6.6 Integrationsregeln

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1 50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig gegen 0, jedoch ist die Folge der Ableitungen durch f n(x) = cos(nx) gegeben. Diese onvergiert nicht gegen 0. An diesem Beispiel erennt mn, dss gleichmäßige Konvergenz einer Folge nicht die Vertuschbreit von Differentition und Konvergenz impliziert. 6.6 Integrtionsregeln In diesem Abschnitt entwiceln wir Technien zur prtischen Berechnung von Integrlen, bzw. Stmmfuntionen. Aufgrund des Huptstzes ist lr, dss die nlytische Berechnung von Integrlen im wesentlichen uf ds Auffinden von Stmmfuntionen reduziert wird. Findet mn eine Stmmfuntion, so sgt mn uch, dss ds Integrl in geschlossener Form gelöst wird. Die erste Regel zeigt, wie sich Integrle unter Trnsformtionen des Intervlls verhlten. Stz 6.6. (Substitutionsregel) Es sei f F ([, b], R) integrierbr und ϕ : [c, d] [, b] stetig, uf (c, d) differenzierbr mit stetiger Ableitung uf [c, d]. Dnn gilt ϕ(d) f(x) dx = d (f ϕ)(y)ϕ (y) dy. c Beweis. Wir beweisen diesen Stz zunächst für f C([, b]) und injetivem ϕ, d dieser Spezilfll deutlich zeigt, wrum diese Formel richtig sein muss. Sei F eine Stmmfuntion von f, so gilt für die line Seite F (ϕ(d)) F () = ϕ(d) f(x) dx. Nun ist für y (c, d) die Funtion F (ϕ( )) im Punt y differenzierbr, d nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung 6.4. die Stmmfuntion F in jedem Punt in (, b) differenzierbr ist und wegen der Injetivität von ϕ der Punt ϕ(y) (, b) liegt. Es gilt dnn (F ϕ) (y) = f(ϕ(y))ϕ (y).

2 6.6. INTEGRATIONSREGELN 5 Auf [c, d] ist lso F ϕ Stmmfuntion von ((f ϕ)(y)) ϕ (y) und es ergibt sich ufgrund des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechung 6.4. F (ϕ(d)) F () = d c ((f ϕ)(y)) ϕ (y) dy. Beide Gleichungen zusmmen ergeben die Behuptung. Der Beweis für die llgemeine Aussge ist ein wenig omplizierter. D f integrierbr ist, gibt es zu ε > 0 Treppenfuntionen ψ f ψ mit (ψ (x) ψ (x)) dx ε. Ohne Beschränung der Allgemeinheit önnen wir nnehmen, dss ψ, ψ uf den gleichen Intervllen onstnt sind. Sei ζ 0 < ζ < ζ n eine entsprechende Prtition des Intervlls [, b]. Sei ϕ wie oben mit = und ϕ(d) = b und obda c < d, nsonsten muss mn ds Argument leicht modifizieren. Wir nehmen nun n, ϕ sei injetiv. Dnn gibt es (unter Ausnutzung des Zwischenwertstzes) c = η 0 < η < η n = d mit ϕ(η j ) = ζ j. Betrchte eine Treppenfuntion ψ = ψ,. ϕ(d) ψ(x) dx = ψ(x) dx = = = n ψ(ξ j )(ζ j+ ζ j ) j=0 n ψ(ϕ(τ j ))(ϕ(η j+ ) ϕ(η j )) j=0 n ψ(ϕ(τ j ))ϕ (τ j )(η j+ η j ) j=0 In der letzten Umformung wurde der Mittelwertstz der Differentilrechnung verwendet, d ψ ϕ uf (η i, η i+ ) differenzierbr ist. Bechte: In der zweiten Zeile nn ξ j beliebig gewählt werden, d die Treppenfuntion uf dem Intervll onstnt ist. Nun wird nch der Whl von τ j, die mn nch Mßgbe des Mittelwertstzes zu treffen ht, ξ j so gewählt, dss ϕ(τ j ) = ξ j. Die letzte Gleichung

3 5 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL ist gerde die Riemnnsumme für (ψ ϕ)ϕ. Mit der Feinheit von der Zerlegung von [, b] geht uch die Feinheit der Zerlegung von [c, d] gegen Null und die Behuptung ist gezeigt. Ist ϕ nicht injetiv, so muss mn ds Argument noch etws usführen. In diesem Stz hben wir zum zweiten Ml die Vorussetzung benötigt, die besgt, dss eine Funtion differenzierbr ist und die Ableitung stetig ist. Vorussetzungen dieses Typs werden wir noch oft bruchen, dher wird dfür ein Begriff geprägt. Definition 6.6. (Stetig differenzierbr) Eine differenzierbre Funtion f : (, b) R heißt stetig differenzierbr, wenn f stetig ist. Wir nennen eine Funtion uf [, b] stetig differenzierbr, wenn sie uf [, b] stetig und uf (, b) stetig differenzierbr ist, und die Grenzwerte lim f (x) x,b, x (,b) existieren. Entsprechend definiert mn -ml stetig differenzierbre Funtionen. Beispiel (Substitutionsregel). Mit ϕ(s) = s + τ wird us b+τ f(x) dx = f(s + τ) ds. +τ. Für stetig differenzierbres ϕ : R R mit 0 / [, ϕ(d)] gilt ( ) ϕ(d) log = ϕ(d) x dx = d c ϕ (s) ϕ(s) ds. Stz (Prtielle Integrtion) Es seien f, g C([, b]) stetig differenzierbr. Dnn ist f(x)g (x) dx = fg b b f (x)g(x) dx. Beweis. Es gilt (fg) = f g+fg und der ngegebene Stz folgt durch Integrtion dieser Gleichung.

