$Id: potential.tex,v /12/14 15:55:24 hk Exp $ F (s) ds mit p, q U zu schreiben. Damit

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1 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. $Id: otentil.te,v. 9// :: hk E $ Potentilfelder. Wegunbhängige Integrierbrkeit Definition.: Seien U R n offen und F : U R n ein stetiges Vektorfeld. Dnn heißt F ein Potentilfeld wenn für lle in U verlufenden Kurven, δ mit gleichen Strtunkt und Endunkt stets F ds = F ds ist. δ In nderen Worten sollen Kurvenintegrle über ds Vektorfeld F lso nur von Anfngsund Endunkt des Integrtionswegs bhängen. Anstelle von Potentilfeld sind uch die Bezeichnungen konservtives Vektorfeld oder wegunbhängig integrierbres Vektorfeld gebräuchlich. Wie wir bereits gesehen hben ist keinesflls jedes Vektorfeld ein Potentilfeld, es hndelt sich um eine echte Bedingung n ds Vektorfeld. Hben wir ein Potentilfeld uf einer offenen Menge U R n, so ist es nheliegend für Kurvenintegrle über F den Integrtionsweg gr nicht hinzuschreiben, sondern nur seinen Anfngs- und Endunkt nzugeben, lso so etws wie F (s ds mit, q U zu schreiben. Dmit dieser Ausdruck für lle möglichen, q U sinnvoll ist, bruchen wir ds es überhut zu llen, q U immer eine Kurve in U mit Strtunkt und Endunkt q gibt. Dies bedeutet gerde ds die Menge U zusmmenhängend ist, denn in 9. im letzten Semester htten wir dies so definiert ds sich je zwei Punkte in U sogr durch einen Streckenzug verbinden lssen. Definition.: Eine Gebiet im R n ist eine offene, zusmmenhängende und nicht leere Menge U R n. Sind U R n ein Gebiet, F : U R n ein Potentilfeld und, q U, so wählen wir eine Kurve in U mit Strtunkt und Endunkt q, und definieren F ds = F (s ds := F ds. Mit dieser Schreibweise verhält sich ds Integrl über F dnn so wie ds eindimensionle Riemn-Integrl, für lle, q, r U ist nämlich nch.stz.(c,d stets F (s ds + r q F (s ds = r F (s ds und q F (s ds = F (s ds. Weiter ist F (s ds = für jeden Punkt U, d.h. ds Integrl von F über eine geschlossene Kurve ist immer Null. Dies ist ttsächlich gleichwertig dzu ds F ein Potentilfeld ist F ist konservtiv Für jede geschlossene Kurve in U ist F ds =. -

2 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. Angenommen wir hben ein Vektorfeld F dessen Integrl über jede geschlossene Kurve gleich Null ist. Seien dnn, δ zwei beliebige Kurven mit gleichen Anfngs- und Endunkt. Dnn können wir die geschlossene Kurve ɛ := + δ δ bilden, die zunächst entlngläuft und dnn mit δ in umgekehrter Richtung zurückläuft. Nch unserer Vorussetzung n F ist dnn F ds F ds = F ds + F ds = F ds =, δ δ ɛ und somit ist ttsächlich F ds = F ds. Wir wollen jetzt einige Beisiele konservtiver Vektorfelder durchgehen. δ Als ein einfches Beisiel betrchten wir die Erdnziehung. Für die Menge U können wir dnn etw U := R verwenden und die Erdnziehung wird durch ds konstnte Vektorfeld F (,, z = ge beschrieben, wobei g die Erdbeschleunigung ist. Wenn wir ein Kurvenintegrl F ds betrchten, so htten wir in. bereits festgehlten ds dieses Kurvenintegrl gerde die von F entlng des Weges geleistete Arbeit ist. In dieser Sitution ist klr, ds diese Arbeit nur von der Höhendifferenz des Strt- und Endunkts der Kurve bhängt. Dies knn mn uch leicht nchrechnen b F ds = g (t dt = g ( ( (b wobei die z-komonente von ist und [, b] für ds Definitionsintervll der Kurve steht. Dmit ist insbesondere gezeigt ds F ein Potentilfeld ist. Betrchten wir weiter die Funktion ϕ : U R; (,, z gz so können wir unsere Gleichung ls F ds = ϕ(q ϕ( für lle Punkte, q U lesen. Als ein zweites Beisiel betrchten wir einml ds Grvittionsfeld G eines fiierten Körers K der Msse M, d.h. der Körer K wirkt uf eine Msse m im Punkt q die Krft F = mg(q us. Schon in. htten wir die Formel G(q = M q q festgehlten, wobei wir uns den Körer K im Koordintenursrung denken. Kurvenintegrle über ds Grvittionsfeld G bedeuten dnn wieder so etws ähnliches wie geleistete Arbeit, wird ein Körer der Msse m längs der Kurve δ im Grvittionsfeld -

