38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]

Transkript

1 38 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] 38.2 Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen 38.4 Ds Riemnn-Integrl ist eine linere Abbildung von R([, b], V ) in V 38.9 Integrlbschätzung Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung für Wege Wie in 37 sei V {0} ein endlich-dimensionler R-Vektorrum mit Bsis (v 1,..., v n ) und einer Norm. Die Einführung des Riemnn-Integrls besteht in einer Übertrgung der Definition 26.2 des reellwertigen Flles uf den vektorwertigen Fll. D V ls endlich-dimensionl vorusgesetzt ist, wird sich wie bei der Differenzierbrkeit zeigen, dß eine Funktion genu dnn Riemnn-integrierbr ist, wenn lle Koordintenfunktionen Riemnn-integrierbr sind Riemnnsche Summen und Riemnnfolgen Seien c : [, b] V, Z = (x 0,..., x k ) eine Zerlegung von [, b] und ξ = (ξ 1,..., ξ k ) ein Zwischenvektor der Zerlegung Z. Dnn heißt S(c, Z) := S(c, Z, ξ) := k i=1 (x i x i 1 ) c(ξ i ) eine Riemnnsche Summe oder Zwischensumme von c (zur Zerlegung Z). Eine Folge (S(c, Z j, ξ j )) j N heißt eine Riemnnfolge (von c), wenn (Z j ) j N eine Zerlegungsnullfolge ist. Hiermit knn mn nun wie im reellen Fll definieren: C 1 [38] 1

2 Kpitel IX Differenzier-, Integrier- und Rektifizierbrkeit von Wegen 38.2 Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen Ein Weg c : [, b] V heißt Riemnn-integrierbr über [, b], wenn er beschränkt ist (d.h. c [,b] := sup{ c(t) : t [, b]} R) und wenn ein I V existiert, so dß gilt: Für jedes ε R + gibt es ein δ R +, so dß für jede Zerlegung Z von [, b] und jeden Zwischenvektor ξ von Z gilt: Z < δ S(c, Z, ξ) I < ε. Dieses I bezeichnet mn dnn mit c dx oder c(x) dx und nennt diesen Wert ds Riemnn-Integrl von c über [, b]. R([, b], V ) bezeichnet die Gesmtheit ller Riemnn-integrierbren Wege über [, b] mit Werten in V. Ds I us 38.2 ist offenbr eindeutig bestimmt: Denn sind I 1, I 2 zwei verschiedene Elemente von V, die der in 38.2 ngegebenen Bedingung genügen, so setze ε := I 1 I 2 /2. Dnn gibt es δ 1, δ 2 R + mit S(c, Z, ξ) I i < ε für lle Z mit Z < δ i für i = 1, 2. Ist nun eine Zerlegung Z mit Z < min(δ 1, δ 2 ) gewählt, so liefert einen Widerspruch. 2ε = I 1 I 2 I 1 S(c, Z) + S(c, Z) I 2 < 2ε Genu wie in 26 beweist mn: 38.3 Kriterium für Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen Sei c : [, b] V. Dnn ist c genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn c beschränkt ist und jede Riemnnfolge von c konvergiert. Ist dies der Fll, so konvergiert jede Riemnnfolge gegen Beweis. Eine Riemnn-integrierbre Funktion ist nch Definition 38.2 beschränkt. Sei nun eine Riemnnfolge (S(c, Z j, ξ j )) j N gegeben. Wir zeigen: (1) S(c, Z j, ξ j ) Wähle zum Nchweis von (1) ein ε R +. Dnn gibt es nch Definition 38.2 ein δ R + mit (2) Z < δ S(c, Z, ξ) c(x) dx < ε. Nch Definition der Riemnnfolge gilt Z j < δ für j j 0. Also folgt us (2): d.h. es gilt (1). S(c, Z j, ξ j ) c(x) dx < ε für j j 0, [38] 2 C 1

