Uneigentliche Riemann-Integrale

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1 Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren: () (b) Ds Intervll [, b] ist bgeschlossen und beschränkt. Die Funktion ist beschränkt. A. Eine Integrtionsgrenze ist unendlich Def.: Es sei f : [, ) gegeben, und für jedes > sei f ([, ], ). Dnn heißt f uneigentlich integrierbr uf [, ), flls der Grenzwert lim f() = : eistiert. Entsprechend ist Beispiel. Beh.: Denn für c gilt f() f() definiert. c konvergiert c > (und ist gleich c ). = c c c = c [ c ], ws für im Flle c > konvergiert, im Flle c < jedoch divergiert. Für c = gilt = log, liegt lso Divergenz vor. Im Allgemeinen knn mn nicht erwrten, dß mn die Stmmfunktion des Integrnden eplizit bestimmen knn. Problem: Wie knn mn trotzdem über Konvergenz bzw. Divergenz entscheiden? Hier sei n ds Cuchy-Kriterium für Grenzwerte von Funktionen erinnert (kleine Modifiktion des im Skript An I, pp. 2 gegebenen Kriteriums): Sei F : [, ) gegeben. Genu dnn ht F einen Grenzwert in, wenn zu jedem ε > ein > eistiert, so dß F () F (y) < ε gilt für lle, y. Dieses Kriterium führt, nlog zur Sitution unendlicher eihen, uf folgenden Stz. Seien f, g ([, ], ) für jedes >. Mjorntenkriterium: Flls f() g() für lle und g() konvergiert = lim f() = f() eistiert. Minorntenkriterium: Flls f() g() für lle und g() divergiert, so divergiert uch f().

2 sin Beispiele konvergiert, d sin 3 + +,, 3 und nch Beispiel die Funktion 3 über [, ) iemnn-integrierbr ist divergiert, d , und nch Beispiel die Funktion /2 nicht über [, ) iemnn-integrierbr ist. B. Die Funktion ist n einer Integrtionsgrenze unbeschränkt Def.: Sei f : (, b] gegeben, und es sei f ([ + δ, b], ) für jedes δ, < δ < b. Eistiert der Grenzwert lim δ + f(), so heißt die +δ Funktion f über (, b] uneigentlich iemnn-integrierbr, und wir schreiben + f() f() : = lim δ + +δ Entsprechend ist f() f() : = lim δ + f(). δ f() definiert. Beispiel 2. Beh.: Denn für c gilt c konvergiert c < (und ist gleich c ). δ = c c c = δ c [ δ c ] ws im Flle c < für δ + konvergiert und im Flle c > divergiert. D der Logrithmus für + unbeschränkt wird, liegt uch im Flle c = Divergenz dieses Integrls vor. Im Fll einer unbeschränkten Funktion lutet ds Mjorntenkriterium, ds direkt uf dem Cuchy-Kriterium des Skripts (An I, pp. 2) bsiert: Sei f : (, b] gegeben, und es sei f ([+δ, b], ) für jedes δ, < δ < b. Ferner gelte f() g() für lle (, b] und g() konvergiere. Dnn konvergiert uch f(). Entsprechend gilt ein Minorntenkriterium für Divergenz. Beispiel konvergiert, d , <, und nch Beispiel 2 die Funktion /2 über (, ] integrierbr ist. 2

3 C. Beide Integrtionsgrenzen sind kritisch Def.: Sei f : (, b), { }, b { }. Flls f ([α, β], ) für lle α, β, < α < β < b, so erklärt mn f() = lim α + A α f() + lim β b β A f() für ein A, < α < A < β < b, flls die Grenzwerte uf der rechten Seite eistieren. Beispiele. (i) c divergiert für jedes c. (ii) + = lim lim = lim rctn( ) + lim rctn() = π. (iii) D sin sin = k= sin = lim δ + δ ( ) k 2k (2k + )! sin + lim. und die eihe uf [, ] gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergiert, eistiert ds erste Integrl uf der rechten Seite von (iii) ls gewöhnliches iemnn-integrl. Ds zweite Integrl integrieren wir prtiell: sin = cos cos 2. Der usintegrierte Bestndteil ht offensichtlich einen Grenzwert für, der Integrnd im Integrl uf der rechten Seite wird durch die uf [, )-integrierbre Mjornte 2 bgeschätzt, lso eistiert insgesmt ds Integrl sin. D. Die Gmmfunktion Stz. Für jedes > eistiert die sog. Eulersche Gmmfunktion Γ : (, ), Γ() := und genügt der Funktionlgleichung + t e t dt, Γ() = Γ( + ), > ; insb. Γ(n + ) = n! lle n N, d.h. die Γ-Funktion interpoliert die Fkultäten n!. 3

4 Beweis: Wir wenden die beiden Mjorntenkriterien n: t e t { t : < t C t 2 : t > = : g(t) für eine geeignete Konstnte C > (es ist j e t (n + )! t n, dnn wähle n > + ). Nch den Beispielen und 2 ist g : (, ) eine integrierbre Mjornte und die Eistenz der Γ-Funktion ist klr. Die Funktionlgleichung beweisen wir mittels prtieller Integrtion: ε t e t dt = t e t t=ε + ε t e t dt. Für ε + und konvergiert nch dem ersten Teil des Beweises die linke Seite gegen Γ( + ), der usintegrierte Bestndteil gegen (die Eponentilfunktion verschwindet schneller ls jede t-potenz für t ) und der zweite Term uf der rechten Seite gegen Γ(), d.h. die Funktionlgleichung ist bewiesen. Nun bechte mn, dß Γ() = lim e t dt = lim ( e ) = ; dher Γ() = Γ(2) =! und vollständige Induktion liefert mit Hilfe der Funktionlgleichung schließlich Γ(n + ) = n!. E. Ds Integrlvergleichskriterium Hier werden unendliche eihen mit uneigentlichen Integrlen verglichen. Integrlvergleichskriterium. Sei f : [, ) [, ) eine monoton fllende (nicht-negtive) Funktion. Dnn gilt f(n) konvergiert f() konvergiert. n= Beweis: D für n 2 f(n) f() f(n ), n n, gilt, folgt oder f(n) n n N f(n) f() f(n ), n 2, N f() N n= f(n). 4

5 Flls ds Integrl für N konvergiert, dnn uch die linke Summe; flls die rechte Summe konvergiert, dnn uch ds Integrl. Beispiele. (i) n= konvergiert, flls c >. nc Denn es gilt N n c c und letzteres Integrl konvergiert nch Beispiel. (ii) n log n konvergiert dnn und nur dnn, wenn > ist. D log, >, für 2 monoton fllend ist, gilt (wir benutzen die Substitution = e t ) N n=3 N n log n 2 log N log = log 2 e t dt log N e t t = t dt. log 2 Nch Beispiel konvergiert demnch die Summe im Flle > und divergiert, flls (der Fll < ergibt sich direkt us dem Minorntenkriterium.). (iii) Die eihe log n n c = { konvergiert : c > divergiert : c < für jedes (feste). Denn nch dem Mjorntenkriterium (bzw. Minorntenkriterium) folgt us Beispiel (ii) die Konvergenz (bzw. Divergenz) wegen n c log n C n log 2 n C n log n C n c log n, c < < c, für lle hinreichend großen n (Zur Erinnerung: Jede (noch so kleine) positive Potenz von n wächst für n schneller gegen ls jede (noch so große) Potenz von log n.). Ds Integrlvergleichskriterium läßt sich ber uch direkt nwenden, d für A hinreichend groß die Funktion c log : [A, ) ls Funktion von monoton fllend ist, flls c >,. 5