Numerische Mathematik I

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1 Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005

2 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität Kssel. Der Text und die Abbildungen wurden mit größter Sorgflt errbeitet. Der Autor knn jedoch für eventuell verbliebene fehlerhfte Angben und deren Folgen weder eine juristische Verntwortung noch irgendeine Hftung übernehmen. Die vorliegende Publiktion ist urheberrechlich geschützt. Alle Rechte vorbehlten. Kein Teil dieses Mnuskriptes drf ohne schriftliche Genehmigung des Autors in irgendeiner Form durch Photokopie, Mikrofilm oder ndere Verfhren reproduziert werden oder in einer für Mschinen, insbesondere Dtenverrbeitungsnlgen, verwendbre Spchen übertrgen werden. Die Druckvorlge dieses Mnuskriptes wurde mit Hilfe des von Leslie Lmport entwickelten Progrmms L A TEX erstellt, welches uf dem wissenschftlichen Buchstzprogrmm TEX von Donld E. Knuth bsiert. Stz: Dipl-Mth. Mrtin Steigemnn

3 Inhltsverzeichnis 1 Einführung 1 Aufgben Nichtlinere Gleichungen Einführung Topologische Grundbegriffe Der Bnchsche Fixpunktstz Ds Newtonverfhren Ds Sekntenverfhren Konvergenzbeschleunigung Ds mehrdimensionle Newtonverfhren Ds Verfhren von Birstow Aufgben Interpoltionsufgben Interpoltion durch Polynome Interpoltion durch Splines Aufgben Drstellung von Kurven in der Ebene Grundbegriffe Bernsteinpolynome und Bézier-Drstellung Aufgben iii

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 5 Numerische Integrtion Grundbegriffe Die Newton-Cotes-Formeln Die Guß-Qudrturformeln Orthogonle Polynome Qudrturformeln für uneigentliche Integrle Extrpoltionsverfhren Aufgben

5 Tbellenverzeichnis 1.1 Berechnung von e Heronsches Verfhren für x 0 = Heronsches Verfhren für x 0 = Linere Interpoltion Fehler bei Riemnnsummen Fehler zusmmengesetzte Trpezregel Newtonverfhren Konvergenzbeschleunigung Fixpunktitertion für g Newtonverfhren für g Birstow-Verfhren Dividierte Differenzen-Schem Neville-Algorithmus Newton-Cotes-Formeln Vergleich zusmmengesetzte Trpezregel und Simpsonregel bei nicht gltter Funktion Vergleich zusmmengesetzte Trpezregel und Simpsonregel bei gltter Funktion Knoten und Gewichte der Guß-Formel Vergleich Qudrturformeln Beispiel f(x) = sin(x) und g(x) = 2 + cos(x) Fehler beim Rombergverfhren v

6 Abbildungsverzeichnis 3.1 Beispiel von Runge Tschebyscheffpolynome Drstellung zweier Kurven durch Splines Beispiel Bézierkurve Beispiel zusmmengesetzte Bézierkurven Trpezregel ufgetrgen gegen h für die Funktion f(x) = e x vi

7 Kpitel 1 Einführung In der Reinen Mthemtik but mn usgehend von einem Axiomensystem eine Theorie uf und versucht, möglichst lle Aussgen durch Rückführung uf ds Axiomensystem zu beweisen. Zentrle Begriffe sind Existenz- und Eindeutigkeitsussgen, Chrkterisierungen, Klssifizierungen. In der Angewndten Mthemtik befßt mn sich mit der Entwicklung und dem Studium von mthemtischen Modellen für physiklische, technische, volkswirtschftliche, biologische (u..) Probleme. In der Numerischen Mthemtik stellt mn sich die Aufgbe, möglichst effizient spezielle Lösungen zu berechnen. Mn entwickelt Lösungsverfhrem, die mit möglichst wenig Aufwnd möglichst genu die Lösung liefern sollten. Die Fehlerkontrolle spielt hier eine wichtige Rolle. Wir wollen dies n zwei einfchen Beispielen deutlich mchen: Beispiel 1.1 (Berechnung von e) Es gibt viele Möglichkeiten, die Eulersche Zhl e drzustellen, z.b. () e = ! + 1 3! +..., oder (b) e = lim n ( n) n, oder (c) sei e = f(1), wobei f die Anfngswertufgbe löst: f (x) = f(x) für x > 0 und f(0) = 1. Schließlich: (d) definiere e ls positive Nullstelle der Funktion g(x) := log(x) 1, wobei die Logrithmusfunktion definiert ist durch log(x) := x dt für x > 0. 1 t In ( der folgenden Tbelle hben wir die Teilsummen ! 3! n! n n) für verschiedene Werte von n ufgetrgen. und die Glieder 1

