Aufgaben zu Kapitel 5
|
|
- Ursula Esser
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5. Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an z i z + i z 3 + 3i). r 5 ϕ π bzw. r 6 3 ϕ π sind al- Zu den komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten r 4 ϕ 4 π und aginärteil gesucht. Aufgabe 5. Skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die Mengen der komplexen Zahlen die durch folgende Angaben definiert sind: M {z C z) + z) } M {z C z i z + } M 3 {z C z + i 3} Aufgabe 5.3 Zeigen Sie dass für zwei komplexe Zahlen z w C die in der oberen Halbebene liegen d. h. z) 0 und w) 0 gilt w z w z. Veranschaulichen Sie sich die Aussage in der komplexen Zahlenebene. chenaufgaben Aufgabe 5.4 Berechnen Sie zu den komplexen Zahlen z iz + 3i und z 3 4i die al- und aginärteile der Ausdrücke z z z z z z 3 z z z z 3 z z. Aufgabe 5.5 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von z x + i y C\{ i} den al- und den aginärteil der Zahl w i)z + ) + 3i z + i Aufgabe 5.6 Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z C die die Gleichung erfüllen. z 3 z i + z 4 + i z 3 + i z + i)z + i Aufgabe 5.7 Bestimmen Sie al- und aginärteil der Lösungen folgender quadratischer Gleichungen a) z 4iz + 4z 8i 0 b) z + i))z 3 i c) z + + i)z 3i. Aufgabe 5.8 Finden Sie alle Lösungen z C der Gleichung z 6 + 3i)z 3 i 0. Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
2 Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgabe 5.9 Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen u v C mit der Eigenschaft u + v u + v. Aufgabe 5.0 Zeigen Sie dass eine komplexe Zahl z C genau dann den Betrag z hat wenn die Identität uz + v vz + u für alle Zahlen u v C mit u v gilt. Aufgabe 5. Welche Menge von Punkten in der komplexen Ebene wird durch die Gleichung M {z C z 3 z + 3 } beschrieben? Aufgabe 5. Zeigen Sie dass durch die Abbildung f : C\{ } C mit fz) +z Punkte auf dem Kreis K {z C z } auf einen Kreis fk) mit Mittelpunkt M /3 C abgebildet werden und bestimmen Sie den Radius dieses Kreises. Aufgabe 5.3 Bestimmen Sie die Möbiustransformation f mit den Abbildungseigenschaften fi) 0 f0) f) i + i. Wie lautet die Umkehrfunktion zu f? Auf welche Mengen in der komplexen Zahlenebene werden die reelle Achse d. h. z) 0 und die obere Halbebene d. h. z) > 0 abgebildet? Anwendungsprobleme Aufgabe 5.4 Ein Fischauge ist eine spezielle Linse in der Fotografie die die Krümmung des Bildes zum Rand hin verstärkt. Durch eine Transformation der komplexen Ebene lässt sich dieser Effekt nachbilden. Betrachten Sie die Abbildung f : C C mit z fz) z +a für ein a>0. Veranschaulichen Sie sich die Abbildung anhand von Polarkoordinaten. Zeigen Sie fc) B {z C z < } und bestimmen Sie die Umkehrabbildung f : B C. Auf welche Teilmenge der komplexen Zahlen wird die reelle Achse abgebildet? Auf welche geometrischen Objekte werden Kreise um den Ursprung abgebildet? Mithilfe eines grafikfähigen chners zeichnen Sie für a die Bilder folgender Teilmengen: M {z C z t + i/t R} M {z C z + tit R} M 3 {z C z /} M 4 {z C z /} Aufgabe 5.5 In den meisten Stromnetzen wird Drehstrom verwendet. Dabei gibt es neben dem Neutralleiter noch drei weitere Leiter deren Spannungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude aber jeweils um die Phase π/3 gegeneinander verschoben sind. Demnach liegen an den unterschiedlichen Leitern die Spannungen u t) U 0 cosωt) + i sinωt)) u t) U 0 cosωt + 3 π)+ i sinωt + 3 π) ) u 3 t) U 0 cosωt π)+ i sinωt π) ) Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
3 Aufgaben zu Kapitel 5 3 an. Zeigen Sie dass sich zu allen Zeitpunkten die Summe der Spannungen neutralisiert d. h. für alle t R gilt. u t) + u t) + u 3 t) 0 Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
4 4 Hinweise zu Kapitel 5 Hinweise zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5. Es gilt z rcos ϕ +i sin ϕ) mit z r. Die Argumente der Zahlen sind in der Gauß schen Zahlenebene ablesbar. Aufgabe 5. Mit dem Betrag ist der euklidische Abstand zwischen komplexen Zahlen angebbar. Aufgabe 5.3 Quadrieren Sie die Aussage und nutzen Sie v vv für v C. chenaufgaben Aufgabe 5.4 Anwendung der chenregeln zu komplexen Zahlen. Aufgabe 5.5 Versuchen Sie zunächst den Bruch weitestgehend zu vereinfachen bevor Sie den al- und den aginärteil von z einsetzen. Aufgabe 5.6 Beachten Sie die Faktorisierung z + i)z + i z )z i). Aufgabe 5.7 Quadratische Ergänzung und gegebenenfalls ein