Übungsaufgaben. Achtung(!):

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Gerhardt Wetzel
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1 Übungsufgben 8. Übung: Woche vom (Int.-R. I): Heft Ü1: 11.1 (,b,g,j); 11.2 (e,g,l,m,p); 11.3 (,c-e,q,r) Achtung(!): 2. Test (relle Fkt., Diff.-rechng.) wird m freigeschlten (Duer: bis )!

2 Ds Bestimmte Integrl (Kp ) Abb. 2.54: Fläche zwischern dem Grphen von f und der x-achse uf dem Intervll [, b]

3 Riemnnsche Summen Abb. 2.55: Zerlegung der Fläche in Streifen

4 Zerlegung Z des Intervlls [, b] [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ] x i := [x i 1, x i ], x i := x i x i 1 Höhe der Streifenflächen M i := sup x x i f(x), m i := inf x x i f(x) S(Z) := Obersumme und Untersumme n M i x i, s(z) := i=1 n m i x i i=1 Oberintegrl und Unterintegrl I := inf Z S(Z), I := sup Z s(z)

5 Ds Riemnnsche Integrl (Def. 2.34) Eine uf [, b] beschränkte Funktion f heißt im Intervll [, b] Riemnn-integrierbr, flls ds Unter- und Oberintegrl von f in R existieren und übereinstimmen (I = I). Der gemeinsme Grenzwert I = I wird bestimmtes Riemnnsches Integrl von f über [, b] gennnt und mit f(x) dx bezeichnet. heißt untere und b obere Integrtionsgrenze, [, b] wird Integrtionsintervll gennnt. x heißt Integrtionsvrible und f Integrnd.

6 Ds bestimmte Integrl Abbildung 2.56: 2 x dx = 4 2 3

7 Ds bestimmte Integrl Abbildung 2.57: 2π cos x dx =

8 Integrierbrkeit stetiger Funktionen Stz 2.34: Sei f : [, b] R. Flls f uf [, b] stetig oder stückweise stetig ist, dnn ist f uf [, b] integrierbr. Def.: f heißt stückweise stetig, wenn f uf [, b] mit Ausnhme endlich vieler hebbrer Unstetigkeitsstellen oder Unstetigkeitsstellen 1. Art (Sprungstellen) stetig ist.

9 Mittelwertsätze der Integrlrechnung Mittelwertstz (Stz 2.35, ) Ist die Funktion f : [, b] R stetig, so existiert ein ξ (, b) mit f(x) dx = f(ξ)(b ). Verllgemeinerter Mittelwertstz (Stz 2.35, b) Sind die Funktionen f : [, b] R und g : [, b] R stetig und ist g(x) > für lle x (, b), so existiert ein ξ (, b) mit f(x)g(x) dx = f(ξ) g(x) dx.

10 Geometrische Bedeutung des Mittelwertstzes y f(x) f(ξ) ξ b x

11 Rechenregeln für bestimmte Integrle (Stz 2.36) Seien f, g : [, b] R integrierbre Funktionen sowie c (, b) und α, β R gegeben. Dnn gilt: (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x) dx f(x) dx, f(x) dx + β g(x) dx, f(x) dx = c f(x) dx + f(x) uf [, b] f stetig, f(x) uf [, b], c f(x) dx, f(x) dx, f(x) dx = f =.

12 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Erster Huptstz (Stz 2.37): Sei f : [, b] R stetig. Dnn ist die Funktion F : [, b] R mit F (x) := x f(t) dt, eine Stmmfunktion von f. für lle x [, b], Für jede ndere Stmmfunktion F 1 von f gilt mit einem pssenden C R. F 1 (x) = F (x) + C für lle x [, b]

13 Huptstz der Differentil-u. Integrlrechnung Zweiter Huptstz (Stz 2.38): Ist F : [, b] R Stmmfunktion einer stetigen Funktion f : [, b] R, so gilt f(x) dx = F (b) F (). Mn schreibt dfür uch F (x) b oder [F (x)] b.

