5.5. Integralrechnung

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1 .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds Schuild des Integrnden f, die untere Grenze und die oere Grenze egrenzt wird, heißt dnn Integrl von f üer zwischen und. f ()d d f() f() f () d Bemerkungen:. Der orientierte Flächeninhlt ht ein positives zw. negtives Vorzeichen, wenn die Fläche oerhl zw. unterhl der -Achse liegt.. Wird ds Integrl ls Funktion in Ahängigkeit von der oeren Grenze etrchtet, so nennt mn es uch Integrlfunktion I ( ) f ()d.. Ds Integrl läßt sich mit elieiger Genuigkeit nnähern, indem mn es ls Summe S n von n Rechtecken mit den Höhen f( ), f( ),... und der Breite Δ zwischen den Grenzen und ildet. Dei n müssen die Stellen,,... jeweils im.,.,... Rechteck mit der Breite Δ liegen: S n f( ) Δ + f( ) Δ f( n ) Δ. Für n und Δ streen dnn die Summen S n gegen ds Integrl: S n f ()d für n Üungen: Aufgen zur Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode... Stmmfunktionen Definition: Eine Funktion F heißt Stmmfunktion zur Funktion f, flls F'() f() für lle D. Ds Bilden der Stmmfunktion ist die Umkehrung des Aleitens und wird dher uch Aufleiten gennnt. Aufleitunsregeln: Funktion f() Stmmfunktion F c () Konstnte Fktoren g() leien unverändert G c () Summen werden einzeln g() + h() ufgeleitet G c () + H c () Potenzfunktionen n mit n R\{ } n n+ + c ln + c Gnzrtionle Funktionen n n + n - n n n n + + n n n c Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr.

2 ... Berechnung von Integrlen mit Stmmfunktionen Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung für stetige Funktionen Gegeen sei eine uf dem Intervll [,] stetige Funktion f() mit der Stmmfunktion F(). Ds Integrl von f üer zwischen und ist gleich der Differenz der Funktionswerte der Stmmfunktion n den Stellen und : f ()d Beweis: f ()d (I ()) F() F() F() I ( Δ) I () Δ Δ Δ Δ f(), Δ Δ f ()d f ()d denn wegen der Stetigkeit von f stret f ()d Δ f ()d gegen f() h für Δ. Dzu wählt mn die Stellen hm und hm [; + Δ], n denen f den kleinsten zw. größten Wert im Intervll [; + Δ] nnimmt. Diese Stellen eistieren, weil ds Intervll [; + Δ] geschlossen und f stetig ist. Dnn gilt die Aschätzung f( hm ) Δ Δ f ()d f( hm ) Δ. Für Δ streen hm und hm gegen. Wieder wegen der Stetigkeit von f streen dnn uch f( hm ) und f( hm ) gegen., d.h. Δ f ()d stret gegen f() Δ. Dmit ist gezeigt, dss (I ()) f() I () F c () F () + c. Zur Berechnung von c setzt mn und erhält I () F () + c c F (). Durch Einsetzen ergit sich die Formel I () F () F (). Δ f ()d f() Δ + Δ f( Beispiel: ( )d ( + ) ( + ) Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. ) c)... Eigenschften des Integrls Intervlldditivität Beispiel: Aufgen zur Integrlrechnung Aufge d) ) ) c) d d d d d f() - - d d

3 Intervlldditivität des Integrls Gegeen seien die Grenzen,, c R mit < < c und eine uf [; c] stetige Funktion f mit f() für lle [; c]. Dnn gilt c f ()d f ()d + c f ()d In Worten: Ds Integrl üer ds Gesmtintervll [; c] läßt sich ls Summe der Integrle üer die eiden Teilintervlle [; ] und [; c] schreien. Vertuschung der Grenzen Beispiel: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. e) d 8 7 er d 8 7 Vertuschung der Grenzen Vertuschung von oerer und unterer Grenze zw. Integrtion von rechts nch links führt zu Vorzeichenwechsel, d die Streifenreite d < ist: f ()d F() F() (F() F()) f ()d. Bemerkung: Liegt die "oere" Grenze links von der "unteren" Grenze, so summiert mn ei der Trpezmethode von rechts nch links und die Streifenreite d erhält ein negtives Vorzeichen. Flächen unterhl der -Achse Aufgenltt zur Integrlrechnung Nr. f) A ( )d + ( )d + 8 FE Flächen unterhl der -Achse Flächen, die unterhl der -Achse liegen, werden negtiv gezählt, d die Streifenhöhe f() < ist: f ()d <, flls f() für lle [; ]. Bemerkung: Zur Berechnung von Flächen, die unterhl der -Achse liegen, verwendet mn den Betrg des entsprechenden Integrls f() f ()d - - f ()d - Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. und