Koeffizientenvergleich um komplexe Wurzeln zu bestimmen. Aufgabe 5.8 Substituieren Sie u z 3 und verwenden Sie Polarkoordinaten um die Wurzeln z...z 6 zu bestimmen. Aufgabe 5.9 Substituieren Sie z v u. Aufgabe 5.0 Es sind zwei Richtungen zu zeigen. Nutzen Sie die Gleichung a + b a + b + ab) für komplexe Zahlen ab C. Aufgabe 5. Quadrieren Sie die Gleichung und verwenden Sie w ww um die beschreibende Gleichung auf eine Form zu bringen die grafisch interpretiert werden kann. Aufgabe 5. Betrachten Sie + z + 3. Aufgabe 5.3 Anwendungsprobleme Aufgabe 5.4 Schreiben Sie die Abbildung in Polarkoordinaten z rcos ϕ + i sin ϕ). Aufgabe 5.5 Klammern Sie den harmonisch schwingenden Term cosωt) + i sinωt) aus. Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
5 Lösungen zu Kapitel 5 5 Lösungen zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5. Es gilt z cos 3 π + i sin 3 π) z cos π 4 + i sin π ) 4 z 3 cos 3 π + i sin 3 π z 4 i z 5 + i) z i). Aufgabe 5. Die ersten beiden Mengen beschreiben Geraden in der komplexen Ebene und die dritte ist eine Kreisscheibe um i)/ mit Radius 3/. Aufgabe 5.3 chenaufgaben Aufgabe 5.4 z + i z + i z z 4 + i z z 3 + i z z z z 3 3i z z Aufgabe 5.5 Die Zahl w i. hängt nicht von z ab. Aufgabe 5.6 Mit z ± i sind alle Lösungen der Gleichung gegeben. Aufgabe 5.7 Es ergeben sich die Lösungen a) z z + i b) z + i und z + i. c) z + i) ± + i ) Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
6 6 Lösungen zu Kapitel 5 Aufgabe 5.8 In Polarkoordinaten sind die sechs Lösungen gegeben durch z 6 cos π 4 + i sin π ) 4 z 6 cos π ) π + i sin z 3 6 cos 9π ) 9π + i sin z 4 3 cos π 6 + i sin π ) 6 z 5 3 cos 5π 6 + i sin 5π ) 6 z 6 3 cos 3π + i sin 3π ). Aufgabe 5.9 Die Gleichung gilt für Paare u v C\{0} mit Aufgabe 5.0 v ± i ) 3 u. Aufgabe 5. Die Menge M ist ein Kreis mit Radius 4 um den Mittelpunkt z M 5. Aufgabe 5. Der Radius beträgt r /3. Aufgabe 5.3 Es ist f : C\{ i} C\{} mit fz) z i z + i und die Umkehrtransformation f : C\{} C\{ i} ist durch fz) z z + gegeben. Die reelle Achse wird auf den Einheitskreis abgebildet und die obere Halbebene in das Innere dieses Kreises. Anwendungsprobleme Aufgabe 5.4 In Polarkoordinaten gilt und die inverse Transformation ist gegeben durch fz) r cos ϕ + i sin ϕ) r + a f w) aw w. Es wird die reelle Achse durch f auf das Intervall ) C abgebildet und Kreise um den Ursprung werden auf Kreise mit entsprechend kleinerem Radius abgebildet. Aufgabe 5.5 Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
7 Lösungswege zu Kapitel 5 7 Lösungswege zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5. Die Zahl z liegt auf der negativen imaginären Achse in der Zahlenebene. Somit ist das Argument ϕ 3 π. Mit dem Betrag z folgt die Polarkoordinatendarstellung z cos 3 π + i sin 3 ) π. Die Zahl z + i liegt auf der Winkelhalbierenden in ersten Quadranten der Zahlenebene. Sie hat deswegen das Argument ϕ π/4. Mit z + erhalten wir die Polarkoordinatendarstellung z cos π 4 + i sin π ). 4 Die Zahl z 3 + 3i) liegt im zweiten Quadranten der Gauß schen Ebene und hat den Betrag z Somit ist r 3 und etwa cos ϕ 3 /. Aus der Wertetabelle zu Kosinus und Sinus lässt sich der Winkel ablesen zum Beispiel durch / sinπ/6) cosπ/6 + π/). Wir erhalten ϕ 3 3 π. Also ist z 3 cos 3 π + i sin 3 π. Für z 4 z 5 und z 6 bestimmen wir etwa mit der Wertetabelle zu Kosinus und Sinus den alteil und den aginärteil der Zahlen: z 4 cos π + i sin ) π i z 5 cos 3 4 π + i sin 3 4 π + i) z 6 3 cos 54 π + i sin 54 ) π 3 + i). Aufgabe 5. Mit z) z) + lässt sich für die Menge M die Darstellung einer Geraden in der Zahlenebene erkennen siehe Abbildung 5.9). M i i Abbildung 5.9 Interpretieren wir die Gleichung geometrisch so besagt diese dass der Abstand des Punkts z zum Punkt z derselbe sein muss wie der Abstand zum Punkt z + i. Alle Punkte die diese Bedingung erfüllen liegen auf der Mittelsenkrechten zwischen den beiden Punkten z und z also einer Geraden siehe Abbildung 5.0). Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
8 8 Lösungswege zu Kapitel 5 M z z i z + a i + i i Abbildung 5.0 i i M 3 z i Abbildung 5. Da die Bedingung besagt dass wir alle Punkte betrachten sollen deren Abstand zum Punkt z M i) durch z i 3 abschätzbar ist ergibt sich eine Kreisscheibe mit dem Radius 3 und den Mittelpunkt Z M siehe Abbildung 5.). Aufgabe 5.3 Es ist zu beweisen dass w z)w z) w z w z w z)w z) gilt. Für die linke Seite der gesuchten Ungleichung erhalten wir und für die rechte Seite gilt w z ww zw wz + zz w zw) + z w z w wz) + z. Es sind somit nur die gemischten Terme zu vergleichen. Da die aginärteile von w und z nicht negativ sind gilt und es folgt bzw. Damit ergibt sich die gesuchte Ungleichung Die Abbildung 5. verdeutlicht die Aussage w)z) w)z) w)z) w)z) w)z) + w)z) wz) wz). w z w zw) + z w wz) + z w z. Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