8 2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Tbelle 1.1: Berechnung von e Mn erkennt die schnelle Konvergenz der Reihe (), die sehr lngsme Konvergenz dgegen der Folge (b). Vom Stndpunkt der Reinen Mthemtik us gesehen, sind beide Definitionen () und (b) äquivlent, vom Stndpunkt der Numerischen Mthemtik us ist die Berechnung über (b) völlig unzureichend! Zur Berechnung über die Definitionen (c) und (d) können wir n dieser Stellen noch nichts ussgen. Den Sinn des nächsten Beispiels sieht mn vielleicht zunächst noch nicht ein: Beispiel 1.2 (Hornerschem) Gegeben sei eine Polynomfunktion p(x) = x + 2 x n x n mit Koeffizienten 0, 1,..., n R. Wir benutzen dfür und weiterhin in diesem Buch ds Summenzeichen ls bequeme Abkürzung: p(x) = n j x j. Wir wollen die Opertionen zählen, die wir zur Berechnung eines Funktionswertes p(x) benötigen. Zur Berechnung von j x j benötigt mn j Multipliktionen, zusmmen lso n = 1 n(n+1) Multipliktionen. Hinzu kommen noch 2

9 3 n Additionen bzw. Subtrktionen. Ds Hornerschem kommt mit wesentlich weniger Opertionen us. Wir mchen es m Beispiel vor: p(x) = 2+3 x+4 x 2 5 x 3 +2 x 4 +5 x 5 = 2+x (3+x (4+x ( 5+x (2+5 x)))) Sttt = 15 Multipliktionen und 5 Additionen/Subtrktionen benötigen 2 wir nur 5 Multipliktionen und 5 Additionen/Subtrktionen, lso viel weniger. Wie sieht ds llgemein us? Wir können schon einen ersten Stz beweisen: Stz 1.1 (lgorithmische Form des Hornerschems) Beweis: Gegeben sei ds Polynom n-ten Grdes p(x) = n j x j mit reellen Koeffizienten 0, 1,..., n R. Sei weiter z R. Mn berechne die Zhlen b n 1, b n 2,..., b 0 gemäß der Rekursionsformel b n 1 := n, b j := j+1 + zb j+1, j = n 2,..., 0, (1.1) und bilde dmit ds Polynom (n 1)-ten Grdes q(x) = n zb 0 gilt dnn: Speziell ist lso p 0 = p(z). Wir berechnen die rechte Seite: b j x j. Mit p 0 := p(x) = (x z)q(x) + p 0 für lle x R. (1.2) n 1 n 1 (x z)q(x) + p 0 = p 0 + b j x j+1 b j zx j = p 0 + n n 1 b j 1 x j b j zx j j=1 n 1 = p 0 b 0 z + (b j 1 b j z)x j + b n 1 x n j=1 (1.3) n 1 = 0 + j x j + n x n = p(x) j=1 Dies beendet den Beweis.

