Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG

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1 Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung Erinnerung: Seien, b R mit b, f : [, b] R eine beschränkte Funktion. In Anlysis I hben wir definiert O(f) inf {I(ψ) ψ T[, b], f ψ } (Oberintegrl) U(f) sup {I(ϕ) ϕ T[, b], ϕ f } (Unterintegrl) Wobei T[, b] die Menge ller Treppenfunktionen uf [, b] bezeichnet und für jedes ϕ T[, b], I(ϕ) ds Intergrl der Treppenfunktion ϕ bezeichnet. Abbildung : Treppenfunktion In Formeln: Ist t < t <. < t r b Zerlegung von [, b] mit ϕ() c i (t i, t i ), so gilt I(ϕ) r c i (t i t i ). Definition: f heißt Riemnn-integrierbr, flls O(f) U(f). Dnn setzen wir O(f) ( U(f)) Dies ist äquivlent zu jeder der folgenden Aussgen: () ε > ϕ, ψ T[, b] mit ϕ f ψ und I(ψ ϕ) I(ψ) I(ϕ) < ε i b f()d : (2) folgen (ϕ n ) n, (ψ n ) n in T[, b] mit ϕ n f ψ n und I (ψ n ϕ n ), n. Wir wissen: Jede stetige Funktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr. Wir wollen nun Verfhren kennen lernen, wie wir Integrle in vielen Situtionen prktisch lösen können. Diese beruhen uf der Beziehung zwischen Integrtion und Ableiten von Funktionen: Definition. Sei I R ein echtes Intervll und sei f : I R eine Funktion. Eine Funktion F : I R heißt Stmmfunktion von f, flls F differenzierbr ist und F f gilt. Lemm.2 Sei f : I R wie in Sind dnn F, G : I R zwei Stmmfunktionen von f, so eistiert ein c R mit F() G() + c I. Beweis: D F G f ist F G : I R differenzierbr mit (F G) F getext: Juli Wolters 5

2 Anlysis 2 Vorlesung SS 29 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG G f f. Nch Anlysis, 6.5 folgt F G ist konstnt, d.h. c R mit F() G() c I. Der folgende Stz ist der wohl wichtigste St in der Integrtionstheorie: Stz.3 (Huptstz der Integrl und Differentil-Rechnung) Seien I R ein echtes Intervll, f : I R stetig und I. Dnn gelten: () Ist F : I R definiert durch F() : f(t)dt, so ist F eine Stmmfunktion von f. (2) Ist G : I R eine beliebige Stmmfunktion von f, so gilt b (Erinnerung: Ist <, so setzte f(t)dt G(b) G() f(t)dt f(t)dt) Beweis: Ist () gezeigt, so folgt (2) wie folgt: Nch.2 eistiert ein c R mit F() G() + c, b I I. Dnn folgt G(b) G() (G(b) + c) (G() + c) F(b) F() b () b f(t)dt f(t)dt f(t)dt. Zum Beweis von () müssen wir zeigen: I gilt: Dzu: h (F( + h) F()) h F () lim h F( + h) F() h +h f(t)dt! f() f(t)dt h +h f(t)dt(t) ( ) Nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung (Anlysis, eistiert zu jedem h ein h [, + h] (bzw. h [ + h, ], flls h < ) mit +h f(t)dt f( h )( + h ) f( h ) h Sei I R echtes Intervll, f : I C diffbr mit f () I. Dnn ist f konstnt. 2 Seien f, g : [, b] R stetig mit g. Dnn e ein [, b] mit Spezilfll: Ist g uf [, b], so liefert der Stz b b (f g)()d f( ) b g()d. f()d f( )(b ) für ein geeignetes [, b]. 6 getext: Juli Wolters

