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1 Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 $Id: integrl.tex,v /04/8 13:3:3 hk Exp hk $ Integrlrechnung.3 Die Integrtionsregeln Mit den bisherigen Beispielen hben wir die meisten Integrle behndelt, bei denen sich eine Stmmfunktion direkt sehen läßt, lso Funktionen die entweder Ableitungen von Grundfunktionen sind oder eine der Formen f /f beziehungsweise f f hben. Wir kommen nun zu den üblichen Integrtionsregeln. Aus Produkt- und Kettenregel für Ableitungen lssen sich über den Huptstz der Differentil und Integrlrechung umgekehrt wieder Rechenregeln für Integrle gewinnen. Die us der Produktregel gewonnene Integrtionsregel wird wieder ls Produktregel bezeichnet. Stz.5 (Produktregel für Integrle) Seien I R ein Intervll und f, g : I R zwei stetig differenzierbre Funktionen. Weiter seien, b I. Dnn gilt b f (x)g(x) dx = f(b)g(b) f()g() b f(x)g (x) dx. Beweis: Nch der Produktregel für Ableitungen hben wir (fg) = f g + fg, und mit dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung in der Version des Stz folgt f(b)g(b) f()g() = b (fg) (x) dx = Dmit ist die Produktregel bewiesen. b (f (x)g(x) + f(x)g (x)) dx = b f (x)g(x) dx + b f(x)g (x) dx. D die Differenzen f(b) f() in diesem Zusmmenhng so häufig uftuchen, führt mn für diese die Abkürzung b f := f(b) f() 5-1

2 Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 ein. In der typischen Anwendung der Produktregel hben Sie ein Integrl b f(x)g(x) dx zu berechnen, und suchen erst eine Stmmfunktion u(x) von f(x). Schreiben wir noch v := g, so hben wir u = f, und ds obige Integrl wird zu u v b Welcher der beiden Fktoren ls u und welcher ls v verwendet wird, hängt von der speziellen Sitution b. Zum einen muss ds Integrl uv irgendwie einfcher ls ds ursprüngliche Integrl sein, und zum nderen müssen wir überhupt in der Lge sein, eine Stmmfunktion des ls u gewählten Fktors zu finden. Wenn wir wollen, können wir die Produktregel uch für unbestimmte Integrle, lso für Stmmfunktionen formulieren. Wählen wir irgendeinen Punkt I, so hben wir für jedes x I stets x b uv. f (t)g(t) dt = f(x)g(x) f()g() x f(t)g (t) dt, und d f()g() nur eine Konstnte ist, können wir dies ls f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx schreiben. Erinnern Sie sich hierzu drn, dss in der Nottion des unbestimmten Integrls ds x für ds Funktionsrgument steht, lso uch wie hier ußerhlb des Integrls uftuchen knn. Nehmen wir ls ein Beispiel einml x cos x dx Hier ist die Whl von u und v ziemlich nheliegend, durch Ableiten wird die Funktion x zu 1 und verschwindet somit, d.h. wir sollten wohl v(x) = x verwenden. Für den nderen Fktor cos x sehen wir die Stmmfunktion u(x) = sin x, und rechnen somit x cos x dx = x sin x sin x dx = x sin x + cos x + C. Für die bestimmten Integrle wird diese Rechnung zu b x cos x dx = b sin b sin + cos b cos. Gelegentlich erfordert die Anwendung der Produktregel ds wir den Integrnden etws umformen, um ihn überhupt ls Produkt zu schreiben. Ein einfches solches Beispiel 5-