9 Lösungswege zu Kapitel 5 9 z w z w z w w Abbildung 5. chenaufgaben Aufgabe 5.4 Mit der Definition einer komplexen Zahl und der konjugiert komplexen Zahl ist Weiter erhalten wir z i) + i und z + i. z z i) + 3i) z z z 3i + + 3)i 4 + i z + 3i z 3 4i + 3i) + 4i) )i) 0 + i) i 3i) i) z 3 z z i 3i) i) i i 4i i) 3i) 4i + i 4i) i) 6i) 3i. Aufgabe 5.5 Die folgende chnung ergibt dass w i gilt und somit unabhängig von der Wahl von z ist i)z + ) + 3i z + i z + iz i + 3i z + i i)z + + i z + i) i)z + i)i z + i) i)z + I) i. z + i) Aufgabe 5.6 Es gilt z + i)z + i z )z i). Daher folgt indem wir die Gleichung mit diesem Faktor multiplizieren z 3)z ) + z 4 + i)z i) 3 + i) Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
10 0 Lösungswege zu Kapitel 5 wenn wir voraussetzen dass z und z i ist. Diese Gleichung ist äquivalent zu z 4z Mit quadratischer Ergänzung folgt und wir erhalten z ±i bzw. z ) z ± i als die beiden einzigen Lösungen der Gleichung. Aufgabe 5.7 a) Eine quadratische Ergänzung führt auf: z 4iz + 4z 8i z + 4 4i)z 8i z + i)) i) 8i z + i)) + 8i 8i z + i)) Also sind beide Nullstellen durch z z + i gegeben. b) Auch im zweiten Beispiel betrachten wir die quadratische Ergänzung und erhalten z + i)z 3 + i z + i ) 4 + i) 3 + i z + i ) Also ist und wir erhalten die beiden Lösungen z + i ± 3 z + i und z + i. c) Mit quadratischer Ergänzung ist z + + i)z + 3i z + + i)) + i) + 3i z + + i)) + i. Wir benötigen also die Wurzeln Mit w x + iy xy R ergibt sich w i. x y + xyi i Vergleichen wir die al- und die aginärteile separat so liefert der Koeffizientenvergleich die beiden Gleichungen Also ist x /y) und einsetzen führt auf bzw. x y und xy. 4y y y 4 + y 4 y + ) 0 Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
11 Lösungswege zu Kapitel 5 mit den Lösungen y ± ±. Da y R vorausgesetzt ist bleibt nur die positive Lösung. Außerdem wissen wir dass x /y). Also sind mit x ) + und y die beiden Wurzeln w x + iy und w x + iy) gegeben. Für die beiden Lösungen der ursprünglichen quadratischen Gleichung folgt z ± + i) ± + i ). Aufgabe 5.8 Mit der Substitution u z 3 ergibt sich die quadratische Gleichung u + 3i)u i 0. Mit quadratischer Ergänzung folgt u + 3i ) + i + 4 3i) i. Gesucht ist somit w x + iy C mit w x y + xyi i. Aus den beiden Gleichungen x y 0 und xy / folgt x 4 6 mit den reellen Lösungen x ±/. Also sind mit w + i)/ oder w + i)/ die Wurzeln gegeben. Für den gesuchten Wert u erhalten wir die beiden Möglichkeiten u w + 3 { i i + i. In Polarkoordinaten ist und i cos π + i sin π ) + i cos 3π 4 + i sin 3π 4 ). Lösungen der Gleichung z 3 u erhalten wir aus der Polarkoordinatendarstellung von u indem die dritte Wurzel des Betrags gezogen wird und das Argument ϕ durch 3 geteilt wird. Um alle möglichen Argumente im Intervall [0 π] zu bekommen müssen wir noch die weiteren Möglichkeiten ϕ + π)/3 und ϕ + 4π)/3 berücksichtigen. Insgesamt erhalten wir ) z 6 und z 6 z 3 6 cos π 4 + i sin π 4 cos π + i sin π cos 9π 9π + i sin ) ) z 4 3 cos π 6 + i sin π ) 6 z 5 3 cos 5π 6 + i sin 5π ) 6 z 6 3 cos 3π + i sin 3π ). Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
12 Lösungswege zu Kapitel 5 Aufgabe 5.9 Zunächst beobachten wir dass die Gleichung nur gelten kann wenn u 0 v 0 und u + v 0 gilt. Setzen wir z v/u so folgt aus der gewünschten Identität bzw. die quadratische Gleichung Mit quadratischer Ergänzung u + v u + u + v v z + z z + z + bestimmen wir die beiden Lösungen dieser Gleichung + z + z + z + ) z ± 3 ± i. Mit diesem sultat für z erhalten wir zu jedem u C\{0} zwei Zahlen für die die gewünschte Gleichung erfüllt ist. v ± i ) 3 u Aufgabe 5.0 Um die Aussage zu zeigen sind zwei Richtungen zu beweisen: Zum einen dass mit z die zweite Identität für beliebige Zahlen u v folgt und zum anderen genau umgekehrt dass die zweite Identität für Zahlen u v C mit u v auch z impliziert. Wenn wir voraussetzen dass für z C gilt z so ist auch z und zz z. Somit erhalten wir mit den elementaren chenregeln uz + v uz + v z uzz + vz u + vz u + vz u + vz. Um die Aussage vollständig zu belegen müssen wir aber noch zeigen dass u + vz 0 gilt. Dazu berechnen wir den Betrag und schätzen mit u v ab: u + vz u + vz + uvz) u + v + uvz) u + vz uvz) u + vz u v u v ) > 0. Für diese Richtung des Beweises nehmen wir an dass uz + v vz + u gilt. Damit ist Auflösen der Beträge führt auf uz + v vz + u. Da die gemischten Terme identisch sind gilt uz + v + uzv) vz + u + vzu). u z v z u v. Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