3 Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Also folgt ( ) h (f( h) h f( h ). Ferner gilt: h h, lso h n. D f stetig, folgt lim F()) lim h f( h ) f(). h h (F( + h) Bemerkung.4 Aus.3 folgt: Kennen wir eine Stmmfunktion F von f, so können wir ohne Probleme jedes Integrl b f()d F(b) F() berechnen. Als Bezeichnung für die (llgemeine) Stmmfunktion wird oft ds Symbol f()d benutzt. f()d heißt ds unbestimmte Integrl von f. Ist F eine konkrete Stmmfunktion, so schreiben wir f()d F() + c um nzudeuten, dss f()d nur bis uf eine ddierte Konstnte c R eindeutig bestimmt ist! und b f()d F() b ( F(b) F()). Beispiel.5 Aus bereits berechneten Ableitungen wissen wir: ) d c,, R, (, ). b) n d n + n+ + c, n N, R (bzw. n Z \ { }, R \ {}). c) d ln( ) + c, (, ) oder (, ). (Ist F : (, ) R; F() ln( ) ln( ), so folgt F () ln ( ) ). d) e d e + c, R e) sin() cos() + c, cos()d sin() + c, R f) + 2 d rctn() + c, R g) 2d rcsin() + c, (, ). getext: Juli Wolters 7

4 Anlysis 2 Vorlesung SS 29 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Um die Klsse von Funktionen, für die wir eine Stmmfunktion ngegeben können zu vergrößern, benötigen wir einige Rechenregeln, die lle us den Ableitungsregeln hergeleitet werden!.6 (Prtielle Integrtion) Sei I R echtes Intervll. Sind f, g : I R stetig differenzierbr (lso f, g stetig), so folgt us der Produktregel (f g) f g + fg die Gleichung von stetigen, lso integrierbren Funktionen Integrieren uf beiden Seiten liefert: b f g (f g) fg f ()g()d (f g)() b b f()g ()d (bzw. f ()g()d (f g)() f()g ()d für die unbestimmten Integrle). Beispiel.7. Wir wollen π cos() sin()d berechnen. Dzu: Setze f g sin, so folgt mit.6 π f g cos() sin()d sin 2 () π π sin() cos()d π π Dmit: 2 cos() sin()d sin 2 () π cos() sin()d Berechne Stmmfunktion: cos() sin()d sin 2 () sin() cos()d cos() sin()d 2 sin2 ()+c 2. Berechne Stmmfunktion von 3 e : 3 e d ff e 3 e g 3 g3 2 3 e 3 2 e e d 6e d 6e d g6 3 e 3 2 e + 6e ( )e + c. 8 getext: Juli Wolters

5 Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG 3. Stmmfunktion von Umkehrfunktionen: ln()d f ln()d g ln() d ln() + c 4. Stmmfunktion von rctn(), R: rctn()d Problem: Wie brechnet mn f d?? + 2 g rctn()d rctn() + 2d.8 (Substitutionsregel) Seien I,J R echte Intervlle, f : I R stetig, u : J I stetig differenzierbr. Ist dnn F eine Stmmfunktion für f, so folgt mit der Kettenregel (F u) () F (u())u () f(u())u () J Dmit ist F u eine StmmFunktion für (f u)u uf J und für, b J gilt b f(u())u ()d (F u) b F(u(b)) F(u()) u(b) u() f(u)du. Merkregel: Schreiben wir u () du, so erhlten wir forml: d u ()d du. Einsetzen liefert dnn die obige Formel! Für unbestimmte Integrle erhält mn: f(u())u ()d f(u)du + c, u u(). Beispiel d? Setze u() + 2. Dnn ist u () 2, lso du 2d. Also folgt u() u ()d 2 u du u+2 ln( u ) + c 2 2 ln( + 2 ) + c. Dmit folgt rctn()d rctn() 2 ln( + 2 ) + c. 2. b f( + c)d u+c u u(b) u() f(u)du b+c +c f(u)du. (Ist F Stmmfunktion von f, so ist F(+c) Stmmfunktion von f(+c)). Beispiel: u+c d u+c du ln( u ) ln( + c ), c. +c u getext: Juli Wolters 9

