Eigenschaften von Winkelfunktionen

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1 Eigenschaften von Winkelfunktionen Satz.7.: Für x,y R und n Z gelten stets: i. cosx = j=0 ( j xj x = (j!! + x4 4!, ii. sinx = j=0 ( j x j+ x = x (j +!! + x5 5!, iii. cos( x = cosx, iv. sin( x = sinx, v. e iy = cosy +isiny (Eulersche Formel, vi. (cosx+isinx (cosy +isiny = cos(x+y+isin(x+y (Moivresche Formel, vii. (cosx+isinx : (cosy +isiny = cos(x y+isin(x y (Moivresche Formel, viii. (cosx+isinx n = cos(nx+isin(nx (Moivresche Formel, ix. cos0 =, sin0 = 0, x. cos x+sin x =, xi. sin(x±y = sinx cosy ±cosx siny (Additionstheorem, xii. cos(x±y = cosx cosy sinx siny (Additionstheorem, xiii. sinx cosy = (sin(x+y+sin(x y, xiv. cosx cosy = (cos(x+y+cos(x y, xv. sinx siny = (cos(x+y cos(x y, xvi. cosx cosy = sin x+y xvii. sinx siny = cos x+y sin x y, sin x y. xviii. Ist zusätzlich 0 < x, so gelten auch 0 < x x 6 < sinx < x und x < cosx < x + x4 4.

2 .4 Eigenschaften von Winkelfunktionen und trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen Satz.4.: Die Kosinusfunktion ist auf R stetig und hat eine kleinste positive Nullstelle welche zwischen und liegt. Das Doppelte dieser Nullstelle wird mit π bezeichnet. Weiterhin haben die Sinus- und Kosinusfunktion folgende Eigenschaften: i. cos0 = sin π π =, cosπ = sin =, cos π π = cos = sin0 = sinπ = 0. ii. Für x R und k Z gelten stets sin ±x = cosx, cos ±x = sinx, sin(π +x = sinx, cos(π +x = cosx, sin(x+kπ = sinx, cos(x+kπ = cosx. iii. Für k Z nimmt die Kosinusfunktion auf (( ( k π, k + (( ( π positive und auf k + π, k + π negative Werte an. Die Sinusfunktion ist auf (kπ,(k+π positiv und auf ((k π, kπ negativ. iv. Fürk Z ist die Kosinusfunktion streng monoton wachsend auf [(k π,kπ] und streng monoton fallend auf [kπ,(k +π]. Die Sinusfunktion ist streng monoton wachsend auf [ ( ( ( ( k π, k + π] und streng monoton fallend auf [ k + π, k + π]. Beweis: Die Stetigkeit wurde vorher bewiesen. Da für x (0,] gilt x < cosx < x + x4, folgt cosx > 0 für x [0,] und cos < 0. Nach Nullstellensatz ist die Menge M = { 4 } x (, cosx = 0 nichtleer. Da sie trivialerweise beschränkt ist, hat sie ein Infimum ξ, welches offensichtlich in [,] liegt. Dann existieren x n M [ξ,ξ+/n (weil ξ+/n keine untere Schranke von M ist. Nach Folgenstetigkeit der Kosinusfunktion ist cosξ = lim n cosx n = 0. Damit ist ξ M, ξ = min M und ξ (,. Nach Definition ist π = ξ. Da für x (0,] gilt 0 < x x < sinx < x, nimmt die Sinusfunktion auf (0, nur positiver 6 Werte an. Somit ist sin π = + cos π =. Die anderen Formeln in i und ii erhält man aus den Additionstheoremen: sin ±x = sin π cosx±cos π sinx = cosx, sinπ = sin + π = cos π = 0, cos ±x = cos π cosx sin π sinx = sinx, cosπ = sin π =, cos(π +x = cos + π +x = sin +x = cosx, cos π = cos π = 0, sin(π +x = sin + π +x = cos +x = sinx, sin π = sin π =, sin(π +x = sin(π +x = sinx, cos(π+x = cos(π +x = cosx. Die Kosinusfunktion hat auf [0, π keine Nullstelle und kann deshalb dort das Vorzeichen nicht wechseln. Also ist die auf [0, π und damit als gerade Funktion sogar auf ( π, π positiv. Deshalb ist sinx = cos x auf (0,π positiv. Damit gilt für π x < y π stets sinx siny = cos x+y sin x y = cos x+y sin y x < 0 (weil 0 < y x π und π < y+x < π sind. Also ist sinx auf [ π, π ] streng monoton wachsend. Für 0 x < y π ist cosx cosy = sin x+y sin x y = sin x+y sin y x > 0, d. h., cosx ist auf [0,π] streng monoton fallend. Für die anderen Intervalle folgen Vorzeichen und strenge Monotonie dann aus den Formeln ii.