13 Lösungswege zu Kapitel 5 3 Mit der Voraussetzung u v ist die Differenz u v 0. Kürzen wir diesen Ausdruck so folgt z und die Aussage ist gezeigt. Aufgabe 5. Aus z 3)z 3) z 3 4 z + 3 4z + 3)z + 3) erhalten wir die Gleichung z 3z 3z z + z + z + 36 bzw. z + 5z + 5z Somit gilt für Zahlen z M die Beziehung z Also folgt z K {z C z + 5 4}. Andererseits ergibt sich durch dieselbe chnung dass z K auch z M impliziert. Somit haben wir gezeigt dass M K ist. Die Menge beschreibt den Kreis mit Radius 4 um den Mittelpunkt 5 C. Aufgabe 5. Unter der Annahme dass z ist folgt + z z z 4 + z)4 + z) 3 + 3z)3 + 3z) 6 + 4z + 4z + z 9 + 9z + 9z + 9 z 0 + 4z + 4z z + 9z 4 9. Also liegen die Bildpunkt fz)für z K auf dem Kreis mit Radius /3 um den Punkt M /3 C. Aufgabe 5.3 Wir setzen die gegebenen Stellen in die invariante Beziehung zur Möbiustransformation und erhalten etwa bzw. iz ) z i) Wir müssen diese Gleichung nach fz)auflösen. Aus folgt weiter bzw. Wir erhalten die Transformation i z )0 i) f z) +i ) 0) 0 )z i) i +i )f z) 0) i f z) +i ) fz) + i +i ). fz) + i iz ) fz) i + i z i + i fz) z i i ) z ) + i i z i) + i fz) i)z + + i) i)z i). }{{} i)z+i) fz) z i z + i. Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
14 4 Lösungswege zu Kapitel 5 Ein Ausdruck für die Umkehrabbildung ergibt sich direkt aus der im Text angegebenen Beziehung. Es folgt für f die Umkehrung f z) dz b cz + a iz + i z + i z + z. Insgesamt erhalten wir das Bild von f : C\{ i} C\{} und die Umkehrabbildung f : C\{} C\{ i}. Betrachten wir den Betrag fz) für z x R so ergibt sich x i x x + i + x +. Das heißt Zahlen auf der reellen Achse werden durch f auf den Einheitskreis abgebildet. Aus y ) y y + y + y + y + ) für y 0 folgt mit z x + iy die Abschätzung siehe Abbildung 5.3). z i x + y ) x + y + ) z + i i z i z z + i i Abbildung 5.3 Also folgt fz) z i z + i für z) 0. Somit wird die obere Halbebene in das Innere des Einheitskreises abgebildet. f i Abbildung 5.4 Anwendungsprobleme Aufgabe 5.4 Wählen wir die Polarkoordinatendarstellung z rcos ϕ + i sin ϕ) so folgt fz) r cos ϕ + i sin ϕ). r + a Also bleibt das Argument ϕ einer Zahl bei der Transformation erhalten aber der Betrag z r transformiert sich zu fz) z / z +a). Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
15 Lösungswege zu Kapitel 5 5 Mit der Abschätzung für jedes z C folgt fz) z / z +a) < fc) B {z C z < }. Setzen wir s fz) < so folgt aus die Umkehrung s r r r + a as s. Da das Argument nicht transformiert wird ergibt sich somit die inverse Transformation die Umkehrabbildung f w) as aw cos ϕ + i sin ϕ) s w für w scos ϕ + i sin ϕ) B. Für Zahlen z x R auf der reellen Achse ist auch das Bild auf der reellen Achse und für den Betrag gilt fz) < also ist das Bild Teilmenge des Intervalls ) C. Aus der Polarkoordinatendarstellung ist ersichtlich dass ein Kreis um den Ursprung mit Radius R auf einen Kreis um den Ursprung mir Radius R/R + ) abgebildet wird. Somit bleibt das Bild ein Kreis um den Ursprung mit verkleinertem Radius. Die Originalmengen sind in Abbildung 5.5 und die Bildmengen in Abbildung 5.6 gezeigt. Abbildung 5.5 Urbilder der betrachteten Teilmengen. Abbildung 5.6 Transformation der Teilmengen. Aufgabe 5.5 Da sich die Argumente bei der Multiplikation addieren erhalten wir für die Spannungen u t) U 0 cosωt) + i sinωt)) u t) U 0 cosωt) + i sinωt)) cos 3 π + i sin 3 ) π u 3 t) U 0 cosωt) + i sinωt)) cos 43 π + i sin 43 ) π. Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
16 6 Lösungswege zu Kapitel 5 Damit folgt u t) + u t) + u 3 t) U 0 cosωt) + i sinωt)) + cos 3 π + i sin 3 ) π + cos 43 π + i sin 43 )) π Stellen wir die komplexen Zahlen in kartesischen Koordinaten da so ergibt sich cos 3 π + i sin 3 ) π 3 + i und cos 43 π + i sin 43 π ) Wir erhalten die Summe und die Aussage ist bewiesen. i 3. u t) + u t) + u 3 t) U 0 cosωt) + i sinωt)) + ) 3 + i + )) 3 i 0 Arens et al. Mathematik ISBN: Spektrum Akademischer Verlag 008
Aufgabe 5.1 Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an, w z w z.
