4. Der Cauchysche Integralsatz

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1 22 Andres Gthmnn 4. Der Cuchysche Integrlstz Es seien D C offen und f : D C eine stetige Funktion. Ht f in D eine Stmmfunktion, so hben wir im letzten Kpitel gesehen, dss Kurvenintegrle über f in D nur vom Anfngs- und Endpunkt des Weges bhängen bzw. dss Integrle über f entlng geschlossener Wege in D gleich Null sind. Wir konnten jedoch noch kein zufriedenstellendes Kriterium dfür ngeben, wnn f eine solche Stmmfunktion besitzt. Dher wollen wir in diesem und dem nächsten Kpitel ein einfch nchprüfbres hinreichendes Kriterium für diese Wegunbhängigkeit des Integrls beweisen. Dies ist für die Berechnung von Integrlen ntürlich sehr nützlich, d wir in diesem Fll den gegebenen Integrtionsweg durch einen nderen Weg mit gleichem Anfngs- und Endpunkt ersetzen können, für den die Berechnung unter Umständen einfcher wird. Der zentrle Stz, den wir hierfür benötigen, ist der sogennnte Cuchysche Integrlstz. Er besgt nschulich, dss ein Kurvenintegrl entlng eines geschlossenen Weges Null ist, wenn f uf der gnzen von eingeschlossenen Fläche holomorph ist. Leider ist der Begriff der von einer geschlossenen Kurve eingeschlossenen Fläche so nschulich er uch sein mg mthemtisch jedoch nur sehr schwer zu definieren. Wir beschränken uns dher zunächst uf den Fll, in dem ds Bild des Rndes Q eines Quders Q unter einer stetig differenzierbren Abbildung ist (und unter der eingeschlossenen Fläche dnn ds Bild von Q unter zu verstehen ist): Stz 4. (Cuchyscher Integrlstz). Es seien D C offen und f : D C eine holomorphe Funktion. Ferner seien Q = [,b] [c,d] R 2 ein Quder, : Q D eine stetig differenzierbre Abbildung, und = ( Q) ds Bild der Rndkurve von Q unter. Dnn gilt =. d D C c b Bevor wir diesen Stz beweisen, wollen wir uns seine Aussge etws genuer nschuen. Beispiel 4.2. Wir hben oben j schon erwähnt, dss es im Cuchyschen Integrlstz nicht wirklich druf nkommt, dss die Bildkurve us dem Rnd eines Quders entsteht. In der Tt finden sich in der Litertur zhlreiche Versionen des Cuchyschen Integrlstzes für verschiedenste Integrtionswege Dreiecke, Bilder von Dreiecken unter stetigen Abbildungen, Kreislinien und vieles mehr. Ihnen llen ist gemeinsm, dss es sich um Wege hndelt, bei denen die von ihnen eingeschlossene Fläche einfch definierbr ist, und dss der Integrnd uf dieser gesmten Fläche (und nicht nur uf dem Integrtionsweg selbst) ls holomorph vorusgesetzt werden muss. Die folgenden Beispiele zeigen, dss unser Stz 4. bereits uf nhezu beliebige derrtige geschlossene Integrtionswege nwendbr ist: () (Dreiecke) Wir betrchten die Abbildung : Q = [,] [,] C, (t,s) = t + ist. Dnn wird die Unterknte des Quders, lso die Punkte (t,s) mit s = und t, genu uf ds Gerdenstück von bis in der komplexen Ebene bgebildet. Genuso wird die

