Kapitel 4. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben

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1 Kapitel 4 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 4. Bestimmen Sie ein Polynom vom Grad 3, das die folgenden Werte annimmt 0 p) 3 3 Aufgabe 4. Jede Nullstelle ˆ eines Polynoms p mit p) = a 0 + a a n n a n = 0) lässt sich abschätzen durch ˆ < a 0 + a a n. a n Zeigen Sie diese Aussage, indem Sie die Fälle ˆ < und ˆ getrennt betrachten. Aufgabe 4.3 Verwenden Sie die charakterisierende Ungleichung 4.4) zur Eponentialfunktion, um zu entscheiden, welche von den beiden Zahlen π e oder e π die größere ist. Aufgabe 4.4 Begründen Sie die Monotonie der Logarithmusfunktion, das heißt, es gilt ln <ln y Aufgabe 4.5 Zeigen Sie, dass log 3 irrational ist. Rechenaufgaben für 0 <<y. Aufgabe 4.6 Entwickeln Sie das Polynome p um die angegebene Stelle 0, das heißt, finden Sie die Koeffizienten a j zur Darstellung p) = n j=0 a j 0 ) j, a) mit p) = und 0 =, b) mit p) = und 0 =. Aufgabe 4.7 Zerlegen Sie die Polynome p, q, r : R R in Linearfaktoren: p) = 3 q) = r) = Aufgabe 4.8 Betrachten Sie die beiden rationalen Funktionen f : D f R und g : D g R, die durch f)= 3 +, g) = definiert sind. Geben Sie die maimalen Definitionsbereiche D f R und D g R an und bestimmen Sie die Bildmengen fd f ) und gd g ). Auf welchen Intervallen lassen sich Umkehrfunktionen zu diesen Funktionen angeben? Aufgabe 4.9 Berechnen Sie folgende Zahlen ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners: mit >0. e 3ln4, log 4e ) ln, e +) 4 e

2 Aufgaben zu Kapitel 4 4 Aufgabe 4.0 Vereinfachen Sie für,y,z > 0 die Ausdrücke: a) ln) + lny) ln z ln 4 b) ln y ) ln y)) c) ln 3 ) ln 3 4 ) Aufgabe 4. Der Tangens hyperbolicus ist gegeben durch tanh = sinh cosh. Verifizieren Sie die Identität tanh = sinh cosh +. Begründen Sie, dass für das Bild der Funktion gilt Zeigen Sie, dass durch tanhr) [, ]. artanh = ) + ln. die Umkehrfunktion artanh: [, ] R, der Areatangens hyperbolicus Funktion gegeben ist. Aufgabe 4. Bei einer der beiden Identitäten ) sin + y)sin y und = sin + y) 4 sin) 4 siny) cos3 + y)) = 4 cos 3 + y) 3 cos cos y 3 sin sin y hat sich ein Druckfehler eingeschlichen. Finden Sie heraus bei welcher, und korrigieren Sie die falsche Gleichung. Aufgabe 4.3 Zeigen Sie die Identitäten cosarcsin)) = und sinarctan)) = +. Anwendungsprobleme Aufgabe 4.4 Skizzieren Sie grob ohne einen grafikfähigen Rechner die Graphen der folgenden Funktionen: f ) = + ), f ) = + f 3 ) = 3, f 4 ) = e f 5 ) = sin3 π), f 6 ) = /ln)) Aufgabe 4.5 Die Lichtempfindlichkeit von Filmen wird nach der Norm ISO 5800 angegeben. Dabei ist zum einen die lineare Skala ASA American Standards Association) vorgesehen, bei der eine