6 Anlysis 2 Vorlesung SS 29 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG 3. Für c gilt: b f(c)d c cb c f(u)du ( ) uc u c 4. Sei g : I R mit g() I, g stetig differenzierbr. Dnn gilt g () u du ln( u ) + c ln( g() ) + c. b g(b) g bzw. () ( ) du ln( g(b) ) ln( g() ) ln g(b) g() u g(). g() 5. rcsin()d, (, )? Zur Berechnung von Dmit: f rcsin() d rcsin() }{{} g 2 d 2 g {}} { d 2 2d, setzte u 2, du 2d. du u 2 u 2 + c 2 + c. g() u.5 2 du +) c 2 u( ug() d dug ()d Dmit: rcsin()d rcsin() c uf (, ). Nchrechnen zeigt: Dies ist sogr eine Stmmfunktion uf gnz [, ]. Ds folgt z.b. us dem folgendem llgemeinem Lemm: Lemm. Seien F, f : [, b] R stetig und F differenzierbr uf (, b) mit F f uf (, b). Dnn ist F uch differenzierbr uf [, b] mit F f uf [, b]. Beweis: Sei (, b). Nch. Mittelwertstz us der Differentilrechnung eistiert dnn ein (, ) mit f( ) F ( ) F() F(). Wegen < gilt und dmit F F() F() () lim lim f( ) f stetig f(),> Anwendung; (rcsin() π 2, d sin( π 2) ). rcsin()d rcsin() + 2. ( Umgekehrte Substitution ) Gesucht: b π 2 f()d, f : I R stetig,, b I. Dzu: fsse ls Funktion von t uf, d.h. finde ein Intervll J R und eine bijektive getext: Juli Wolters

7 Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG differenzierbre Funktion : J I, so dss f((t)) (t)dt beknnt ist. Dnn folgt mit.8: (b) ((b)) b f((t)) (t)dt f()d f()d.8 () (()) bzw. f()d f((t)) (t)dt + c und schreibe t ls Funktion von vermöge. Beispiel.2. 2 d, [, ] Dzu: Setze sin(t), t [ π, π 2 2 und wir erhlten 2 d sin 2 (t) }{{} f cos 2 (t) ]. Dnn gilt d dt (t) cos(t), lso d cos(t)dt cos(t)dt t [ π 2, π 2], lso cos(t) g cos(t) cos(t)dt sin(t) cos(t) + sin 2 (t)dt sin(t) cos(t) + cos 2 (t)dt sin(t) cos(t) + t cos 2 (t)dt cos 2 (t)dt (sin(t) cos(t) + t) + c 2 cos 2 (t)dt und dmit 2 d Berechnung der Kreisfläche: sin(t) trcsin() (sin(t) cos(t) + t) + c 2 2 (sin(t) sin 2 (t) + t) + c 2 ( 2 + rcsin()) + c. z + iy mit z 2 + y y 2 y 2, flls y und y 2, flls y <. Abbildung 2: Kreisfläche getext: Juli Wolters

8 Anlysis 2 Vorlesung SS 29 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Dmit: Kreisfläche 2 rcsin( ) π 2 ( π 2) π d, R 2 d ( 2 + rcsin()) rcsin() sinh(t) 2 (et e t ) Setze sinh(t). (Anlysis : sinh : R R bijektiv) Es gilt sinh (t) cosh(t) 2 (e + e ). Ferner gilt + sinh 2 (t) cosh 2 (t). Dmit folgt + 2 d + sinh 2 (t) cosh(t)dt cosh 2 (t)dt sinh(t) cosh(t) sinh 2 (t)dt prt.int sinh(t) cosh(t) + cosh 2 (t)dt Rechnung wie in () tarsinh() (sinh(t) cosh(t) + t) + c 2 2 ( Arsinh()) + c Merkregel: Wie in den obigen Beispielen helfen bei Ausdrücken mit 2, + 2, 2 oft die Subsitutionen sin(), cos(), sinh(), cosh() (je nch Sitution). Für weitere Integrtionstechniken (wie etw die Substitution 2 rctn()) für Integrle mit rtionlen Ausdrücken in sin(), cos() und die Prtilbruchzerlegung für rtionle Funktionen verweise ich uf ds Kurzskript 3 zur Integrtion, welches Sie uf der Anlysis- Seite im Netz zu finden. Erinnerung.3 Sei D C und seien f n, f : D C Funktionen, n N. Dnn konvergiert (f n ) n punktweise gegen f, flls f n (z) f(z) z D gilt. Eine bessere Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz. Dzu definieren wir für jede beschränkte Funktion g : D C die sup-norm g D : sup g(z) z D Es gilt dnn: (f n ) n konvergiert gleichmäßig gegen f, flls f n f, n Insbesondere muss f n f für fst lle n N beschränkt sein! (fst lle bis uf endlich viele) getext: Juli Wolters