3 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. G bewegt, so ist W = m G ds die vom Grvittionsfeld geleistete Arbeit. Insbesondere sollten die Kurvenintegrle wohl wieder nur vom Abstnd des Anfngs- und δ Endunkts der Kurve zum Nullunkt bhängen. Dies rechnet mn m bequemsten in Kugelkoordinten nch. Nch. ist der Orstvektor in Kugelkoordinten gleich re r, ds Grvittionsfeld schreibt sich lso ls G(r, φ, ψ = M r re r = M r e r = M r r. Für die Kurve δ(t = (r(t, φ(t, ψ(t, t b wird b r b (t G ds = M dt = M r(t r(t = M Definieren wir lso δ ϕ( := M, so hben wir erneut für lle, q R \{} die Gleichung G(s ds = ϕ(q ϕ(. ( r(b. r( Diese Beisiele führen uf den Begriff von Potentilen eines konservtiven Vektorfelds. Definition.: Sei F ein uf einem Gebiet U R n definiertes konservtives Vektorfeld. Ein Potentil von F ist dnn eine Funktion ϕ : U R mit für lle, q U. F (s ds = ϕ(q ϕ( D die ein Potentil definierende Formel nlog zur Berechnung des Riemn-Integrls einer Funktion f durch eine Stmmfunktion F ls b f(t dt = F (b F ( ist, sricht mn oft uch von einer Stmmfunktion ϕ des konservtiven Vektorfelds F. Auch die Bezeichnung Potentilfeld für ds Potentil ϕ kommt vor, mn sollte ds dnn ber nicht mit dem ebenflls ls Potentilfeld bezeichneten Vektorfeld F verwechseln. Genu wie Stmmfunktionen einer reellen Funktion ist ein Potentil bis uf eine dditive Konstnte eindeutig. D nur Differenzen von ϕ uftuchen, ist die Summe eines Potentils und einer Konstnten wieder ein Potentil von F. Ist umgekehrt der Funktionswert ϕ( = c in einem Punkt U festgelegt, so ist für jedes ndere q U uch ϕ(q = ϕ( + (ϕ(q ϕ( = c + F (s ds eindeutig festgelegt. Diese Formel gibt uns umgekehrt uch eine erste Möglichkeit zur Berechnung von Potentilen. Mn wählt willkürlich einen Punkt U und einen -

4 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. Funktionswert c R im Punkt, und definiert ϕ dnn durch die obige Formel. Wenn es überhut ein Potentil gibt, so muss dieses ϕ dnn eines sein. Etws unschön n dieser Formel ist noch, dss die Berechnung von F ds die Whl einer Kurve von nch q erfordert. Ein einfcher Anstz hierfür ist die Verbindungsstrecke (t = + t(q, t, ber im Allgemeinen muss diese ntürlich nicht gnz in U verlufen. Mengen bei denen es ein ssendes U gibt so, dss ll diese Strecken gnz in U sind, nennt mn sternförmig. +t(q q Verbindungsstrecke nicht in U Sternförmige Menge Definition.: Eine Menge A R n heißt sternförmig bezüglich eines Punkts A wenn für jeden Punkt q A uch die Verbindungsstrecke { + t(q t } A gnz in A liegt. Die Menge A heißt sternförmig wenn es einen Punkt A gibt so, dss A bezüglich des Punkts sternförmig ist. Hben wir ein bezüglich eines Punktes U sternförmiges Gebiet U R n, und ein konservtives Vektorfeld F uf U, so wird die obige Formel für ein Potentil von F zu ϕ(q = F (s ds = F ( + t(q (q dt. Wenn es überhut ein Potentil von F gibt, so muss dieses eines sein. Überrüfen wir einml ws sich im Beisiel der Erdnziehung ergibt. Der Einfchheit hlber betrchten wir diese diesml uf dem gnzen R und nehmen =. Es ergibt sich dnn ds uns schon beknnte Potentil ϕ(,, z = g z dt = gz. -