3 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] Seien nun (S(c, Z j, ξ j )) j N und (S(c, Z j, ξ j )) j N zwei Riemnnfolgen, so sind sie nch Vorussetzung konvergent. Betrchtet mn nun die Riemnnfolge (S(c, Z j, ξ j )) j N mit Z 2j := Z j, Z 2j 1 := Z j und ξ 2j := ξ j, ξ 2j 1 := ξ j, so ist sie nch Vorussetzung ebenflls konvergent. Die beiden Teilfolgen (S(c, Z j, ξ j )) j N = (S(c, Z 2j, ξ 2j )) j N (S(c, Z j, ξ j )) j N = (S(c, Z 2j 1, ξ 2j 1 )) j N von (S(c, Z j, ξ j )) j N konvergieren dher gegen den Grenzwert dieser Folge, d.h. gegen den gleichen Wert. Dieser gemeinsme Wert ller Riemnnfolgen wird nun mit I bezeichnet. Wir behupten: Der beschränkte Weg c ist Riemnn-integrierbr, und I ist ds Riemnn-Integrl von c über [, b]. Andernflls gäbe es ein ε R +, so dß für δ = 1/j eine Zerlegung Z j mit Z j < 1/j und ein Zwischenvektor ξ j existiert mit S(c, Z j, ξ j ) I ε. Dnn wäre ber (S(c, Z j, ξ j )) j N eine Riemnnfolge, die nicht gegen I konvergiert, im Widerspruch zur Definition von I. Hierus leitet mn genu wie in 26 her: 38.4 Ds Riemnn-Integrl ist eine linere Abbildung von R([, b], V ) in V Für c 1, c 2 R([, b], V ) und α R ist (i) (ii) (iii) (iv) (v) c 1 + c 2 R([, b], V ) mit (c 1(x) + c 2 (x)) dx = c 1(x) dx + c 2(x) dx; c 1 c 2 R([, b], V ) mit (c 1(x) c 2 (x)) dx = c 1(x) dx c 2(x) dx; αc 1 R([, b], V ) mit αc 1(x) dx = α c 1(x) dx; c 1(x) dx c 1 [,b] (b ); Bezeichnet v die Funktion, die uf [, b] konstnt den Wert v V ht, dnn ist v integrierbr mit v dx = (b )v. Beweis. (iv) Sei (Z j ) j N eine Zerlegungsnullfolge, dnn folgt us der Dreiecksungleichung: (1) S(c 1, Z j, ξ j ) c 1 [,b] (b ). Also c 1(x) dx = lim j S(c 1, Z j, ξ j ) = lim j S(c 1, Z j, ξ j ) c 1 [,b] (b ). (1) C 1 [38] 3

4 Kpitel IX Differenzier-, Integrier- und Rektifizierbrkeit von Wegen Obwohl sich die meisten folgenden Überlegungen uch ohne Benutzung der Koordintendrstellung und zwr für einen Bnch-Rum V durchführen ließen, wollen wir (bei Beweisen b 38.6) der Kürze hlber nun die Vorussetzung, dß V endlich-dimensionl ist, hernziehen Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen mit Werten in einem endlich-dimensionlen Vektorrum ist Riemnn-Integrierbrkeit der Koordintenfunktionen Sei c : [, b] V. Dnn ist c = n i=1 c iv i mit eindeutig bestimmten Funktionen c i : [, b] R (z.b. c = (c 1,..., c n ) für V := R n, c 1 und c =. für V := R n ). Es sind äquivlent: c n (i) c R([, b], V ); (ii) l c R[, b] für jede R-linere Abbildung l : V R; (iii) c 1,..., c n R[, b]. Gilt eine dieser drei äquivlenten Aussgen, so ist c(x) dx = n i=1 ( c i(x) dx)v i (lso c(x) dx = ( c 1(x) dx,..., c n(x) dx) für V := R n, und b c(x) dx = c 1(x) dx. für V := R n ). b c n(x) dx Ferner ist für jede linere Abbildung l : V R l( c(x) dx) = (l c)(x) dx. Beweis. (i) (ii) Nch Vorussetzung ist c([, b]) V eine beschränkte Menge. D l stetig ist (siehe 34.12), folgt us der Linerität von l uch die Beschränktheit von (l c)([, b]) = l((c[, b])) (benutze 34.3). Sei nun eine Zerlegungsnullfolge (Z j ) j N gegeben. Dnn gilt: (1) S(c, Z j, ξ j ) c(x) dx und wegen der Stetigkeit von l uch (2) l(s(c, Z j, ξ j )) l( c(x) dx). Nun ist wegen der Linerität von l (3) l(s(c, Z j, ξ j )) = S(l c, Z j, ξ j ). Aus (2) und (3) folgt nch Anlysis I die Riemnn-Integrierbrkeit von l c sowie (4) (l c)(x) dx = l( c(x) dx). [38] 4 C 1