4 Flächen, die durch zwei Schuilder egrenzt werden Beispiel. Aufgen zur Integrlrechnung Nr. ) A (g() d FE f ())d g() f() Inhlte von Flächen, die durch zwei Schuilder egrenzt werden Gegeen seien zwei Funktionen f und g, mit f() g() für lle [; ]. Dnn lässt sich der Inhlt A der Fläche, die durch die Senkrechten und sowie die Schuilder von f und g egrenzt wird, ls Integrl üer f() g() ( Streifenhöhe) erechnen: A f () g() d Bemerkung: Schneiden sich die Schuilder von f und g innerhl des Intervlls [; ], so muß ds Integrl in entsprechende Teilintervlle ufgeteilt werden, so dss im Integrnden immer die oerhl der Fläche verlufende Funktion ein positives Vorzeichen esitzt. (oder Beträge verwenden) Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr Die Sustitutionsmethode Stz üer die Sustitutionsmethode ei der Integrtion Für eine uf [; ] differenzierre Funktion z und eine uf [z(); z()] integrierre Funktion f gilt z '() f (z())d z() z() f (z)dz Beweis Mn geht von der Kettenregel der Differentilrechnung us: f (z()) ' z'() f (z()) Integrtion von is uf eiden Seiten f (z()) 'd f (z()) f(z()) f(z()) z() f (z) z() z() z() f '(z)dz z '() f '(z())d z '() f '(z())d z '() f '(z())d z '() f '(z())d z '() f '(z())d Huptstz für Integrtion üer d uf der linken Seite nwenden Huptstz für Integrtion üer dz uf der linken Seite nwenden: In der Anwendung etrchtet mn die äußere Aleitung f (z) ls Ausgngsfunktion und formuliert die Gleichung dher mit f nstelle von f : z() z() f (z)dz z '() f (z())d -

5 Beispiele :... e d z '() f (z())d e d d z z() z() f (z)dz : e dz e e mit z() und f(z) e z. e d d Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr Produktintegrtion z e dz e e mit z() + und f(z) e z 8 dz z Stz üer die Produktintegrtion oder teilweise(prtielle) Integrtion Für uf [; ] differenzierre Funktionen g und h gilt (ln 8 ln ) ln 8 mit z() und f(z) z g'() h() d g() h() Beweis Mn geht von der Produktregel der Differentilrechnung us (von rechts nch links gelesen) g'() h() + g() h'() g() h() ' g() h'() d D die Stmmfunktion der linken Seite eknnt ist, läßt sich drus uch eine Regel für die (zumindest teilweise) Integrtion von Produkten gewinnen: g'() h() d + g() h'() d g() h() 'd g() h() Beispiele:. e d g'() h() d e d g() h() e g() h'() d e d e e e ( ).. ( ) cos d cos ln d (cos ) ( ) d (sin ) ( ) cos ln d ln (sin ) ( ) d ln (sin ) d (sin ) ( ) ln ln Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. 9 und..7. Prtilruchzerlegung Stz üer die Prtilruchzerlegung echt gerochenrtionler Funktionen Für,,, R und gilt ( ) ( ) A + B mit A und B Beweis: A B A ( ) B ( ) (A B) A B + (A + B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B + R A + B und A B A und B.

6 Beispiel: d ( ) ( ) d ( )( )..8. Uneigentliche Integrle A + B d mit A d und B ln( ) ln( ) ln ln ln 8 Definition Wenn sich eine Kurve für ± oder schnell genug einer Koordintenchse oder einer nderen Kurve nnähert, konvergiert uch die entsprechende Fläche gegen einen Flächengrenzwert. Die Fläche ht dnn zwr eine unendliche Ausdehnung und keine geschlossene Umrndung, esitzt er trotzdem eine endliche Mßzhl. Solche Grenzwerte von Integrlen nennt mn dher uneigentliche Integrle. Mn schreit kürzend: Beispiel: ( ) f ()d zw. d f ()d ( ) d f ()d ( ) Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. und..9. Numerische Integrtionsmethoden Linere Näherung mit der Sehnentrpezregel f ()d ( ),9,8,7,,,,,, f ()d S + S f () f [f() + f + + f()] f f () f() S S f() f() f Qudrtische Näherung mit der Kepler sche Fßregel f ()d (S S ) T (S + S ) + T [f() + f [f() + f + f()] + + f()] ( ) f T f f()

7 Beispiel:. Linere Näherung mit Sehnentrpezregel:. Qudrtische Näherung mit Keplerscher Fßregel: d. Ekter Wert mit dem Huptstz (Stmmfunktion): [ + d d Üungen: Anwendungsufgen zur Integrlrechnung Aufge... Inhlte von Rottionskörpern [ + + ],97,7 + ],7 (!) Stz (Rottion um -Achse) Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f mit f() für lle [; ]. Dnn ht der Körper, der durch Rottion des Schuildes von f im Bereich [; ] um die -Achse entsteht, ds Volumen V (f ()) d. f( f( f () d (f ()) d f() f() d d Beweisidee Die Fläche f ()d zwischen Schuild und -Achse lässt sich mit elieiger Genuigkeit nnähern, indem mn die Summe S der Flächen f() d der Rechtecke mit Höhe f() und Breite d zwischen den Grenzen und ildet. Bildet mn stttdessen die Summe S der Volumin π f()) d der Zlinder mit Rdius f() und Höhe d, so erhält mn entsprechend ds Volumen V (f ()) d zwischen rotierendem Schuild und -Achse Stz (Rottion um -Achse) Gegeen seien, R mit < < und eine uf [; ] stetige und streng monotone Funktion f mit der Umkehrfunktion f. Dnn ht der Körper, der durch Rottion des Schuildes von f im Bereich [f(); f()] um die -Achse entsteht, ds Volumen V Beweis: klr f () f () (f ()) d. Üungen: Anwendungsufgen zur Intergrlrechnung Nr. - 7