Unter einer Partition oder Zerlegung eines Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge P = {x 0, x 1,..., x n } mit der Eigenschaft ...

Transkript

1 Kpitel 7 Ds Riemnn Integrl 7.1 Unter und Obersummen 7.2 Riemnn Integrl 7.3 Riemnnsche Summen 7.4 Rechenregeln 7.5 Differentition und Integrtion 7.6 Die L p Normen 7.1 Unter und Obersummen Unter einer Prtition oder Zerlegung eines Intervlls [, b] verstehen wir eine endliche Menge P = {x 0, x 1,..., x n } mit der Eigenschft vergleiche die Abbildung 7.1. = x 0 < x 1 <... < x n = b,... = I 1 = I 2 = I 3 = I n b R = x 0 x 1 x 2 x 3... x n 1 = x n Abbildung 7.1: Beispiel einer Prtition des Intervlls [, b] Als Feinheit einer solchen Zerlegung bezeichnen wir den Ausdruck δ(p) := mx,...,n x k x k 1, d.h., δ(p) ist die Länge des größten Teilintervlls I k := [x k 1, x k ], k = 1,..., n. 201

2 202 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Definition 7.1 Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion und P = {x 0, x 1,...,x n } eine Prtition von [, b] in die Teilintervlle I k := [x k 1, x k ] für k = 1,..., n. Setze Dnn heißen U P (f) := P O P (f) := P m k (f) := inf x I k f(x) m k (f)(x k x k 1 ) := M k (f)(x k x k 1 ) := und M k (f) := sup x I k f(x). n m k (f)(x k x k 1 ) n M k (f)(x k x k 1 ) die Untersumme und die Obersumme von f zur Prtition P. Zu einer beschränkten Funktion f : [, b] R und einer gegebenen Prtition P = {x 0, x 1,...,x n } von [, b] bezeichne m k (f) und M k (f) für lle k = 1,...,n stets die Begriffe us der Definition 7.1. Ferner setzen wir und m(f) := inf f(x) und x [,b] M(f) := sup f(x) x [,b] und erluben uns, von diesen Bezeichnungen im Folgenden ebenflls freien Gebruch zu mchen, ohne diese explizit zu wiederholen. Die Abbildung 7.2 illustriert die Begriffe der Ober und Untersumme. f O P (f) U P (f) b = x 0 x 1 x 2 x 3 = x 4 x Abbildung 7.2: Vernschulichung einer Ober und Untersumme Lemm 7.2 Seien f : [, b] R beschränkt und P eine beliebige Prtition von [, b]. Dnn gilt m(f)(b ) U P (f) O P (f) M(f)(b ). Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

3 7.1. UNTER UND OBERSUMMEN 203 Beweis: Per Definition gilt m(f) m k (f) M k (f) M(f) für lle k = 1, 2,..., n. Multipliktion mit x k x k 1 > 0 ergibt m(f)(x k x k 1 ) m k (f)(x k x k 1 ) M k (f)(x k x k 1 ) M(f)(x k x k 1 ). Summtion über lle k = 1, 2,..., n liefert dher die Behuptung wegen n x k x k 1 = b. Im Folgenden bezeichnen wir eine Prtition P = {x 0, x 1,...,x n } von [, b] ls eine Verfeinerung von einer Prtition P = {x 0, x 1,...,x n }, wenn {x 0, x 1,...,x n } {x 0, x 1,...,x n } gilt. Offenbr ist dnn δ(p ) δ(p). Lemm 7.3 Seien f : [, b] R beschränkt und P, P zwei Zerlegungen von [, b] derrt, dss P eine Verfeinerung von P ist. Dnn gilt O P (f) O P (f) und U P (f) U P (f). Beweis: Wir beweisen die Aussge nur für die Obersummen, d sie sich für die Untersummen nlog verifizieren lässt. Sei P = {x 0, x 1,...,x n } die gegebene Prtition. Dnn entsteht P durch Hinzunhme von endlich vielen Punkten zu P. Wir nehmen jetzt n, dss P us P durch Hinzunhme nur eines Punktes x entstehe, der in dem Teilintervll [x r 1, x r ] liegen möge. Der llgemeine Fll knn dnn bewiesen werden, indem mn die nchstehenden Argumente endlich viele Mle wiederholt. Gemäß Definition ist n O P (f) = M k (f)(x k x k 1 ). Mit Ausnhme des Summnden k = r stimmt diese Formel uch für die Obersumme O P (f) der Prtition P, so dss wir nur diesen einen Summnden zu betrchten bruchen. Es ist uf dem Teilintervll [x r 1, x r ] = [x r 1, x] [x, x r ] ber sup f(x)(x x r 1 ) + sup f(x)(x r x) x [x r 1,x] x [x,x r] sup f(x)(x x r 1 ) + x [x r 1,x r] = sup x [x r 1,x r] f(x) [ (x x r 1 ) + (x r x) ] = M r (f)(x r x r 1 ) sup f(x)(x r x) x [x r 1,x r] und dher O P (f) O P (f). Als Konsequenz des Lemms 7.3 erhlten wir sofort ds nchstehende Resultt. Lemm 7.4 Seien f : [, b] R beschränkt und P 1, P 2 zwei Prtitionen von [, b]. Dnn gilt U P1 (f) O P2 (f). Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

4 204 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Beweis: Die Prtition P := P 1 P 2 ist gnz offensichtlich eine Verfeinerung sowohl von P 1 ls uch von P 2. Dher erhlten wir us den Lemmt 7.2 und 7.3 unmittelbr womit uch schon lles bewiesen ist. U P1 (f) U P (f) O P (f) O P2 (f), Wir definieren jetzt die unteren und oberen Riemnn Integrle unter Verwendung der Unter und Obersummen. Definition 7.5 Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn heißen f(x)dx := sup { U P (f) P ist eine Prtition von [, b] } und f(x)dx := inf { O P (f) P ist eine Prtition von [, b] } ds untere und obere Riemnn Integrl von f uf [, b]. Ds untere und obere Riemnn Integrl wird in der Litertur mnchml uch ls unteres und oberes Drboux Integrl oder Riemnn Drboux Integrl bezeichnet. Mn bechte hierbei, dss beide Integrle im Flle von beschränkten Funktionen endliche Werte liefern und dher wohldefiniert sind. Im Flle des unteren Riemnn Integrls folgt dies beispielsweise us der Ttsche, dss eine beliebige Obersumme O P (f) wegen Lemm 7.4 stets eine obere Schrnke für lle möglichen Untersummen drstellt und wir dher ds Supremum über eine offenbr nichtleere und nch oben beschränkte Menge nehmen müssen. Ein solches Supremum existiert in der Menge der reellen Zhlen ber stets (siehe Definition 1.31 und Stz 1.32). Bemerkung 7.6 Seien f, g : [, b] R zwei beschränkte Funktionen mit f(x) g(x) für lle x [, b]. Für jede Prtition P des Intervlls [, b] gelten dnn offenbr U P (f) U P (g) und O P (f) O P (g). Dies impliziert wiederum die Monotonie Eigenschften f(x)dx g(x)dx und f(x)dx g(x)dx des unteren und oberen Riemnn Integrls. Mittels unserer Vorbetrchtungen gelngen wir sofort zu dem folgenden Resultt. Lemm 7.7 Sei f : [, b] R beschränkt. Dnn gilt f(x)dx f(x)dx. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

5 7.2. RIEMANN INTEGRAL 205 Beweis: Für beliebige Prtitionen P 1, P 2 von [, b] gilt U P1 (f) O P2 (f) nch Lemm 7.4. Hlten wir P 2 vorübergehend fest, so folgt sup P 1 U P1 (f) O P2 (f). D P 2 hierbei eine beliebige Prtition sein knn, impliziert dies sup P 1 U P1 (f) inf P 2 O P2 (f). Aus der Definition des unteren und oberen Riemnn Integrls folgt somit die Behuptung. 7.2 Riemnn Integrl Wir führen in diesem Abschnitt den Begriff des Riemnn Integrls ein und beweisen einige der wichtigsten Eigenschften von Riemnn integrierbren Funktionen. Definition 7.8 Ist f : [, b] R eine beschränkte Funktion mit f(x)dx = f(x)dx, so heißt f (Riemnn ) integrierbr und der gemeinsme Wert f(x)dx := f(x)dx ( = ) f(x)dx, ds (bestimmte Riemnn ) Integrl von f uf [, b]. Ist f : [, b] R eine integrierbre Funktion mit f(x) 0 für lle x [, b], so lässt sich ds Integrl f(x)dx (7.1) ls Fläche zwischen der x-achse und dem Grphen von f deuten. Dies folgt unmittelbr us der Definition des Integrls und der Herleitung der Unter und Obersummen im vorigen Abschnitt, vergleiche hierzu uch die Abbildung 7.3. Sttt der Schreibweise (7.1) werden wir häufig uch f(t)dt oder f(ξ)dξ schreiben. Wir sind lso nicht n den Buchstben x für die Integrtionsvrible in (7.1) gebunden. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