4 6.6. INTEGRATIONSREGELN 53 Beispiel (Prtielle Integrtion) sin(x) cos(x) dx = sin b b cos(x) sin(x) dx. Dies impliziert sofort sin(x) cos(x) dx = sin b oder uch sin(x) cos(x) dx = sin b. Diese Gleichheit folgt ber uch diret. Beispiel (Prtielle Integrtion II) Es gilt e x sin(x) dx = e x sin(x) b b e x cos(x) dx = e x sin(x) b ex cos(x) b b e x sin(x) dx. Drus folgt nun e x sin(x) dx = ( e x sin(x) b ex cos(x) ) b. Eine wichtige Anwendung der prtiellen Integrtion ist der folgende Stz, der uf Riemnn zurücgeht.

5 54 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Stz (Riemnn) Es sei f : [, b] R stetig differenzierbr. Für R gilt lim f(x) sin(x) dx = 0. Beweis. Wir wenden die Formel der prtiellen Integrtion uf ds gegebene Integrl n und erhlten f(x) sin(x) dx = f(x) cos(x) b + f (x) cos(x) dx. Aufgrund der Stetigeit von f, f sind diese Funtionen beschränt, d.h. es gibt M > 0, K > 0 mit f(x) < M, f (x) < K für lle x [, b]. D cos uf R durch beschränt ist, ht mn f(x) sin(x) dx M Drus folgt sofort, dss der Grenzwert existiert und 0 ist. lim f(x) sin(x) dx K(b ) +. Aufgbe Für t R, t / πz und jede Zhl n N gilt: n + cos(t) = sin((n + )t) sin( t). =. = sin(x) = π x für 0 < x < π. Wir wollen uns nun mit der Integrtion rtionler Funtionen beschäftigen, dbei

6 6.6. INTEGRATIONSREGELN 55 heißt eine Funtion rtionl, flls sie ls Quotient zweier Polynome geschrieben werden nn. Wir beginnen mit einem einfchen Beispiel. Beispiel (Prtilbruchzerlegung) Es sei f(x) = x. Wir schreiben x = A x + B + x. Drus ergibt sich die Gleichung A( + x) + B( x) = mit Lösung durch Koeffizientenvergleich A = B und A + B =. Also ist A = B =. Nun findet mn eine Stmmfuntion von f indem mn Stmmfuntionen von ( + x) und ( x) ngibt, lso log( + x ) bzw. log( x ). Also ist die Stmmfuntion von f für x ± definiert durch F (x) = (log( + x ) log( x )) + C = ( ) + x log + C. x Dieses Beispiel zeigt ds prinzipielle Vorgehen zur Integrtion rtionler Funtionen, jedoch ist die llgemeine Sitution etws omplizierter. Eine llgemeine Theorie bsiert uf einer Untersuchung von omplexen Polynomen. Wir sizzieren hier die Grundzüge. Wichtigstes Hilfsmittel ist der sogennnte Fundmentlstz der Algebr. Wir wollen ihn ohne Beweis ngeben. Stz (Fundmentlstz der Algebr) Jedes omplexe Polynom positiven Grdes ht mindestens eine Nullstelle. Ist Q(x) C[x] ein omplexes Polynom und C eine Nullstelle, so ht Q eine Drstellung der Form Q(x) = (x )P (x) und + grd P = grd Q.

7 56 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Korollr 6.6. (Linere Ftoren eines Polynoms) Ein omplexes Polynom Q ht höchstens grd Q Nullstellen und nn ls Produt von grd Q Ftoren der Form (x ) und einer omplexen Zhl geschrieben werden, d.h. grd Q Q(x) = q 0 (x i ). i= Ntürlich nn ein Ftor mehrfch vorommen. Beweis. Folgt durch Indution us dem Fundmentlstz der Algebr. Ein reelles Polynom zerfällt demzufolge über C in Linerftoren x i. Dbei sind die i entweder reell oder omplex, diese treten dnn ls Pre onjugiert omplexer Linerftoren uf. Ist i C \ R so ist (x i )(x ā i ) = x Re i x + i ein reelles Polynom. Dmit nn mn den Fundmentlstz der Algebr in einer reellen Form formulieren. Stz 6.6. (Fundmentlstz der Algebr, reelle Form) Ist Q(x) ein reelles Polynom, so ht Q eine Drstellung Q(x) = j Q i (x), i= wobei Q i (x) entweder liner oder qudrtisch ist. Zur Erinnerung: für Polynome sind die us der elementren Zhlentheorie bennten Konzepte Vielfches, Teiler, ggt, gv, teilerfremd, Division mit Rest sinnvoll. Die Rolle der Primzhlen wird von irreduziblen Polynomen übernommen, ds sind solche die sich nicht ls Produt von Polynomen leineren Grdes drstellen lssen. Die reelle Form des Fundmentlstzes der Algebr besgt u.a., dss die irreduziblen Polynome liner oder qudrtisch sind. Den größten gemeinsmen Teiler zweier Polynome findet mn mit dem eulidischen Algorithmus. Wir stellen urz gegenüber, dbei seien p, q Z und P, Q reelle Polynome. Konzept elementre Zhlentheorie Polynom Vielfches q = p, Z P = K Q, K Polynom Teiler q p : : q = p Q P : K : KQ = P ggt = ggt(p, q), p, q K = ggt(p, Q), A P, A Q A K teilerfremd ggt(p, q) = ggt(p, Q) R Division Rest p = q + r, 0 r < q P = KQ + R, grd(r) < grd(q)