3 Definition: Die Kosinusfunktion (eingeschränkt auf [0, π] ist eine streng monoton fallende bijektive Abbildung von [0, π] auf [, ]. Die inverse Abbildung (oder Umkehrfunktion ist die Arkuskosinusfunktion arccos x. 4 4 Die Arkuskosinusfunktion hat also den Definitionsbereich [, ] und Wertemenge [0, π]. Sie ist streng monoton fallend. Für x [,] ist y = arccosx die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung cosy = x im Intervall [0,π]. Wegen cos(kπ ±y = cosy hat die Gleichung auch die Lösungen kπ±arccosx. Da in jedem Monotonieintervall nur eine Lösung der Gleichung liegen kann, sind dies alle Lösungen. Definition: Die Sinusfunktion (eingeschränkt auf [ π, π ] ist eine streng monoton wachsende bijektive Abbildung von [ π, π ] auf [,]. Die inverse Abbildung (oder Umkehrfunktion ist die Arkussinusfunktion arcsin x Die Arkussinusfunktion hat also den Definitionsbereich [,] und Wertemenge [ π, π ]. Sie ist streng monoton wachsend. Für x [, ] ist y = arcsin x die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung siny = x im Intervall [ π, π]. Es gilt arcsinx = π arccosx und die Lösungsmenge der Gleichung sin y = x ist gleich { } kπ +arcsinx, (k +π arcsinx k Z.

4 Satz.4. (Parametrisierung der Einheitskreislinie: Durch f(ϕ = e iϕ = cosϕ+isinϕ wird eineπ-periodische Abbildungf vonrauf die komplexe Einheitskreislinie { z C } z = gegeben. Für jedes a R ist die Einschränkung von f auf das Intervall [a, a + π eine bijektive Abbildung des Intervalls auf die komplexe Einheitskreislinie. Ferner gelten f(0 =, f = i, f(π =, f( π = i und die Intervalle (0, π, (π,π, (π, π bzw. (π,π werden in den.,.,. bzw. 4. Quadranten abgebildet. Beweis: Die speziellen Werte und die Behauptungen über die Lage der Bildpunkte folgen aus den aus Satz.4. bekannten Werten und Vorzeichen von Sinus- und Kosinusfunktion. Aus deren Monotonieverhalten folgt auch die Injektivität von f auf [0,π. Aus der Periodizität der Winkelfunktionen folgt die Periodizität von f. Die Injektivität auf [a,a+π folgt dann daraus, dass für alle x R gilt f(a+x = e ia f(x und dass die Multiplikation mit der Zahl e ia eine Bijektion der komplexen Einheitskreislinie ist. Dieselbe Überlegung erlaubt es, die Surjektivität auf den Fall a = 0 zurückzuführen. Wir zeigen abschließend die Surjektivität, indem wir für z = x + iy mit z = x +y = ein ϕ [0,π mit f(ϕ = z bestimmen. Ist y 0, so nehmen wir ϕ = arccosx [0,π]. Dann gelten x = cosϕ und y = + x = + cos ϕ = sinϕ (weil sinϕ 0 ist. Ist y < 0, so nehmen wir ϕ = π arccosx (π,π. (Die Werte π und π werden in diesem Fall nicht angenommen, weil x < ist. Es gelten dann x = cosϕ und y = x = cos ϕ = sinϕ (weil jetzt sinϕ < 0 ist. Bemerkung: Wir haben fast nachgewiesen, dass die Definition der Winkelfunktionen durch Reihen zur ihrer geometrischen Definition gleichwertig ist. Betrachtet man etwa im Fall cos ϕ > 0 und sinϕ > 0 das rechtwinklige Dreieck mit Katheden der Längen a = cosϕ und b = sinϕ und bezeichnet mit ϕ den Innenwinkel zwischen der Kathede a und der Hypothenuse, die nach Pythagoras ja die Länge c = cos ϕ+sin ϕ = hat, so ist cosϕ = a c und sinϕ = b c. Im Allgemeinen interpretiert man ϕ [0, π als Maßzahl des in der Gaußschen Zahlenebene liegenden orientierten Winkels zwischen der positiven reellen Achse und dem Strahl mit Anfangspunkt 0, der durch e iϕ = cosϕ+isinϕ geht. Später wird bewiesen, dass dabei ϕ mit der Länge des Kreisbogens, der in der Gaußschen Zahlenebene die Parametergestalt {e iψ 0 ψ ϕ } hat, übereinstimmt. Somit ist die Zahl ϕ das Bogenmaß des betrachteten Winkels. Der Zusammenhang zwischen Bogenmaß ϕ und Gradmaß α eines Winkels wird durch α = 80 π ϕ gegeben. 4