6 206 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL f f(x)dx b x Abbildung 7.3: Interprettion des Riemnn Integrls ls Fläche Beispiel 7.9 () Wir betrchten die konstnte Funktion f : [, b] R, f(x) := 1 für lle x [, b]. Offenbr gilt O P (f) = b und U P (f) = b für jede Prtition P von [, b]. Hierus ergibt sich f(x)dx = b und f(x)dx = b. Folglich ist f integrierbr mit f(x)dx = b. (b) Wir betrchten die durch f(x) := { 1, flls x Q, 0, flls x Q definierte Funktion f : [, b] R. Für jede Prtition P von [, b] gilt dnn wegen Stz Also ist O P (f) = b und U P (f) = 0 f(x)dx = 0 < b = f(x)dx und f somit nicht integrierbr uf [, b]. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

7 7.2. RIEMANN INTEGRAL 207 Wir betrchten im Folgenden einige Kriterien für die Integrierbrkeit von Funktionen. Dbei stellt ds nchstehende Resultt vielleicht ds Kriterium schlechthin für die Integrierbrkeit einer beschränkten Funktion dr. Es ist für die prktische Berechnung des Integrls zwr nicht besonders geeignet, wird im Lufe unserer theoretischen Untersuchungen llerdings noch häufig die Integrierbrkeit gewisser Funktionen liefern und stellt somit ein wichtiges beweistheoretisches Hilfsmittel dr. Stz 7.10 ( Integrbilitätskriterium von Riemnn ) Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn ist f genu dnn uf [, b] integrierbr, wenn es zu jedem ε > 0 eine Prtition P von [, b] gibt mit O P (f) U P (f) < ε. (7.2) Beweis: Sei zunächst die Bedingung (7.2) für ein beliebiges ε > 0 erfüllt. Per Definition des unteren und oberen Riemnn Integrls gilt stets 0 f(x)dx f(x)dx O P (f) U P (f) für jede Prtition P von [, b]. Nch Vorussetzung (7.2) existiert ber eine spezielle Prtition P mit O P (f) U P (f) < ε. Hierfür gilt somit 0 f(x)dx f(x)dx < ε. D ε > 0 beliebig wr, folgt die Integrierbrkeit von f uf [, b]. Sei f umgekehrt ls integrierbr vorusgesetzt und ε > 0. Dnn ist f(x)dx = sup { U P (f) P ist eine Prtition von [, b] } und f(x)dx = inf { O P (f) P ist eine Prtition von [, b] }. Also existieren Prtitionen P 1 und P 2 mit O P1 (f) < f(x)dx + ε 2 und U P2 (f) > f(x)dx ε 2. Für die verfeinerte Prtition P := P 1 P 2 von [, b] ergibt sich somit O P (f) U P (f) O P1 (f) U P2 (f) < ε Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

8 208 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL wegen Lemm 7.3. Mit Hilfe des Stzes 7.10 sind wir nun in der Lge, für zwei wichtige Klssen von Funktionen die Integrierbrkeit zu beweisen. Stz 7.11 ( Integrierbrkeit monotoner Funktionen ) Sei f : [, b] R eine beschränkte und monotone Funktion. Dnn ist f integrierbr uf [, b]. Beweis: Sei f monoton wchsend (für monoton fllende Funktionen verläuft der Beweis nlog). Für jede Prtition P von [, b] gilt dnn O P (f) U P (f) = ( P Mk (f) m k (f) ) (x k x k 1 ) = ( P f(xk ) f(x k 1 ) ) (x k x k 1 ) δ(p) P ( f(xk ) f(x k 1 ) ) = δ(p) ( f(b) f() ), (7.3) wobei die Monotonie von f in die zweite Gleichung (und die Ungleichung) eingeht und die letzte Identität us der Ttsche folgt, dss ( f(xk ) f(x k 1 ) ) P eine Teleskopsumme ist, bei der sich mit Ausnhme des ersten und letzten Summnden lle nderen Terme gegeneinnder ufheben. Gilt nun f() = f(b), so ist f eine konstnte Funktion und dher ntürlich integrierbr, vergleiche ds Beispiel 7.9 (). Sei dher f() < f(b) und ε > 0 beliebig gegeben. Wir wählen dnn eine Prtition P von [, b] mit der Feinheit ε δ(p) < f(b) f(). Aus (7.3) folgt dnn O P (f) U P (f) < ε. Folglich ist f integrierbr ufgrund des Stzes Die vielleicht wichtigste Klsse von integrierbren Funktionen sind die stetigen Abbildungen. Dieses Resultt ist in dem folgenden Stz enthlten. Stz 7.12 ( Integrierbrkeit stetiger Funktionen ) Sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Dnn ist f integrierbr uf [, b]. Beweis: Als stetige Funktion uf dem kompkten Intervll [, b] ist f wegen Stz 4.47 zunächst beschränkt. Außerdem ist f gleichmäßig stetig uf [, b] wegen Stz Zu jedem ε > 0 existiert dher ein δ > 0 mit f(ξ1 ) f(ξ 2 ) < ε b für lle ξ 1, ξ 2 [, b] mit ξ 1 ξ 2 < δ. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

9 7.2. RIEMANN INTEGRAL 209 Wir wählen jetzt eine Prtition P = {x 0, x 1,...,x n } von [, b] mit der Feinheit δ(p) < δ. Nch Stz 4.47 existieren zu jedem k {1,..., n} Zwischenpunkte ξ k [x k 1, x k ] und ξ k [x k 1, x k ] mit M k (f) = f(ξ k ) und m k (f) = f(ξ k ). Dnn folgt O P (f) U P (f) = P ( Mk (f) m k (f) ) (x k x k 1 ) = n ( f(ξk ) f(ξ k ) ) (x k x k 1 ) ε < b = ε. n (x k x k 1 ) k 1 Die Integrierbrkeit von f uf [, b] folgt dher erneut us dem Stz Als Verllgemeinerung des Stzes 7.12 erwähnen wir n dieser Stelle noch ein weiteres und mnchml sehr nützliches hinreichendes (nicht notwendiges) Kriterium für die Riemnn Integrierbrkeit einer gegebenen Funktion, ds sich später ls Spezilfll des Integrbilitätskriteriums von Lebesgue herusstellen wird und ds wir erst im nächsten Kpitel beweisen werden. Stz 7.13 ( Hinreichendes Kriterium für Integrierbrkeit ) Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Ist f mit Ausnhme von höchstens bzählbr vielen Stellen in [, b] stetig, so ist f Riemnn integrierbr uf [, b]. Wir zeigen in dem folgenden Resultt, dss unter gewissen Vorussetzungen uch ds Kompositum zweier Funktionen wieder Riemnn integrierbr ist. Die Sitution ist llerdings etws komplizierter, ls mn zunächst vielleicht vermuten würde, denn wir werden nschließend noch sehen, dss die Zusmmensetzung zweier Riemnn integrierbrer Funktionen im Allgemeinen nicht Riemnn integrierbr ist, so dss mn etws stärkere Vorussetzungen benötigt. Ntürlich ist ds Kompositum zweier stetiger Abbildungen Riemnn integrierbr (d stetig). Ttsächlich gilt ds folgende Resultt. Stz 7.14 ( Integrierbrkeit des Kompositums ) Seien f : [, b] R und g : [c, d] R zwei gegebene Funktionen mit f([, b]) [c, d]. Ist f Riemnn integrierbr uf [, b] und g stetig uf [c, d], so ist ds Kompositum h := g f Riemnn integrierbr uf [, b]. Beweis: Wegen Stz 4.50 ist die uf dem kompkten Intervll [c, d] stetige Funktion g dort sogr gleichmäßig stetig. Also existiert zu beliebigem ε > 0 ein δ > 0 mit g(s) g(t) < ε für lle s, t [c, d] mit s t < δ. (7.4) Nch Vorussetzung ist f uf [, b] Riemnn integrierbr. Aufgrund des Stzes 7.10 gibt es deshlb eine Prtition P = {x 0, x 1,...,x m } von [, b] in Teilintervlle I k := [x k 1, x k ] Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