9 Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Beispiel: Sei n (z z ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R >. Seien f n, f : n U R (z ) C die Funktionen f n (z) k (z z ) k, f(z) k (z z ) k. n pktw. Dnn gilt: f n (z) f(z) z U R (z ), lso f n f. Im Allgemeinen hben wir ber keine gleichmäßige Konvergenz uf gnz U R (z ). Wählen wir ber ein beliebiges < r < R, so gilt n f n Br(z ) glm f Br(z ) (B r (z ) {z C z z r}) d.h. uf jedem kleineren Kreis liegt gleichmäßige Konvergenz vor! ( Anlysis I, Kpitel 3). Bei gleichmäßiger Konvergenz knn mn Integrtion und Limes vertuschen, d.h. es gilt: Stz.4 Seien f n, f : [, b] R integrierbre Funktionen, n N, und es konvergiere (f n ) n gleichmäßig gegen f. Dnn gilt b b f()d lim f n ()d n Beweis: Es gilt b b f n ()d b b f()d (f n f)()d f n f [,b] d (b ) f n f [,b] glm, n 8.6 b (f n f)() d }{{} f n f [,b] glm Bemerkung.5. Mn knn zeigen (siehe Bltt 2), dss gilt: f n f und fn integrierbr n N f integrierbr. Sind lle f n stetig, so folgt us Anlysis, 3. 4, dss uch f stetig ist, und dnn ist uch f integrierbr! 2. Verstuschung von Integrtion und Limes gilt im Allgemeinen nicht, wenn f n pktw f. 4 Seien f n, f : D C Funktionen mit f n glm f. Sind dnn lle f n stetig in z D, so ist uch f stetig in z. getext: Juli Wolters 3

10 Anlysis 2 Vorlesung SS 29 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Beispiel: Für n 2 definiere f n : [, ] n 2, n R durch f n () 2n n2, 2 n n,. n Dnn gilt f n () für lle [, ], denn f n () n und für > eistiert N N mit 2 und dnn folgt f N n() für lle n N. Aber Abbildung 3: Beispiel, wo die Vertuschung von Integrtion und Limes nicht geht. f n ()d d Wir beweisesn nun einen Vertuschungsstz für Ableitungen: Stz.6 Sei I R ein echtes Intervll und seien f n, f : I R Funktionen mit. Alle f n : I R sind stetig differenzierbr. 2. Die Folgen (f n ) n konvergiert punktweise gegen f. 3. g : I R mit (f n) n konvergiert gleichmäßig gegen g. Dnn ist f stetig differenzierbr mit f g. Beweis: Sei I fest. Dnn folgt us dem Huptstz der Integrl und Differentilrechnung, dss f n () f n () + f n(t)dt. f() f() + g(t)dt D f n glm g folgt mit.4, dss f n(t)dt f() f() + g(t)dt für n. D f n pktw f folgt dmit g(t)dt. D lle f n stetig ist nch Anlysis I, 3. uch g stetig. Nch dem Huptstz (Stz.3) ist F() g(t)dt differenzierbr mit F () g(), und dmit folgt nun f differenzierbr mit f () (F() + F()) F () g(). D g stetig, ist uch f stetig differenzierbr. 4 getext: Juli Wolters

11 Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Anwendung.7 Sei n ( ) n Potenzreihe mit R und Konvergenzrdius n R >. Dnn ist f : ( R, + R) C, f() n ( ) n differenzierbr mit f () n n n ( ) n. n Beweis: Nch Aufteilen in Rel und Imginärteil gilt o.b.d.a. n R für lle n N, lso f reellwertig. Zunächst gilt lim n n n lim n n lim n n lim n n, und dmit ht uch die Reihe } n {{} n n ( ) n den Konvergenzrdius R. n Sei nun ( R, + R) und sei < r < R mit ( r, + r). Es recht dnn die Behuptung für f : ( r, + r) R zu zeigen: Setze f n () n k k ( ) k pktw. Dnn gilt f n f (sogr gleichmäßig) und f n() n k k ( ) k konvergiert gleichmäßig gegen g() k k ( ) k uf ( k r, + r). Die Aussge folgt dnn sofort us Stz.6. Folgerung.8 Sei n ( ) n eine Potenzreihe mit R und Konvergenzrdius n R >. Dnn ist F : ( R, + R) C; n ( n+ )6 n+ eine Stmm- n funktion für f() n ( ) n. n F() k Beweis: Wegen n n+ n ht die obige Reihe mindestens Konvergenzrdius R. Der Rest folgt dnn us.7. getext: Juli Wolters 5