5 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] (ii) (iii) Betrchte für j = 1,..., n die lineren Abbildungen l j : V R, definiert durch l j (v i ) := δ ij für i = 1,..., n. Dnn ist c j = l j c und c j ist dher nch (ii) Riemnn-integrierbr über [, b]. (iii) (i) Sind c 1,..., c n R[, b], so sind c 1,..., c n beschränkte Funktionen und dher ist uch c : [, b] V wegen c = n i=1 c iv i eine beschränkte Funktion. D c i R[, b] ist, folgt wegen S(c i, Z j, ξ j )v i = S(c i v i, Z j, ξ j ) uch die Riemnn-Integrierbrkeit von c i v i mit (5) ( c i(x) dx)v i = (c i(x)v i ) dx. Nch 38.4(i) ist dnn c(x) = n i=1 c i(x)v i Riemnn-integrierbr mit (6) c(x) dx = n i=1 c i(x)v i dx = n i=1 ( c i(x) dx)v i. 38.4(i) (5) Dies zeigt die (4) bzw. (6). Äquivlenz von (i), (ii) und (iii). Die beiden Zusätze folgen us 38.6 Riemnn-Integrierbrkeit des Produkts einer reellwertigen Riemnn-integrierbren Funktion mit einer vektorwertigen Riemnn-integrierbren Funktion Seien h : [, b] R und c : [, b] V Riemnn-integrierbr. Dnn ist h c : [, b] V Riemnn-integrierbr. Beweis. Mit den Bezeichnungen in 38.5 folgt: c i R[, b] für i = 1,..., n. Also sind h c i R[, b] (siehe 28.4(ii)). Somit ist, wiederum nch 38.5, wegen h c = n i=1 (h c i)v i uch h c Riemnn-integrierbr. Genu wie in 27.3 führen wir eine formle Erweiterung des Integrlbegriffs durch: 38.7 Formle Erweiterung des Riemnn-Integrls Sei c R([, b], V ), dnn setzt mn b c(x) dx := c(x) dx und c(x) dx := 0 für [, b]. Mit dieser Festsetzung gilt dnn uch (mit den Bezeichnungen von 38.5): Für c R([, b], V ) ist c(x) dx = n i=1 ( c i (x) dx)v i für lle, [, b]. (Betrchte hierzu die Fälle <, =, > ). C 1 [38] 5

6 Kpitel IX Differenzier-, Integrier- und Rektifizierbrkeit von Wegen 38.8 Additivität des Riemnn-Integrls bzgl. Intervllen (i) (ii) Sei c R([, b], V ), dnn gilt für,, t 3 [, b]: t3 c(x) dx = c(x) dx + t 3 c(x) dx, c(x) dx c <t1, >. Seien c 1, c 2 R([, b], V ) und α, β R. Dnn gilt für, [, b]: (αc 1 (x) + βc 2 (x)) dx = α c 1 (x) dx + β c 2 (x) dx. Beweis. (i) Mit den Bezeichnungen von 38.5 und obiger Vorüberlegung gilt: t3 c(x) dx = n i=1 ( t 3 c i (x) dx)v i = n 27.3 i=1 ( c i (x) dx + t 3 c i (x) dx)v i = n i=1 ( c i (x) dx)v i + n i=1 ( t 3 c i (x) dx)v i = c(x) dx + t 3 Die Ungleichung folgt für den Fll < us 38.4(iv). Der Fll = ist trivil. Im Fll > folgt die Abschätzung wegen < und c(x) dx = c(x) dx für c R([, b], V ) us dem ersten Fll. (ii) folgt für den Fll < us 38.4(i),(iii). Der Fll = ist trivil. Im Fll > folgt die Gleichung wegen < und c(x) dx = c(x) dx für c R([, b], V ) us dem ersten Fll Integrlbschätzung Sei c : [, b] V ein stetiger Weg. Dnn ist c R([, b], V ) und c R[, b] mit c(x) dx c(x) dx für lle, [, b]. Beweis. D c ls Komposition der stetigen Funktion c mit der stetigen Abbildung : V R stetig ist, ist c R[, b] nch D lle Koordintenfunktionen stetig sind (siehe 34.15), sind c i R[, b] und dher c R([, b], V ) (siehe 38.5). Für die Abschätzung genügt es, den Fll < zu betrchten (der Fll = ist trivil, im Fll > folgt die Ungleichung unter Benutzung von c(x) dx = c(x) dx, c(x) dx = c(x) dx us dem ersten Fll). [38] 6 C 1

7 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] Sei lso < und (Z j ) j N eine Zerlegungsnullfolge von [, ], dnn folgt die Behuptung us c(x) dx = lim j S(c [, ], Z j, ξ j ) = lim j S(c [, ], Z j, ξ j ) lim S( c [, ], Z j, ξ j ) = j c(x) dx Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung für Wege Sei I ein Intervll und c : I V ein stetiger Weg. Dnn gilt: (i) (ii) I t t c(x) dx ist eine Stmmfunktion von c für jedes I. Für jede Stmmfunktion F von c und für lle, b I gilt: c(x) dx = F (b) F (). Beweis. (i) Sei I fest gewählt. Mit den Bezeichnungen von 38.5 gilt: t (1) c(x) dx = n i=1 ( t c i(x) dx)v i. D c i : I R stetig sind, gilt nch dem Beweis von 27.8(i): (2) ( t c i(x) dx) = c i (t) für t I. Also ist wegen (1) und (2) (benutze 37.2) somit gilt (i). ( t c(x) dx) = n i=1 c i(t)v i = c(t); (ii) Sei I fest gewählt. Setze F 1 (t) := t Dnn gilt: F 1 (b) F 1 () = c(x) dx c(x) dx = 38.7 c(x) dx + c(x) dx = 38.8(i) Hierus folgt die Behuptung, d wegen ein v V mit F = F 1 + v existiert. C 1 [38] 7