Merkhilfe Integralrechnung
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- Marcus Albrecht
- vor 6 Jahren
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1 Merkhilfe Integrlrechnung. Integrlfunktion A () =? Huptstz A () =? b f() d =? 2. von der Änderungsrte zum Bestnd Bestndsfunktion F() =? 3. mittlerer Funktionswert m =? 4. Volumen eines Rottionskörpers V =? 5. Stmmfunktion von k f() r (r ) sin cos e ( > 0) f( + b) 6. Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () =? f() =? eponentiell f () =? f() =? beschränkt f () =? f() =? logistisch f () =? f() =? 7. durchschnittliche (mittlere) Änderungsrte von f uf dem Intervll [, b] m =? momentne (lokle) Änderungsrte von f n der Stelle?
2 8. Inhlt der Fläche zwischen zwei Grphen, obere Funktion f, untere g, Grenzen, b A =? mehrere Schnittstellen A =? 9. uneigentliches Integrl f() d =? 0. Volumen eines Hohlkörpers obere Funktion f, untere g, Grenzen, b V =?. Volumen bei Rottion um die y-achse 2. unbestimmtes Integrl f () f() d =? 2
3 Ende der Merkhilfe Integrlrechnung zum Anfng zur Merkhilfe Grundwissen Differenzilrechnung Vektorrechnung Stochstik Homepge 3
4 4
5 Integrlfunktion A () = f(u) du Huptstz A () =? b f() d =? y A () = f(t) dt = f(t) = t2 t 5
6 Integrlfunktion A () = f(u) du Huptstz A () = f() b f() d =? 6
7 Integrlfunktion A () =? Huptstz A () =? b f() d = [ F() ] b = F(b) F() A = 2 [ ] ( 2 + ) d = = ( 3 ) =... = 6 5 y f() =
8 von der Änderungsrte zum Bestnd Bestndsfunktion F() =? Bei einem Gewitter beschreibt die Funktion f(t) = 60 t e 0,5t, 0 t 5, modellhft die Menge des uftretenden Regens in ml pro m 2 und Minute, Zeit t nch Beginn des Gewitters in Minuten. ) Ermittle die Regenmenge in ml pro m 2, die ) in den ersten 5 Minuten nch Beginn des Gewitters, 2) zwischen der 5. und 0. Minute gefllen ist. b) Nch welcher Zeit von Beginn des Gewitters sind 200 ml pro m 2 gefllen? 50 y f t ) ) 2) f(t) dt = 7,0 [ml/m 2 ] f(t) dt = 59,2 [ml/m 2 ] b) t0 0 f(t) dt = 200 = t 0 = 6,5 [Minuten] 8
9 von der Änderungsrte zum Bestnd Bestndsfunktion F() = F() + f(u) du y 2 Höhenwchstum F Wchstumsgeschwindigkeit f Zeit (in Monten) Gegeben ist die Wchstumsgeschwindigkeit (in m/mont) von Sonnenblumen. Zeichne den Verluf des Höhenwchstums in Abhängigkeit von der Zeit, zur Zeit = 0 beträgt die Höhe 0,20 m. F(0) = 0,20 Anfngsbestnd F(), Anfng (meistens = 0) 9
10 mittlerer Funktionswert m = b b f() d y 3 2 m f
11 Volumen eines Rottionskörpers b V = π [f()] 2 d y f() = b b V = π 0 [ ] 2 d = π [ ] 2 b 2 0 = π b2 2
12 Stmmfunktion von k f() r (r ) sin cos e ( > 0) f( + b) k F() 2
13 Stmmfunktion von k f() r (r ) sin cos e ( > 0) f( + b) r + r+ 3
14 Stmmfunktion von k f() r (r ) sin cos e ( > 0) f( + b) cos 4
15 Stmmfunktion von k f() r (r ) sin cos e ( > 0) f( + b) sin 5
16 Stmmfunktion von k f() r (r ) sin cos e ( > 0) f( + b) e 6
17 Stmmfunktion von k f() r (r ) sin cos e ( > 0) ln f( + b) Bechte: Über Unendlichkeitsstellen (Polstellen) drf mn nicht einfch hinweg integrieren. 7
18 Stmmfunktion von k f() r (r ) sin cos e ( > 0) f( + b) F( + b) 8
19 Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () = k f() =? eponentiell f () =? f() =? beschränkt f () =? f() =? logistisch f () =? f() =? 9
20 Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () = k f() = k + c eponentiell f () =? f() =? beschränkt f () =? f() =? logistisch f () =? f() =? 20
21 Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () =? f() =? eponentiell f () = kf() f() =? beschränkt f () =? f() =? logistisch f () =? f() =? 2
22 Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () =? f() =? eponentiell f () = kf() f() = e k beschränkt f () =? f() =? logistisch f () =? f() =? y 22
23 Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () =? f() =? eponentiell f () =? f() =? beschränkt f () =? f() =? logistisch f () = k(s f())f() f() = S + (S )e ks y lterntiv f(t) = S S, f(0) = + e kt + f (t) = k S f(t) (S f(t)) 23
24 Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () =? f() =? eponentiell f () =? f() =? beschränkt f () = k(s f()) f() =? logistisch f () =? f() =? 24
25 Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () =? f() =? eponentiell f () =? f() =? beschränkt f () = k(s f()) f() = S e k logistisch f () =? f() =? y 25
26 Wchstumsfunktionen, k > 0 Differenzilgleichung Funktion liner f () =? f() =? eponentiell f () =? f() =? beschränkt f () =? f() =? logistisch f () = k(s f())f() f() =? 26
27 durchschnittliche (mittlere) Änderungsrte von f uf dem Intervll [, b] momentne (lokle) Änderungsrte von f n der Stelle? m = f(b) f() b 7 y f f
28 durchschnittliche (mittlere) Änderungsrte von f uf dem Intervll [, b] m =? momentne (lokle) Änderungsrte von f n der Stelle f () 28
29 Inhlt der Fläche zwischen zwei Grphen, obere Funktion f, untere g, Grenzen, b A() = mehrere Schnittstellen A() = b (f() g()) d 3 y 2 f g
30 Inhlt der Fläche zwischen zwei Grphen, obere Funktion f, untere g, Grenzen, b A =? mehrere Schnittstellen A = 5 y b f() g() d GTR, bs( ) oder bschnittsweise Berechnung 4 3 g f
31 uneigentliches Integrl f() d = lim u u f() d y f 3 g Gegeben sind die Funktionen: f() = ( + ) 2 e g() = 2( + ) e Deuten Sie t lim (f() g())d = 0 t geometrisch. Zeigen Sie, dss f () = g() f() gilt und berechnen Sie den Inhlt der Fläche A, die im Bereich von den Grphen von f und g eingeschlossen wird. [ zur Kontrolle: A = 4 e ] 3
32 Volumen eines Hohlkörpers obere Funktion f, untere g, Grenzen, b b V = π [f()] 2 b d π [g()] 2 d b π (f() g()) 2 d 32
33 y V y f() = 2 y f () = V y = π 0 [f (y)] 2 dy = π 0 [f ()] 2 d 4 V y = π 0 [f ()] 2 d = 8π Ds Volumen bei Rottion um die y-achse ist gleich dem Volumen bei Rottion der Umkehrfunktion um die -Achse. Die Grenzen sind nzupssen. 33
34 unbestimmtes Integrl f () f() d = ln(f()) + C g() = ln(f()) g () = f () f() Kettenregel, bechte (ln()) = llgemein f () f() d = ln f() + C 34
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