10 4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Wir zählen wieder die Opertionen: In jeder Itertion hben wir eine Addition und eine Multipliktion uszuführen, zusmmen lso n Additionen und n Multipliktionen. Dies ist schon ein gewltiger Unterschied zum niven Auswerten des Polynoms! Dieses einstufige Hornerschem knn mn noch übertrgen uf die Berechnung der Ableitung des Polynoms. Mn berechnet nun die Zhlen b n 1, b n 2,..., b 0 und c n 2,..., c 0 gemäß: b n 1 := n, c n 1 = 0 b j := j+1 + zb j+1, c j := b j+1 + zc j+1, j = n 2,..., 0 (1.4) und bildet dmit die Polynome (n 1)-ten bzw. (n 2)-ten Grdes n 1 n 2 q(x) = b j x j und r(x) = c j x j. (1.5) Mit p 0 := 0 + zb 0 und q 0 := b 0 + zc 0 gilt dnn: p(x) = (x z)q(x) + p 0 und q(x) = (x z)r(x) + q 0 für lle x R. Speziell ist lso p 0 = p(z) und q 0 = q(z) = p (z). Ds folgende Beispiel beschreibt ein ußerordentlich gutes Verfhren zur Berechnung der Wurzel einer Zhl. Es wird in (Tschen- und sonstigen) Rechnern benutzt! Beispiel 1.3 (Heronsches Verfhren zur Wurzelberechnung) Sei > 0 gegeben, gesucht ist die positive Qudrtwurzel x =. Sei x 0 > 0 beliebig. Ds Rechteck mit den Seiten x 0 und x 0 besitzt die Fläche, gesucht ist die Seitenlänge des Qudrts mit Fläche. Eine bessere Näherung ls x) 0 sollte ds rithmetische Mittel von x 0 und x 0 sein, lso x 1 := (x x0. Flls x 1 x 1 so fhre mn mit der Mittelwertbildung fort. Mn erhält die Folge x n+1 := 1 ) (x n + xn, n = 0, 1, 2,... 2 (1.6) wenn ein Strtwert x 0 > 0 gegeben ist. Die folgende Tbelle listet für = 5 und den Strtwert x 0 = 1 die Näherungen x n für n = 0, 1,..., 8 uf, zusmmen mit den Qudrten x 2 n. Die folgenden Frgen schließen sich n:

11 5 n x n x 2 n Tbelle 1.2: Heronsches Verfhren für x 0 = 1 () Konvergiert die Folge überhupt gegen? Ds scheint so zu sein. Konvergiert die Folge uch für ndere Strtwerte? (b) Wie schnell konvergiert die Folge? In diesem Beispiel offenbr sehr schnell. Wie können wir diese Geschwindigkeit messen? (c) Wie bestimmt mn einen geeigneten Strtwert? Für x 0 = 2 erhlten wir die folgende Tbelle: n x n x 2 n Tbelle 1.3: Heronsches Verfhren für x 0 = 2 Die Konvergenz ist noch besser! Die Zhl der Schritte, die benötigt werden, um eine gewünschte Genuigkeit zu erhlten, hängt lso uch von der Whl des Strtwertes x 0 b. Die Berechnung von bedeutet j, dß wir eine Nullstelle der Funktion f(x) = x 2 finden wollen. Als erste Grundufgbe besprechen wir im nächsten Kpitel Verfhren, um Nullstellen von Funktionen f : [, b] R zu berechnen. Als nächste Grundufgbe wollen wir die linere Interpoltion vorstellen. Sei im letzten Beispiel wieder = 5. Wir wollen h() berechnen für die Funktion h(x) = x. Eine Näherung n h() können wir durch linere Interpoltion gewinnen: = 5 liegt zwischen den Qudrtzhlen 4 und 9. Wir bestimmen die Gerde y = g(x) durch die beiden Punkte