10 210 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL mit O P (f) U P (f) < δ 2. (7.5) Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir dbei vorussetzen, dss gilt. Seien nun sowie m k := inf x I k f(x), m k := inf x I k h(x), Wir definieren dnn die beiden Indexmengen Wegen (7.4) gilt dnn Hingegen hben wir δ < ε (7.6) M k := sup x I k f(x) M k := sup x I k h(x). A := { k {1,...,m} Mk m k < δ } und B := { k {1,...,m} Mk m k δ } = {1,..., m}\a. M k m k M k m k ε für lle k A. 2c für lle k B mit der Konstnten c := sup h(t). t [,b] Aus (7.5) und der Definition der Indexmenge B folgt ußerdem δ k B I k k B(M k m k ) I k m (M k m k ) I k = O P (f) U P (f) < δ 2, so dss wir wegen (7.6) erhlten. Insgesmt folgt dmit I k < δ ε k B O P (h) U P (h) = = m m [ sup x I k h(x) inf x I k h(x) ] I k [ sup x I k g ( f(x) ) inf x I k g ( f(x) )] I k = [ sup g ( f(x) ) inf g ( f(x) )] I k x I k A k x I k + [ sup g ( f(x) ) inf g ( f(x) )] I k x I k B k x I k Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

11 7.3. RIEMANNSCHE SUMMEN 211 k A ε I k + k B 2c I k ε(b ) + 2c I k k B (b + 2c)ε. D ε > 0 beliebig wr, folgt die Integrierbrkeit von h uf [, b] us dem Riemnnschen Integrbilitätskriterium. Korollr 7.15 Seien f : [, b] R beschränkt und integrierbr mit f(x) γ für lle x [, b] mit einer Konstnten γ > 0. Dnn ist uch 1 f integrierbr. Beweis: Setze c := inf x [,b] f(x), d := sup x [,b] f(x) sowie g(t) := 1/t für t [c, d]. Dnn ist g wohldefiniert und stetig uf [c, d] sowie h := g f gerde gleich der Abbildung 1/f. D diese nch Vorussetzung beschränkt ist, folgt die Behuptung unmittelbr us dem Stz Ds folgende Beispiel zeigt, dss ds Kompositum zweier Riemnn integrierbrer Funktionen im Allgemeinen nicht integrierbr ist. Beispiel 7.16 Betrchte die beiden Funktionen f, g : [0, 1] R mit { 0, flls x irrtionl, f(x) := 1, flls x = p mit p, q N teilerfremd q q und g(t) := { 0, flls t = 0, 1, flls t (0, 1]. Mn sieht sofort ein, dss keine der beiden Abbildungen stetig ist. Allerdings sind sowohl f ls uch g Riemnn integrierbr uf [0, 1]. Im Flle der Funktion g ist dies sehr leicht einzusehen, bei f ist dies eine Konsequenz us dem Stz 7.13 sowie der Ttsche, dss f mit Ausnhme von bzählbr vielen Punkten (nämlich den rtionlen Zhlen in [0, 1]) mit der Nullfunktion übereinstimmt. Für ds Kompositum erhlten wir nun h(x) := g ( f(x) ) { 0, flls f(x) = 0, lso flls x irrtionl, = 1, flls x rtionl. Diese Funktion ist wegen Beispiel 7.9 (b) jedoch nicht integrierbr. 7.3 Riemnnsche Summen Zur Berechnung des Integrls einer beschränkten Funktion müssen wir bislng explizit lle Ober oder Untersummen usrechnen. Dies ist nicht besonders prktikbel. In einigen Fällen knn dies mit Hilfe so gennnter Riemnnscher Summen vereinfcht werden. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

12 212 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Definition 7.17 Seien f : [, b] R beschränkt, P = {x 0, x 1,..., x n } eine Prtition von [, b] und ξ = {ξ 1,...,ξ n } eine Menge von Zwischenpunkten in dem Sinne, dss ξ k [x k 1, x k ] für lle k = 1,..., n gilt. Dnn heißt S P (f, ξ) := P f(ξ k )(x k x k 1 ) := n f(ξ k )(x k x k 1 ) eine Riemnnsche Summe von f zur Prtition P. f ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 b = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = x 5 x Abbildung 7.4: Vernschulichung einer Riemnnschen Summe Die Abbildung 7.4 vernschulicht den Begriff einer Riemnnschen Summe. Mn bechte, dss es unendlich viele Riemnnsche Summen zu einer Prtition P des Intervlls [, b] gibt, d mn Freiheiten in der Whl der Zwischenpunkte ξ k [x k 1, x k ] ht. Ferner sei n dieser Stelle noch bemerkt, dss eine Ober oder Untersumme im Allgemeinen keine Riemnnsche Summe drstellt, d ds Supremum in M k (f) bzw. ds Infimum in m k (f) uf dem Intervll [x k 1, x k ] nicht ngenommen werden muss. Lemm 7.18 Seien f : [, b] R beschränkt, P = {x 0, x 1,...,x n } eine Prtition von [, b] und ξ k [x k 1, x k ] beliebige Zwischenpunkte. Dnn gilt U P (f) S P (f, ξ) O P (f). Beweis: Per Definition gilt m k (f) f(ξ k ) M k (f) für lle k = 1,..., n. Multipliziert mn diese Ungleichung mit x k x k 1 und ddiert sie nschließend für k = 1,...,n uf, so folgt die Behuptung. Sei f : [, b] R beschränkt. Existiert dnn eine Zhl I R und gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dss für lle Prtitionen P von [, b] (in gewisse Teilintervlle I k ) mit der Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

13 7.3. RIEMANNSCHE SUMMEN 213 Feinheit δ(p) < δ sowie bei beliebiger Whl ξ k I k der Zwischenpunkte die Ungleichung S P (f, ξ) I < ε gilt, so schreiben wir I = lim S P (f, ξ) δ(p) 0 und sgen, dss die Riemnnschen Summen gegen I konvergieren. Der nchstehende Stz besgt nun, dss mn hiermit eine vollständige Chrkterisierung der Riemnn Integrierbrkeit erhält. Stz 7.19 ( Chrkterisierung der Riemnn Integrierbrkeit ) Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gelten: () Ist f integrierbr uf [, b], so existiert lim δ(p) 0 S P (f, ξ), und es gilt lim S P(f, ξ) = δ(p) 0 f(x)dx. (b) Existiert lim δ(p) 0 S P (f, ξ), so ist f integrierbr uf [, b], und es gilt f(x)dx = lim S P (f, ξ). δ(p) 0 Beweis: Die Aussge () folgt unmittelbr us dem Lemm Zum Nchweis von (b) sei ε > 0 beliebig gegeben und I := lim δ(p) 0 S P (f, ξ) der nch Vorussetzung existierende Limes. Dnn gibt es ein δ > 0, so dss I ε 2 < S P(f, ξ) < I + ε 2 für lle Prtitionen P mit δ(p) < δ und lle zugehörigen Zwischenpunkte ξ gilt. Wir betrchten nun eine feste Prtition P = {x 0, x 1,...,x n } von [, b] mit δ(p) < δ. In jedem Teilintervll [x k 1, x k ] wählen wir dnn einen Zwischenpunkt ξ k derrt us, dss f(ξ k ) > M k (f) ε 2(b ) gilt (ws nch Definition von M k (f) offenbr möglich ist). Für diese Whl der Zwischenpunkte ergibt sich dnn I + ε 2 > S P(f, ξ) = P > P f(ξ k )(x k x k 1 ) M k (f)(x k x k 1 ) ε 2(b ) (x k x k 1 ) P Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