2 4. Der Cuchysche Integrlstz 23 rechte Knte uf ds Gerdenstück von nch + i und die obere uf ds Gerdenstück von + i nch bgebildet. Die linke Knte des Quders, lso die Punkte mit t =, werden von lle uf bgebildet, so dss diese Knte im Bild verschwindet. Insgesmt ist ds Bild = ( Q) der Rndkurve des Quders lso genu ds im Bild unten rechts eingezeichnete Dreieck. Mn sieht leicht, dss uch ds Innere des Quders Q genu uf ds Innere dieses Dreiecks bgebildet wird. + i Ntürlich knn mn nlog uch ndere Dreiecke in der komplexen Ebene erzeugen. Wir sehen mit Stz 4. lso, dss der Cuchysche Integrlstz uch für Dreiecke gilt, d. h. dss Wegintegrle über Dreieckswege gleich Null sind, wenn die zu integrierende Funktion uf diesem gesmten Dreieck (lso uch im Inneren) holomorph ist. (b) (Kreise) Wir betrchten für z C und r R > die stetig differenzierbre Abbildung : [,r] [,2π] C, (t,s) z +t e is. 2π z z + r r Hier wird (wie im Bild oben) die rechte Knte des Quders uf die Kreislinie um z mit Rdius r bgebildet, die linke uf den Punkt z, und die beiden horizontlen Knten uf die Strecke von z nch z +r in entgegengesetzten Richtungen (so dss sich die entsprechenden Integrle wieder wegheben). Der Cuchysche Integrlstz gilt lso uch für Kreislinien: Es ist =, wenn der Kreis {z C : z z r} komplett in dem Bereich liegt, in dem f holomorph ist. (c) D die Verkettung stetig differenzierbrer Abbildungen wieder stetig differenzierbr ist, sehen wir mit den obigen Beispielen, dss der Cuchysche Integrlstz uch für stetig differenzierbre Bilder von Dreiecken und Kreisen gilt lso für nhezu beliebige Flächen bzw. deren Rndkurven. Beispiel 4.3. Wir betrchten wieder die Funktion f (z) = z, die nch Stz 2. ntürlich in ihrem Definitionsbereich D := C\{} holomorph ist. Ferner seien und 2 die im folgenden Bild rechts unten eingezeichneten Integrtionswege. Nch dem Cuchyschen Integrlstz 4. (bzw. Beispiel 4.2 (b)) ist =, denn die von eingeschlossene Kreisfläche liegt gnz in dem Bereich D, in dem f holomorph ist. Für ds Integrl 2 hingegen sgt der Cuchysche Integrlstz nichts us, denn hier liegt der Nullpunkt, in dem f j nicht einml definiert ist, im Inneren des von 2 begrenzten Kreises. In der Tt hben wir in Beispiel 3.5 () j uch gesehen, dss 2 = 2πi gilt. Im 2 Re

3 24 Andres Gthmnn Der Cuchysche Integrlstz ist unser erster echter Stz der Funktionentheorie. Er ist bsolut zentrl für den weiteren Verluf dieser Vorlesung. Glücklicherweise ist er ber uch nhezu der einzige Stz, bei dem wir wirklich in die reelle Anlysis bsteigen und reltiv komplizierte Abschätzungen vornehmen müssen. Alle weiteren Resultte der Funktionentheorie, die wir in diesem Skript behndeln werden, folgen dnn reltiv einfch Stück für Stück us diesem Stz. Dies ist sicherlich uch einer der Huptgründe dfür, dss die Funktionentheorie insgesmt sehr elegnt und ufgeräumt wirkt. Kommen wir nun ber endlich zum Beweis des Cuchyschen Integrlstzes. Wir werden den Beweis ddurch führen, dss wir den Betrg des gegebenen Kurvenintegrls nch oben durch einen Wert bschätzen, den wir letztlich gegen Null lufen lssen können. Für derrtige Abschätzungen von Integrlen benötigen wir zunächst zwei Lemmt. Ds erste besteht us zwei Resultten, die wir sicher noch oft zur Abschätzung komplexwertiger Integrle verwenden werden. Lemm 4.4 (Integrlbschätzungen). Es seien b zwei reelle Zhlen. () (Dreiecksungleichung für Integrle) Für jede stetige Funktion g: [,b] C gilt b b g(t) dt g(t) dt. (b) (Stndrdbschätzung für Wegintegrle) Für ds Wegintegrl einer stetigen