Kapitel 5 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 5. Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an z i z + i z 3 + 3i). Zu den komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten r 4 ϕ 4 π r
Mehr12 3 Komplexe Zahlen. P(x y) z = x + jy
2 3 Komplexe Zahlen 3 Komplexe Zahlen 3. Grundrechenoperationen Definition Die Menge C = {z = a + jb a, b IR; j 2 = } heißt Menge der komplexen Zahlen; j heißt imaginäre Einheit. (andere Bezeichnung: i)
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrÜBUNGSBLATT 3 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 3 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Beweisen Sie aus den Axiomen für komplexe Zahlen, dass für alle z, w C gilt: zw = z w; b) Schreiben
MehrBERUFSAKADEMIE S T U T T G A R T University of Cooperative Education. Höhere Mathematik II. Übungen. Komplexe Zahlen. i e π + 1=
BERUFSAKADEMIE S T U T T G A R T University of Cooperative Education Höhere Mathematik II Übungen Komplexe Zahlen i e π + 0 8 R. Mohr FK Blatt Komplexe Zahlen I WS 004/ Aufgabe : Gegeben sind die komplexen
Mehr12 Übungen zu Gauß-Algorithmus
Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = 5 2x +x 2 = 4
MehrA Die Menge C der komplexen Zahlen
A Die Menge C der komplexen Zahlen (Vgl. auch Abschnitt C) A.1 Definition Wir erweitern R um eine Zahl i / R (genannt imaginäre Einheit) mit der Eigenschaft i 2 i i = 1. (653) Unter einer komplexen Zahl
Mehr2D-Visualisierung komplexer Funktionen
2D-Visualisierung komplexer Funktionen 1 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen C stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar, in der das Polynom z 2 + 1 eine Nullstelle besitzt. Man kann sie als Paare
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Komplexe Zahlen Kapitel 3 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.0/29 Motivation Für die
MehrKomplexe Zahlen. Bemerkungen. (i) Man zeigt leicht, dass C mit diesen beiden Operationen
Komplexe Zahlen Da für jede reelle Zahl x R gilt dass x 0, besitzt die Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung in R bzw. das Polynom P (x) = x + 1 besitzt in R (!) keine Nullstelle. Dies führt zur Frage, ob es
MehrKomplexe Zahlen und Funktionen
Komplexe Zahlen und Funktionen 1. komplexes Gleichungssystem z 1 iz 2 = i 2 z 2 + 3z 3 = 6 6i 2iz 1 3iz 3 = 1 8i 2. komplexe Gleichung Welche z C erfüllen die Gleichung 4z 2 4 z + 1 = 0? 3. konjugiert-komplexe
MehrKörper der komplexen Zahlen (1)
Die komplexen Zahlen Körper der komplexen Zahlen (1) Da in angeordneten Körpern stets x 2 0 gilt, kann die Gleichung x 2 = 1 in R keine Lösung haben. Wir werden nun einen Körper konstruieren, der die reellen
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mathematischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 40 Kapitel 12 Komplexe Zahlen Kapitel 12 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs
MehrSerie 3 - Komplexe Zahlen II
Analysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 2015 Serie - Komplexe Zahlen II 1. Wir betrachten die komplexe Gleichung z 6 = 4 4i. a) Bestimmen Sie alle en z C dieser Gleichung. b) Zeichnen Sie die en in die komplexe
MehrSerie 6: Komplexe Zahlen
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 15 Dr. Ana Cannas Serie 6: Komplexe Zahlen Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 26. und 28. Oktober. Es gibt zwei Darstellungsformen
MehrKomplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen
Komplexe Zahlen Allgemeines Definition Eine komplexe Zahl z x + y i besteht aus einem Realteil Re(z) x und einem Imaginärteil Im(z) y. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit i multipliziert.
Mehr3.2. Polarkoordinaten
3.2. Polarkoordinaten Die geometrische Bedeutung der komplexen Multiplikation versteht man besser durch die Einführung von Polarkoordinaten. Der Betrag einer komplexen Zahl z x + i y ist r: z x 2 + y 2.