12 6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG (4,2) und (9,3) und berechnen x 0 = g(). Dies liefert g(x) = 1 (x + 6). Für x = = 5 ist 5 dies x 0 = 11 = 2.2. Dmit erhält mn die Tbelle: 5 n x n x 2 n Tbelle 1.4: Linere Interpoltion Ntürlich könnte mn uch drei Pre (x 0, h 0 ), (x 1, h 1 ), (x 2, h 2 ) nehmen und eine Prbel, lso ein Polynom zweiten Grdes, durch diese drei Punkte legen. Dieses bezeichnet mn ls qudrtische Interpoltion. Die Interpoltion spielt bei der grphischen Drstellung von Kurven (etw bei der Klligrphie) oder Flächen (z.b. im Automobilbu) eine wichtige Rolle. Schließlich werden wir uns im fünften Kpitel mit der weiteren Grundufgbe befssen, bestimmte Integrl Integrl I := 2 0 f(x) dx numerisch zu berechnen. Als Beispiel betrchten wir ds f(x) dx mit f(x) := sin(3x) 3x (1.7) Dieses Integrl ist nicht nlytisch berechenbr, denn mn knn keine Stmmfunktion von f ngeben. Wir können ls Näherung die Riemnnsummen R n := 2 n n f(x j ) mit x j = j 2 n, j = 1,..., n, (1.8) j=1 nehmen. Wir hben lso die Rechtecke mit der konstnten Breite 2 und der Höhe f(x n j), j = 1,... n, zu berechnen, wobei x 1,..., x n eine äquidistnte Unterteilung des Integrtionsintervlls [0, 2] bilden. Für n = 2, 4, 6, 8 hben wir die Fehler δ n := I R n in der nächsten Tbelle ufgetrgen. Mn erkennt, dß die Näherungen nicht besonders genu sind. Die sogennnte zusmmengesetzte Trpezregel ht die Form ( ) T n := 1 n 1 f(0) + f(2) + 2 f(x j ). n (1.9) j=1

13 7 n δ n Tbelle 1.5: Fehler bei Riemnnsummen Wir hben wiederum die Fehler δ n := I T n für n = 2, 4, 6, 8 in der folgenden Tbelle ufgetrgen: n δ n Tbelle 1.6: Fehler zusmmengesetzte Trpezregel Mn erkennt, dß die Trpezregel schon genuer ist! Wir werden noch wesentlich bessere Methoden zur Berechnung des Integrls I kennenlernen. Aufgben 1. Sie wissen bereits, dß die Heronfolge x n+1 = 1 ) (x n + 2xn, n = 0, 1, 2,... 2 zum Beispiel für den Strtwert x 0 = 1 gegen 2 konvergiert. () Beweisen Sie: Auch die Folge konvergiert gegen 2. y 0 = 1, y n+1 = y n, n = 0, 1, 2,..., (b) Berechnen Sie für beide Folgen (x n ) n und (y n ) n jeweils mit dem Strtwert x 0 = y 0 = 1 die ersten zehn Folgenglieder. Welche scheint schneller zu konvergieren?

14 8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 2. Mn definiert: Eine Folge (x n ) n konvergiert schneller gegen ls eine Folge (y n ) n (mit y n für lle n N 0 ), wenn gilt: x n lim n y n = 0. Beweisen Sie mit dieser Definition Ihre Vermutung us der letzten Aufgbe. 3. Beim zweistufigen Hornerschem zur Berechnung von Funktionswert und Ableitung eines Polynoms p(x) = n j x j n einer Stelle z R berechnet mn die Zhlen sowie b n 1 := n, c n 1 := 0, b j := j+1 + zb j+1, c j := b j+1 + zc j+1 für j = n 2,..., 0 Mit q(x) = n 1 p 0 := 0 + zb 0 und q 0 := b 0 + zc 0 b j x j gilt p(x) = (x z)q(x) + p 0 für lle x R und somit p 0 = p(z). Beweisen Sie: Mit r(x) = n 2 c j x j gilt drüber hinus: q(x) = (x z)r(x) + q 0 für lle x R und q 0 = p (z).