5 Trigonometrische und Eulersche Darstellung komplexer Zahlen (Selbststudium Für z C mit z 0 gilt sign z = z z =. Deshalb existiert ϕ [0,π mit sign z = eiϕ. Mit r = z erhält man die Darstellungen z = r(cos ϕ + i sin ϕ (trigonometrische Darstellung von z z = re iϕ (Eulersche Darstellung von z In diesen Darstellungen kann man ϕ durch ψ = ϕ + kπ (k Z ersetzen. Für z = r = 0 gelten diese Darstellungen von z mit beliebigem ψ anstelle ϕ. Der Winkel ϕ in der trigonometrischen Darstellung von z wird Argument der komlexen Zahl z genannt, ϕ = argz. Dabei ist es Vereinbarungssache, ϕ [0,π zu nehmen. Eine andere gebräuchliche (hier erstmal nicht verwendete Konvention lautet ϕ [ π, π. Alle möglichen Winkel in der trigonometrischen oder Eulerschen Darstellung einer komplexen Zahl z 0 sind die Elemente von Arg z = { argz +kπ k Z }. Aus dem Beweis von Satz.4. kennen wir bereits eine Formel zur Bestimmung von argz. Die Umwandlung einer in arithmetischer Gestalt z = x + iy 0 gegebenen komplexen Zahl in ihre trigonometrische Gestalt kann also nach den Formeln r = x +y ϕ = arccos x x +y falls y 0 π arccos x x +y falls y < 0 erfolgen. Die umgekehrte Umwandlung erfolgt einfach durch Ausmultiplizieren, x = r cos ϕ, y = r sinϕ. Geometrische Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen (Selbststudium Sind komplexe Zahlen z = r(cosϕ + i sinϕ = re iϕ und w = ρ(cosψ + i sinψ = ρe iψ in trigonometrischer oder Eulerscher Gestalt gegeben, so ist ihr Produkt gleich z w = rρ(cos(ϕ+ψ+i sin(ϕ+ψ = rρe i(ϕ+ψ. Der Betrag des Produktes ist also gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren und das Argument des Produktes ist (eventuell bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von π gleich der Summe der Faktoren der Argumente. Die Abbildung C w e iϕ w C verändert wegen e iϕ w e iϕ w = e iϕ w w = w w keine Abstände. Ein Strahl mit Anfangspunkt 0 durch (cosψ + i sinψ = e iψ wird auf den Strahl mit Anfangspunkt 0 durch cos(ϕ + ψ + i sin(ϕ + ψ = e iϕ+ψ abgebildet. Diese Abbildung ist also eine Drehung der Gaußschen Zahlenebene mit Drehzentrum 0 um den Winkel ϕ im mathematisch positiven Drehsinn (d. h. entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn. Die Abbildung C w re iϕ w = z w C ist Komposition aus einer solchen Drehung und einer Streckung oder Stauchung mit Zentrum 0 um den Faktor r. 5

6 Anwendung: komplexe k-te Wurzeln (Selbststudium Für k N mit k und z C sollen alle w C mit w k = z bestimmt werden. Das sind die komplexen k-ten Wurzeln aus z. Ist z = 0, so ist w = 0 die einzige komplexe Lösung der Gleichung w k = z. Wir setzen nunmehr voraus, dass z 0 ist und die trigonometrische bzw. Eulersche Darstellung z = r(cosϕ + i sinϕ = re iϕ hat und suchen Lösungen der Gleichung w k = z in der Gestalt w = ρ(cosψ + i sinψ = ρe iψ. Dabei erhalten wir nacheinander folgende notwendigen Bedingungen: w k = ρ k e ikψ = r e iϕ, w k = w k = ρ k = z = r, ρ = k r, kψ = ϕ+lπ mit l Z,ψ = ϕ k + lπ k w = k r e i(ϕ k +lπ k. Eine einfach durchzuführende Probe zeigt, dass diese w für jedes l Z tatsächlich die Gleichung w k = z erfüllen. Für l {0,...k } erhält man k verschiedene Werte, die sich dann für andere Werte von l wiederholen. Speziell sind die Zahlen ε l = e i(lπ k (l {0,...k } die komplexen k-ten Wurzeln aus. Sie werden komplexe k-te Einheitswurzeln genannt. Dabei gelten die Gleichungen ε l = (ε l Die komplexen k-ten Wurzeln aus z = r(cosϕ+i sinϕ = re iϕ haben die Darstellungen w l = k r e i(ϕ k +lπ ( ( = k ϕ r cos k + lπ k k ( ϕ +isin k + lπ k = k r e i(ϕ k εl (l {0,...k }. In der Gaußschen Zahlenebene liegen die komplexen k-ten Wurzeln aus z auf einem Kreis mit Radius ρ = k z und bilden die Ecken eines regulären k-ecks. Bemerkung: Für einige k lassen sich die komplexen k-ten Einheitswurzeln durch reelle Quadratwurzeln ausdrücken. Z. B. gelten ε = für k =, ε = cos0 +isin0 = ε = i für k = 4, ε = cos7 +isin7 = ( i für k =, 0 5 i für k = 5. Derartige Darstellungen gibt es dann und nur dann, wenn das reguläre k-eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Die Konstruktion des regulären 5-Ecks war schon Euklid bekannt. C. F. Gauß wies u. a. nach, dass sich die 7-ten Einheitswurzeln durch (merfache Benutzung von Grundrechenarten und Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen ausdrücken lassen. 6