MehrLösung: Serie 2 - Komplexe Zahlen I
Dr. Meike Akveld HS 05. (Induktion) : Serie - Komplexe Zahlen I a) Zeigen Sie die Ungleichung von Bernoulli: Für alle x > und n N gilt: b) Zeigen Sie für alle n N: ( + x) n + nx. n n, wobei a b bedeutet,
Mehr2 Komplexe Zahlen. 2.1 Grundlagen. Aufgabe Aufgabe Aufgabe 2.1.3
2 Komplexe Zahlen 2.1 Grundlagen Aufgabe 2.1.1 Sei z 1 = 2 + und =. Stellen Sie a) z 1 +, b) z 1, c) z 1. zeichnerisch dar und berechnen Sie die Werte. Aufgabe 2.1.2 Berechnen Sie die folgenden Werte,
MehrAufgaben zu Kapitel 4
Aufgaben zu Kapitel 4 Aufgaben zu Kapitel 4 Verständnisfragen Aufgabe 4. Bestimmen Sie ein Polynom vom Grad 3, das die folgenden Werte annimmt 0 p) 3 3 Aufgabe 4. Jede Nullstelle ˆ eines Polynoms p mit
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Wir haben gesehen, dass die Menge R der reellen Zahlen einen angeordneten Körper bildet und dass für die Menge Q der rationalen Zahlen entsprechendes gilt. In beiden Körpern sind Gleichungen
Mehr11 Komplexe Zahlen. Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra
11 Komplexe Zahlen Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra Addition ebener Vektoren Sei Ê 2 = {(x, y) : x, y Ê}. Ê 2 können wir als Punkte in der Ebene
MehrAddition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):
Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe
MehrHöhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Komplexe Zahlen Lösungshinweise. Sei z = + i und z = i. Berechnen Sie z + z, z z, z z, z z, z /z, z + z, z z, z z, z
MehrKörper sind nullteilerfrei
Mathematik I für Informatiker Komplexe Zahlen p. 1 Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis: Aus a b = 0 und a 0 folgt also b =
MehrKomplexe Zahlen. Axel Schüler, Leipzig Juli 2003
Komplexe Zahlen Axel Schüler, Leipzig schueler@mathematikuni-leipzigde Juli 2003 Da die komplexen Zahlen nicht mehr im Lehrplan stehen, sollen hier die Grundlagen gelegt werden Eine sehr schöne Einführung
Mehr10 Komplexe Zahlen. 2. Februar Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren. z 1 =
2. Februar 2009 66 0 Komplexe Zahlen 0. Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren [ [ a a2 z =, z 2 = in R 2 wird neben der üblichen Addition die komplexe Multiplikation [ a a z z 2 := 2 b b 2 a b 2 +
Mehr1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen
1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen Das Maximum zweier Zahlen a, b wird mit max(a,b) bezeichnet, ihr Minimum mit min(a,b). Der Absolutbetrag einer reellen Zahl a ist a = max ( a, a ) oder auch
MehrKomplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg
Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Universität Hamburg SS 2006 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen
MehrÊ 2 = {(x, y) : x, y Ê}.
Komplee Zahlen.1 Der Körper der kompleen Zahlen Sei Ê = {(, y :, y Ê}. Ê können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit Komponenten und y auffassen. Für (, y, (, y Ê definieren wir die Summe
Mehr02. Komplexe Zahlen. a = Re z ist der Realteil von z, b = Im z der Imaginärteil von z.
0. Komplexe Zahlen Da für alle x R gilt dass x 0, hat die Gleichung x +1 = 0 offenbar keine reellen Lösungen. Rein formal würden wir x = ± 1 erhalten, aber dies sind keine reellen Zahlen. Um das Problem
MehrInhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen
Inhaltsübersicht Kapitel 4: Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Die Polardarstellung komplexer Zahlen Polynome im Komplexen Exponentialfunktion
Mehr2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
MehrÜbungen Mathematik I, M
Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0).0.0. Berechnen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes ( x + y) 7 Lösung: Nach dem binomischen Lehrsatz ist ( x + y) 7 = 7
MehrKAPITEL 1. Komplexe Zahlen
KAPITEL Komplexe Zahlen. Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen............... Was sind komplexe Zahlen?......................3 Komplexe Zahlenebene....................... 3.4 Grundrechenarten in C.......................
MehrHöhere Mathematik für Naturwissenschaftler Studienjahr 2016/17
1/37 0. Organisatorisches 2/37 Übung Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler Studienjahr 2016/17 Dr. Udo Lorz TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Links zur Vorlesung Website
Mehr5.A Die Konstruktion der komplexen Zahlen
5. Komplexe Zahlen 49 5. Komplexe Zahlen Nachdem wir die reellen Zahlen genau charakterisiert haben, wollen wir nun noch einen weiteren Körper einführen, der in der gesamten Mathematik sehr wichtig ist:
MehrVorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation In den reellen Zahlen haben nicht alle Polynome Nullstellen. Der einfachste Fall einer solchen Nullstellen-Gleichung ist x 2 + 1 = 0. Die komplexen Zahlen ("C") sind
MehrZahlen und Funktionen
Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen
Mehr1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:
Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar
MehrKomplexe Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Komplexe Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a
MehrKapitel 4. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben
Kapitel 4 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 4. Bestimmen Sie ein Polynom vom Grad 3, das die folgenden Werte annimmt 0 p) 3 3 Aufgabe 4. Jede Nullstelle ˆ eines Polynoms p mit p) = a 0 + a +...+ a n n
MehrEiniges über komplexe Zahlen
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für LB WS 2001/2002 Dr. Bruno Riedmüller Einiges über komplexe Zahlen Es muss davon ausgegangen werden, dass der Leser mit komplexen Zahlen wenig oder nicht
Mehr1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen
.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen Das Maimum zweier Zahlen a, b (also die größere von beiden) wird mit ma(a,b) bezeichnet, ihr Minimum (also die kleinere von beiden) mit min(a,b). Der Absolutbetrag
MehrSerie 5. Figure 1: 1.a)
Analsis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 16 Serie 5 1. Bei den folgenden Integralen ist die Reihenfolge der Integrationen umzukehren: Die innere Variable soll zur äusseren werden und umgekehrt. Wie lautet
MehrAuswertung Probeklausur
0. Intensivkurse ab Januar 07! Auswertung Probeklausur Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Christoph Laabs christoph.laabs@tu-dresden.de www.k-quadrat.biz/pk-et/ 0. Profil Intensivkurse ab
MehrAnalysis 1, Woche 3. Komplexe Zahlen I. 3.1 Etwas Imaginäres
Analysis, Woche 3 Komplexe Zahlen I A 3. Etwas Imaginäres Zusätzlich zu den reellen Zahlen führen wir das Symbol i ein und wir vereinbaren: i. Wir möchten die reellen Zahlen erweitern mit i. Das heißt,
MehrLösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 1. Übung
Michael Winkler Johannes Lankeit 8.4.2014 Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 1. Übung Präsenzaufgabe 1: Rufe dir die folgenden Definitionen wieder in Erinnerung: C = {(x, y); x R, y R} bildet
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrKomplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen
Komplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen Die komplexen Zahlen sind von der Form z = x + iy mit x, y R, wobei i = 1 als imaginäre Einheit bezeichnet wird. Wir nennen hierbei Re(z = x den Realteil von
Mehrerfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl
Vorlesung 9 Komplexe Zahlen Die Gleichung x 2 = 1 ist in R nicht lösbar, weil es keine Zahl gibt, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Die Mathematiker erfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl i,
MehrMathematik = x 2 + x 2 = x + x 2 25x = 146 x =
1 Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 014 Mathematik 1 + Übung 1 Gleichungen mit Wurzeln Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Beachten Sie dabei, dass
MehrGeometrische Form des Additionstheorems
Geometrische Form des Additionstheorems Jae Hee Lee 29. Mai 2006 Zusammenfassung Der Additionstheorem lässt sich mithilfe des Abelschen Theorems elegant beweisen. Dieser Beweis und die Isomorphie zwischen
Mehr8 Die Riemannsche Zahlenkugel
8 Die Riemannsche Zahlenkugel Wir untersuchen zunächst Geraden- und Kreisgleichungen in der komplexen Ebene C = R 2. Geradengleichungen Die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei Punkte z 1 z 2
MehrGrundlagen komplexe Zahlen. natürliche Zahlen
Grundlagen komplexe Zahlen Die Zahlenbereichserweiterungen von den natürlichen Zahlen hin zu den reellen Zahlen waren dadurch motiviert, bestimmte Rechenoperationen uneingeschränkt ausführen zu können.
MehrAufgaben zu Kapitel 7
Aufgaben zu Kapitel 7 1 Aufgaben zu Kapitel 7 Verständnisfragen Aufgabe 7.1 Bestimmen Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich D R und das zugehörige Bild der Funktionen f : D R mit den folgenden
MehrAUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE. von. Prof. Dr. H.-W. Burmann
AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE von Prof. Dr. H.-W. Burmann Bei den folgenden Aufgaben handelt es sich um Reste, die bei der Erstellung der Aufgabenblätter übriggeblieben sind. Der Schwierigkeitsgrad der
Mehr= 2 i 2= 2 2 i, z 4. = 1.5, z 8
Mathematik 1 - Übungsblatt 11 Aufgabe 1 (komplexe Zahlen) Gegeben sind folgende komplexe Zahlen in der Darstellung als Normalform mit Real- und Imaginärteil z=x i y - oder wegen der Vertauschbarkeit von
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1/60
MehrAufgaben zu Kapitel 20
Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w,, v v 2 w w 2 (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w, 3 v v 2 w w + v
MehrDieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit
Komplexe Zahlen Dieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit komplex gelesen werden. Allerdings ist diese Sichtweise nicht unbedingt
MehrSerie 8 - Parametrisierte Kurven
Analysis D-BAUG Dr Meike Akveld HS 05 Serie 8 - Parametrisierte Kurven Geben Sie für die folgenden Bewegungen eines Punktes jeweils eine parametrisierte Darstellung I [0, ] R xt, t yt an Lösung a Geradlinige
MehrKomplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015
Komplexe Zahlen Rainer Hauser Januar 015 1 Einleitung 1.1 Zahlen und Operationen auf Zahlen Addiert man mit Eins als erster gegebener Zahl beginnend sukzessive Eins zu einer bereits gefundenen Zahl, so
Mehr1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen
Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen
MehrKomplexe Zahlen und konforme Abbildungen
Kapitel 1 Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen 1.0 Geometrie der komplexen Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen, lässt sich mithilfe der bijektiven Abbildung C := {x + iy : x,y R}, C z = x + iy
Mehrkommt zur Kreisinversion eine Spiegelung des Punktes an der reellen Achse dazu. Die folgenden vier Eigenschaften gelten auch für diese Abbildung
1 3. Die Kreisinversion 3.1. Definition Die Abbildung 1 ordnet der Zahl das folgende Bild zu 1 1 1 1 1 Die Konstruktion des Bildpunkts besteht also aus zwei Schritten: Der Punkt wird in den Bildpunkt abgebildet,
MehrKapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C
Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0
MehrMusterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
Mehr4 Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes
4 Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes Satz 4. (Cauchysche Integralformel) Es sei f : U C komplex differenzierbar und a {z C; z z 0 r} U. Dann gilt f(a) = z z 0 =r z a dz. a z 0 9 Beweis. Aus dem
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) Wintersemester 2016/17 Kapitel 1: Zahlen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg http://fma2.math.uni-magdeburg.de:8001
MehrMathematik I. Vorlesung 9. Die eulersche Zahl e
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 9 Die eulersche Zahl e Wir besprechen eine Beschreibung der sogenannten eulerschen Zahl e. Lemma 9.1. Die Intervalle I n = [a n,b n ],
MehrAbitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln
Mehr6.1 Komplexe Funktionen
118 6 Funktionentheorie 6.1 Komplexe Funktionen Wir kennen die komplexen Zahlen als Erweiterung des Körpers der reellen Zahlen. Man postuliert die Existenz einer imaginären Größe i mit der Eigenschaft
MehrDr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1
.1 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen & Gleichungssysteme Quadratische und Gleichungen
MehrStefan Ruzika. 24. April 2016
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers
MehrUrs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2
Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4
MehrZusammenstellung aus ehemaligen DDR Prüfungsaufgaben (Aufgabe 6)
(Aufgabe 6) 0. Klasse Abschlussprüfungen Jahrgänge 970 99 Fach Mathematik Material für Fachberater, gedacht als Beispiele für die Aufgabe der neuen brandenburger Prüfungsaufgaben 970 6 a) Ermitteln Sie
Mehr2. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013. z 3 + 4z 2 + z 26 z 2. = z 2 + 6z i und 2
O. Alaya, S. Demirel M. Fetzer, B. Krinn M. Wied. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 0/0 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 4. Komplexe
MehrLeitfaden t=0 a tz t, mit a n 0. Es ist a 0 = f(0) 0. f(z)). Wir suchen also ein c mit f(c) < 1. Sei 1 k < n minimal mit a k 0.