15 Kpitel 2 Nichtlinere Gleichungen 2.1 Einführung Wir wollen zunächst noch zwei Beispiele betrchten. Beispiel 2.1 Bei Wertppieren (oder Drlehen) mit längerer Lufzeit werden oft vrible Zinssätze ngegeben (d.h. die Zinssätze unterscheiden sich von Jhr zu Jhr). Der effektive Zinsstz ordnet jedem solcher Wertppiere eine Zhl zu, mit der mn verschiedene Ppiere untereinnder vergleichen knn. Um deren (finnzmthemtische) Definition zu verstehen, wird die Zinsformel benutzt: Ist ds Anfngskpitl, n die Lufzeit in Jhren und q der während der Lufzeit konstnte Jhreszinsstz (lso z.b. 5% entspricht q = 0.05), so berechnet sich ds Endkpitl us der Formel b = (1 + q) n. Es werde jetzt ein Wertppier gekuft mit der Lufzeit n Jhre und vriblen Zinssätzen q 1, q 2,..., q n. Mn stellt dnn den sogennnten Csh-flow-Vektor uf ( sei der Kufpreis des Ppiers): (, q 1, q 2,..., q n 1, q n + ). (2.1) Dieser gibt den Geldfluß in jedem Jhr n. Der effektive Jhreszins q ist nun definitionsgemäß der über die Lufzeit konstnte Zinsstz, der den gleichen Gewinn bringt, wobei die unterschiedlichen Anlgezeiten berücksichtigt werden müssen. Also: (1 + q) n = (q 1 )(1 + q) n 1 + (q 2 )(1 + q) n (q n 1 )(1 + q) + (q n + ) (2.2) 9

16 10 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Setzt mn x = 1 + q, so muß mn lso die Nullstelle der Polynomfunktion x n n 1 q n j x j (q n + 1) suchen, und zwr die, die dicht bei x = 1 liegt. j=1 Ds zweite Beispiel ist eine Nichtlinere Interpoltionsufgbe: Beispiel 2.2 Wir messen zu vier verschiedenen Zeiten t 1,..., t 4, wieviel eines bestimmten Stoffes sich in einer Lösung gelöst ht und erhlten zugehörige Werte z 1,..., z 4. Ds Lösungsgesetz sei durch eine Exponentilsumme beschrieben: z(t) = e bt + ce dt, t R. (2.3) Es sollen nun Koeffizienten, b, c und d bestimmt werden. Dies führt uf ds nichtlinere Gleichungssystem e bt i + ce dt i = z i, i = 1, 2, 3, 4. (2.4) Definieren wir die Funktion f : R 4 R 4 von vier Vriblen durch f i (, b, c, d) := e dt i +ce dt i z i, i = 1, 2, 3, 4, so müssen wir lso eine Nullstelle der Funktion f bestimmen. Die llgemeine Problemstellung in diesem Kpitel ist folgende: Es sei eine Funktion f : R N R N gegeben, gesucht eine Nullstelle von f, d.h. eine Lösung ˆx R N des Gleichungssystems f(ˆx) = 0. Nheliegende Frgen bei der Untersuchung nichtlinerer Gleichugnssysteme sind dnn: () Existiert eine Lösung ˆx von f(x) = 0? Diese Frge sollte mn sich m Anfng ntürlich stellen, denn es mcht keinen Sinn, etws zu berechnen, ws es nicht gibt. (b) Wie bestimmt mn eine geeignete Itertionsfunktion, d.h. eine Funktion g so, dß die Itertionsvorschrift x n+1 = g(x n ), n = 0, 1,..., eine gegen ˆx konvergierende Folge bildet? Diese Frge knn nicht llgemein bentwortet werden, sondern hängt sehr von der Funktion f b. Insbesondere hängt es dvon b, ob f gltt ist, d.h. differenzierbr ist, und ob f sehr nichtliner ist. (c) Für welche Strtwerte konvergiert ds Verfhren? Wir werden zwischen loklen und globlen Konvergenzussgen unterscheiden. Eine Folge heißt lokl konvergent gegen ˆx, wenn es eine (möglicherweise sehr kleine) Umgebung des Punktes ˆx gibt, so dß ds Verfhren konvergiert, wenn der Strtwert in dieser Umgebung gewählt wird. Bei einer globlen Konvergenzussge wird dies nicht vorusgesetzt.