14 Stmmfunktion für stückw. definierte Fkt. I ) f stückweise definiert, ber stetig, = : f(x) = {=, x < ; = x 2, x [, 1]; = 1 + (x 1) 2, x > 1.} F (x) := x [, 1] : F (x) = F (x) = x > 1 : = x f(t)dt + x x f(t)dt F () =. t 2 dt = 1 (x 1)3 + x + 3 x < : F (x) = x [ t 2 2 ] x = x2 2, F (1) = (t 1) 2 dt = [ t + 1 = x + f(t)dt = x (x 1) f(t)dt = (t 1)3 3 ] x 1

15 Stmmfunktion für stückw. definierte Fkt. II ) f (nur) stückweise stetig, =, F () = : f(x) = {= 1, x < ; = x 2, x [, 1]; = 2 + (x 1) 2, x > 1.} x [, 1] : F (x) = F (x) = 1 f(t)dt + x x t 2 dt = 1 [ t 2 2 ] x = x2 2, F (1) = (t 1) 2 dt = [ 2t + x > 1 : = 1 (x 1)3 (x 1)3 + 2x + 2 = 2x x [ ] x < : F (x) = f(t)dt = 1dt = t = x 4 f(x)dx = F (4) F () = = 31 2 ; 1 x 3 x (t 1)3 3 f(x)dx = 2. ] x 1

16 2.HS - Anwendung I: Flächenberechnungen Abb. 2.6: Fläche zwischen den Grphen von f und g über [, 1]

17 Volumen und Oberfläche von Rottionskörpern Abb. 2.61: Rottionskörper (von der Funktion f erzeugt)

18 Definition Rottionskörper Def. 2.35: Sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Rotiert der Funktionsgrph {(x, f(x)) x b} um die x Achse, so entsteht der durch die Funktion f erzeugte Rottionskörper x y x [, b], y2 + z 2 f(x) 2. z

19 Volumen und Mntelfläche von Rottionskörpern Der von der Funktion f : [, b] [, ) erzeugte Rottionskörper besitzt ds Volumen V := π und den Mntelflächeninhlt f 2 (x) dx A M := 2π f(x) 1 + f (x) 2 dx.

20 Proltes und obltes Rottionsellipsoid Rottionsell.: E := {x R 3 x2 2 + y2 b 2 + z2 b 2 1}, Rot.-chse: x () Prolte: = b 1 + ε > b, oblte (Sphäroid): b = 1 + ε > ; Schnitt in x, y-ebene: x2 + y2 2 b = 1 bzw. y = f(x) = b 1 x A O = 2πb 1 x2 1 + (y 2 ) 2 dx, ε o := b2 2 2, ε p := 2 b 2 b 2 V = π y 2 dx = πb 2 (1 x2 2 )dx = 4 3 πb2 Bei Identifiktion der jeweils kleineren HA (b ˆ= ): V pro = 4 3 πb3 1 + ε p < 4 3 π(1 + ε o) 3 = V obl

21 Prmeterintegrle und ihre Differentition Die Funktion f : [, b] [c, d] R sei stetig bezüglich des Prmeters x und integrierbr bezüglich der Veränderlichen y. Dnn gilt für ds Prmeterintegrl F (x) := d c F : [, b] R ist stetig, f(x, y) dy, x b flls f in (, b) nch x stetig differenzierbr ist, dnn ist F in (, b) stetig differenzierbr mit F (x) = d dx d c f(x, y) dy = d c d f(x, y) d x dy.

22 Verllgemeinerung: Leibniz Regel Stz 2.4: Sind neben den Vorussetzungen des letzten Stzes h, g :[, b] R stetig differenzierbre Funktionen, dnn gilt F (x) = d dx h(x) g(x) f(x, y) dy = h(x) g(x) d f(x, y) d x dy + f(x, h(x))h (x) f(x, g(x))g (x).

23 Bsp. zur Diff. von Prmeterintegrlen f 2 (x) = x 2 x f 2(x) = dy x y ln(1 + xy), x > (x < 1 : f 2(x) =...) x 2 x 2 x = 1 x ln 1 + xy x 2 dy 1 + xy + ln(1 + x(x2 )) x 2 2x x + 1 x ln(1 + x(x)) x [ 2 ln(1 + x 3 ) ln(1 + x 2 ) ] = 1 x ln(1 + x3 ) 1 x ln(1 + x2 ) + 1 x = 3 x ln(1 + x3 ) 2 x ln(1 + x2 ) [... ] 1

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