Leitfaden 10-10 10.5. Der Fundamentalsatz der Algebra. Wir beginnen mit folgendem wesentlichen Hilfssatz: Lemma (Argand, 1814). Sei f ein nicht-konstantes Polynom und b C. Ist f(b) 0, so gibt es b C mit
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1 Komplexe Zahlen Das Auffinden aller Nullstellen von algebraischen Gleichungen ist ein Grundproblem, das in der Physik
Mehr29 Komplexe Zahlen und Polynome
29 Komplexe Zahlen und Polynome 30 Komplexe Zahlen und Polynome 147 Lernziele: Konzepte: Komplexe Zahlen Resultate: Fundamentalsatz der Algebra Methoden: Polarkoordinaten Kompetenzen: Lösung kubischer
Mehr13. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. H.-D. Alber Dr. N. Kraynyukova Dipl.-Ing. A. Böttcher WS / 3. Januar 3. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Gruppenübung Aufgabe
Mehr13 Die trigonometrischen Funktionen
13 Die trigonometrischen Funktionen Wir schreiben die Werte der komplexen Exponentialfunktion im Folgenden auch als e z = exp(z) (z C). Geometrisch definiert man üblicherweise die Werte der Winkelfunktion
MehrDie komplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen
2 Komplexe Zahlen 2.1 Definition Die omplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen z 1 + z 2 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) :=
MehrMengen, Relationen, Abbildungen A B = A B. Schreiben Sie die unten dargestellte Relation als Teilmenge von A B.
Aufgabensammlung zum Vorkurs in Mathematik Thomas Püttmann Mengen, Relationen, Abbildungen Aufgabe : Verdeutlichen Sie das Distributivgesetz und das Gesetz von De Morgan durch Mengendiagramme. A (B C)
Mehr1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:
1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen
MehrÜbungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15
5. Es sei Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 5 f(x, y) : x y, : x, y, x + y, y x. erechnen Sie f(x, y) d. Wir lösen diese Aufgabe auf zweierlei Art. Zuerst betrachten wir das Gebiet
MehrKapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz Ziel dieses Kapitels: die Untersuchung der Lösbarkeit der Kongruenzgleichung X also die Frage, ob die ganze Zahl Z eine Quadratwurzel modulo P besitzt. Im
MehrVorbereitungsaufgaben zur Klausur Mathematik I für Studierende des Studienganges Elektrotechnik und Informationssystemtechnik
Vorbereitungsaufgaben zur Klausur Mathematik I für Studierende des Studienganges Elektrotechnik und Informationssystemtechnik (Aufgaben aus Klausuren). Bestimmen und skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene
MehrFerienkurs Analysis 1. Tag 2 - Lösungen zu Komplexe Zahlen, Vollständige Induktion, Stetigkeit
Ferienurs Analysis Tag - Lösungen zu Komplee Zahlen, Vollständige Indution, Stetigeit Pan Kessel 4.. 009 Inhaltsverzeichnis Komplee Zahlen. Darstellung einer ompleen Zahl.....................................
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrMenge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a
Komplexe Zahlen. Bedarfsfrage Menge der natürlichen Zahlen = {,, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a (Peano-Axiome). Erweiterung: Menge der ganen Zahlen = {..., -3, -, -, 0,,, 3,...} a +
Mehr3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen 3.1. Polarkoordinaten 1) Rechtwinklige und Polarkoordinaten Üblicherweise gibt man die Koordinaten eines Punktes in der Ebene durch ein Zahlenpaar vor: P(x
Mehr= 11 ± 5, also k 1 = 3 und k 2 = 8.
Stroppel Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R R: x x e x. (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle x R und alle k N gilt: f (k) (x) = ( ) k (x kx+(k
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 15 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
MehrETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld
ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,
MehrSerie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 05 Serie 4. Finden Sie die lokalen Extrema der Funktionen f : R R auf dem Einheitskreis S = {x, y R : x + y = } und geben Sie an, ob es sich um ein lokales Minimum
Mehr