3 Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 ist die Stmmfunktion des Logrithmus ln x dx. Hier schreiben wir ln x = 1 ln x, nehmen x ls Stmmfunktion der konstnten Funktion 1, und leiten ln x zu 1/x b. Dmit wird ln x dx = x ln x x 1 dx = x ln x x. x Ein weiterer Typ der Anwendung der Produktregel wird durch ds folgende Beispiel dokumentiert, wir wollen e x sin x dx rechnen. Diesml wollen wir dies für bestimmte Integrle vorführen b e x sin x dx = e b sin b e sin b e x cos x dx = e b sin b e sin e b cos b + e cos b e x sin x dx. Hier scheinen wir zunächst nichts gewonnen zu hben, wir sind j wieder bei dem Integrl ngelngt bei dem wir gestrtet sind. Wir können dies ber uch ls eine glücklicherweise sehr einfch zu lösende Gleichung für dieses Integrl nsehen, denn bringen wir die beiden Integrle uf eine Seite so wird b ex sin x dx = e b sin b e sin e b cos b + e cos und wir erhlten beziehungsweise b e x sin x dx = 1 ( e b (sin b cos b) + e (cos sin ) ), e x sin x dx = 1 ex (sin x cos x) + C für ds unbestimmte Integrl. Entsprechende Rechnungen können wir uch gleich für unbestimmte Integrle durchführen, die jeweiligen Konstnten stören dbei nicht, sondern kombinieren sich nur zu einer weiteren Konstnten. Dmit hben wir die drei typischen Rechentechniken bei Gebruch der Produktregel gesehen, nämlich: 1. Direktes Einsetzen, wie im Beispiel x cos x dx.. Trickreiches Herstellen einer Produktform, wie im Beispiel ln x dx. 3. Herleiten einer Gleichung für ds gesuchte Integrl durch in der Regel mehrfche Anwendung der Produktregel wie im Beispiel e x sin x dx. Die ndere, und vielleicht noch wichtigere, Integrtionsregel ist die sogennnte Substitutionsregel, die mn us der Kettenregel gewinnen knn. Stz.6 (Substitutionsregel) Seien I, J R zwei Intervlle, ϕ : J I eine stetig differenzierbre Funktion und f : I R eine stetige Funktion. Dnn gilt für lle, b J die Gleichung b f(ϕ(x))ϕ (x) dx = 5-3 ϕ(b) ϕ() f(x) dx.

4 Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 Beweis: Sei F : I R eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt (F ϕ) = (F ϕ) ϕ = (f ϕ) ϕ, und der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung liefert b f(ϕ(x))ϕ (x) dx = F (ϕ(b)) F (ϕ()) = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. Dbei wird der Huptstz zuerst uf (f ϕ) ϕ und dnn noch einml uf f selbst ngewndt. Einige einfche Anwendungen sind oder b xe x dx = 1 b b ( x) e x dx = 1 cos xe sin x dx = sin b sin b e x dx = e e x dx = e sin b e sin. e b, Ein einfcher, ber besonders wichtiger, Spezilfll ist ds Umsklieren des Arguments, und dies meint ds die innere Funktion einfch ϕ(x) = x + b mit, b R, 0 ist. Die Substitutionsregel erhält dnn die Form v u f(x + b) dx = 1 v u f(x + b) dx = 1 Für jedes α R\{0} erhlten wir dmit beispielsweise b sin αx dx = 1 α αb α sin x dx = v+b u+b cos α cos αb α und b sin αb sin α cos αt dt =. α Für die unbestimmten Integrle schreibt sich dies ls sin αx dx = 1 α cos αx, cos αx dx = 1 α f(x) dx. sin αx. Nicht immer lssen sich die Regeln derrt direkt nwenden, sondern mn benötigt oftmls einige vorbereitende Umformungen. Wir wollen ls ein Beispiel einml die Integrle der Funktionen sin(αx) sin(βx), cos(αx) cos(βx) und sin(αx) cos(βx) berechnen. Wir können ll diese Funktionen ls Kombintionen von umsklierten Sinus- und Cosinusfunktionen schreiben. Seien lso α, β R gegeben. Ds Additionstheorem des Sinus, lso die Gleichung sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y 5-4