14 214 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL = O P (f) ε 2 f(x)dx ε 2. Also gilt I > f(x)dx ε. Ebenso beweist mn die Gültigkeit der Ungleichung I < f(x)dx + ε, indem mn die Zwischenpunkte ζ k so wählt, dss gilt. Zusmmen folgt dnn f(ζ k ) < m k (f) + f(x)dx ε < I < ε 2(b ) f(x)dx + ε. D ε > 0 beliebig gewählt wr, impliziert dies f(x) I f(x). Wegen Lemm 7.7 gilt ber f(x) f(x)dx. Also folgt b I = f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx und dmit die Behuptung (b). Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

15 7.3. RIEMANNSCHE SUMMEN 215 Bislng ist der Nchweis der Konvergenz von Riemnnschen Summen noch sehr ufwendig, d mn bei vorgegebenem ε > 0 lle Prtitionen und für jede feste Prtition uch noch jede Whl der Zwischenpunkte in Betrcht ziehen muss. Der nächste Stz besgt jedoch, dss es im Flle einer integrierbren Funktion genügt, eine einfche Folge von Riemnnschen Summen zu betrchten. Stz 7.20 Seien f : [, b] R eine beschränkte und integrierbre Funktion, {P (n) } eine Folge von Prtitionen des Intervlls [, b] mit δ(p (n) ) 0 für n und {ξ (n) } eine feste Whl von Zwischenpunkten zur Prtition P (n). Dnn ist f(x)dx = lim n S P (n)(f, ξ (n) ). Beweis: Wegen Stz 7.19 existiert zu jedem ε > 0 ein δ > 0 derrt, dss für lle Prtitionen δ(p) < δ die Ungleichung S P(f, ξ) f(x)dx < ε gilt, und zwr bei beliebiger Whl der Zwischenpunkte ξ. Wegen δ(p (n) ) 0 existiert ein N N mit δ(p (n) ) < δ für lle n N mit n N. Für jedes n N ist dher S P (n)(f, ξ) f(x)dx < ε, worus sich die Behuptung unmittelbr ergibt. Zum Abschluss betrchten wir noch ein Beispiel zur Berechnung des Integrls einer gegebenen Funktion mittels Riemnnscher Summen. Beispiel 7.21 Wir wollen ds Integrl 1 0 (x 2 x)dx berechnen. D die Funktion f(x) := x 2 x uf [0, 1] stetig ist, hndelt es sich wegen Stz 7.12 insbesondere um eine integrierbre Funktion. Dher können wir den Stz 7.20 nwenden. Wir betrchten dzu die Folge {P (n) } von äquidistnten Prtitionen des Intervlls [0, 1] mit x (n) k := k n k = 0, 1,..., n (n N). Dnn ist offensichtlich δ(p (n) ) = 1 n 0 für n. Ferner wählen wir die Zwischenpunkte ξ (n) k := k n k = 1,...,n (n N). Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

16 216 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Die ξ (n) k sind lso gerde die rechten Endpunkte der einzelnen Teilintervlle [ k 1, k n n]. Hiermit folgt S P (n)(f, ξ (n) ) = f(ξ (n) k )(x(n) k x (n) k 1 ) P (n) n ( k 2 = n k ) ( k 2 n n k 1 ) n = 1 n ( k 2 n n k ) 2 n = 1 n k 2 1 n k n 3 n 2 = 1 n 3 n(n + 1)(2n + 1) = 1 6, 1 n 2 n(n + 1) 2 wobei wir beim Grenzübergng den Stz 1.5 und die ebenflls leicht durch Induktion beweisbre Formel n k 2 n(n + 1)(2n + 1) = 6 benutzt hben. Wegen Stz 7.20 gilt dher 1 0 (x2 x)dx = Rechenregeln Wir stellen in diesem Abschnitt eine Reihe von Rechenregeln für ds Riemnn Integrl zur Verfügung. Dbei hben wir den Ausdruck f(x)dx bislng nur für beschränkte Funktionen uf einem Intervll [, b] mit < b definiert. Um in unseren weiteren Untersuchungen uf Fllunterscheidungen verzichten zu können, geben wir diesem Ausdruck uch im Fll b einen Sinn. Definition 7.22 Für = b setzen wir f(x)dx := 0, sofern f() R existiert. Für > b definieren wir f(x)dx := b f(x)dx, sofern f eine uf dem Intervll [b, ] (beschränkte und) integrierbre Funktion ist. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

17 7.4. RECHENREGELN 217 Wir werden in den nchstehenden Beweisen häufiger verwenden, dss für eine beschränkte Funktion h uf einem Intervll I offenbr die folgenden Gleichheiten gelten: sup x I h(x) inf x I h(x) = sup { h(x) h(y) x, y I } Beispielsweise erhlten wir hierus die Linerität des Integrls. = sup { h(x) h(y) x, y I }. (7.7) Stz 7.23 ( Linerität des Integrls ) Seien f, g : [, b] R beschränkte und integrierbre Funktionen sowie α, β R beliebig gegeben. Dnn ist uch αf + βg integrierbr mit ( ) b αf + βg (x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. (7.8) Beweis: Setze h := αf +βg und sei ε > 0 beliebig gegeben. D f und g beide integrierbr sind, existieren wegen Stz 7.10 Prtitionen P 1 und P 2 des Intervlls [, b] mit O P1 (f) U P1 (f) < ε 2(1 + α + β ) und O P2 (g) U P2 (g) < ε 2(1 + α + β ). Aus der Definition von h folgt zunächst h(x) h(y) α f(x) f(y) + β g(x) g(y) für lle x, y [, b]. Mit der verfeinerten Prtition P := P 1 P 2 von [, b] in gewisse Teilintervlle I k = [x k 1, x k ], k = 1,...,n, ergibt sich unter Verwendung von (7.7) dnn O P (h) U P (h) n ( = Mk (h) m k (h) ) (x k x k 1 ) n = sup h(x) h(y) (xk x k 1 ) x,y I k n α sup f(x) f(y) n + β sup g(x) g(y) x,y I k x,y I k n ( = α Mk (f) m k (f) ) n ( (x k x k 1 ) + β Mk (g) m k (g) ) (x k x k 1 ) = α [ O P (f) U P (f) ] + β [ O P (g) U P (g) ] < ε 2 + ε 2 = ε. Also ist h nch Stz 7.10 integrierbr. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

18 218 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Die Drstellung (7.8) schließlich ergibt sich unmittelbr us dem Stz 7.20, denn für die Zwischensumme gilt offenbr S P (αf + βg, ξ) = αs P (f, ξ) + βs P (g, ξ). Aufgrund des vorhergehenden Resulttes ist die Abbildung f f(x)dx liner. Wir beweisen ls Nächstes eine Monotonie Eigenschft des Integrls. Lemm 7.24 ( Monotonie des Integrls ) Seien f, g : [, b] R integrierbr mit f(x) g(x) für lle x [, b]. Dnn gilt f(x)dx g(x)dx. Beweis: Die Funktion h := g f ist wegen des Stzes 7.23 integrierbr uf [, b]. Sei nun P = {x 0, x 1,...,x n } eine beliebige Prtition von [, b]. Aus h(x) 0 für lle x [, b] folgt dnn m k (h) 0 für lle k = 0, 1,..., n und dher U P (h) = P m k (h)(x k x k 1 ) 0, ws wiederum h(x)dx = sup U P (h) 0 P impliziert. D h ber integrierbr ist, folgt hierus 0 h(x)dx = h(x)dx = g(x)dx f(x)dx. Dies liefert die Behuptung. Anschulich ist die Aussge des Lemms 7.24 in der Abbildung 7.5 wiedergegeben: Dort finden sich zwei Abbildungen (mit usschließlich positiven Funktionswerten), von denen die eine oberhlb der nderen liegt, so dss die zugehörige Fläche unterhlb des Grphen uch entsprechend größer ist. Genu dies wird letztlich uch nur durch ds Lemm 7.24 usgedrückt. Aus dem Lemm 7.24 erhlten wir insbesondere die Gültigkeit von f(x)dx 0 Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