3 4 Hinweise zu Kapitel 4 Verdoppelung der Empfindlichkeit auch eine Verdoppelung des Werts bedeutet. Zum anderen gibt es die logarithmische DIN-Norm, bei der eine Verdoppelung der Lichtempfindlichkeit durch eine Zunahme des Werts um 3 Einheiten gegeben ist. So finden sich auf Filmen Angaben wie 00/ oder 00/4 für die ASA und DIN Werte zur Lichtempfindlichkeit. Finden Sie eine Funktion f : R >0 R mit f) =, die den funktionalen Zusammenhang des ASA Werts a zum DIN Wert fa)gerundet auf ganze Zahlen) beschreibt. Aufgabe 4.6 Wenn sich zwei Schwingungen mit gleicher Amplitude und relativ ähnlichen Frequenzen überlagern, spricht man in der Akustik von einer Schwebung. a) Zeichnen Sie den Graphen einer Schwebung f : R R mit f)= sinπω t) + sinπω t) und ω =.9, ω =. im Intervall [ 0, 0] mithilfe eines grafikfähigen Rechners. b) Verwenden Sie Additionstheoreme, um die sich einstellende sogenannte mittlere Frequenz der Überlagerungsschwingung zu ermitteln. Die Amplitude dieser Schwingung variiert mit der sogenannten Schwebungsfrequenz. Geben Sie auch diesen Wert an und tragen Sie die zu dieser Frequenz gehörende Wellenlänge am Graphen ab. Hinweise Verständnisfragen Aufgabe 4. Einsetzen der angegebenen Stellen in einen Ansatz der Form p) = a 0 + a + a + a 3 3 liefert die Koeffizienten. Aufgabe 4. Setzen Sie eine Nullstelle ˆ ins Polynom ein und vergessen Sie nicht die Identität a n a n =. Aufgabe 4.3 Setzen Sie = π e in die Ungleichung ein. Aufgabe 4.4 Nutzen Sie sowohl die Abschätzung ln z z für eine geeignete Zahl z>0als auch die Funktionalgleichung des Logarithmus. Aufgabe 4.5 Für n, m N ist n gerade, aber 3 m ungerade. Rechenaufgaben Aufgabe 4.6 Ersetzen Sie = 0 ) + 0. Aufgabe 4.7 Auswerten der Polynome an Stellen wie 0,, und/oder quadratische Ergänzung liefert Nullstellen. Durch Polynomdivision lassen sich die Polynome dann in Faktoren zerlegen. Aufgabe 4.8 Für die Definitionsbereiche bestimme man die Nullstellen der Nenner. Außerhalb dieser Nullstellen müssen wir versuchen die Gleichungen y = f) bzw. y = g) nach aufzulösen, um die Bildmengen und die Umkehrfunktionen zu bestimmen. Aufgabe 4.9 Nutzen Sie die Funktionalgleichung der Eponentialfunktion und/oder des Logarithmus und die Umkehreigenschaften der beiden Funktionen. Aufgabe 4.0 Verwenden Sie die Funktionalgleichung des Logarithmus. Aufgabe 4. Verwenden Sie die Definitionen von sinh und cosh und binomische Formeln.

4 Lösungen zu Kapitel 4 43 Aufgabe 4. Verwenden Sie die Folgerungen aus den Additionstheoremen in der Übersicht zu den Eigenschaften von sin und cos. Aufgabe 4.3 Verwenden Sie in beiden Fällen die Beziehung sin + cos = und die Umkehreigenschaft der jeweiligen Arkus-Funktion. Anwendungsprobleme Aufgabe 4.4 Berücksichtigen Sie die Transformationen wie sie etwa in der Übersicht auf Seite 9 aufgelistet sind. Aufgabe 4.5 Bestimmen Sie aus den Angaben zur Verdoppelung der Lichtempfindlichkeit und der Funktionalgleichung des Logarithmus eine Basis b für die Funktion f)= log b + c. Aufgabe 4.6 Verwenden Sie ein passendes Additionstheorem, um die Summe als Produkt zu schreiben und interpretieren Sie die entsprechenden Frequenzen. Lösungen Verständnisfragen Aufgabe 4. p) = Aufgabe 4. Aufgabe 4.3 e π >π e. Aufgabe 4.4 Aufgabe 4.5 Rechenaufgaben Aufgabe 4.6 a) p) = ) 3 + ) 3 ) b) p) = + ) 4 + ) 3 + ) + 8. Aufgabe 4.7 p) = + ) + ) 5) ) 5) q) = ) + ) 3) r) = ) 3 + ) + 3 ) 3 ) Aufgabe 4.8 Die Funktion f besitzt den Wertebereich fd f ) = R und folgende Umkehrfunktionen lassen sich angeben: Für f : R > R mit f y) = y + y + 4) und für f : R < R mit f y) = y y + 4). Die Funktion g besitzt den Wertebereich fd g ) = R < 3 3 R > und als Umkehrfunktionen

