1 Differenzen- und Differentialquotient 2. 2 Differentiationsregeln 5. 3 Ableitung spezieller Funktionen 6. 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 7

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1 Universität Bsel Wirtschftswissenschftliches Zentrum Abteilung Quntittive Methoden Mthemtischer Vorkurs Dr. Thoms Zehrt Differentil- und Integrlrechnung Inhltsverzeichnis 1 Differenzen- und Differentilquotient Differentitionsregeln 5 3 Ableitung spezieller Funktionen 6 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integrl 7 5 Eigenschften des bestimmten Integrls 9 6 Integrlfunktionen 1 7 Aufgben 11 8 Lösungen der Aufgben 13

2 1 Differenzen- und Differentilquotient Gegeben sei eine stetige Funktion y = f(x). Unter der durchschnittlichen Änderung der Funktion f im Intervll [x, x + ] versteht mn den Quotienten f(x) = y := Echte Änderung vonf Intervlllänge = f(x + ) f(x). Der Ausdruck f(x) = y wird uch ls Differenzenquotient bezeichnet. Im llgemeinen hängt der Differenzenquotient von den folgenden drei Grössen b: der Funktion f, dem Punkt x und der Intervlllänge. Beispiele: 1. y = f(x) = x + 3 f(x) f(x + ) f(x) = (x + ) + 3 (x + 3) = x x 3 = = =. y = f(x) = x f(x) f(x + ) f(x) = = (x + ) x = x + x + () x x + () = = x +. Ntürlich hängt ds Resultt direkt von der Funktion f b und ds Ergebnis (der Differenzenquotient) ist selbst eine Funktion, die uf die Eingbe der beiden Grössen x und wrtet, um uns drus die durchschnittliche Änderung der Funktion uf dem Intervll [x, x + ] zu berechnen.

3 3 Geometrische Deutung: Der Differenzenquotient ist gleich dem Tngens des Neigungswinkels σ der Seknte P Q. Seknte PQ f(x+ x) Q f(x) f(x) P σ x σ x x+ x Lässt mn nun den Punkt Q gegen P wndern, d.h. streben, so geht die Seknte in die Tngente im Punkt P über. Wir betrchten den Tngens des Neigungswinkels τ der Tngente. Seknte PQ Q f(x) Tngente in P P τ x τ σ x x+ x

4 4 Der Grenzwert f (x) := tn(τ) = f(x) lim f(x + ) f(x) = lim heisst der Differentilquotient oder 1. Ableitung der Funktion f n der Stelle x, flls dieser Grenzwert existiert. Er stellt in gewisser Weise die,,momentne Änderung,, von f n der Stelle x dr. Schreibweise: y = f (x) = df(x) dx = dy dx = Df(x) Beispiele: 1. Für die Funktion y = x wissen wir bereits, dss f(x) einfch = x + gilt. Dnn folgt df(x) dx f(x) = lim = lim (x + ) = x.. y = 1 x, x f(x) = df(x) dx =

5 5 Differentitionsregeln Es gelten die folgenden (zum Teil einfch zu überprüfenden) Regeln: Stz 1 1. y = k konstnt y =. y = f(x) mit R y = f (x) Konstntenregel 3. y = f(x) ± g(x) y = f (x) ± g (x) Summenregel 4. y = x mit R y = x 1 Potenzregel 5. y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) + f(x) g (x) Produktregel 6. y = f(x) g(x) mit g(x) y = f (x) g(x) f(x) g (x) g (x) Quotientenregel 7. y = f(g(x)) y = f (g(x)) g (x) Kettenregel Beispiele: (Potenzregel) y = 5 x 5 y = 5 5 x 5 1 = 5 x 4 (Summenregel und Potenzregel) y = x 5 + x 4 y = 5 x x 3 (Produkt-, Potenz- und Summenregel) y = x (x 3 + 7x 1) y = x (x 3 + 7x 1) + x (3x + 7) (Quotienten-, Potenz- und Summenregel) y = x3 x 7 y = 3x (x 7) x 3 (x) = x4 1x (x 7) (x 7) (Ketten-, Potenz- und Summenregel) g(x) = x 7x 3 f(u) = u 1 F (x) = f(g(x)) = (x 7x 3 ) 1 F (x) = f (g(x)) g (x) = 1(x 7x 3 ) (x 1x )

