Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.

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1 Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli / 22

2 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die Differentition umkehrbr? - Für jeden Zeitpunkt x [0, ) sei die Geschwindigkeit f (x) beknnt. - Außerdem sei der Strtpunkt f (0) beknnt. - Knn mn dnn f bestimmen? Physiklische Gesetze beschreiben Beschleunigungen - Fllgesetz f (x) = c (Erdbeschleunigung 9.81 m/s 2 ). - Gegeben ußerdem f (0) und f (0). - Wie bestimmt mn f? Flächeninhlte: Ws ist ds und wie berechnet mn die? J. Wengenroth () 17. Juli / 22

3 8.2 Riemnn-Summen Kpitel 8: Integrtion 8.2 Riemnn-Summen () {[ Für eine Funktion ] f : [, } b] R will mn {[ den vom ] Funktionsgrphen } x x : x [, b] und der x-achse : x [, b] f (x) 0 eingeschlossenen Flächeninhlt definieren und berechnen. (b) Idee: Zerlege ds Intervll [, b] in kleine Teilintervlle [, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, b] und pproximiere uf jedem Teilintervll die Funktion f durch eine dort konstnte Funktion mit Funktionswert f (z k ) für ein z k [x k 1, x k ]. Dnn sollte Näherung für den Flächeninhlt sein. n k=1 f (z k )(x k x k 1 ) eine (c) Eine endliche Teilmenge P von [, b] mit, b P heißt eine Prtition des Intervlls. Wir schreiben stets P = { = x 0 < x 1 < < x n = b}. Die Zhl P = mx{x k x k 1 : k {1,, n}} heißt Feinheit der Prtition P. J. Wengenroth () 17. Juli / 22

4 8.2 Riemnn-Summen Kpitel 8: Integrtion 8.2 Riemnn-Summen (d) Für eine Prtition P = { = x 0 <... < x n = b} heißt ein Vektor z = [z 1,..., z n ] R n zulässig, flls x k 1 z k x k für lle k {1,..., n} gilt, ds heißt die k-te Komponente liegt im k-ten Teilintervll. Wir schreiben dnn z P. (e) Für eine Prtition P = { = x 0 < x 1 <... < x n }, z P und eine Funktion f : [, b] R heißt R(f, P, z) = n f (z k )(x k x k 1 ) die zugehörige Riemnn-Summe. (f) Die Summnden f (z k )(x k x k 1 ) sind die Flächeninhlte der Rechtecke mit Seitenlängen x k x k 1 und Höhe f (z k ). (g) Selbst für einfche Funktionen sind die Riemnn-Summen oft nicht leicht uszurechnen. k=1 J. Wengenroth () 17. Juli / 22

5 8.3 Ds Integrl Kpitel 8: Integrtion 8.3 Ds Integrl () Eine Funktion f : [, b] R heißt integrierbr uf [, b] mit Integrl I, flls die Riemnn-Summen R(f, P, z) für P 0 gegen I konvergieren, d.h. ε > 0 δ > 0 z P ( P < δ = R(f, P, z) I < ε). (b) Schreibweisen für ds Integrl I sind I = f (x)dx = f (t)dt = = f ( )d Hierbei knn die Integrtionsvrible irgendein Symbol sein, ds im Kontext noch nicht benutzt wird. (c) Diese Defintion des Integrls ist gut für die Theorie (klrer Begriff, nützliche Sätze) ktstrophl zum Ausrechnen! J. Wengenroth () 17. Juli / 22

6 8.3 Ds Integrl Kpitel 8: Integrtion 8.3 Ds Integrl (d) Beispiel. Sei f : [, b] R, x c eine konstnte Funktion, lso f (x) = c für lle x [, b]. Dnn ist f (x)dx = c(b ). Für = x 0 < x 1 <... < x n = b und z k [x k 1, x k ] gilt nämlich P R(f, P, c) = n P f (z k )(x k x k 1 ) = c n x k x k 1 k=1 k=1 = c(x 1 x 0 + x 2 x 1 + x 3 x x n 1 x n 2 + x n x n 1) = c( x 0 + x n) = c(x n x 0) = c(b ). Selbst für dieses bnle Beispiel brucht mn lso einen Trick (Teleskopsumme). J. Wengenroth () 17. Juli / 22

7 8.4 Stz Kpitel 8: Integrtion 8.4 Stz () Jede stetige Funktion f : [, b] R ist integrierbr. (b) Sind f und g : [, b] R beide integrierbr und, β R, so ist f + βg integrierbr und (f + βg)(x)dx = f (x)dx + β g(x)dx Linerität (c) Sind f, g : [, b] R beide integrierbr mit f (x) g(x) für lle x [, b], so ist f (x)dx g(x)dx Monotonie. (d) Ist f : [, b] R integrierbr, so ist uch f integrierbr und f (x)dx f (x) dx. -Ungleichung J. Wengenroth () 17. Juli / 22