5 44 Lösungswege zu Kapitel 4 lassen sich angeben: g : R < 3 3 R < 3 mit g y) = y y + 6y 3, g : R < 3 3 R 3, ) mit g y) = y + y + 6y 3, g : R > 3+ 3 R, + 3) mit g y) = y y + 6y 3 und g : R > 3+ 3 R > + 3 mit g y) = y + y + 6y 3. Aufgabe 4.9 8,, e 4 Aufgabe 4.0 a) ln y z Aufgabe 4. ), b) ln + y) ln, c) ln. Aufgabe 4. Bei der zweiten Gleichung ist ein Vorzeichen nicht korrekt. Es muss lauten: cos3 + y)) = 4 cos 3 + y) 3 cos cos y + 3 sin sin y Aufgabe 4.3 Anwendungsprobleme Aufgabe 4.4 Aufgabe 4.5 f)= log b + = 3ln ln + mit b = 3. Aufgabe 4.6 Die Schwebung ist gegeben durch sinπω t) + sinπω t) = cos ) π 0 t sin 4πt). Lösungswege Verständnisfragen Aufgabe 4. Wir machen den Ansatz p) = a 0 + a + a + a 3 3 mit noch zu bestimmenden Koeffizienten a 0,...,a 3 R. Setzen wir die angegebenen Werte ein, so ergeben sich vier lineare Gleichungen für die Koeffizienten: a 0 a + 4a 8a 3 = 3 a 0 a + a a 3 = a 0 = a 0 + a + a + a 3 = 3. Gesucht ist also eine Lösung dieses linearen Gleichungssystems. Aus der dritten Gleichung lesen wir a 0 = ab. Setzen wir a 0 = im Gleichungssystem ein, um diesen Koeffizienten zu eleminieren und addieren wir die zweite zur vierten Gleichung so ergibt sich a + 4a 8a 3 = a + a a 3 = 0 a 0 = a = 4.

6 Lösungswege zu Kapitel 4 45 Also muss a = gelten. Für die beiden übrigen Koeffizienten eleminieren wir a und bekommen a 8a 3 = 0 a a 3 = a 0 = a =. Ziehen wir nun etwa das Doppelte der zweiten Zeile von der ersten ab, so folgt 6a 3 = 6 a a 3 = a 0 = a = und wir lesen die gesamte Lösung des Systems mit a 0 =, a =, a = und a 3 = ab. Das gesuchte Polynom, dass die angegebenen Werte annimmt, lautet p) = Bemerkung: In der Anwendung zur Polynom-Interpolation wird aufgezeigt, wie man solche sogenannten Interpolationsaufgaben bei Polynomen effektiver lösen kann Aufgabe 4. Wenn ˆ < gilt, so folgt die Abschätzung aus = a n a n a 0 + a a n a n. Im Fall, dass ˆ ist, nutzen wir, dass ˆ Nullstelle des Polynoms ist, d. h. a 0 + a ˆ a n ˆ n = 0. Da a n ˆ n = 0 gilt, können wir die Gleichung durch diesen Faktor dividieren und erhalten ˆ = a 0 + a ˆ a n ˆ n a n ˆ n. Mit der Dreiecksungleichung folgt: ˆ = a 0 + a ˆ a n ˆ n a n ˆ n a 0 a n ˆ n + a a n ˆ n a n a n a 0 + a a n a n < a 0 + a a n a n Aufgabe 4.3 Aus der charakterisierenden Ungleichung folgt e π e > + π e = π e. Also ist e π e >π Potenzieren wir die letzte Ungleichung mit e, so folgt die gesuchte Relation e π >π e. Aufgabe 4.4 Es gilt mit den charakterisierenden Eigenschaften des Logarithmus für,y > 0 die Abschätzung y ln = ln ln y. y