6 6 3 Ableitung spezieller Funktionen Stz (Ableitungen der trigonometrischen Funktionen) y = sin(x) y = cos(x) y = cos(x) y = sin(x) y = tn(x) y = 1 cos (x) Stz 3 (Ableitungen der Logrithmus- und der Exponentilfunktionen) y = ln(x) y = e x y = x y = 1 x y = e x y = ln() x y = log (x) y = 1 ln() 1 x

7 7 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integrl Definition 4.1 Eine Funktion y = F (x) heisst Stmmfunktion der Funktion y = f(x), flls F (x) = f(x) gilt. Beispiel 4.1 Mn findet schnell eine Stmmfunktion F für die Funktion f(x) = x, denn es gilt (x /) = x/ = x, lso ist x eine Stmmfunktion von f. Ebenflls gilt für jede Zhl (Konstnte) c die Gleichung (x / + c) = x/ = x, lso ist uch jede Funktion der Gestlt x + c eine Stmmfunktion von f. Definition 4. (Ds unbestimmte Integrl) Stmmfunktionen einer Funktion y = f(x) unterscheiden sich nur um eine dditive Konstnte. Die Menge ller Stmmfunktionen von y = f(x) nennt mn unbestimmtes Integrl und schreibt f(x)dx = F (x) + c. Einige wichtige unbestimmte Integrle f(x) f(x)dx f(x) f(x)dx c, c R 1 x + c, c R x α, α 1 x α+1 α c, c R 1 x ln x + c, c R e x e x + c, c R e x e x + c, c R sin x cos x + c, c R cos x sin x + c, c R 1 1 x rcsin x + c, c R 1 1 x rccos x + c, c R

8 8 Definition 4.3 (Ds bestimmte Integrl) Ds bestimmte Integrl ist gleich der Nettofläche unter der Kurve y = f(x) zwischen x = und x = b. Mn schreibt dfür: f(x) dx. Gnz entscheidend ist der folgende Zusmmenhng zwischen dem bestimmten und unbestimmten Integrl: Stz 4 (. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f eine uf dem Intervll [, b] stetige Funktion und F eine beliebige Stmmfunktion von f. Dnn gilt f(x) dx = F (b) F (). Beispiel π sin(x)dx = cos(x) π = cos( π ) + cos() = 1.. Ws hlten Sie von der folgenden Rechnung 1 1 x dx = 1 x 1 = = 1???

9 9 5 Eigenschften des bestimmten Integrls 1. Es genügt voruszusetzen, dss f stückweise stetig ist: f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Nimmt die Funktion uch negtive Werte n, so ist der folgende Schverhlt zu bechten: Ds bestimmte Integrl f(x)dx ist die Fläche zwischen der Kurve und der x-achse, wobei Flächenstücke unterhlb der x-achse negtiv gezählt werden. 3. c f(x)dx = c f(x)dx 4. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx 5. f(x)dx =. 6. f(x)dx = b f(x)dx 7. Für den Inhlt der Fläche F die von den Grphen der beiden Funktionen f(x) und g(x) eingeschlossen wird gilt re(f ) = (f(x) g(x))dx. y g(x) F f(x) b x

10 1 6 Integrlfunktionen Der Zhlenwert f(x) dx lässt sich ls (Netto)flächeninhlt der Fläche zwischen x- Achse und Funktionsgrph zwischen den beiden Grenzen x = und x = b interpretieren. Hält mn die untere Integrtionsgrenze fest und vriiert die obere Integrtionsgrenze b, so erhält mn für jeden Wert b genu einen (Netto)flächeninhlt f(x) dx. Um diese Vrition besser verdeutlichen zu können ersetzt mn b durch die Vrible x und ersetzt die Integrtionsvrible (ws eigentlich nicht nötig ist, ber hoffentlich Missverständnissen vorbeugt) durch einen nderen Buchstben, hier t. Definition 6.1 Die Funktion sei uf einem Intervll I stetig und, x I. Dnn heisst die Funktion Integrlfunktion zu f (und ). Bemerkungen F (x) = x f(t) dt Für positives f und x > lässt sich F (x) ls vribler Flächeninhlt unter dem Grphen von f nsehen. Je nch Festlegung der unteren Integrtionsgrenze gibt es verschiedene Integrlfunktionen für f. Beispiel 6.1 Sei f(x) = x 1 (oder f(t) = t 1). Dnn gilt z.b. x [ ] x 1 F 3 (x) = f(t) dt = 3 t3 t = 1 ( ) 1 3 x3 x F (x) = F (x) = Bemerkungen 3 x x f(t) dt = f(t) dt = [ 1 3 t3 t [ 1 3 t3 t 3 ] x ] x = 1 ( ) 1 3 x3 x 3 3 = 1 3 x3 x An diesem Beispiel knn mn folgendes erkennen: ( ) = 1 3 x3 x 6 = 1 3 x3 x + Alle Integrlfunktionen unterscheiden sich nur um eine dditive Konstnte. Die Ableitungen liefern die Ausgngsfunktion x 1 zurück. Diese Ttschen sind llgemein gültig und liefern: Stz 5 (1. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Es sei f uf einem Intervll I stetig. Dnn ist jede Integrlfunktion F von f mit I differenzierbr uf I und es gilt: F (x) = d dx F (x) = f(x). Jede Integrlfunktion ist somit eine Stmmfunktion von f. (Die Umkehrung gilt llerdings nicht!)

