Komplexe Integration

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1 Komplexe Integrtion Michel Hrtwig 23. April 2004 Der Unterschied zwischen reeller und komplexer Integrtion Vorbemerkung: Aus Gründen der Anschulichkeit, hbe ich weitgehend uf eine exkte mthemtische Drstellung verzichtet. Ich verweise stttdessen uf die einschlägigen Lehrbücher. Wie ist die Sitution im Reellen? Beknntermßen besitzt jede stetige Funktion f : [, b] R, < b eine Stmmfunktion, zum Beispiel die Integrlfunktion: F (x) := x f(t)dt Dbei spielt es keine Rolle, ob mn den Riemnnschen Integrlbegriff ds Lebeque- Integrl benutzt [FreiBus9] Seite 6. Zur Erinnerung: Beim Riemnnschen Integrl benutzt mn sog. Treppenfunktionen mit denen die zu untersuchende Funktion pproximiert wird. Dbei wird die x-achse gewissermßen in Teile zerlegt. Eine Funktion f : [, b] R ist dbei gerde dnn Riemnnintegrierbr, wenn zu jedem ε > 0 Treppenfunktionen ϕ, ψ T [, b], (dbei ist T [, b] die Menge ller Treppenfunktionen), existieren mit ϕ f ψ und b ψ(x)dx b ϕ(x)dx ε Für eine genue Abhndlung, siehe z.b. [For92] Seite 25ff. Anders in der komplexen Ebene. Dort muß eine Funktion, die eine Stmmfunktion ht, nlytisch sein. Auch diesen Begriff will ich kurz erklären: Eine Funktion ist nlytisch, wenn sie eindeutig und differenzierbr

2 wenn die prtiellen Ableitungen die uchy-riemnnschen Differentilgleichungen erüllen: u x = v y, v x = u y wenn sie in ihrem Anlytizitätsbereich beliebig oft differenzierbr ist Anlytizität ist lso eine wesentlich stärkere Forderung ls die Stetigkeit. Ein weiterer Unterschied ist, dß ds komplexe Integrl ein Kurvenintegrl ist, welches von der Whl der Verbindungskurve bhängt. Dies führt zum Begriff des Linienintegrls. 2 Ds Linienintegrl Wir hben bereits festgestellt, dß komplexe Integrle Kurvenintegrle sind, ds bedeutet, wir müssen zunächst einml klären ws eine Kurve im mthemtischen Sinne ist. Definition: Eine Kurve ist eine stetige Abbildung Φ : [, b], < b eines kompkten reellen Intervlls in der komplexen Ebene. So eine Kurve knn mn ntürlich beliebig konstruieren, deshlb fordern dß der Weg zumindestens stückweise gltt sein soll. Ws bedeutet gltt? Nun, nichts weiter, ls dß die Kurve stetig differenzierbr ist. Dmit ist uch klr, ws stückweise gltt bedeutet: Eine stückweise gltte Kurve ist lso us gltten Teilstücken zusmmengesetzt. = 0 < <... < n = b Einen geschlossenen Weg nennt mn Schlinge. Ht diese Schlinge keine Überkreuzung ht mn es mit einer einfchen Schlinge zu tun. Der Weg gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet mn ls die positive Richtung. Bei der komplexen Integrtion integriert mn Funktionen entlng solcher Wege. Gelegendlich ist es von Bedeutung, ob diese Wege verformbr sind. Dbei spielt die topologische Struktur von Gebieten (G) in eine Rolle. Abbildung : Beispiel für ein einfch zusmmenhängendes Gebiet (links) und ein nicht einfch zusmmenhängendes Gebiet (rechts) in. 2

3 In einfch zusmmenhängenden Gebieten können einfche Schlingen ineinnder stetig überführt werden. Zwei Kurven, die bijektiv und stetig ineinnder überführt werden können, heißen homotop. Bisher hben wir noch nicht definiert ws überhupt ein Kurvenintegrl ist. Dies soll nun nchgeholt werden. Definition: Sei eine gltte Kurve und Φ : [, b] f : D D eine stetige Funktion. Dnn ist Φ f := ds Kurvenintegrl von f entlng Φ. Φ f(ψ)dψ = b f(φ(t))φ (t)dt Doch zunächst einml genug der Theorie, wenden wir uns der Prxis zu. Um ein komplexes Integrl berechnen zu können, muß die Kurve prmetrisiert werden. Häufig gebrucht mn dbei: Für einen Kreis um den Punkt z 0 mit dem Rdius R : Φ(t) = z 0 + Re it, 0 t 2π. Durchläuft mn den Kreis im Uhrzeigersinn, benutzt mn Φ(t) = z 0 + Re it Für eine Strecke von z 0 nch z :Φ(t) = z 0 + t(z z 0 ), wobei 0 t ) Ein Beispiel: Sei ein Kreis mit dem Rdius 5 um den Punkt 0. Berechne c zdz Zunächt lso einml : Φ(t) mit 5e it, 0 t 2π prmetrisieren, Φ (t) = 5ie it, dnn ist z(t) = 5e it = 5(cos t + i sin t) und z = 5(cos t i sin t) = 5e it Dnn ist c zdz = = 2π 0 2π 0 5e it 5e it idt 25idt = 50πi 3