19 7.4. RECHENREGELN 219 g f b x Abbildung 7.5: Vernschulichung der Monotonie des Integrls für jede integrierbre Funktion f : [, b] R mit der Eigenschft f(x) 0 für lle x [, b] (mn vergleiche f hierzu mit der Nullfunktion). Für eine gegebene Funktion f : [, b] R benutzen wir im Folgenden die Bezeichnungen f +, f : [, b] R für die Abbildungen { f(x), flls f(x) 0, f + (x) := 0, flls f(x) < 0 und f (x) := vergleiche hierzu die Abbildung 7.6. { f(x), flls f(x) < 0, 0, flls f(x) 0, f f f f + x x Abbildung 7.6: Beispiel einer Funktion f und der zugehörigen Abbildungen f + und f Aus diesen Definitionen folgt unmittelbr f(x) = f + (x) f (x) und f(x) = f + (x) + f (x) für lle x [, b]. Wir beweisen zunächst ds folgende Hilfsresultt. Lemm 7.25 Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn ist f genu dnn integrierbr uf [, b], wenn f + und f uf [, b] integrierbr sind. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

20 220 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Beweis: Die Integrierbrkeit von f + und f impliziert wegen Stz 7.23 und der oben erwähnten Beziehung f = f + f unmittelbr die Integrierbrkeit von f (mn bechte hierzu, dss mit f ntürlich uch f + und f integrierbr sind). Dher ist nur die ndere Richtung zu beweisen. Wir verifizieren die Aussge nur für f +, d der Beweis für f nlog verläuft. Sei dzu P eine beliebige Prtition von [, b]. Wir setzen M + k := sup x I k f + (x) und m + k := inf x I k f + (x). Dnn können die folgenden Möglichkeiten eintreten: () M k 0, m k 0: Dnn ist M + k = M k und m + k = m k. (b) M k 0, m k < 0: Dnn ist M + k = M k und m + k = 0. (c) M k < 0, m k < 0: Dnn ist M + k = 0 und m+ k = 0. In llen drei Fällen ergibt sich M + k m+ k M k m k. Nch Multipliktion mit (x k x k 1 ) und nschließendem Aufsummieren erhlten wir dher O P (f + ) U P (f + ) O P (f) U P (f). D f ls integrierbr vorusgesetzt wr, folgt hierus wegen Stz 7.10 unmittelbr die Integrierbrkeit von f +. Als Konsequenz des Lemms 7.25 erhlten wir ds nchstehende Resultt. Stz 7.26 ( Dreiecksungleichung für Integrle ) Sei f : [, b] R integrierbr. Dnn ist f ebenflls uf [, b] integrierbr, und es gilt f(x)dx f(x) dx. Beweis: Wegen f = f + + f folgt die Integrierbrkeit der Funktion f uf [, b] us dem Stz 7.23 und dem Lemm Ferner gilt Dies impliziert einerseits b f(x) dx = f + (x)dx + b f(x) dx f + (x)dx f (x)dx = f (x)dx. f(x)dx Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

21 7.4. RECHENREGELN 221 und ndererseits b f(x) dx f + (x)dx + f (x)dx = f(x)dx wegen Lemm Zusmmen ergibt sich gerde die Behuptung. Wir zeigen jetzt, dss mit zwei integrierbren Funktionen uch deren Produkt integrierbr ist. Stz 7.27 Seien f, g : [, b] R integrierbre Funktionen. Dnn ist uch f g integrierbr uf [, b]. Beweis: Als integrierbre Funktionen sind f und g beschränkt. Also existieren die Konstnten α := sup f(ξ) und β := sup g(ξ). ξ [,b] ξ [,b] Ferner gibt es wegen Stz 7.10 Prtitionen P 1 und P 2 von [, b] mit O P1 (f) U P1 (f) < ε 2(1 + α + β) und O P2 (g) U P2 (g) < ε 2(1 + α + β). Setzen wir h := f g, so gilt h(x) h(y) f(x) g(x) g(y) + g(y) f(x) f(y) α g(x) g(y) + β f(x) f(y) für lle x, y [, b]. Mit der verfeinerten Prtition P := P 1 P 2 von [, b] in gewisse Teilintervlle I k = [x k 1, x k ], k = 1,..., n, ergibt sich unter Verwendung von (7.7) dnn O P (h) U P (h) n ( = Mk (h) m k (h) ) (x k x k 1 ) n = sup h(x) h(y) (xk x k 1 ) x,y I k n n α sup g(x) g(y) (xk x k 1 ) + β sup f(x) f(y) (xk x k 1 ) x,y I k x,y I k n ( = α Mk (g) m k (g) ) n ( (x k x k 1 ) + β Mk (f) m k (f) ) (x k x k 1 ) = α ( O P (g) U P (g) ) + β ( O P (f) U P (f) ) < ε 2 + ε 2 Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

22 222 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL = ε. Die Behuptung folgt somit us dem Stz Korollr 7.28 Seien f, g : [, b] R integrierbr und g(x) c für lle x [, b] mit einer Konstnten c > 0. Dnn ist uch f/g integrierbr uf [, b]. Beweis: Wegen Korollr 7.15 ist 1/g integrierbr, lso ist uch f/g = f 1/g integrierbr nch Stz Wir zeigen jetzt, dss eine uf einem Intervll [, b] integrierbre Funktion utomtisch uch uf jeden Teilintervll [c, d] [, b] integrierbr ist. Stz 7.29 Sei f : [, b] R integrierbr. Dnn ist f uch uf jedem Teilintervll [c, d] [, b] integrierbr. Beweis: D f uf [, b] integrierbr ist, existiert zu jedem ε > 0 wegen Stz 7.10 eine Prtition P von [, b] mit O P (f) U P (f) < ε. Wir betrchten dnn die Verfeinerung P := P {c, d}, für die wegen Lemm 7.3 dnn erst recht O P (f) U P (f) < ε gilt. Sei nun P := P [c, d] die Restriktion der Prtition P uf ds Teilintervll [c, d]. Dnn gilt mit g := f [c,d] die Abschätzung O P (g) U P (g) = P ( Mk (g) m k (g) ) (x k x k 1 ) = P ( Mk (f) m k (f) ) (x k x k 1 ) P ( Mk (f) m k (f) ) (x k x k 1 ) = O P (f) U P (f) < ε, wobei die erste Ungleichung einfch us der Ttsche folgt, dss eventuell weitere nichtnegtive Summnden hinzukommen. Die Behuptung folgt dher us dem Stz Wir beweisen jetzt noch eine wichtige Additionseigenschft des Riemnn Integrls bezüglich der Integrtionsintervlle. Stz 7.30 Sei P = {x 0, x 1,...,x n } eine beliebige Prtition des Intervlls [, b]. Dnn gelten: Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

23 7.4. RECHENREGELN 223 () Ist f : [, b] R integrierbr, so ist f uf jedem der Teilintervlle [x k 1, x k ] integrierbr, und es gilt n xk f(x)dx = f(x)dx. x k 1 (b) Ist f uf jedem der Teilintervlle [x k 1, x k ] integrierbr, so uch uf [, b], und es gilt f(x)dx = n xk x k 1 f(x)dx. Beweis: Der Beweis ist weitgehend nlog zu dem des Stzes 7.29 und sei dher dem Leser ls Übungsufgbe überlssen. Eine interessnte Folgerung us dem obigen Resultt ist der nächste Stz. Stz 7.31 Seien f : [, b] R integrierbr und [ n, b n ] [, b] gegeben mit n und b n b. Dnn ist n f(x)dx = lim f(x)dx. n n Beweis: Als integrierbre Funktion ist f insbesondere beschränkt uf [, b], etw f(x) M für lle x [, b] mit einer Konstnten M > 0. Wegen Stz 7.30 ist f(x)dx = n f(x)dx + n n f(x)dx + b n f(x)dx, wobei wir ohne Einschränkung n < b n für lle n N vorusgesetzt hben. Mit n n f(x)dx f(x) dx n = M Mdx n 1dx = M( n ) 0 für n und, nlog, f(x)dx M(b b n) 0 b n für n Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