7 46 Lösungswege zu Kapitel 4 Es folgt mit <ybzw. /y < die Abschätzung ln ln y + y < ln y. }{{} <0 Aufgabe 4.5 Angenommen die Zahl log 3) ist rational. Dann gibt es ganze Zahlen m, n Z mit n = 0 und log 3) = ln ln 3 = m n bzw. n ln 3 = m ln. Wir wenden die Eponentialfunktion auf diese Gleichung an. Es folgt 3 n = m. Dies ist aber ein Widerspruch, denn. im Fall n, m > 0 ist die linke Seite eine ungerade und die rechte Seite eine gerade Zahl,. im Fall n>0 und m 0 ist 3 n > m, 3. im Fall n<0 und m 0 ist 3 n < m, 4. im Fall m, n < 0 bilden wir die Kehrwerte und erhalten wieder den Widerspruch wie im ersten Fall. Rechenaufgaben Aufgabe 4.6 a) Mit = ) + gilt: p) = ) + ) 3 ) + ) 4 ) + ) + = ) ) + 3 ) + ) ) 4 ) 4 + = ) 3 + ) 3 ) b) Im zweiten Beispiel ersetzen wir = + ) und erhalten: Aufgabe 4.7 p) = + ) ) ) ) ) ) = + ) ) ) 3 + ) ) ) ) ) 40 + ) + 40 = + ) 4 + ) 3 + ) + 8 Durch Einsetzen lässt sich leicht die Nullstelle ˆ = des Polynoms p sehen. Also berechnen wir: 3 = + ) ) Die Nullstellen des quadratischen Terms bestimmen wir durch quadratische Ergänzung aus 0 = = ) 5 4.

8 Lösungswege zu Kapitel 4 47 Also sind + 5)/ und 5)/ weitere Nullstellen. Insgesamt ergibt sich die Faktorisierung p) = + ) + ) 5) ) 5). Durch Austesten findet sich etwa die Nullstelle ˆ =. Somit bestimmen wir mit einer Polynomdivision: = ) ) Das verbleibende kubische Polynom hat nochmal ˆ = als Nullstelle. Wir berechnen also: Mit der weiteren Zerlegung ergibt sich insgesamt = ) 6) = 3) + ) q) = ) + ) 3). Mit der Substitution u = ergibt sich eine quadratische Gleichung für u. Mit quadratischer Ergänzung sehen wir u 6u + 7 = u 3). Also sind durch u = 3 ± die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung gegeben. Für die vier Nullstellen des Polynoms r folgt somit ˆ j =± 3 ±. Die gesuchte Faktorisierung lautet: r) = ) 3 + ) + 3 ) 3 ) Aufgabe 4.8 Der Definitionsbereich zu f ist gegeben durch D f = R\{±}. Weiter gilt für y = f)mit D f die Gleichung y = ) = + ).