5 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg.. Grdientenfelder Wir wollen nun umgekehrt von einem Potentil ϕ strten und drus ein konservtives Vektorfeld berechnen dessen Potentil dnn ϕ ist. Schon im letzten Semester in 9. htten wir den Grdienten von ϕ ls grd ϕ( := f (. f n ( definiert, d.h. ls den us den rtiellen Ableitungen von f gebildeten Vektor. Dmit können wir jedem Sklrfeld ϕ uf einer offenen Menge U R n ls Ableitung ds zugehörige Grdientenfeld F = grd ϕ : U R n zuordnen. Aus dem letzten Semester kennen wir uch einige der geometrischen Eigenschften des Grdientenfeldes:. Sind U und u R n, so gilt die Gleichung ϕ (u = grd ϕ( u, die Ableitung von ϕ im Punkt ist lso durch sklre Multiliktion mit dem Grdienten in gegeben.. Ds Grdientenfeld F = grd ϕ zeigt in jedem Punkt in die Richtung des stärksten Anstiegs des Potentils ϕ.. Die Feldstärke F ( ist in linerer Näherung der Betrg des Anstiegs von ϕ in Richtung von F.. Ds Grdientenfeld F steht senkrecht uf den Niveumengen M c := { U ϕ( = c} (c R von ϕ. Dies htten wir zwr im letzten Semester nicht elizit festgehlten, es folgt ber leicht us den dmls beschriebenen Aussgen. Ist nämlich eine in einer Niveumenge M c, c R verlufende Kurve, lso ϕ((t = c für lle t im Definitionsbereich von, so folgt durch Ableiten in = (t mit der Kettenregel uch = d dt ϕ((t = ϕ ( (t = grd ϕ( (t = F ( (t, d.h. F ( steht senkrecht uf llen in M c liegenden Kurven, und dmit uf M c selbst. Wir wollen uns einml zwei Beisiele zu diesen Eigenschften des Grdientenfeldes nschuen. Wir beginnen mit -

6 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg ϕ(, = tn Niveumengen und grd ϕ Wir wollen uns uch noch ein dreidimensionles Beisiel ϕ(,, z = z + cos z + z nschuen. D wir uf die Grhen nicht von oben drufschuen können mlen wir jeweils nur eine Niveufläche M c und ds Grdientenfeld 6 z 6 z 6 z c = c = c = Bechte wie die Niveufläche für größer werdendes c der Grdientenrichtung folgt. Die im obigen Punkt ( verwendete Formel können wir ttsächlich uch benutzen, um einzusehen ds jedes Grdientenfeld konservtiv ist. Sei nämlich ϕ : U R eine stetig differenzierbre Funktion uf einem Gebiet U R n. Wir betrchten ds Grdientenfeld F = grd ϕ. Für jede gnz in U verlufende Kurve : [, b] U hben wir dnn F ds = b grd ϕ((t (t dt = b -6 [ ] d dt ϕ((t dt = ϕ((b ϕ((.

7 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. Dmit ist F ein konservtives Vektorfeld mit F (s ds = ϕ(q ϕ( für lle, q U und insbesondere ist ds Sklrfeld ϕ mit dem wir gestrtet sind ein Potentil von F. Ttsächlich gilt uch die Umkehrung dieses Stzes, uf deren Beweis wir hier ber verzichten wollen. Stz. (Chrkterisierung der Potenzilfelder Seien U R n ein Gebiet und F : U R n eine stetiges Vektorfeld uf U. Dnn ist F genu dnn ein Potentilfeld wenn F ein Grdientenfeld ist, d.h. wenn es eine stetig differenzierbre Funktion ϕ : U R mit F = grd ϕ gibt. Die Funktionen ϕ mit dieser Eigenschft sind dnn genu die Potentile von ϕ. Insbesondere hben wir dmit eine erste Methode zu entscheiden ob ein Vektorfeld F ein Potenzilfeld ist. Gegeben: Ein stetiges Vektorfeld F uf einem Gebiet U R n. Aufgbe: Entscheide ob F ein Potentilfeld ist, und bestimme gegebenenflls ein Potentil von f. Verfhren: Wir gehen in den folgenden Schritten vor:. Wähle einen Punkt U, flls möglich so ds U sternförmig zu ist.. Für jeden Punkt q U wähle eine Kurve mit Strtunkt und Endunkt q, und berechne die Zhl ϕ(q := F (s ds. Tischerweise wird für entweder die Verbindungsstrecke von nch q genommen oder eine Kurve die us Stücken jeweils rllel zu einer der Koordintenchsen zusmmengesetzt ist.. Berechne ds Grdientenfeld grd ϕ und teste ob F = grd ϕ ist. Wenn j, so ist F konservtiv mit Potentil ϕ und wenn nein so ist F nicht konservtiv. Wir wollen dieses Verfhren einml n den beiden zu Beginn dieses Kitels ngegebenen Vektorfeldern ( ( F (, = und G(, = durchführen. Wir htten bereits gesehen, dss F definitiv kein Potentilfeld ist, und behutet ds G eines ist. Beide Vektorfelder sind uf U = R definiert, und U ist sternförmig zu jedem Punkt. Wir führen jetzt ds obige Verfhren für beide Vektorfelder durch und wählen =. Ds Kndidtenotentil ist dnn für F ( ( t ϕ(, = dt = (t + t t dt = t t ber der Grdient von ϕ ist grd ϕ(, = -7 (.