24 224 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL folgt dnn die Behuptung. Aus dem Stz 7.31 folgt beispielsweise sofort, dss die Werte f() und f(b) weder uf die Integrierbrkeit von f noch uf den Wert des Integrls f(x)dx einen Einfluss hben (solnge f integrierbr und insbesondere beschränkt ist). Aufgrund des Stzes 7.30 folgt hierus wiederum, dss mn f n endlich vielen Stellen bändern drf, ohne dmit die Integrierbrkeit von f oder den Wert des Integrls zu beeinflussen. 7.5 Differentition und Integrtion Wir beweisen in diesem Abschnitt einige der fundmentlen Resultte über ds Riemnn Integrl, mit deren Hilfe sich diverse Integrle uch leicht berechnen lssen. Insbesondere ergibt sich hierbei ein interessnter Zusmmenhng zwischen der Differentition und Integrtion. Zu diesem Zweck beginnen wir mit dem folgenden Resultt. Stz 7.32 ( Verllgemeinerter Mittelwertstz der Integrlrechnung ) Seien f, g : [, b] R stetige Funktionen und g 0. Dnn existiert ein ξ [, b] mit Beweis: Wir setzen f(x)g(x)dx = f(ξ) g(x)dx. m := min { f(x) x [, b] } und M := mx { f(x) x [, b] } (Minimum und Mximum werden hierbei wegen Stz 4.47 ngenommen). Dnn ist mg f g Mg wegen g 0 und dher m g(x)dx = wegen Lemm Also ist (mg)(x)dx f(x)g(x)dx = µ (fg)(x)dx (Mg)(x)dx = M g(x)dx für ein µ [m, M]. g(x)dx Nch dem Zwischenwertstz 4.29 gibt es ein ξ [, b] mit f(ξ) = µ. Drus folgt die Behuptung. Der Stz 7.32 gilt ntürlich uch dnn, wenn g(x) 0 für lle x [, b] ist. Dies folgt sofort us dem obigen Resultt, indem mn dort g durch g ersetzt. Wesentlich für die Aussge Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

25 7.5. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 225 des Stzes 7.32 ist lso nur, dss g uf dem Intervll [, b] ein einheitliches Vorzeichen besitzt. Speziell für die Funktion g 1 erhlten wir hierus ds nchstehende Korollr, für dessen geometrische Deutung wir uf die Abbildung 7.7 verweisen. f(ξ) f(x) f(ξ) (b ) ξ b Abbildung 7.7: Geometrische Deutung des Mittelwertstzes der Integrlrechung Korollr 7.33 ( Mittelwertstz der Integrlrechnung ) Sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Dnn existiert ein ξ [, b] mit f(x)dx = f(ξ)(b ). Bislng hben wir Funktionen immer über ein festes (bgeschlossenes) Intervll integriert. Jetzt betrchten wir eine Integrtionsgrenze ls Vrible und erhlten uf diese Weise eine neue Funktion. Stz 7.34 Seien I R ein Intervll, f : I R eine stetige Funktion und I. Für x I setze F(x) := x f(t)dt. Dnn ist die Funktion F : I R differenzierbr, und es gilt F = f. Beweis: Für jedes h 0 ist F(x + h) F(x) h = 1 h ( x+h f(t)dt x ) f(t)dt = 1 h x+h x f(t)dt wegen Stz Nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung existiert zu jedem solchen h 0 ein Zwischenpunkt ξ h [x, x + h] (bzw. ξ h [x + h, x], flls h < 0) mit x+h x f(t)dt = hf(ξ h ). Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

26 226 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Nun ist ξ h x für h 0 und dher f(ξ h ) f(x) für h 0 ufgrund der Stetigkeit von f. Dmit erhlten wir F (x) = lim h 0 F(x + h) F(x) h Dmit ist lles bewiesen. 1 = lim h 0 h x+h x 1( f(t)dt = lim hf(ξh ) ) = f(x). h 0 h Die im Stz 7.34 definierte Abbildung F ist eine so gennnte Stmmfunktion von f im Sinne der nchstehenden Definition. Definition 7.35 Sei I R ein beliebiges Intervll. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion von einer Abbildung f : I R, wenn Funktion F = f gilt. Der Begriff der Stmmfunktion wird in der Abbildung 7.8 interpretiert: Sie beschreibt die Fläche unterhlb des Grphen von f zwischen dem Anfngspunkt und dem ktuellen Punkt x. f F(x) x b x Abbildung 7.8: Interprettion der Stmmfunktion ls Fläche von nch x mit vriblem x Wegen Stz 7.34 ht jede stetige Funktion mindestens eine Stmmfunktion. Mit Ausnhme einer dditiven Konstnte, die beim Differenzieren j wegfällt, ist die Stmmfunktion uch eindeutig bestimmt. Dies ist der Inhlt des folgenden Stzes. Stz 7.36 Seien I R ein beliebiges Intervll und F : I R eine Stmmfunktion von f : I R. Dnn gelten: () Die Funktion F + c ist für jede Konstnte c R ebenflls eine Stmmfunktion von f. (b) Ist G : I R eine weitere Stmmfunktion von f, so gibt es eine Konstnte c R mit G = F + c. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

27 7.5. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 227 Beweis: () Offenbr ist mit F uch F + c differenzierbr, und es gilt womit Teil () bereits bewiesen ist. (F + c) = F = f, (b) D F und G Stmmfunktionen von f sind, gilt F = f = G. Also ist (F G) = 0 und F G somit eine konstnte Funktion wegen Korollr Die Menge ller Stmmfunktionen von f : I R wird ls ds unbestimmte Integrl von f bezeichnet. Mn schreibt hierfür f(x)dx. Ist F eine beliebige Stmmfunktion, so gilt wegen Stz 7.36 lso f(x)dx = { F + c c R }. Mittels einer Stmmfunktion lässt sich ds Integrl einer gegebenen Abbildung sehr leicht berechnen. Stz 7.37 ( Huptstz der Differentil und Integrlrechnung ) Seien I R ein Intervll, f : I R eine stetige Funktion und F eine beliebige Stmmfunktion von f. Dnn gilt für lle, b I. Beweis: Für x I definieren wir f(x)dx = F(b) F() =: F(x) F 0 (x) := x f(t)dt. Dnn ist F 0 : I R wegen Stz 7.34 eine (spezielle) Stmmfunktion von f mit F 0 () = 0 und F 0 (b) = b f(t)dt. Für die beliebige Stmmfunktion F gilt somit F F 0 = c für eine Konstnte c R, vergleiche Stz Deshlb ist F(b) F() = F 0 (b) F 0 () = F 0 (b) = womit lles bewiesen ist. f(t)dt, Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

28 228 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Der Stz 7.37 ist ds zentrle Ergebnis zur Berechnung konkreter Integrle. Mn benötigt dnch nur eine Stmmfunktion und ht von dieser lediglich die Differenz der Funktionswerte zwischen den beiden Endpunkten des Intervlls [, b] zu bilden. Insbesondere spielt es überhupt keine Rolle, welche Werte die Stmmfunktion im Inneren des Intervlls [, b] nnimmt. Wir illustrieren die Nützlichkeit dieses Resulttes n einigen Beispielen. Beispiel 7.38 () Für jedes s R mit s 1 ist x s dx = xs+1 b s + 1, denn xs+1 s+1 ist offenbr eine Stmmfunktion der llgemeinen Potenz xs. Der hier nicht betrchtete Fll s = 1 wird im Teil (b) diskutiert. (b) Für jedes, b > 0 ist 1 x dx = ln(x) b wegen d ln(x) = 1. Für, b < 0 gilt hingegen dx x 1 x dx = ln( x) b, denn d ln( x) = 1 für x < 0. Mn knn die beiden Fälle uch so zusmmenfssen, dx x dss mn 1 x dx = ln x b schreibt, sofern x = 0 nicht in dem Integrtionsintervll [, b] liegt. (c) Es ist exp(x)dx = exp(x) b. Wegen Stz 7.34 ist die Integrtion letztlich die Umkehrung der Differentition. Ds der Kettenregel entsprechende Resultt in der Integrtion ist die nchfolgende Substitutionsregel. Stz 7.39 ( Substitutionsregel ) Seien I R ein Intervll, f : I R stetig und g : [, b] R stetig differenzierbr mit g([, b]) I. Dnn ist f ( g(t) ) g (t)dt = g(b) g() f(x)dx. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