5 Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 besgt dnn sin((α + β)x) = sin(αx) cos(βx) + cos(αx) sin(βx), sin((α β)x) = sin(αx) cos(βx) cos(αx) sin(βx) und diese beiden Gleichungen können wir uch in der Form sin(αx) cos(βx) = sin((α + β)x) + sin((α β)x) schreiben. Ist β ±α, so hben wir dmit sin(αx) cos(βx) dx = 1 ( ) cos((α + β)x) cos((α β)x) + α + β α β 1 = ((α β) cos(αx) cos(βx) (α β) sin(αx) sin(βx) (α β ) + (α + β) cos(αx) cos(βx) + (α + β) sin(αx) sin(βx)) = α cos(αx) cos(βx) + β sin(αx) sin(βx) β α, wobei wir im zweiten Gleichheitszeichen noch ds Additionstheorem des Cosinus, lso cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y benutzt hben. D der Cosinus eine gerde Funktion ist, verbleibt nur noch der Fll β = α. Hierzu verwenden wir eine weitere Vrinte der Additionstheoreme, nämlich Es ist sin(x) = sin x cos x. sin(αx) cos(αx) = 1 sin(αx) lso sin(αx) cos(αx) dx = 1 4α cos(αx) = 1 α sin (αx) 1 4α beziehungsweise sin(αx) cos(αx) dx = 1 α sin (αx). Die nderen beiden Funktionen lssen sich ähnlich rechnen. Wir hben und hierus folgen cos((α + β)x) = cos(αx) cos(βx) sin(αx) sin(βx), cos((α β)x) = cos(αx) cos(βx) + sin(αx) sin(βx) sin(αx) sin(βx) = cos(αx) cos(βx) = cos((α β)x) cos((α + β)x), cos((α β)x) + cos((α + β)x). 5-5

6 Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 Im Fll β ±α liefert eine zu oben nloge Rechnung dnn α cos(αx) sin(βx) β sin(αx) cos(βx) sin(αx) sin(βx) dx =, β α α sin(αx) cos(βx) β cos(αx) sin(βx) cos(αx) cos(βx) dx =. α β D der Cosinus gerde und der Sinus ungerde sind, reicht es für die verbleibenden Fälle β = α zu betrchten. Diesml rechnen wir sin (αx) = 1 cos(αx), cos (αx) = 1 + cos(αx), und nlog zur obigen Rechnung ergeben sich sin (αx) dx = x 1 sin(αx) cos(αx), α cos (αx) dx = x + 1 sin(αx) cos(αx). α Oft muss zur Anwendung der Substitutionsregel der Integrnd zuerst uf die Form f(ϕ(x))ϕ (x) gebrcht werden, wie etw im folgenden Beispiel. Zu berechnen sei ds unbestimmte Integrl x dx mit einer reellen Konstnten > 0. Um den Integrnden in die Form der Substitutionsregel zu bringen, schreibt mn dnn x = sin t, und mcht die folgende formle Rechnung dx = cos t = dx = cos t dt. dt Setzt mn dies in ds Integrl ein, so wird cos x dx = sin t cos t dt = t cos t dt = cos t dt ( ( = (t + sin t cos t) = (t + sin t 1 sin t) = x rcsin + ) x ) 1 x ( = x ) rcsin + 1 x x. Bevor wir uns klrmchen ws diese Rechnung bedeutet und wrum sie funktioniert, schuen wir erst einml nch, ob überhupt ds richtige Ergebnis herusgekommen ist. Hierzu rechnen wir die Ableitung ( ( x rcsin ) + x ) x = + x 1 x = x x x + x x x = x, 5-6