8 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. Wie wir bereits wussten ist F lso kein Potentilfeld. Für ds Vektorfeld G rechnen wir ( ( t ψ(, = dt = (t+t t dt = t t ( =, und diesml ist ttsächlich grd ψ(, = ( = G(,. Ds Vektorfeld G ist lso wirklich ein Potentilfeld und ψ ist ein Potentil von G. Ds F nicht konservtiv ist, knn mn uch deutlich drn sehen ds F (, nicht senkrecht uf den Niveumengen ϕ(, = c ist. F (, und Niveumengen = c G(, senkrecht uf ψ(, = c. Ds Potentilkriterium Im Prinzi können wir mit dem Verfhren des letzten Abschnitts von jedem Vektorfeld feststellen ob es konservtiv ist oder nicht. Flls ds Vektorfeld llerdings nicht konservtiv wr, ist die versuchsweise Berechnung eines Potentils im Nchhinhein recht viel unnötiger Aufwnd. Ds in diesem Abschnitt vorgestellte Potentilkriterium erlubt es schon im Vorwege zu entscheiden ob ein Vektorfeld ein Potentilfeld ist oder nicht. Ist F = (F,..., F n ein stetig differenzierbres Potentilfeld, so gibt es nch Stz ein Potentil ϕ mit F = grd ϕ, d.h. für i n ist F i = ϕ/ i. Für verschiedene -8

9 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. Indizes i, j n, i j folgt mit Stz. us dem letzten Semester F i j = ϕ i j = ϕ j i = F j i, und dies ist somit eine notwendige Bedingung dfür ds F konservtiv ist. Dies ist ds sogennnte Potentilkriterium für F ( = F ( + + F n ( n : Seziell für n = bedeutet dies Für lle i < j n ist F i j = F j i. Potentilkriterium für F (, = f(, + g(, : f = g und für n = wird die Bedingung zu Potentilkriterium für F (,, z = f(,, z + g(,, z + h(,, z z : f = g, f z = h und g z = h. Ds Potentilkriterium ist zunächst nur eine notwendige Bedingung, d.h. wenn F ein Potentilfeld ist, so erfüllt F uch ds Potentilkriterium, ber nicht unbedingt umgekehrt. Wir betrchten zum Beisiel ds folgende Vektorfeld uf U = R \{} Dnn gilt und F (, = ( ( = + +. = + ( + = ( + + = + = ( + ( + = (, + ds Vektorfeld F erfüllt lso ds Potentilkriterium. Wir betrchten jetzt die Kurve, die n Z ml im Abstnd R > um den Nullunkt läuft, lso (t = (R cos(nt, R sin(nt, t π. Es ist F ((t = R ( sin(nt cos(nt ( sin(nt und (t = nr cos(nt -9

10 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/ Montg. lso F (s ds = π n dt = πn, und somit ist F kein Potentilfeld obwohl F ds Potentilkriterium erfüllt. Um besser zu sehen ws hier ssiert schreiben wir ds Vektorfeld F in Polrkoordinten um F (r, φ = sin φ r = sin φ r + cos φ r ( cos φ r sin φ r φ + cos φ r ( sin φ r + cos φ r φ = r φ. Integrieren wir dies längs einer Kurve (t = (r(t, φ(t, t b in Polrkoordinten, so wird b F (s ds = φ (t dt = φ(b φ(, und dies scheint doch nur von Anfngs- und Endunkt von bzuhängen. Dies ist ber nur eine Täuschung, die Polrkoordinte φ ist j uf gnz R \{} nur bis uf dditive Vielfche von π festgelegt. Dmit ist es uch kein Zufll ds bei unserem oben berechneten Kurvenintegrl F ds gerde ein Vielfches von π herusgekommen ist. Schränken wir uns für φ uf ein Intervll der Länge π ein, so gibt es dgegen ein Potentil nämlich ϕ(φ, r = φ in Polrkoordinten. Dmit ist F beisielsweise uf der geschlitzten Ebene C = C\R ein Potentilfeld und ds Argument φ = ϕ(, von (, ist ein Potentil. Bei der Umkehrung des Potentilkriteriums ist nicht so sehr ds Vektorfeld F ds Problem, sondern die Menge U uf der es definiert ist. -