29 7.5. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 229 Beweis: Sei F : I R eine wegen Stz 7.34 existierende Stmmfunktion von f. Für die zusmmengesetzte Funktion F g : [, b] R gilt nch der Kettenregel dnn (F g) (t) = F ( g(t) ) g (t) = f ( g(t) ) g (t). Also ist F g eine Stmmfunktion der Abbildung t f ( g(t) ) g (t). Aus dem Huptstz 7.37 folgt dher f ( g(t) ) g (t)dt = (F g)(t) b = F ( g(b) ) F ( g() ) = g(b) g() f(x)dx, ws zu zeigen wr. Unter Verwendung der symbolischen Schreibweise lutet die Substitutionsregel dg(t) := g (t)dt f ( g(t) ) dg(t) = g(b) g() f(x)dx. In dieser Form ist sie besonders einfch zu merken, denn mn ht einfch x durch g(t) zu ersetzen. Läuft t von nch b, so läuft x = g(t) von g() nch g(b). Ansonsten gibt es für die Substitutionsregel im Prinzip zwei Lesrten, mn knn sie entweder von links nch rechts oder von rechts nch links nwenden. Liegt ein Integrl explizit in der Form f(g(t))g (t)dt vor, so können wir die Substitutionsregel von links nch rechts nwenden. Dies ist beispielsweise bei dem Integrl 1 0 (1 + t 2 ) 2 2tdt der Fll. Setzt mn nämlich f(x) := x 2 und g(t) := 1+t 2, so folgt us der Substitutionsregel unmittelbr 1 0 (1 + t 2 ) 2 2tdt = 1 0 f(g(t))g (t)dt = g(1) g(0) f(x)dx = 2 1 x 2 dx = 1 3 x3 2 1 = 7 3. Die ndere Lesrt von rechts nch links wird meist uf der Schule beigebrcht. Dbei liegt ein Integrl der Gestlt β α f(x)dx Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

30 230 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL mit gewissen Grenzen α, β R vor, ds schwer zu berechnen scheint. Mn versucht dnn mittels geeigneter Substitution x = g(t), dieses Integrl umzuformulieren, so dss die Substitutionsregel nwendbr ist, wobei g() = α und g(b) = β gelten muss. Betrchten wir beispielsweise ds Integrl r r2 x 2 dx 0 für ein gegebenes r > 0. Hier ist lso f(x) = r 2 x 2. Mit der Substitution x = g(t) := r sin t für t [0, π/2] ist dnn g(0) = 0, g(π/2) = r und dher ufgrund der Substitutionsregel r 0 r2 x 2 dx = = = = g(π/2) g(0) π/2 0 π/2 0 π/2 0 = πr2 4, f(x)dx f(g(t))g (t)dt r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t)dt r 2 cos 2 (t)dt wobei mn die letzte Gleichheit us der im Anschluss folgenden Regel der prtiellen Integrtion herleiten knn, vergleiche Beispiel 7.42 (c). Wir geben jetzt eine Reihe weiterer Beispiele zur Substitutionsregel. Beispiel 7.40 () Mittels der Substitution g(t) = t + c folgt f(t + c)dt = f ( g(t) ) g (t)dt = g(b) g() (b) Für c 0 erhält mn mit der Substitution g(t) = ct f(ct)dt = 1 c f ( g(t) ) g (t)dt = 1 c g(b) g() f(x)dx = f(x)dx = 1 c +c +c c c f(x)dx. f(x)dx. (c) Sei g : [, b] R eine stetig differenzierbre Funktion mit g(t) 0 für lle t [, b]. Mit Beispiel 7.38 (b) folgt dnn (mn setze f(x) := 1 in der Substitutionsregel) x g (t) g(t) dt = = g(b) g() f ( g(t) ) g (t)dt f(x)dx Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

31 7.5. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 231 g(b) 1 = g() x dx = ln x g(b) g() = ln g(t) b. (d) Aus Beispiel (c) folgt mit g(t) = cos(t) für jedes Intervll [, b] ( π 2, +π 2 ) tntdt = sin t cost dt = sin t cost dt = ln cos(t) b. (e) Die Integrtion von rtionlen Funktionen gelingt im Allgemeinen mittels der so gennnten Prtilbruchzerlegung, bei der mn die rtionle Funktion wie im Abschnitt 2.4 in Huptteil und Polynomnteil zerlegt und nschließend die entstehenden Summnden (oft unter Verwendung der Substitutionsregel) einzeln integriert. Zur Illustrtion betrchten wir ds Beispiel Prtilbruchzerlegung von f(x) := 1 1 x 2 = Dmit folgt 1 1 x2dx, wobei 1, 1 / [, b]. 1 (1 x)(1+x) liefert 1 1 x = x x. 1 1 x 2dx = x dx x dx = x + 1 dx x 1 dx = 1 ( ) b ln x + 1 ln x 1 2 = 1 2 ln x + 1 x 1 b wobei wir ds Additionstheorem des ntürlichen Logrithmus verwendet hben. Die nchstehend formulierte Regel der prtiellen Integrtion ist ds Gegenstück zur Produktregel us der Differentilrechnung. Stz 7.41 ( Prtielle Integrtion ) Seien f, g : [, b] R zwei stetig differenzierbre Funktionen. Dnn gilt f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

32 232 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Beweis: Die Abbildung F := f g ist nch Vorussetzung stetig differenzierbr. Aus der Produktregel folgt F (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Der Huptstz 7.37 liefert dher f (x)g(x)dx + worus die Behuptung unmittelbr folgt. f(x)g (x)dx = F(x) b = f(x)g(x) b, Wir illustrieren die Regel der prtiellen Integrtion n einigen Beispielen. Beispiel 7.42 () Seien, b > 0. Zur Berechnung von ln(x)dx setzen wir f(x) := ln(x), g(x) := x. Dnn folgt ln(x)dx = f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b = x ln(x) b = x ( ln(x) 1 ) b. 1dx f (x)g(x)dx (b) Zur Bestimmung von rctn(x)dx setzen wir f(x) := rctn(x), g(x) := x. Dmit erhlten wir wegen d rctn(x) = 1 (vergleiche Beispiel 6.10 (c)) dx 1+x 2 rctn(x)dx = f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b f (x)g(x)dx = x rctn(x) b x 1 + x 2dx = x rctn(x) b t dt 2 = x rctn(x) b 1 2 ln(1 + t) b 2 2 = x rctn(x) b 1 2 ln(1 + x2 ) b, wobei wir neben der Regel der prtiellen Integrtion uch die Substitution t = x 2 verwendet hben. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

33 7.5. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 233 (c) Als Ergänzung zu den Ausführungen vor dem Beispiel 7.40 wollen wir hier ds unbestimmte Integrl cos 2 (x)dx berechnen. Durch prtielle Integrtion sowie unter Ausnutzung der beknnten Identität sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 ergibt sich cos 2 (x)dy = cos(x) cos(x) dx }{{}}{{} =:f(x) =:g (x) = cos(x) sin(x) + sin 2 (x)dx (1 = cos(x) sin(x) + cos 2 (x) ) dx = cos(x) sin(x) cos 2 (x)dx + 1dx. Dies liefert die Formel cos 2 (x)dx = 1 2 cos(x) sin(x) dx. Speziell für ds Beispiel vor 7.40 erhlten wir dmit π 2 lso ds gewünschte Ergebnis. 0 r 2 cos 2 (t)dt = r 2 π 2 0 cos 2 (t) = r2 π 2 cos(t) sin(t) 2 0 = r2 π 4 + r2 2 (d) In Verllgemeinerung des vorigen Beispiels wollen wir hier eine Rekursionsformel für ds unbestimmte Integrl I m := sin m (x)dx π 2 0 1dx herleiten, wir suchen lso eine Stmmfunktion für sin m (x). Offenbr ist I 0 = sin 0 (x)dx = x und I 1 = sin xdx = cos x. Für m 2 folgt durch prtielle Integrtion = sin m 1 (x) cos(x) dx I m Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