Funktion f : D C uf einer offenen Menge D C über einen Weg : [,b] D gilt L() mx f (z) z [,b] (bechte, dss f uf dem bgeschlossenen Intervll [,b] stetig ist und ds ngegebene Mximum somit existiert [G2, Stz 8.26]). Beweis. () Wie jede komplexe Zhl können wir ds Integrl b g(t)dt mit Hilfe von Polrkoordinten ls Betrg dieser Zhl multipliziert mit einer Zhl vom Betrg schreiben. Es gibt lso ein λ C mit λ = und b b g(t) dt = λ g(t) dt b b = Re(λ g(t))dt + i Im(λ g(t))dt (Definition 3.3 (b)) (b) Es gilt = = b b b Re(λ g(t))dt (Ausgngsintegrl ist reell) λ g(t) dt (Rez z für lle z C) g(t) dt. b = f ((t)) (t)dt () b f ((t)) (t) dt b mx f (z) (t) dt z [,b] = mx f (z) L(). z [,b]

4 4. Der Cuchysche Integrlstz 25 3 Als zweites bruchen wir für den Beweis des Cuchyschen Integrlstzes 4. noch Aussgen drüber, wie sich Längen von Wegen und Abstände von Punkten unter der Abbildung verändern. Lemm 4.5. Wie in Stz 4. seien Q = [,b] [c,d] R 2 ein Quder und : Q R 2 = C eine stetig differenzierbre Abbildung mit Komponentenfunktionen u = Re und v = Im. () Bildet mn den Rnd des Quders mit b, so gilt für die Länge dieses Weges die Abschätzung L(( Q)) M L( Q) mit M := mx{ (w) z : w Q, z R 2 mit z = }, wobei (w) Mt(2 2,R) und (w) z R 2 = C dmit ls Mtrixprodukt zu verstehen ist. (b) Für lle z,z Q gilt (z) (z ) N z z mit N := 2 mx{ u (w), v (w) : w Q}, wobei u (w),v (w) Mt( 2,R) und deren Norm ls euklidische Norm ufzufssen ist. Beweis. Bechte zunächst, dss die im Lemm ngegebenen Mxim M und N ls Mxim stetiger Funktionen uf kompkten Mengen existieren. () Wir betrchten zunächst nur den unteren Rnd des Quders, den wir offensichtlich durch : [,b] Q, t (t,c) prmetrisieren können. Wegen (t) = (,) = für lle t folgt dnn L(()) = b b ( ) (t) dt = ( (t) }{{} =:w Q ) (t) }{{} =:z b dt M dt = M(b ) = M L(). Genuso ergibt sich dies ntürlich uch für die nderen drei Seiten des Quders. Addieren wir diese vier Ungleichungen uf, so erhlten wir genu die Behuptung. (b) Nch dem Mittelwertstz für u [G2, Folgerung 26.7] gibt es einen Punkt w uf der gerden Strecke von z nch z, und dmit insbesondere in Q, mit u(z) u(z ) = u (w) (z z ) u (w) z z (Cuchy-Schwrz-Ungleichung [G2, Stz 2.9]) N 2 z z. Genuso folgt dies ntürlich für v, und dmit nch der Dreiecksungleichung (z) (z ) u(z) u(z ) + i(v(z) v(z )) N z z. Bemerkung 4.6. In den Ausdrücken für M und N in Lemm 4.5 wird jeweils ein Mximum über lle Punkte in Q genommen. Drus ergibt sich, dss diese Zhlen nicht größer werden können, wenn mn von Q zu einem Teilquder von Q übergeht. Mit nderen Worten gelten die Ungleichungen us dem Lemm für lle Teilquder von Q für konstnte Werte von M und N. Dies ist lles, ws wir im Folgenden benötigen werden der genue Ausdruck für diese beiden Zhlen ist für unsere Anwendungen unwichtig. Mit diesen Ergebnissen können wir nun endlich den eigentlichen Beweis des Cuchyschen Integrlstzes führen: Beweis von Stz 4.. Wir teilen den gegebenen Quder Q in vier gleich große Teilquder uf, die wir mit I, II, III, IV bezeichnen:

