Münchner Volkshochschule. Planung. Tag 04

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1 Plnung Tg 04 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 8

2 Logrithmen Die Eponentilgleichung = b;, b R + knn forml für durch den Logrithmus zur Bsis gelöst werden. b ( b) Numerus Bsis Argument Der Logrithmus von b zur Bsis bentwortet die Frge nch der Zhl, mit der mn die Bsis potenzieren muss, um b zu erhlten: ( b ) b Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 83

3 Logrithmen Es gelten die folgenden Logrithmus-Rechenregeln (, b, c, d R + ) ( b ) b n ( ) 1 (1) 0 ( ) n ( c y ) c d c d y ( c) ( c) ( c) ( d) ( d) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 84

4 Logrithmen Der Bsiswechsel bei Logrithmen: (, c, d R + ) ( c) d d ( c) ( ) z. B. : 8 18 = (18) 8 = 7 3 (Die Bsiswechseleigenschft ermöglicht es, genu einen Logrithmus (den Logrithmus Nturlis ) zu definieren und lle nderen von diesem bzuleiten.) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 85

5 Logrithmen Spezielle Logrithmen: - Der Logrithmus Nturlis : ln c e c (mit der Eulerschen Zhl: e, ) - Der dekdische Logrithmus: c lg c 10 (c) - Der Logrithmus Binäris : lb c ld c (c) (Auch Logrithmus Dulis gennnt.) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 86

6 Summen- und Produktzeichen Kurzschreibweisen für regelmäßig gebildete Summen oder Produkte. Summenzeichen n Produktzeichen i=1 n i n i=1 Σ: Sigm; griech. S für Summe Π: Pi; griech. P für Produkt i 1 n Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 87

7 Summen- und Produktzeichen Bezeichnungen und Sonderfälle: n i1 i Obergrenze (OG) i : Lufinde Untergrenze (UG) n i1 i Sonderfälle: 1) OG UG : ) OG < UG : 1 i1 n 1 i in i 1 : 0 1 i1 n 1 i in i 1 : 1 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 88

8 Themen Logik und Mengenlehre Zhlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zhlenfolgen und Konvergenz Differenzilrechnung Integrlrechnung Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 89

9 Terme und Gleichungen Vriblen Def.: Ein Zeichen, ds mn ls Pltzhlter für Zhlen oder Größen verwendet, nennt mn Vrible. Vereinbrung: Ist nichts weiter ngegeben, so sollen die Zhlenwerte für eine Vrible immer us gewählt werden. Innerhlb eines Rechenusdrucks muss mn beim Einsetzen gleiche Vriblen durch gleiche Zhlen ersetzen Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 90

10 Terme und Gleichungen Vriblen I Schon in der Antike rechnete mn mit Unbeknnten (Vriblen) (Brth: Anlysis 7) Erst um 50 n. Chr. km der griech. Mthemtiker Diophnt uf die Idee, für die unbeknnte Zhl eine Abkürzung einzuführen, nämlich ξ. Unsere heutige Bezeichnung,, geht uf den frnzösischen Mthemtiker Rene Descrtes zurück ( ) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 91

11 Übung: Vriblen Leon von Byznz (9.Jh.n.Chr.) htte ds folgende Gesetz gefunden: Gegeben seien die Zhlen, b, c. Ds Produkt us und b sei d, ds Produkt us b und c sei e, ds Produkt us und c sei f, ds Produkt us und e sei g, ds us b und f sei h, ds us c und d sei i. Ich behupte, dss die Zhlen g, h, i gleich sind. Schreiben Sie Leon s Behuptung nur mit den Buchstben, b und c unter Verwendung von Klmmern und Multipliktionspunkten, die Leon j noch nicht knnte. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 9

12 Terme und Gleichungen Terme Def.: Jede Zhl ist ein Term. Jede Vrible ist ein Term Summe, Produkt, Differenz und Quotient zweier Terme sind jeweils wieder ein Term. 1) ) z. B.: 3) 4) ) 6) 7) 8) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 93

13 Terme und Gleichungen Terme I Vereinbrungen: - Klmmern hben bsoluten Vorrng - Potenz- vor Punkt-, vor Strich-Rechnung - Bei einem Produkt drf vor einer Vriblen oder vor einer Klmmer der Multipliktionspunkt weggelssen werden. Bezeichnungen: z. B.: T( ) 5 Termwert T() T von Term Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 94

14 Terme und Gleichungen Terme II Def.: Definitionsmenge eines Terms Sei ein Term T mit R ls Grundmenge, gegeben. Dnn wird die folgende Menge ls mimle Definitionsmenge D m von T bezeichnet: D m R T R z. B. : T = 3 D m =] ; 3[ Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 95

15 Terme und Gleichungen Gleichungen: Def.: Eine Gleichung besteht us zwei Termen, welche durch ein Gleichheitszeichen miteinnder verknüpft sind und von denen mindestens einer mindestens eine Vrible enthält. z. B.: 4 Def.: Die Lösungsmenge einer Gleichung bezeichnet die Menge ller Zhlen, für welche die Gleichung whr ist. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 96

16 Übung: Gleichungen Ds Ppyrus beginnt mit den Worten: (Es folgen Divisionstbellen und 84 Aufgben.) Die folgenden Aufgben sind von dem Ppyrus: 1) Hufen, seine Hälfte zu ihm, es mcht 16 ) Hufen, sein viertel zu ihm, es mcht 15 3) Hufen, sein Fünftel zu ihm, es mcht 1. Ds Ppyrus von A.H.Rhind: Ägypten c v.chr. (von Apophis) Schreiben Sie jeweils die Bestimmungsgleichung für uf und die Lösungsmenge. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 97