9 48 Lösungswege zu Kapitel 4 Ausmultipizieren dieser Identität führt auf + y y = 0, bzw. mit quadratischer Ergänzung auf + y ) = y + y ) = + 4 y. Da die rechte Seite für alle y R positiv ist, erhalten wir für f : R < R eine Umkehrfunktion f : R R < mit f y) = y y + 4). Eine weitere Umkehrfunktion ist gegeben für f : R > \{} R\{3/} mit f y) = y + y + 4), wobei wegen des Ausschlusses von = im Definitionsbereich von f im Definitionsbereich der Umkehrfunktion f : R\{3/} R > die Stelle y = 3/ auszuschließen ist. Der Umgang mit der Stelle = ist zwar korrekt, wirkt an dieser Stelle aber künstlich, da sich die Funktion im Punkt = stetig und umkehrbar stetig fortsetzen lässt ein Begriff, den wir später noch diskutieren. Für den Definitionsbereich gilt D g = R\{ }. Setzen wir y = für =, so folgt + y ) = 4 y + 6y 3). Nun müssen wir den quadratischen Term auf der rechten Seite untersuchen. Mit y + 6y 3 = y + 3) wird deutlich, dass der Ausdruck nur für y> und für y< 3 3 positiv ist. Somit gilt für den Wertebereich W g R\ 3 3, 3 + 3). Auf der Menge W g kommen zwei Kandidaten als Umkehrfunktionen in Betracht, nämlich = y ± y + 6y 3. 4.) Mit Methoden der Differenzialrechnung lassen sich Etrema und das Monotonieverhalten untersuchen, sodass die entsprechenden Definitions- und Wertebereiche für die Umkehrung relativ leicht zu ermitteln sind. Wir versuchen diese Mengen ohne dieses Kalkül zu ermitteln. Offensichtlich sind die Nullstellen y = und y = 3 3 des quadratischen Ausdrucks unter der Wurzel entscheidend. Die zugehörigen Werte, mit f j ) = y j sind = + 3 und = 3. In einer kleinen Umgebung um muss g) y = gelten und analog in einer kleinen Umgebung um ist g) y = 3 3. Nun können wir wie folgt argumentieren: Für einen wachsenden Wert y>y muss die Umkehrfunktion fallen auf dem Zweig mit [, + 3]. Dies lässt sich nur mit dem negativen Vorzeichen im Ausdruck 4.) erreichen. Bei positivem Vorzeichen steigt der Wert des Ausdrucks und wir sind offensichtlich im Bereich + 3. Analog behandeln wir die kritische Stelle mit und y. Hier sind in einer Umgebung die Funktionswerte alle kleiner als y. Mit fallendem y < y kann der Ausdruck 4.) aber nur ansteigen, wenn die stets positive Quadratwurzel addiert wird, also gilt auf diesem Zweig das positive Vorzeichen und für < 3 das negative Vorzeichen.

10 Lösungswege zu Kapitel 4 49 Mit diesen Überlegungen erhalten wir die Umkehrfunktionen g : R < 3 3 R < 3 mit g y) = y y + 6y 3 g : R < 3 3 R 3, ) mit g y) = y + y + 6y 3 g : R > 3+ 3 R, + 3) mit g y) = y y + 6y 3 g : R > 3+ 3 R > + 3 mit g y) = y + y + 6y 3 für die entsprechenden Zweige der Funktion g. Aufgabe 4.9 Es gilt Weiter berechnen wir e 3ln4 = e ln 4) 3 = 4 3 = 3 = 8. log 4e ) ln = ln4e ) ln Für das letzte Beispiel ergibt sich: e +) 4 e = ln = ln ln ) ln4e ) ln 4 + lne )) = ln + ) =. ln = e +) 4 = e = e 4. Aufgabe 4.0 Mit der Funktionalgleichung lnab) = lna) + lnb) bzw. ln a b ) = lna) lnb) folgt im Fall a) ln) + lny) ln z ln 4 = ln + ln + ln + ln y ln z ln = ln + ln y ln z = ln y z ). ) Weiter gilt für b) ln y ) ln y)) = ln + y) y)) ln ln y) = ln + y) ln.

11 50 Lösungswege zu Kapitel 4 Für Teil c) ergibt sich ln 3 ) ln 3 4 ) = 3 ln + 4 ln = ln. 3 Aufgabe 4. Die Identität erhalten wir aus der Definition der hyperbolischen Funktionen und den binomischen Formeln durch sinh cosh + = e e ) e + e ) + = e e ) e + e ) + = e e )e + e ) e + e ) = e e e + e = sinh cosh = tanh. Da e > 0 für alle R gilt, folgt sinh = e e e + e = cosh für alle R. Weiter gilt e und e 0, ) für >0. Also folgt die Abschätzung für alle 0. 0 tanh = e e e + e Aus der Symmetrie tanh ) = tanh) folgt nun weiterhin für <0. Also ist tanh, ) für alle R. tanh 0 Durch Einsetzen zeigen wir die Umkehreigenschaft. Wir berechnen für, ) tanh ln )) + = e = + ln e + ln e + ln + + e ln + + = + ) = = + ) ) + ) + ) + ) = 4 4 =.