11 11 7 Aufgben 1. Bestimmen Sie den (definitionsgemäss) Differenzenquotienten und den Differenzilquotienten von y = x.. Bestimmen Sie unter Verwendung der (Ableitungs)regeln die Ableitungen der folgenden Funktionen: () y = 7 (4 x) 8 (b) y = 3 x 5x (c) y = sin(x ) (d) y = 1 cos(3x) (e) y = sin(x) 1 + e x (f) y = x ln(4x) (g) y = e x 3. Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: () f 1 (x) = 3x + 1 x 4 für x 4 (b) f (x) = xe x ( ) 1 (c) f 3 (x) = ln 1 + x (d) f 4 (x) = 7 3x (e) f 5 (x) = x x 4. (Fundmentlufgbe) Angenommen, Sie können den Grphen einer Funktion y = f(x) skizzieren. Wo knn mn die reellen Zhlen f(x)dx, f(x)dx und f(x)dx,,sehen?

12 1 5. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrle. Versuchen Sie dbei die jeweilige Stmmfunktion zu errten und bestätigen Sie Ihr Ergebnis durch bleiten. () (b) (c) (d) 1 π e.5x dx x 1 + x dx 3 x dx cos(x) dx 6. Sei f(x) = x + x + 1. Bestimmen Sie die Integrlfunktionen F (x), F (x), F (x) und F (x) llgemein. 7. Gesucht ist die Fläche, die von den Funktionen eingeschlossen wird. y = 1 x, y = 1 x und y = 1 16 x Es sei die Kostenfunktion (sie gibt die (Produktionskosten)Kosten k(x) ls Funktion der produzierten Stückzhl x n) { x k(x) := + 5 für x [, ] x + 8 für x > gegeben. Skizzieren Sie die Funktion und berechnen Sie 3 k(x)dx. 9. Bestimmen Sie den Inhlt der Fläche, die von den beiden Prbeln y = x und y = x + 5 begrenzt wird. 1. Finden Sie die Funktionsgleichung einer Kurve, deren Anstieg durch die Gleichung f(x) = 3x beschrieben wird und deren Funktionswert im Punkt x = 4 gleich 1 ist.

13 13 8 Lösungen der Aufgben 1.?. ) 56(4 x) 7, x 5 b) 3(x 5x), /3 c) 4x cos(x ), d) 3 sin(3x) 1 cos(3x), e) cos(x)(1 + ex ) e x sin(x) (1 + e x ) f) 1 + ln(4x) und 1 g) x e x 3. ) f 1 = 13 (x 4), ( ) x b) f = 1 + e x, c) f 3 = x 1 + x, d) f 4 = 3 ln(7) 7 3x 4. e) f 5 = (1 + ln(x))x x 5. ) e, b) ln(), c) 8/ ln(3), d) 6. F (x) = 1 3 x3 + 1 x + x + 8 3, F (x) = 1 3 x3 + 1 x + x, F (x) = 1 3 x3 + 1 x + x 3 F (x) = 1 3 x3 + 1 x + x / k(x)dx = = = (x + 5) dx + [ 1 3 x3 + 5x ] + 3 [ 1 x + 8x (x + 8) dx ] 3

14 Schnittpunkte: ± Fläche: 5 ( x + 5 x )dx = = g(x) = 3 x x 15