8 8.4 Stz Kpitel 8: Integrtion 8.4 Stz (e) Sind f [, b] R integrierbr und c [, b], so gilt f (x)dx = c f (x)dx + c f (x)dx. Intervllteilung Beispiel. 1 0 x 2 dx = 1 3. Wegen 8.4 () ist f (x) = x 2 uf [0, 1] integrierbr. Deshlb reicht es den Grenzwert spezieller Riemnn-Summen uszurechnen. Für P n = {0 = 0/n < 1/n <... < n/n = 1} und z = [1/n,..., n/n] gilt R(f, P n, z) = n k=1 ( k 2 k n 2 n k 1 n ) = 1 n 3 n k=1 k 2 = 1 n 3 n(n+1)(2n+1) Wir werden dieses Integrl gleich viel einfcher usrechnen können. J. Wengenroth () 17. Juli / 22

9 Kpitel 8: Integrtion 8.5 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI) 8.5 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI) Sei f : [, b] R stetig x () Die Funktion F : [, b] R, x f (t)dt ist eine Stmmfunktion von f, ds heißt F (x) = f (x) für lle x [, b]. (b) Ist G : [, b] R irgendeine Stmmfunktion von f, so gilt β f (t)dt = G(β) G() für lle < β b. J. Wengenroth () 17. Juli / 22

10 Kpitel 8: Integrtion 8.5 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI) Bemerkung: () Für G(β) G() schreibt mn uch G β oder G(t) β (b) Für β < definieren wir β f (t)dt = G β t=. β f (t)dt = f (t)dt. Dnn gilt für lle, β [, b] (uch wenn β < ). (c) Die Ableitung von G(x) = xn+1 n+1 ist f (x) = x n. Also gilt 1 x n dx = xn+1 1 = 1 x=0 0 n+1 n+1. β J. Wengenroth () 17. Juli / 22

11 Kpitel 8: Integrtion 8.5 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI) Beweis des HDI. () Für y < x mit x y klein genug gilt F (x) F (y) R x f (x) x y = 1 x y R = 1 x R f (t)dt 1 x f (x)dt x y y x y y R x 1 x y y f (t) f (x) dt 1 x y R y f (t)dt R x y εdt = ε. f (t)dt f (x) Durch Rollentusch erhält mn dieselbe Ungleichung, flls x < y. (b) Sei F die Funktion us (). Für H = G F gilt dnn H = G F = f f = 0, und wegen des Mittelwertstzes ist H konstnt = H(). Für < β folgt us der Definition von F mit Intervllteilung Andererseits gilt F (β) F () = Z β f (t)dt Z f (t)dt = Z β f (t)dt. G(β) G() = F (β) + H() (F () + H()) = F (β) F (). J. Wengenroth () 17. Juli / 22

12 8.6 Beispiele Kpitel 8: Integrtion 8.6 Beispiele () (b) (c) (d) (e) sin(x)dx = cos cos(x)dx = sin e x dx = e b e b 1 dx = rctn 1+x 2 b b log(x)dx = (x log(x) x) b x= für 0 < < b (log = ln). In llen Beispielen ht mn die Stmmfunktion entweder gewusst oder gerten. J. Wengenroth () 17. Juli / 22

13 Kpitel 8: Integrtion 8.7 Stz (Prtielle Integrtion) 8.7 Stz (Prtielle Integrtion) Seien f, g : [, b] R stetig differenzierbr. Dnn gilt Beweis. Wegen des HDI gilt fg b = Z b (fg) (x)dx = f (x)g(x)dx = fg b b f (x)g (x)dx. Z b f (x)g(x) + f (x)g (x)dx = Z b Z b f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx J. Wengenroth () 17. Juli / 22

14 Beispiele. Kpitel 8: Integrtion 8.7 Stz (Prtielle Integrtion) () x sin(x)dx =? f (x) = cos(x), g(x) = x R b? = f (x)g(x)dx = x cos(x) b x= + R b cos(x)dx = ( x cos(x) + sin(x)) Wir hben hier nicht bloß ds bestimmte Integrl usgerechnet, sondern sogr eine Stmmfunktion x cos(x) + sin(x). Durch Differentition knn mn im Nchhinein verifizieren, dss es sich ttsächlich um eine Stmmfunktion hndelt. b x= J. Wengenroth () 17. Juli / 22

15 Kpitel 8: Integrtion 8.7 Stz (Prtielle Integrtion) (b) log(x)dx =? Wir setzen f (x) = x, g(x) = log(x) und erhlten log(x)dx = f (x)g(x)dx = x log(x) b b x 1 x= x dx = (x log(x) x) b (c) x 2 cos(x)dx = x 2 sin(x) b 2x sin(x)dx. x= Nochmlige prtielle Integrtion (oder Anwenden von ()) liefert x 2 cos(x)dx = (x 2 sin(x) + 2x cos(x) 2 sin(x)) b. x= J. Wengenroth () 17. Juli / 22

