Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

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1 Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers, der durch Drehung des Grphen von f () =, [, 0] um die -Achse entsteht (b) Berechnen Sie die Mntelfläche des Rottionskörpers, der durch Drehung der Prbel y =, [, ] um die y-achse entsteht () Die Formel für ds Volumen lutet V = π 0 f () d = π 0 d = π 0 = π = 9π 0 0 (b) Die entstehende Fläche (Rottionsprboloid) knn mn uch durch die Drehung des Grphen von f () =, [0, ], um die -Achse erhlten Die Formel für die Mntelfläche lutet In unserem Fll gilt f () =, folglich F = π 0 f () + f () d f () + f () = + = + Nun berechnen wir ds Integrl, indem wir mit t = + / substituieren F = π 0 + d = π t d t = π 3 t t = π 3 = π 6 Aufgbe G Bestimmen Sie die Tylor-Reihe von tn mit Zentrum 0 bis zur Potenz () mit Hilfe der Tylor-Formel; (b) durch Division der Tylor-Reihen von sin und cos () Die Tylor-Reihe der Funktion f () ht die Form T() = f (0) + f (0) + f (0)! + f (0) 3 + 3!

2 tn ist eine ungerde Funktion, deswegen ist seine Ableitung eine gerde Funktion, die zweite Ableitung wieder ungerde, usw Eine ungerde Funktion verschwindet bei = 0, dher gilt f (k) (0) = 0, und die Tylor-Reihe von tn enthält nur ungerde Potenzen Wir müssen deswegen nur (tn ) und (tn ) n der Stelle = 0 uswerten Berechnen wir die Ableitungen von f () = tn : (tn ) = cos (tn ) = sin cos 3 (tn ) = + sin cos Es folgt (tn ) =0 = und (tn ) =0 = Also tn = (b) Es gilt tn = sin / cos Wir benutzen die Reihendrstellung von sin und cos und erhlten: = }{{}}{{} =cos =sin Mn sieht direkt, dss die Koeffizienten der gerden Potenzen gleich Null sind, bzw folgt dies us den Überlegungen im ersten Teil der Aufgbe Durch Auflösen der Klmmern und Vergleich der Koeffizienten bei und bei 3 erhlten wir die Gleichungen Folglich 3 = 3 und tn = Aufgbe G3 Mit Hilfe der Tylor-Reihen berechnen Sie die Grenzwerte = 3 = 6 () (b) cos 0 sin ln () Die Tylor-Reihen von sin und cos ergeben cos = ()! + ()! = + Folglich sin = cos ( + ) + 0 sin 0 ( 3 + ) ( + ) ( + ) =

3 (b) Die Tylor-Reihen des ntürlichen Logrithmus bzw der Qudrtwurzel luten: ln( + t) = t t + t3 3 t + bzw + t = + t t 8 + t3 6 Mit Substitution = + t wird die Aufgbe uf einen Grenzwert bei t 0 zurückgeführt: ln t 0 ln( + t) + t Es stellt sich herus, dss von den Reihenentwicklungen von ln( + t) und + t nur die Glieder erster Ordnung gebrucht werden: ln( + t) t + t + t 0 + t t 0 ( + t + ) t 0 t + = Aufgbe G (Zustzufgbe) Mn zerschneidet die Einheitssphäre mit Zentrum im Nullpunkt mit den Ebenen {(, y, z) 3 : = 0, 8}, {(, y, z) 3 : = 0, 6}, {(, y, z) 3 : = 0, },, {(, y, z) 3 : = 0, 8} in 0 Teile Zeigen Sie, dss lle diese Teile den gleichen Flächeninhlt hben Berechnen wir den Flächeninhlt des Teiles der Sphäre zwischen zwei Ebenen = und = b unter Verwendung der Formel für die Mntelfläche eines Rottionskörpers F = π f () + f () d Wir hben f () = Es ergibt sich f () = und drus + f () = Also F = π d = π d Ds heißt, der Flächeninhlt hängt nur von der Länge b, und nicht von der Lge des Integrtionsintervlls Drus folgt die Behuptung 3

4 Aufgbe G (Zustzufgbe) Sei ( n ) die Fiboncci-Folge: 0 = =, n+ = n + n Betrchten wir die entsprechende Potenzreihe Diese Reihe ht Konvergenzrdius = , denn n+ = +, lso definiert sie eine Funktion n n f : +, +, f () = = () Zeigen Sie: f () + f () = f () her und leiten Sie drus die Formel f () = (b) Benutzen Sie die Nullstellen ϕ = + und ϕ = der qudrtischen Gleichung + = 0, um eine Prtilbruchzerlegung der Funktion f herzuleiten (c) Beweisen Sie mit der geometrischen Reihe die Formel von Moivre-Binet für die Fiboncci-Zhlen: n = ( )n ϕ n+ ϕ n+ = + n+ n+ () Wir setzen f () = ein und formen um: f () + f () = ( ) + ( ) = 0 + ( 0 + ) + ( + ) + D n+ = n + n und 0 = gilt, erhlten wir: Eine Umstellung nch f () liefert f () = (b) Der Anstz der Prtilbruchzerlegung ist: f () + f () = = f () 0 = f () f () = = A + = + B ϕ ϕ Durch Auflösen des drus resultierenden Gleichungssystems ergibt sich A = / und B = / Also erhlten wir f () = ( ϕ ) ( ϕ ) (c) Um die geometrische Reihe zu benutzen, erweitern wir die Brüche mit ϕ bzw ϕ, d ϕ ϕ = gilt, erhlten wir: f () = ϕ + ϕ ϕ = ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ Mit t i = ϕ i gilt t <, d +, + Dmit folgt us der Formel der Summe der geometrischen Reihe: + ϕ i = = + t i + t i + = + ( ϕ i ) + ( ϕ i ) + ( ϕ i ) 3 + t i

5 und somit f () = ϕ + ϕ ϕ + ϕ = ϕ ϕ + (ϕ ) (ϕ ) 3 + ϕ ϕ + (ϕ ) (ϕ ) 3 + = ϕ ϕ (ϕ ϕ ) + (ϕ3 ϕ3 ) + = Durch Koeffizientenvergleich und entsprechende Umformungen ergibt sich: n = ( )n ϕ n+ ϕ n+ = + n+ n+