7 Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 und sehen, dss wir ttsächlich eine Stmmfunktion von x berechnet hben. Überlegen wir uns nun, wie die obige Rechnung gemeint ist. Ds Symbol dx in einem Integrl ht eine rein formle Bedeutung, es legt zum einen fest ws die Integrtionsvrible ist, und zum nderen beendet es den Integrlterm. Insbesondere wird ds Pr... dx syntktisch wie eine öffnende und eine schließende Klmmer behndelt. Es gibt kein reles Objekt dx. In heuristischen Überlegungen wird dx oftmls ls ein kleines Inkrement des Arguments x gedeutet, und dieser Stndpunkt knn zur Erklärung und Vernschulichung gewisser Ttschen durchus von Nutzen sein, er wird in der Mthemtik ber nicht offiziell verwendet. Wie schon im letzten Semester bemerkt gibt es in der Mthemtik keine unendlich kleinen und keine unendlich großen Zhlen, ll dies wurde schon vor über hundert Jhren durch den Begriff des Grenzwerts ersetzt. Insbesondere sind die obigen Rechnungen mit dx und dt nicht wirklich ernst gemeint. Aber wrum führen Sie dnn zum korrekten Ergebnis? Die Antwort druf wird die Substitutionsregel wie in Stz 6 sein, dies ist ber nicht unmittelbr klr. Überlegen wir uns lso einml ws in der obigen Rechnung geschh. Zu berechnen wr ein Integrl f(x) dx. Dnn wurde x ls eine Funktion von t geschrieben, lso x = ϕ(t). Die nschließende Rechnung mit dx und dt wird dnn zu dx dt = ϕ (t) = dx = ϕ (t) dt. Drufhin wurden x = ϕ(t), dx = ϕ (t) dt in ds zu berechnende Integrl eingesetzt f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt und rechts tucht hier genu der Integrnd us Stz 6 uf. Um zu sehen ws es mit dem finlen Rückeinsetzen von x für t uf sich ht, sollte mn noch die Integrtionsgrenzen bechten. Wenn wir f über [, b] integrieren muss die rechte Seite über [ϕ 1 (), ϕ 1 (b)] integriert werden. Ds unbestimmte Integrl, lso die Stmmfunktion, entsteht indem die obere Integrtionsgrenze ls Funktionsrgument x behndelt wird, und hierfür ϕ 1 (x) eingesetzt werden, ber dies bedeutet gerde t ls Funktion in x zu schreiben. Die gnze dx, dt Rechnung ist lso wirklich nur eine Nottion für die Anwendung der Substitutionsregel Stz 6, und es wird in Whrheit gr nicht mit dx und dt gerechnet. Trotzdem so zu tun, mcht die Rechnung ber in der Regel einfcher, und dher sollte mn sich nicht scheuen diese Rechenmethode zu verwenden. Ein nderes Beispiel ist ds Integrl dx 1 + e x. 5-7

8 Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 Hier setzen wir t = e x n, und hben lso uch dt dx = ex = t = dx = dt t dx 1 + e = x dt t(1 + t) Um letzteres Integrl zu berechnen, verwenden wir jetzt noch die sogennnte Prtilbruchzerlegung 1 t(t + 1) = 1 t 1 t + 1, und erhlten Wegen dx dt 1 + e = x t dt 1 + t = ln t ln(1 + t) = x ln(1 + ex ). (x ln(1 + e x )) = 1 ex 1 + e = 1 x 1 + e x ist uch dieses Ergebnis wieder eine korrekte Stmmfunktion. Diese Rechnung unterscheidet sich etws von unserem Vorgehen in vorigem Beispiel, d wir diesml t ls Funktion von x und nicht x ls Funktion von t schreiben. Dies ist in Whrheit ber wieder genu dsselbe, nstelle von t = e x könnten wir genusogut x = ln t nsetzen. Insbesondere ist uch diese Rechentechnik wieder nur eine Schreibweise für die Substitutionsregel des Stz 6. Trotzdem gibt es hier eine kleine Feinheit zu bechten. Substituieren wir t = ψ(x), so muss die Funktion ψ umkehrbr sein, wir müssen j in der Lge sein dies zu x = ϕ(t) umzuschreiben. Streng genommen müsste sogr ψ 1 wieder stetig differenzierbr sein, und wir müssten ψ (x) > 0 oder ψ (x) < 0 für lle x vorussetzen, ber diese Feinheit spielt in der Regel keine prktische Rolle. 5-8