10. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Exponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen.

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1 IV Umkehrfunktion Umkehrbarkeit 0. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Eponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen. f f -> 2 2 -> 2 -> - - -> 2 4 -> -> 4 Graphen zeichnen mit verschiedenen Farben. Die - und y-werte vertauschen ihre Stellung, die Graphen liegen symmetrisch zur Winkelhalbierenden des. und 3. Quadranten. Zwei Kriterien für Umkehrbarkeit sin zeichnen, spiegeln, erkennen, dass die Umkehrabbildung keine Funktion ist. Notwendig und hinreichendes Kriterium Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn nicht nur zu jedem -Wert ein y-wert eistiert (das ist bei jeder Funktion so!), sondern auch zu jedem y-wert ein -Wert. Hinreichend, aber nicht notwendig Eine streng monotone Funktion ist immer umkehrbar. Am Beispiel: () f: -> ²; Df = - ; Wf = + f : -> Wurzel ; Df- = + ; Wf -= - Wie findet man f -? D und W werden vertauscht. Funktionsterm: In der Funktionsgleichung von f vertauscht man und y und löst danach nach y auf. Hier: aus y = ² wird = y² mit den Möglichkeiten y = ± ; in unserem Fall ist - zu wählen. Kein f -, wenn hier Df =. 26

2 2 (2) f: -> ; Df = [0; 3]; Wf = [-2; 0,25] (f ist streng monoton im Intervall, wie man aus der + ( + ) ( 2) Ableitung > 0 und der Stetigkeit schließen kann). ( + )² Df- = [-2; 0,25]; Wf- = [0; 3] 2 y Mit y = wird = und umgeformt y = + y f - : -> ( + 2)/( ) Aufgaben S

3 2 Logarithmusfunktion als Umkehrung der Eponentialfunktion Aufgrund ihrer strengen Monotonie ist jede Eponentialfunktion umkehrbar. Beispiele:. f: -> 2. f - : -> log f: -> e. f - : -> log e := ln Definition: Logarithmus von zur Basis b:. = b y y = logb + + Für IR und b IR \{} ist der Logarithmus logb zur Basis b diejenige Hochzahl, mit der man b potenzieren muss, um zu erhalten. 2. Der Logarithmus von zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus ln. Beispiele für das Rechnen mit Logarithmen: log3 9 = 2 log7 = 0 logb( 4 )= - ¼ b log2 ( 2) n. def log2 6 = -4 log5 0,05 = -2 log8 0,25 = -2/3, weil 8 k = 0,25 <=> 2 3k = 2-2 => 3k = -2 => k = -2/3 Eine Besonderheit a = b = logab a log a b = b log 5 z.b. 2 2 = 5 logisch: Wenn man 2 mit dem Eponenten, mit dem man 2 potenzieren muss, um 5 zu erhalten, wirklich potenziert, erhält man natürlich 5. 28

4 3 Nachtrag zu III: Ableitung der allgemeinen Eponentialfunktion Mit 2. ist es nun möglich, die Ableitung einer beliebigen Eponentialfunktion zu bestimmen. Nach den vorhergehenden Betrachtungen gilt z.b. 5 = log 5 ( 2 ) 2 Mit dem Ansatz lna (lna) ( e ) e a = = folgt für die Ableitung der Funktion f: -> a f () = e ln a ln a (Kettenregel) = a ln a Zusammenfassung der Ableitungsregeln für Eponentialfunktionen: f() = f () = e ae k a = e ln a e ake k e lna ln a = a ln a 29

5 4 Ableitung von Funktion und Umkehrfunktion Zwischen der Ableitung einer Funktion f und der zugehörigen Umkehrfunktion f - bestehen Beziehungen, die es erlauben, aus der Kenntnis der Ableitung von f die Ableitung f - zu bestimmen. Zur Vorbereitung In welchem Zusammenhang stehen die Steigungen zweier Geraden g und g2, die symmetrisch zur Geraden y = verlaufen? y y g y = Man erkennt den Zusammenhang sofort, wenn man zwei Steigungsdreiecke einzeichnet, die symmetrisch zueinander liegen. Es gilt: m = y ; m2 = y 2 2 y2 g Es gilt: = y2 ; 2 = y (Symmetrie!) 2 d.h. m2 = y = m Achtung, Verwechslungsgefahr: Für zwei aufeinander senkrecht stehende Geraden gilt m2 = m Lösung des Ausgangsproblems Das Ergebnis lässt sich unmittelbar zur Lösung unseres Problems verwenden. Tangeten von Funktionen und zugehörige Umkehrfunktionen liegen nämlich ebenso symmetrisch zu y =. f und (f ) geben dann die Tangentensteigungen an. (f - ) (0) = = fʹ( ) fʹ(f ( 0 )) (weil = y0 = f - (0)) y Gf- tf- y = oder allgemein für (f - ) () = fʹ(f ()) f - (0) P0 (0,y0) tf P (,y) Gf 0 = f - (0) 30

6 Anwendungsbeispiele a) f() = ²; f - () = (für > 0!) Angenommen, wir kennen (f - ) nicht. Es gilt: f () = ²; f () = 2; = fʹ() f - () = (f - ) () = 2 b) Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f() = e, f () = e ; = fʹ() e f - () = ln, (f - ) () = = ln e Ergebnis: f () = ln => f () = 2 Mit diesem Ergebnis schließt sich eine Lücke in unseren bisherigen Überlegungen: Schon früher haben wir nämlich nach einer Funktion mit der Ableitung gefahndet: Das Integral n d konnte für n = - nicht ermittelt werden. Jetzt wissen wir: d = d = ln + c Wegen ln = 0 gilt: d = ln (Beispiele hierzu später!) Die Ableitungen der Logarithmusfunktionen mit beliebiger Basis ergeben sich folgendermaßen: ln Es gilt: f () = logb = fʹ() =, b > 0; b ln b ln b 3