) ein Teiler von S(x). 11

14 Beispiel.18 Sei S(x) = 6x 3 +17x 4x+5, T(x) = 3x+1. Dann ist 6x 3 +17x 4x+5 = (x +5x 3) (3x+1)+8, also Q(x) = x +5x 3 und R(x) = 8. Sei S(x) = x +x 1, T(x) = x+4. Wir erhalten also Q(x) = x 3 und R(x) = 0. x +x 1 = (x 3)(x+4)+0, Der Buchstabe Q soll andeuten, dass es sich bei Q(x) um den Quotienten und bei R(x) um den Rest handelt. Allgemein gilt für x 0 R und T(x) = x x 0 : Die Division mit Rest liefert die Darstellung S(x) = (x x 0 )Q(x)+P(x 0 ) Es ist also S(x 0 ) = 0 genau dann, wenn S(x) von der Form S(x) = (x x 0 )Q(x) ist, d.h. wenn x x 0 das Polynom S(x) teilt. 113

15 Satz.1 (Nullstellen und Linearfaktoren) Sei P : R R ein Polynom vom Grad n N. Dannistx 0 ReineNullstellevonP genaudann, wenn es ein Polynom P : R R vom Grad n 1 gibt, so dass P(x) = (x x 0 ) P(x). DasPolynomx x 0 heißtdanneinlinearfaktor des Polynoms P(x). (Vielfachheit von Nullstellen) Sei x 0 R Nullstelle eines Polynoms P(x) 0, und sei k N die größte Zahl, so dass (x x 0 ) k daspolynomp(x)teilt.dannheißtdiezahlk die Vielfachheit der Nullstelle x 0. Beispiel.19 Das Polynom P(x) = (x 3) 4 (x+) 3 (x +x+1) 114

16 hat 3 als Nullstelle der Vielfachheit 4 und als Nullstelle der Vielfachheit 3.WeitereNullstellenhatdasPolynomnicht,weilx +x+1keinenullstellen hat. Für quadratische Polynome der Form x +px+q ist die Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen bekannt als p± p 4q falls p > 4q, p (doppelte Nullstelle) falls p = 4q, keine Lösung falls p < 4q. (sieheauchdiep q-formelinabschnitt1).fürpolynomevomgrad3und 4 gibt es ebenfalls allgemeine Lösungsformeln zur Bestimmung der Nullstellen, die von einer ähnlichen Form wie die Lösungsformel für quadratische Polynome sind. Für allgemeine Polynome vom Grad 5 gibt es solche Formeln (aus prinzipiellen Gründen) nicht (das wurde 183 von dem norwegischen Mathematiker Niels Abel bewiesen). 115

17 Finde alle Nullstellen von P(x) = x 5 +x 4 4x 5x+6. Durch Probieren findet man die Nullstelle x 0 = 1. Division mit Rest liefert P(x) = (x 1)(x 4 +3x 3 +3x x 6). Nun sieht man dass x 0 = 1 auch Nullstelle des zweiten Faktors ist und Division mit Rest ergibt P(x) = (x 1) (x 3 +4x +7x+6). Durch Probieren findet man jetzt noch die Nullstelle x 1 = und nach Division mit Rest hat man P(x) = (x 1) (x+)(x +x+3). Der letzte Faktor hat keine Nullstellen und somit lässt sich P(x) nicht weiter faktorisieren. Aber nur selten lassen sich die Nullstellen so einfach durch Probieren finden. Man benutzt dann oft Näherungsverfahren. Wir fassen einige Eigenschaften über die Nullstellen von Polynomen zusammen. 116