5 26 Andres Gthmnn d III IV D C c I II b Wie schon in Beispiel 4.2 sieht mn sofort, dss sich ds Integrl von f über den Weg = ( Q) ufteilen lässt in die Summe der vier Wegintegrle = ( I) ( II) ( III) ( IV) (die Integrle uf den Wegstrecken zwischen den Teilqudern heben sich weg, d sie zweiml in entgegengesetzter Richtung durchlufen werden). Dmit folgt nch der Dreiecksungleichung ( I) ( Q ), ( II) ( III) ( IV) wobei Q {I,II,III,IV} ein Teilquder ist, für den der Betrg des betrchteten Wegintegrls m größten ist. Wir setzen dieses Verfhren nun rekursiv fort und definieren so eine Folge Q,Q 2,Q 3,... von Qudern, von denen jeder us dem vorhergehenden durch die obige Prozedur entsteht: Q D z Q Q 2 Q 3 x Die obige Abschätzung liefert dnn offensichtlich induktiv 4n () für lle n. ( Q n ) Bechte, dss die so konstruierte Folge von Qudern in beiden Koordinten eine Intervllschchtelung definiert, und der Schnitt ller Quder Q n dmit genu ein Punkt x in Q ist. Es sei z := (x ) wie oben eingezeichnet der zugehörige Bildpunkt unter. D z in (Q) liegt, ist f nun nch Vorussetzung in z komplex differenzierbr. (Dies ist übrigens die einzige Stelle des Beweises, n der wir die komplexe Differenzierbrkeit von f verwenden und wir sehen in der Tt, dss wir diese Eigenschft nicht uf dem Integrtionsweg selbst, sondern irgendwo in der von begrenzten Fläche benötigen!) Die Funktion f ist in z lso liner pproximierbr, d. h. es gibt eine (notwendig stetige) Funktion r : D C mit und f (z) = f (z ) + f (z )(z z ) + }{{} für lle z D (2) ( ) lim z z z z = (3) [G2, Lemm 25.]. Hier ht der mit ( ) bezeichnete Term offensichtlich eine Stmmfunktion (nämlich z f (z ) + 2 f (z )(z z ) 2 ), so dss beliebige geschlossene Wegintegrle über diesen Ausdruck nch Lemm 3. verschwinden. Setzen wir (2) lso uf der rechten Seite in () ein, so erhlten

6 4. Der Cuchysche Integrlstz 27 wir für lle n, wobei M und N die (konstnten) Mxim us Lemm 4.5 für den Gesmtquder Q bezeichnen (siehe Bemerkung 4.6): 4n dz ( Q n ) 4 n L(( Q n )) mx z ( Q n ) 4 n L(( Q n )) mx z ( Q n ) z z mx z ( Q n ) 4 n MN L( Q n ) mx x x mx x Q n 4 n MN L( Q n ) 2 mx z ( Q n ) z z = MN L( Q) 2 mx z ( Q n ) z z. z ( Q n ) z z z z (Lemm 4.4 (b)) (Lemm 4.5 () und (b)) (L( Q n) = 2 n L( Q)) In diesem Ausdruck ist MN L( Q) 2 unbhängig von n. Im verbleibenden Mximum hingegen konvergiert ds z, n dem jeweils ds Mximum ngenommen wird, notwendigerweise gegen z. Nch (3) konvergiert ds Mximum mit n lso gegen Null, womit wie behuptet = folgt. Um zu sehen, dss der Cuchysche Integrlstz bereits ein mächtiges Werkzeug der Funktionentheorie ist, wollen wir mit seiner Hilfe nun einen ersten einfchen Beweis des Fundmentlstzes der Algebr geben lso zeigen, dss jedes nicht-konstnte komplexe Polynom eine Nullstelle in C ht. Wir werden später in dieser Vorlesung noch einige ndere Beweise hierfür sehen. Aufgbe 4.7. Es sei f = z n + n z n + + ein komplexes Polynom vom Grd n N > mit Leitkoeffizient. () Zeige, dss es ein R R > gibt, so dss 2 z n f (z) 3 2 z n für lle z C mit z R. (b) (Fundmentlstz der Algebr,. Beweis) Beweise, dss f eine Nullstelle in C hben muss. Zeige dzu für r R > für ds Wegintegrl I(r) := z f (z) dz (i) mit der Stndrdbschätzung us Lemm 4.4 (b), dss lim r I(r) =, und z =r (ii) mit dem Cuchyschen Integrlstz 4., dss I(r) = 2πi für lle r, wenn f keine Nullstelle ht.