34 234 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL = cos(x) sin m 1 (x) + (m 1) cos 2 (x) sin m 2 (x)dx (1 = cos(x) sin m 1 (x) + (m 1) sin 2 (x) ) sin m 2 (x)dx = cos(x) sin m 1 (x) + (m 1) sin m 2 (x)dx (m 1) sin m (x)dx = cos(x) sin m 1 (x) + (m 1)I m 2 (m 1)I m. Diese Gleichung knn mn nch I m uflösen und erhält für jedes m 2. I m = 1 m cos(x) sinm 1 (x) + m 1 m I m Die L p Normen Im Abschnitt 6.6 hben wir gesehen, dss mn den Rum K n mittels der l p Normen { ( n z p := i=1 z i p ) 1/p, flls p [1, + ) mx i=1,...,n z i, flls p = + zu einem normierten Rum mchen knn, wobei K wieder für R oder C steht. Wir wollen in diesem Abschnitt nlog vorgehen und den Rum C([, b]) := { f : [, b] R f ist stetig } der uf dem kompkten Intervll [, b] stetigen Funktionen normieren. Dzu ersetzen wir in der Definition von z p im Wesentlichen nur die Summe durch ein Integrl und erhlten somit die so gennnten L p -Normen f L p := { ( f(x) p dx) 1/p, flls p [1, + ), mx x [,b] f(x), flls p = + (7.9) ls Kndidten für geeignete Normen uf C([, b]). Der Rest dieses Abschnitts besteht vor llem drin, die Norm Eigenschften für diese Vorschriften zu verifizieren. Für p = 1 und p = + ist dies reltiv einfch, für p (1, + ) ist der Aufwnd hingegen etws größer und bedrf dher einiger Vorbereitungen. Wir beginnen unsere Ausführungen mit dem folgenden Resultt. Lemm 7.43 Sei p [1, + ] beliebig gegeben. Dnn gilt für jedes f C([, b]). f L p = 0 f 0 (7.10) Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

35 7.6. DIE L P NORMEN 235 Beweis: Aus f 0 folgt offensichtlich f L p = 0 für jedes p [1, + ]. Sei lso umgekehrt f eine stetige Funktion mit f L p = 0. Für p = + ergibt sich dnn sofort f 0, so dss wir im Folgenden p [1, + ) vorussetzen dürfen. Angenommen, f ist nicht die Nullfunktion. Dnn existiert ein ξ (, b) mit f(ξ) 0 (zunächst existiert nur ein ξ [, b] mit f(ξ) 0, gilt dbei ξ = oder ξ = b, so können wir den Punkt ξ etws nch rechts bzw. links verschieben und erhlten dnn us Stetigkeitsgründen ein ξ us dem offenen Intervll (, b) mit der Eigenschft f(ξ) 0). Setze nun ε := f(ξ) /2 > 0. D f stetig ist, existiert ein zugehöriges δ > 0 mit f(x) f(ξ) < ε für lle x [, b] mit x ξ < δ. Wegen ξ (, b) können wir dbei vorussetzen, dss δ > 0 bereits so klein gewählt ist, dss jedes x R mit x ξ < δ utomtisch in dem Intervll [, b] liegt. Dnn folgt zunächst f(x) f(ξ) f(x) f(ξ) > f(ξ) 1 ε = f(ξ) 2 für lle x R mit x ξ < δ und dher f L p = ( ) 1/p f(x) p dx ( ξ+δ ξ δ ) 1/p f(x) p dx ( ( ) ξ+δ f(ξ) p 1/p dx) ξ δ 2 = 1 f(ξ) (2δ) 1/p 2 > 0 ufgrund der Monotonie des Integrls. Dies widerspricht jedoch unserer Vorussetzung f L p = 0. Der obige Beweis benutzt gnz entscheidend die Stetigkeit der Funktion f. In der Tt dürfte jetzt uch klr sein, wrum wir (zumindest zu diesem Zeitpunkt) die L p -Normen uf dem Rum der stetigen sttt beispielsweise der Riemnn integrierbren Funktionen einführen (ws vielleicht nheliegender wäre): Für Riemnn integrierbre Funktionen gilt die Äquivlenz (7.10) nämlich nicht. Beispielsweise könnten wir die Nullfunktion n endlich vielen Stellen des Intervlls [, b] bändern und würden immer noch f L p = 0 erhlten. Somit knn die Vorschrift f L p keine Norm uf dem Rum der Riemnn integrierbren Funktionen liefern! Wir kehren dmit wieder zurück zum Rum der stetigen Funktionen. Die nchstehenden Ausführungen entsprechen fst wörtlich denen des Abschnitts 6.6. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

36 236 KAPITEL 7. DAS RIEMANN INTEGRAL Stz 7.44 ( Höldersche Ungleichung für Integrle ) Seien p, q (1, + ) zwei Zhlen mit = 1. Dnn gilt p q f(x)g(x)dx f(x)g(x) dx f L p g L q für lle f, g C([, b]). Beweis: Die erste Ungleichung ist gerde die schon us dem Lemm 7.24 beknnt Monotonie des Integrls. Wir hben dher nur die zweite Ungleichung zu verifizieren. Dies gelingt im Prinzip völlig nlog zum Beweis des entsprechenden Stzes Wir können f L p 0 und g L q 0 vorussetzen, d die Behuptung nderenflls trivilerweise erfüllt ist, vergleiche ds Lemm Dnn können wir die Ungleichung zwischen dem rithmetischen und geometrischen Mittel us dem Stz 6.30 nwenden mit r := 2, λ 1 := 1 p, λ 2 := 1 q, x 1 := f(x) p f p L p für ein festes (ber beliebiges) x [, b]. Dies liefert f(x) f L p g(x) g L q Durch Integrtion von nch b erhlten wir hierus 1 f L p g L q und x 2 := g(x) q g q L q = x λ 1 1 x λ 2 2 λ 1 x 1 + λ 2 x 2 = 1 f(x) p p f p + 1 g(x) q L q g q. p L q f(x) g(x) dx 1 p 1 f p f(x) p dx + 1 L p q 1 g q g(x) q dx }{{} L q }{{} = f p L p = g q L q = 1 p + 1 q = 1, wobei wir die Linerität des Integrls, die Dreiecksungleichung und die Monotonie des Integrls verwendet hben. Multipliktion der obigen Ungleichungskette mit f L p g L q > 0 liefert nun die Behuptung. Als wichtigen Spezilfll der Hölderschen Ungleichung erhlten wir im Fll p = q = 2 ds nchstehende Korollr. Korollr 7.45 ( Cuchy Schwrzsche Ungleichung für Integrle ) Für lle f, g C([, b]) gilt die Ungleichung ( f(x)g(x)dx b ) 1/2 ( ) f(x)g(x) dx f L 2 g L 2 = f(x) 2 1/2 dx g(x) 2 dx. Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11

37 7.6. DIE L P NORMEN 237 Aus der Hölderschen Ungleichung erhlten wir ußerdem ds folgende Resultt. Stz 7.46 ( Minkowskische Ungleichung für Integrle ) Sei p (1, + ) gegeben. Dnn gilt für lle f, g C([, b]). f + g L p f L p + g L p Beweis: Die Behuptung verifiziert mn nlog zum Beweis der Minkowskischen Ungleichung für l p Normen, siehe Stz Der Vollständigkeit hlber soll der Beweis dennoch durchgeführt werden. Wir wählen q := p, so dss = 1 bzw. 1 = 1 1 = p 1 gilt. Dnn folgt p 1 p q q p p ( ) f p 1 L q = f(x) (p 1)q 1/q ( dx = ) 1/q f(x) p p/q dx = f L = p f p 1 L. (7.11) p Hierus erhält mn durch zweimlige Anwendung der Hölderschen Ungleichung f + g p L p = f(x) + g(x) p dx = f(x) + g(x) p 1 f(x) + g(x) dx f(x) + g(x) p 1( ) f(x) + g(x) dx = f(x) + g(x) p 1 b f(x) dx + f(x) + g(x) p 1 g(x) dx ) f + g p 1 L q( f L p + g L p (nch Hölder) ( ) = f + g p 1 L p f L p + g L p für lle f, g C([, b]), wobei die letzte Gleichheit us (7.11) folgt. Division durch f+g p 1 L p liefert die Behuptung. Nch diesen Vorbereitungen können wir nun ds Huptresultt dieses Abschnitts beweisen. Stz 7.47 Die L p -Normen us (7.9) sind für lle 1 p + Normen uf dem C([, b]). Beweis: Die Eigenschft f L p 0 für lle 1 p + und lle f C([, b]) folgt sofort us der Monotonie des Integrls und der Definition der L p -Normen in (7.9). Wegen Lemm 7.43 gilt uch die Äquivlenz (7.10). Die Gültigkeit von αf L p = α f L p für lle f C([, b]) und jedes α R ist ebenflls eine unmittelbre Konsequenz der Definition (7.9). Dmit bleibt nur noch die Dreiecksungleichung zu verifizieren. Für p (1, + ) ist ds ber gerde die Minkowskische Ungleichung us dem Stz Für p {1, + } Christin Knzow, Universität Würzburg, WS 2010/11