16 Kpitel 8: Integrtion 8.8 Stz (Substitutionsregel) 8.8 Stz (Substitutionsregel) Seien ϕ : [, β] R stetig differenzierbr und f : ϕ([, β]) R stetig. Dnn gilt ϕ(β) β f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt. ϕ() Bemerkung. () Merkregel x zwischen ϕ() und ϕ(β), x = ϕ(t) = t zwischen und β und dx = ϕ (t)dt (b) Erster Anwendungstyp: Integrnd ist von der Form f (ϕ(x))ϕ (t). Beispiel: t sin(t 2 )dt = 1 2 ϕ (t) sin(ϕ(t))dt für ϕ(t) = t 2. Also t sin(t 2 )dt = 1 sin(x)dx = (cos(2 ) cos(b 2 )) J. Wengenroth () 17. Juli / 22

17 8.8 Substitutionsregel Kpitel 8: Integrtion 8.8 Stz (Substitutionsregel) (c) Zweiter Anwendungstyp Gesucht f (x)dx Suche ϕ, so dss f (ϕ(t)) einfch Suche, β mit = ϕ() und b = ϕ(β) Beispiel: Gesucht ist e x dx für 0 < b. x = ϕ(t) mit ϕ(t) = t 2 =, β = b e x dx = ϕ( b) ϕ( ) e x dx = Weiter mit prtieller Integrtion b e t tdt = e t t b e t 2tdt b b e t dt = (e t t e t ) b t= J. Wengenroth () 17. Juli / 22

18 8.8 Substitutionsregel Kpitel 8: Integrtion 8.8 Stz (Substitutionsregel) Auch hier ht mn eine Stmmfunktion berechnet, nämlich F (x) = 2( x 1)e x, ws mn durch Probe leicht verifiziert. Beweis der Substitutionsregel. Sei F eine Stmmfunktion von f (die existiert wegen des HDI). Dnn gilt ϕ(β) R ϕ() f (x)dx = F (ϕ(β)) F (ϕ()) = (F ϕ) = β βr βr F (ϕ(t))ϕ (t)dt = f (ϕ(t))ϕ (t)dt. βr = (F ϕ) (t)dt J. Wengenroth () 17. Juli / 22

19 Kpitel 8: Integrtion 8.9 Stz (Stmmfunktion der Umkehrfunktion) 8.9 Stz (Stmmfunktion der Umkehrfunktion) Sei f : [, b] [, β] stetig differenzierbr und bijektiv. Ist F eine Stmmfunktion von f, so ht f 1 : [, β] [, b] die Stmmfunktion G(y) = yf 1 (y) F (f 1 (y)) Beweis. Für y [, β] sei x [, b] mit y = f (x). Dnn ist y f f 1 (x) x (z)dz = f 1 (z)dz = f 1 (f (t))f (t)dx x = tf (t)dt = tf (t) x x f (t)dt t= = xf (x) F (x) c = f 1 (y)y F (f 1 (y)) c. wobei c = f () F () nicht von y bhängt und beim Ableiten 0 ergibt. J. Wengenroth () 17. Juli / 22

20 Kpitel 8: Integrtion 8.9 Stz (Stmmfunktion der Umkehrfunktion) 8.9 Stz (Stmmfunktion der Umkehrfunktion) Beispiel. sin : [ π/2, π/2] [ 1, 1] ist bijektiv. Die Umkehrbbildung rcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2] heißt Arcussinus. Eine Stmmfunktion von sin(x) ist cos(x) = cos 2 (x) = 1 sin 2 (x). Eine Stmmfunktion von rcsin ist lso G(y) = y rcsin(y) + 1 y 2 J. Wengenroth () 17. Juli / 22

21 Kpitel 8: Integrtion 8.10 Flächeninhlt des Hlbkreises 8.10 Flächeninhlt des Hlbkreises Sei r > 0 und f : [ r, r] R, x r 2 x 2. Dnn ist f (x)dx der {[ ] r } x Flächeninhlt des Hlbkreises H r = : x y 2 + y 2 r 2, y 0 mit Rdius r. Substitution x = rt : dx = rdt, r r 2 x 2 1 dx = r 2 (rt) 2 rdt = r t 2 dt r 1 Substitution t = sin(u) : dt = cos(u)du, ±1 = sin(±π/2) 1 π/2 I = 1 t 2 dt = 1 sin 2 (u) cos(u)du = 1 π/2 Mit prtieller Integrtion folgt I = sin(u) cos(u) = π I I = π/2 π/2 π/2 + π/2 π/2 1 sin 2 (u)du = π/2 π/2 r π/2 π/2 cos 2 (u)du 1 cos 2 (u)du J. Wengenroth () 17. Juli / 22

22 Kpitel 8: Integrtion 8.10 Flächeninhlt des Hlbkreises 8.10 Flächeninhlt des Hlbkreises Der Flächeninhlt eines Kreises mit Rdius r ist πr 2. Bemerkung. Wir hben übrigens (mit y sttt π/2) eine Stmmfunktion von cos 2 (u) gefunden, nämlich 1 2 (sin(u) cos(u) + u). J. Wengenroth () 17. Juli / 22