12 Lösungswege zu Kapitel 4 5 Andererseits folgt ) + tanh) ln = tanh) ln + e e e +e e e e +e = e ln e = ln e =. ) Also ist mit artanh) = ln +, dem Areatangens hyperbolicus, die Umkehrfunktion zu tanh gegeben. Aufgabe 4. Mit den Additionstheoremen siehe Übersicht zu sin und cos) erhalten wir die Identitäten ) sin + y)sin y ) cos y) = sin + y) = sin + y) sin + y)cos y) = sin + y) sin + sin y) 4 und cos 3 + y) 4 cos 3 + y) ) + cos + y)) = cos3 + y)) 4 cos + y) = cos3 + y)) cos + y) cos + y))cos + y) = cos3 + y)) cos + y) cos + y) + y)) cos + y) + + y)) = 3cos + y) = 3cos cos y sin sin y). Somit ist die erste Gleichung richtig und bei der zweiten Identität ist ein Vorzeichen falsch. Die korrigierte Gleichung lautet: cos3 + y)) = 4 cos 3 + y) 3 cos cos y + 3 sin sin y. Aufgabe 4.3 Mit dem Additionstheorem sin + cos = folgt für [, ]: cos arcsin)) = cos arcsin)) + sin arcsin)) sin arcsin)) = sin arcsin)) =.

13 5 Lösungswege zu Kapitel 4 Im zweiten Beispiel erhalten wir die Gleichung aus: sin sin arctan)) arctan)) = cos arctan)) + sin arctan)) = sin arctan)) cos arctan)) + sin arctan)) cos arctan)) = tan arctan)) + tan arctan)) = +. Ziehen wir die Wurzel, so ergibt sich die angegebene Identität. Für die Erweiterung des Bruches ist der Wertebereich π/,π/) des Arcustangens zu beachten, sodass stets cosarctan)) = 0 gilt. Anwendungsprobleme Aufgabe 4.4 Wir machen den Gedankengang beim Skizzieren des Graphen zu f deutlich. Zunächst erinnern wir uns an die Normalparabel, also den Graphnen zu f)=. Wegen des Terms +) wird dieser Graph um nach links!) verschoben. Außerdem wird noch abgezogen, sodass der Graph um diesen Wert nach unten zu verschieben ist. Insgesamt erhalten wir die schwarze Kurve als Graph zu f siehe Abbildung 4.37). f + ) + ) Abbildung 4.37 Wir stellen auch in den weiteren Bildern Möglichkeiten dar, schrittweise die endgültigen Graphen aus einem bekannten Graphen zu skizzieren siehe Abbildungen ).

14 Lösungswege zu Kapitel 4 53 f + ) Abbildung 4.38 f 6 =3 Abbildung 4.39 f 4 e e e Abbildung 4.40

15 54 Lösungswege zu Kapitel 4 f 5 sin3 π) sin3) sin π π π π sin3 π) Abbildung 4.4 f 6 ln) ln ln) Abbildung 4.4 Aufgabe 4.5 Für die gesuchte Funktion f : > 0 R machen wir den Ansatz f) = log b + c mit noch zu bestimmenden Konstanten b, c R Der Tet besagt, dass bei Verdoppelung des Arguments der Funktionswert sich um 3 erhöht, das heißt, f) = log b ) + c = f)+ 3 = log b ) + c + 3. Somit ergibt sich zur Bestimmung von b die Gleichung bzw. ln) + ln) lnb) = ln) lnb) + 3 lnb) = 3 ln). Es folgt b = 3. Mit der Bedingung f) = ergibt sich weiterhin c = und wir erhalten die Funktion f)= log b + = 3ln ln + mit b = 3.

16 Lösungswege zu Kapitel 4 55 Aufgabe 4.6 a) Der Graph dieser Funktion ist im folgenden Bild gezeigt. f) Mit den Additionstheoremen schreiben wir die Summe der beiden Schwingungen zu sinπω t) + sinπω t) = cos π ω ω t = cos π 0 t = cos π 0 t ) sin ) sin 4πt) ) sin 4πt). π ω ) + ω t An dieser Darstellung ist ersichtlich, dass sich eine mittlere Frequenz mit ω m = ω + ω )/ einstellt. Zusätzlich variiert die Amplitude der Schwingung mit der Schwebungsfrequenz ω s = ω ω =0., wegen der Kosinusfunktion als Faktor.