17 Terme und Gleichungen Gleichungstypen (mit einer Vriblen): 1) Linere Gleichungen ( tucht mind. einml ber höchsten mit der Potenz 1 uf) z. B.: ) Qudrtische Gleichungen ( tucht mind. einml ber höchsten mit der Potenz uf) z. B.: (6 3) 5 3) Kubische Gleichungen ( tucht mind. einml ber höchsten mit der Potenz 3 uf) z 3. B.: (6 3) 5 4) Höhere (lgebrische) Polynomgleichungen ( tucht mind. einml ber höchsten mit der Potenz n 4 uf) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 98

18 Terme und Gleichungen Gleichungen (mit einer Vriblen): 5) Bruchgleichungen ( tucht mind. einml im Nenner uf) 5 1 z. B.: 6 3 6) Wurzelgleichungen ( tucht mind. einml unter einer Wurzel uf) z. B.: (6 3) 5 7) Betrgsgleichungen ( tucht mind. einml innerhlb eines Betrgs uf) z. B.: Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 99

19 Terme und Gleichungen Gleichungen (mit einer Vriblen): 8) Logrithmus- und Eponentilgleichungen ( tucht mind. einml im Logrithmus/ Eponenten uf) z. B.: (5 ) ; 5 9) Differentilgleichungen (mind. eine Ableitung einer Funktion nch tucht uf) z. B.: 6 3 f '( ) 10) Und viele mehr: Integrlgleichungen, Hypergeometrische Gl., prtielle Differentilgleichungen, Vektorgleichungen, Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 100

20 Terme und Gleichungen Gleichungen IV: Zur Bestimmung der Lösung einer Gleichung dürfen lle Umformungen verwendet werden, welche die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändern. Mn nennt diese Umformungen: Äquivlenzumformungen Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 101

21 Terme und Gleichungen Gleichungen V: Äquivlenzumformungen 1) Addition von Termen uf beiden Seiten der Gleichung ) Multipliktion mit Termen (ungleich null) uf beiden Seiten Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 10

22 Terme und Gleichungen Gleichungen VI: Weitere Umformungen 3) Potenzieren uf beiden Seiten (Wurzeln) (.) 4) Logrithmieren und Eponenzieren uf beiden Seiten (.) 4 ( ) (.) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 103

23 Übung: Äquivlenzumformungen Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 104 Welche Äquivlenzumformungen sind ngewndt worden und wo ist der Fehler? Es seien und b beliebige Zhlen und c = + b. Dnn muss gelten: b b c b c b bc b b c b cb c b b b b cb c b b c 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 ) ( ) (

24 Lösen von Gleichungen Eine Gleichung ls Aussgeform Wie knn mn diese Gleichung ls Aussgeform deuten? Die Gleichung schränkt die Menge ller reellen Zhlen uf diejenigen ein, für welche sich eine whre Aussge ergibt, wenn mn durch sie ersetzen würde. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 105

25 Lösen von Gleichungen z.b. 1) Termumformungen ( 3) Linere Gleichungen ( 3) ) Äquivlenzumformungen (Vriblen von Zhlen trennen) 3) Aufstellen der Lösungsmenge : 6 Die linere Gleichung: = Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 106

26 Lösen von Gleichungen z.b. 0) Termumformungen Qudrtische Gleichungen ( 3) 1) Äquivlenzumformungen (Eine Seite zu Null reduzieren) ) Anwenden der Mitternchtsformel Die qudrtische 1, 3) Aufstellen der Lösungsmenge 6 Gleichung Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: ( 7) ; 7

27 Lösen von Gleichungen Höhere (lgebrische) Polynomgleichungen 0 = n n + n 1 n (Ab n 4 [ n: Grd des Polynoms] eistieren keine einfchen Lösungsverfhren mehr.) Bsiswissen: Aussgen über Gleichungen n-ten Grdes: i) i R, i = 0,, n, die Koeffizienten des Polynoms, mit n : der Leitkoeffizient, 0 : ds konstnte Glied ii) Eine Gleichung n-ten Grdes besitzt höchstens n reelle Lösungen. iii) Eine Gleichung ungerden Grdes besitzt immer mindestens eine reelle Lösung Formles Vorgehen zur Lösung von Gleichungen n-ten Grdes 1) rten einer Lösung ) Anwenden des Reduktionsstzes, z.b. vi Polynomdivision 3) Wdh. Von 1) und ), bis ds Polynom vollständig in linere und unzerlegbre qudrtische Fktoren zerfllen ist. 4) Aufstellen des Lösungsmenge. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 108

28 Lösen von Gleichungen Höhere (lgebrische) Polynomgleichungen 0 = n n + n 1 n (Ab n 4 [ n: Grd des Polynoms] eistieren keine einfchen Lösungsverfhren mehr.) Bsiswissen: Aussgen über Gleichungen n-ten Grdes: i) i R, i = 0,, n, die Koeffizienten des Polynoms, mit n : der Leitkoeffizient, 0 : ds konstnte Glied ii) Eine Gleichung n-ten Grdes besitzt höchstens n reelle Lösungen. iii) Eine Gleichung ungerden Grdes besitzt immer mindestens eine reelle Lösung Formles Vorgehen zur Lösung von Gleichungen n-ten Grdes 1) Rten einer Lösung ) Anwenden des Reduktionsstzes, z.b. vi Polynomdivision. 3) Wdh. Von 1) und ), bis ds Polynom vollständig in linere und unzerlegbre qudrtische Fktoren zerfllen ist. 4) Aufstellen des Lösungsmenge. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 109