Unbestimmtes Integral, Mittelwertsätze

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1 Unbestimmtes Integrl, Mittelwertsätze Ist f R-integrierbr, dnn knn f(x)dx einfch bestimmt werden, wenn eine Stmmfunktion F (x) von f existiert und beknnt ist. Wir wissen, dss dnn uch F (x) = F (x) + C mit beliebiger Konstnte C ebenflls eine Stmmfunktion ist. Definition. Sei f uf dem Intervll I definiert und besitze dort eine Stmmfunktion. f(x)dx = {F : F ist Stmmfunktion von f uf I} nennt mn dnn unbestimmtes Integrl. (Die Klsse ller Stmmfunktionen von f läßt sich stets mit Hilfe einer speziellen Stmmfunktion F (x) in der Form F (x) + C usdrücken) D Differentition und Integrtion zueinnder inverse Prozesse sind, lssen sich bereits viele Stmmfunktionen ngeben, z.b. x n dx = n+ xn+ + C, weil ( n+ xn+ ) = x n (n N). Weitere Beispiele. ) x α dx = xα+ α+ b) x dx = dx x c) e x dx = e x + C uf R + C uf I = (, ) und für α = ln x + C uf I = (, ) d) x x dx = x + C uf I = (, ) e) dx cosh x = tnh x + C uf R f) dx +x = rctn x + C uf R etc.

2 Stz. (Linerität des unbestimmten Integrls) Wenn die Funktionen f und g uf I Stmmfunktionen F bzw. G besitzen, dnn uch die Funktion λf + µg (λ, µ R) und es gilt (λf + µg)(x)dx = λf (x) + µg(x) = λ f(x)dx + µ g(x)dx. Beweis. λf (x) + µg(x) ist eine Stmmfunktion von λf(x) + µg(x), weil (λf (x) + µg(x)) = λf (x) + µg (x) = λf(x) + µg(x). Stz. (Integrtion durch Substitution) Sei ϕ(ξ) stetig differenzierbr uf dem Intervll I ξ und sei f(x) stetig uf dem Intervll I x = ϕ(i ξ ). Sei weiters F (x) eine Stmmfunktion von f(x). Dnn gilt ) f(ϕ(ξ))ϕ (ξ)dξ = F (ϕ(ξ)) = f(x) dx x=ϕ(ξ) ) Flls ϕ (ξ) uf I ξ : f(x)dx = f(ϕ(ξ))ϕ (ξ) dξ ξ=ϕ (x) Beweis. Aus der Stetigkeit von f und ϕ folgt, dss f(ϕ(ξ))ϕ (ξ) ebenflls uf I ξ stetig ist und dher dort eine Stmmfunktion besitzt. ) Mit x = ϕ(ξ) und F (x) = f(x)dx gilt d df dξf (ϕ(ξ)) = dx (ϕ(ξ))ϕ (ξ) = f(ϕ(ξ))ϕ (ξ), d.h. F (ϕ(ξ)) ist Stmmfunktion von f(ϕ(ξ))ϕ (ξ) uf I ξ. ) Mit ξ = ϕ (x) und Φ = f(ϕ(ξ))ϕ (ξ)dξ gilt d dx Φ(ϕ (x)) = dφ dξ (ϕ (x)) dϕ dx (x) = f(ϕ(ϕ (x))) dϕ dξ (ξ)dϕ dx (x) = f(x). Dmit ist Φ(ϕ (x)) eine Stmmfunktion von f(x). Beispiele. ) Betrchte sin 5ξ+ dξ. Setze x = ϕ(ξ) = 5ξ+. Dnn ist ϕ (ξ) = 5 und f(x) = f(ϕ(ξ)) = sin x, lso

