HTBLA VÖCKLABRUCK STET

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1 HTBLA VÖCKLABRUCK STET

2 Logrithmus 2 INHALTSVERZEICHNIS 1. BEGRIFF DES LOGARITHMUS RECHENGESETZE FÜR LOGARITHMEN LOGARITHMUSGLEICHUNGEN LOGARITHMUSFUNKTION DER ZUSAMMENHANG VERSCHIEDENER LOGARITHMENSYSTEME... 9 HTBLA Vöcklbruck - STET

3 Logrithmus 3 1. BEGRIFF DES LOGARITHMUS Bsp.: 2 x 12 Löse nch x uf! Rechne: < x < 4 Durch Probieren: 2 3,585 12,0003 Stz: Die Gleichung x b ( R + \ {1}, b R + ) besitzt in R genu eine Lösung. Def.: Die Lösung der Gleichung x b ( R + \ {1}, b R + ) in R nennt mn den Logrithmus von b zur Bsis. Def.: Der Logrithmus von b zur Bsis ist jener Exponent, mit dem mn potenzieren muß, um b zu erhlten ( R + \ {1}, b R + ). Es gilt: x b logb x log 1 1 log 1 log 1 0 log 1 log( ) n n HTBLA Vöcklbruck - STET

4 Logrithmus 4 Bechte: Logrithmen sind Hochzhlen Von negtiven Zhlen und der Zhl 0 gibt es im Sinne der vorherigen Definition keine Logrithmen in R. Wir betrchten die Gleichung b c: Sind, b gegeben ( R +, b R ) und soll c ermittelt werden, hndelt es sich lso um ds Auflösen der Gleichung b x, so erhält mn x durch Potenzieren. Sind b, c gegeben ( b N, c R + ) und soll die Bsis ermittelt werden, hndelt es sich lso um ds Auflösen der Gleichung x b c, so erhält mn x ( x R + ) durch Rdizieren: x b b c x c. Sind,c gegeben ( R + \{1}, c R + ) und soll der Exponent b ermittelt werden, hndelt es sich lso um ds Auflösen der Gleichung x c, so erhält mn x ( x R + ) durch Logrithmieren: x c x logc Mn sgt: Ds Potenzieren ht zwei Umkehrungen, ds Rdizieren und Logrithmieren. Bemerkung: Die Gesmtheit ller Logrithmen zur Bsis 10 nennt mn Zehnerlogrithmensystem oder dekdisches Logrithmensystem oder Briggs- Logrithmensystem. Schreibweise: 10 lg Die Gesmtheit ller Logrithmen zur Bsis e nennt mn ntürliches Logrithmensystem oder Neper-Logrithmensystem. Schreibweise: e x ln x Bsp.: 3 log 9? HTBLA Vöcklbruck - STET

5 Logrithmus 5 Bsp.: x log RECHENGESETZE FÜR LOGARITHMEN Es gilt: log( x y) + log( x y) r log ( x) r Bemerkung: Diese Rechenregeln ergeben sich us den Rechenregeln für Potenzen und gelten für lle Logrithmensysteme. Beweis: z.z. log( x y) + HTBLA Vöcklbruck - STET

6 Logrithmus 6 Beweis: z.z. log( x y) Beweis: z.z. r ( x) r log 3. LOGARITHMUSGLEICHUNGEN Def.: Eine Gleichung, in der der Logrithmus der Vriblen vorkommt, heißt Logrithmusgleichung. Bsp.: ln x 5 HTBLA Vöcklbruck - STET

7 Logrithmus 7 Bsp.: lg x lg 8 Bemerkung: Im llgemeinen müssen Logrithmusgleichungen durch numerische oder grphische Näherungsmethoden gelöst werden ( z. Bsp.: 3 ln x 2x -5). Wir beschränken uns uf Gleichungen, die mn uf den Grundtyp log x log b zurückführen knn. Es gilt: Für > 1, x > 0, b > 0: log x log b x b Bechte: Die Definitionsmenge von y log x ist R +. Die Definitionsmenge von y log x 2n ( n Z ) ist R\{0}. Die Definitionsmenge von y log x ist R\{0}. Bemerkung: Weil bei Umformungen keine Lösungen verlorengehen dürfen, muß 2n uf 2n umgeformt werden. Nur für x R + drf mn 2n sttt 2n setzen. Bsp.: 4 x 7 HTBLA Vöcklbruck - STET

8 Logrithmus 8 Bsp.: 6 x * 43 5 x+1 4. LOGARITHMUSFUNKTION Def.: Die Umkehrfunktion von y x ( > 1) heißt Logrithmusfunktion und wird mit bezeichnet. Zeichne : y ln x y lg x HTBLA Vöcklbruck - STET

9 Logrithmus 9 Eigenschften der Funktion : D R + W R y ist streng monoton steigend y x ist Umkehrfunktion von y Die y-achse ist Asymptote ller Logrithmuskurven 5. DER ZUSAMMENHANG VERSCHIEDENER LOGARITHMENSYSTEME Bsp.: 2 3y x 8 y x 3y 2 y 8 Zwischen dem Logrithmus zur Bsis 8 und dem Logrithmus zur Bsis 2 besteht somit die Beziehung: ( x R + ). Allgemein gilt: Zwischen dem Logrithmen einer Zhl x in zwei verschiedenen Systemen mit den Grundzhlen > 1 bzw. b > 1 besteht die Beziehung: logb b Beweis: HTBLA Vöcklbruck - STET

10 Logrithmus 10 Stz: Der Quotient der Logrithmen zweier Zhlen ht in jedem Logrithmensystem denselben Wert. b b lg x lg y ln x ln y lbx lby... Beweis: Bsp.: 5 log13? Berechnung mit TR: Formel: ln x ln log ln x ln ln13 Bsp.: 5 log13 1, 583 ln5 HTBLA Vöcklbruck - STET