4 3 Der Integrlstz von uchy Sei G ein einfch zusmmenhängendes Gebiet und f eine Funktion in G, dnn gilt für jede einfche Schlinge : Beweis, siehe z.b. [Endl87] Seite 4ff. dzf(z) = 0 Mit Hilfe des Integrlstzes von uchy lssen sich Integrle umschreiben: Ein Integrl über ds Teilstück eines geschlossenen Weges = 2 läßt sich über ds Integrl des nderen Teilstückes 2 usdrücken: 0 = dzf(z) = dzf(z) + dzf(z) dzf(z) = dzf(z) 2 2 Ein Beispiel zum uchyintegrlstz: Es soll folgendes Integrl berechnet werden b dz, (n Z) (z ) n Der geschlossene Weg führt um den Pumkt z = herum, ds bedeutet die Funktion ist nlytisch, ußer bei z =, dort ht sie einen Pol n-ter Ordnung. Mn wählt einen Kreis mit Rdius r = um den Mittelpunkt z = z(t) = + e it, dz = ie it dt, (z ) n = e int Mn erhält: Also b dt (z ) n = ib 2π 0 dte i( n)t = b dz (z ) n = 2bπiδ n { 2bπi für n = 0 für n 4 Die uchy-integrlformel Sei die Funktion f nlytisch uf dem Gebiet G. sei eine geschlossene Kurve, die smt ihrem Innern in G enthlten ist. Dnn gilt: f(z) = 2πi Und die verllgemeinerte uchy-integrlformel: f (n) (z) = n! 2πi 4 f(z ) z z dz f(z ) (z dz z) n+

5 Beweis siehe z.b. [FreiBus9] Seite 87ff. Die Aussge des Stzes ist, dß mn us der Kenntnis der Funktionswerte m Rnd des Anlytizitätsgebiets lle Funktionswerte im Innern bestimmen knn [LPu98] Seite 502 Dies probieren wir gleich n einem Beispiel us dz sin z 2z π Der Kreis hbe den Rdius r = 2, der Pol (z = π 2 ) liegt lso im Innern des Kreises. Setzt mn z 0 = π 2 und f(z) = 2 sin z, ht ds Integrl die Form der Integrlformel von uchy. Ds Ergebnis ist dher 2πi 2 sin( π 2 ) = iπ. 5 Die Lurentreihe Wir erinnern uns n die Potenzreihen. Solche Reihen konvergieren im Anlytizitätsbereich in einem Kreis. Sozusgen eine verbesserte Form der Reihenentwicklung ist die in Lurentreihen. Der Vorteil: Mn kn eine Funktion rund um eine Singulrität (unter Ausschluß eines inneren Kreises um die Singulrität) entwickeln. Definition: Unter einer Lutentreihe versteht mn eine Reihe der Form n= n z n = Ein Beispiel: Lurentreihenentwicklung von n z n n= }{{} Huptteil + n z n }{{} Nebenteil f(z) = z2 4z + 2 z(z )(z 2) = z + z z 2 Für den Entwicklungspunkt z = 0 erhält mn die Konvergenzgebiete A (0 < z < ), A 2 ( < z < 2)undA 3 (2 < z ). Für jedes Gebiet muß eine eigene Reihe entwickelt werde. Sie luten im einzelnen: A : f(z) = z z + 2 z 2 = z z n z n + 2 n+ A 2 : f(z) = z + z z + 2 z 2 = z + n= z n + z n 2 n+ und A 3 : f(z) = z + z z z 2 z = z + n= z n n= 2 n z n 5

6 6 Der Residuenstz 6. Singulritäten Eine isolierte Singulrität z 0 einer nlytischen Funktion f(z) heißt. hebbr 2. Pol 3. wesentlich je nchdem, ob der Huptterm der Lurentreihe. Null ist 2. endlich, lso von der Form k z k ist. Mn sgt uch Pol k-ter Ordnung + (k ) z k z 3. unendlich viele von Null verschiedene Summnden ht Bei physiklischen Anwendungen ht mn es in der Regel mit Polen k-ter Ordnung zu tun (eigentlich sind sie sogr fst immer von erster Ordnung...). Wir ignorieren lso die nderen Fälle und frgen uns: Woher weiß ich von welcher Ordnung mein Pol ist? Die Ordnung eines Pols der Funktion f in ist k ist ord(f; ) < 0 ist ein Pol. Ein Beispiel: ord(f; ) := k f(z) = z 2 + z = z 2 ( + x) = z 2 h(x) lso ord(f; 0) = 2. Die Funktion f ht bei 0 einen Pol 2. Ordnung. 6

7 6.2 Der Residuenstz Ist f in G nlytisch, bis uf isolierte Singulritäten, ist eine einfch geschlossene, stückweise gltte Kurve in G, die keine Singulritäten berührt, und die gnz in G liegt. Dnn ist f(z)dz = 2πi n Res(f; z 0 ) Wie findet mn ds Residuum? Ist der Pol von erster Ordnung, so bestimmt mn Bei Polen n-ter Ordnung Res(f; z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f(z) d n Res(f; z 0 ) = lim z z0 (n )! dz n [(z z 0) n f(z)] Ht f die Form g(z) h(z), wobei h(z 0) = 0 und h (z 0 ) 0 findet mn ds Residuum durch Res(f; z o ) = g(z 0) h (z 0 ) Ein Beispiel: Dnn ist f(z) = e z (z ) 3 ( ) e z Res (z ) 3, d 2 = lim [(z z 2! dz 2 ) 3 e z ] (z ) 3 = lim 2 dz 2 ez = lim 2 ez = e 2 z d 2 z 7 Litertur [FreiBus] Freitg/Busm: Funktionentheorie 99 [Endl] Endl/Luh: Anlysis [For] Forster: Anlysis 992 [LPu] Lng/Pucker: Mthemtische Methoden in der Physik 998 7