3 sin 5ξ+ dξ = 5 = ( 5 cos x + C) x= 5ξ+ sin 5ξ+ 5 dξ = 5 sin x dx x= 5ξ+ = 5 cos 5ξ+ + C. = ) Betrchte ξ dξ. Setze x = ϕ(ξ) = + ξ3. +ξ 3 Dnn ist ϕ (ξ) = 3ξ und f(x) = f(ϕ(ξ)) = = +ξ 3 x, lso ξ dξ = +ξ 3 3 = 3 + ξ3 + C. 3ξ dξ = x +ξ 3 3 dx x=+ξ 3 = ( 3 x) x=+ξ 3 = 3) Betrchte x +x dx. Setze ξ = + x bzw. x = ϕ(ξ) = + ξ und ξ >. Dnn ist ϕ (ξ) = ξ für ξ > und x +x dx = +ξ ξ ξ dξ ξ= +x = ( ξ + 3 ξ3 + C) ξ= +x = = + x + 3 ( + x)3/ + C. Stz. (Prtielle Integrtion) Seien f(x) und g(x) stetig differenzierbr uf einem Intervll I. Dnn gilt f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx (wobei = so zu verstehen ist, dss sich linke und rechte Seite nur um eine Konstnte unterscheiden) Beweis. Aus der Stetigkeit von f (x) und g (x) folgt mit dem. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, dss f(x)g (x) und f (x)g(x) jeweils eine Stmmfunktion besitzen. Sei nun H(x) eine Stmmfunktion von f (x)g(x) uf I. Dnn ht die rechte Seite die Form f(x)g(x) H(x) = R(x). Wegen R (x) = (f(x)g(x)) H (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) f (x)g(x) = f(x)g (x) ist R(x) uch Stmmfunktion von f(x)g (x), womit die 3

4 Behuptung gezeigt ist. Beispiele. ) I = ( + x ) cosh xdx. Setze f(x) = + x und g (x) = cosh x. Dnn ist f (x) = x und g(x) = sinh x. Dmit ist I = ( + x ) sinh x x sinh xdx. Erneute prtielle Integrtion mit u(x) = x und v (x) = sinh x ergibt I = ( + x ) sinh x (x cosh x cosh xdx) = = (3 + x ) sinh x x cosh x + C. ) I = ln xdx. Setze f(x) = ln x und g (x) =. Dnn ist f (x) = x und g(x) = x. Also ist I = x ln x xxdx = x ln x x + C. 3) I = e x sin xdx. Setze f(x) = e x und g (x) = sin x. Dnn ist f (x) = e x und g(x) = cos x. Also ist I = e x cos x + e x cos xdx. Erneute prtielle Integrtion mit u(x) = e x und v (x) = cos x ergibt I = e x cos x + e x sin x e x sin xdx = e x cos x + e x sin x I. Dmit ist I = ex (sin x cos x). Bemerkung. (Integrle der rtionlen Funktionen) Sei I = R(x)dx, wobei R(x) = P (x) Q(x) Prtilbruchzerlegung führt uf Integrle der Form bzw. dx (x c) m eine rtionle Funktion ist. αx+β (x +x+b) m dx (siehe Formelsmmlung!!) 4

5 Die vorgestellten Methoden können ntürlich uch zur Bestimmung von bestimmten Integrlen herngezogen werden. Sind f, g stetig differenzierbr uf dem Intervll [, b], dnn gilt f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx Ist ϕ (ξ) stetig uf dem Intervll [α, β] und f(x) stetig uf der Bildmenge ϕ([α, β]), dnn gilt ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = β α f(ϕ(ξ))ϕ (ξ)dξ (Beweis : Ist F (x) eine Stmmfunktion von f(x) uf ϕ([α, β]), dnn ist wegen früher F (ϕ(ξ)) eine Stmmfunktion von f(ϕ(ξ))ϕ (ξ) uf ϕ([α, β]). Dmit ist β α f(ϕ(ξ))ϕ (ξ)dξ = F (ϕ(β)) F (ϕ(α)) = ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx. ) Beispiele. ) Sei I = f (x) = +x, g(x) = x I = x rctn xdx. Setze f(x) = rctn x, g (x) = x. Dnn ist. Dmit ist x rctn xdx = x rctn x = π 8 (x rctn x) = π 8 ( π 4 ) = π 4. x +x dx = π 8 ( +x )dx = ) Sei I = ln e ξ und mit f(x) = +e ξ dξ. Setze + eξ = ϕ(ξ) = x. Dnn ist ϕ (ξ) = e ξ x gilt I = ln +e ξ eξ dξ = 3 dx x = x 3 = ( 3 ). 5

6 9 3) Sei I = ξ >. Dmit I = dx + x. Setze ξ = ϕ(ξ) = x. Dnn ist ϕ (ξ) = ξ > für 3 dx + x = 3 ξ +ξ dξ = = (3 ln 4 ( ln 3)) = ( ln 4 3 ). ( +ξ )dξ = (ξ ln( + ξ)) 3 = Anlog zu den Mittelwertsätzen der Differentilrechnung gibt es uch solche der Integrlrechnung. Der. MWS der Differentilrechnung besgt, dss es im Intervll (, b) eine Stelle ξ gibt, n der die Steigung des Grphen von f der Steigung der Seknte entspricht. Anlog dzu besgt der. MWS der Integrlrechnung, dss es eine Stelle ξ (, b) gibt, sodss f(x)dx gleich dem Flächeninhlt eines Rechtecks mit Seitenlängen b und f(ξ) ist. Stz. Sei f (. Mittelwertstz der Integrlrechnung) stetig uf [, b]. Dnn existiert eine Stelle ξ (, b) mit f(x)dx = f(ξ)(b ). Beweis. Die Funktion F (x) = x f(t)dt ist stetig differenzierbr uf [, b]. Anwendung des. MWS der Differentilrechnung uf F (x) liefert : ξ (, b) sodss F (b) F () = F (ξ)(b ) und dmit f(x)dx = F (b) F () = F (ξ)(b ) = f(ξ)(b ). Stz. (Erweiterter Mittelwertstz der Integrlrechnung) Seien f, g stetig uf [, b] und g(x) (bzw. g(x) ) uf [, b]. Dnn existiert ein ξ (, b) mit 6

7 f(x)g(x)dx = f(ξ) g(x)dx. Beweis. (für g(x) ) Setze A = g(x)dx und m = min f(x) und M = mx f(x). x [,b] x [,b] Dnn gilt mg(x) f(x)g(x) Mg(x) x [, b] und weiters ma = m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx = MA. Wenn A =, dnn offenbr uch genügt. f(x)g(x)dx = und jedes ξ (, b) Wenn A, dnn gilt m f(x)g(x)dx A M. Nch dem Zwischenwertstz für stetige Funktionen gibt es dnn ein ξ (, b) mit f(ξ) = f(x)g(x)dx A. Drus folgt die Aussge. Stz. (. Mittelwertstz der Integrlrechnung) Auf [, b] seien f monoton und f und g stetig. Dnn existiert ein ξ (, b) mit ξ f(x)g(x)dx = f() g(x)dx + f(b) g(x)dx. ξ Beweis. Setze G(x) = von g(x) und liefert nun x f(x)g(x)dx = f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b g(t)dt. Dnn ist G(x) eine Stmmfunktion f(x)g (x)dx. f (x)g(x)dx. Prtielle Integrtion Der erweiterte. Mittelwertstz ngewndt uf G(x) liefert nun : 7

8 ξ (, b) mit Dmit ist f b (x)g(x)dx = G(ξ) f (x)dx = G(ξ)(f(b) f()). f(x)g(x)dx = f(b)g(b) f()g() G(ξ)(f(b) f()) = = f()(g(ξ) G()) + f(b)(g(b) G(ξ)) = ξ = f() g(x)dx + f(b) g(x)dx. ξ 8