17 2.2. TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 11 (d) Wie schnell konvergiert die Folge? Dies ist für die Prxis ntürlich wichtig, wie wir schon gesehen hben. Im nächsten Abschnitt werden wir n die Begriffe der Konvergenz von Folgen, der Stetigkeit von Funktionen und der Abgeschlossenheit von Mengen erinnern. 2.2 Topologische Grundbegriffe Zunächst erinnern wir n den Begriff der Konvergenz einer Folge. Definition 2.1 (Konvergenz, Konvergenzgeschwindigkeit) () Sei (x n ) R eine reelle Zhlenfolge, lso bzählbr unendlich viele Zhlen x 1, x 2, x Die Folge heißt konvergent, wenn es ein x R gibt mit der Eigenschft: Zu jedem ε > 0 gibt es ein N 0 N mit x n x ε für lle n N 0. (2.5) x heißt Grenzwert oder Limes der Folge. Wir schreiben dfür uch x n x (n ) oder lim n x n = x. (b) Die Folge (x n ) heißt konvergent von der Ordnung p > 1, wenn sie gegen ein x konvergiert, und es ein c > 0 sowie N 0 N gibt mit x n+1 x c x n x p für lle n N 0. Für p = 2 nennt mn dies uch qudrtisch konvergent. Die Folge heißt liner konvergent, wenn in der obigen Abschätzung c < 1 und p = 1 ist. Offenbr hängt die Konvergenz nur von den Folgenschwänzen (x n ) n N0 b: Ws die ersten Folgenglieder tun, ist irrelevnt! Ist eine Folge qudrtisch konvergent und der Fehler im n-ten Schritt kleiner ls 10 q, d.h. q Stellen hinter dem Komm sind sicher (bis uf die letzte, die um 1 fehlerhft sein knn), so ist der Fehler im nächsten Schritt von der Größenordnung 10 2q, flls die Konstnte c nicht zu groß ist. Als Dumenregel können wir festhlten, dß sich bei einer qudrtisch konvergenten Folge bei jedem Schritt die Anzhl der exkten Stellen hinter dem Komm verdoppelt! Drn erkennt mn die ußerordentlich schnelle Konvergenz qudrtisch konvergenter Folgen. Bei liner konvergenten Folgen verkleinert sich der Fehler bei jedem Schritt um einen konstnten Fktor c < 1. Diese Konvergenz ist ntürlich längst nicht so schnell! Mit konvergenten Folgen drf mn herumrechnen : Konvergiert (x n ) gegen x und (y n ) gegen y und ist λ eine Zhl, so konvergiert die Folge (x n ± y n ) gegen x ± y und (λx n )

18 12 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN gegen ( ) λx. Ist zusätzlich y 0, so ist uch y n 0 für hinreichend große n, und die Folge x n yn konvergiert gegen x. y Wir kommen noch einml uf ds Heronverfhren zurück: Sei > 0 und Strtwert ( x) 0 > 0 gegeben. Dnn bilden wir die Folge (x n ) durch die Vorschrift x n+1 = 1 x 2 n + x n für n = 0, 1,.... Dnn können wir zeigen: Stz 2.1 (Konvergenz des Heronverfhrens) Die Folge des Heronverfhrens konvergiert für jeden Strtwert x 0 > 0 gegen. Es gelten die priori und posteriori Fehlerbschätzungen: xn c xn ( c x1 ) 2 n 1 für lle n 2, c xn xn 1 x n für lle n 1. (2.6) Hierbei ist c := 1 2. Die Heronfolge konvergiert lso qudrtisch gegen. Beweis: Zunächst erkennt mn x n > 0 für lle n N. Dnn ist x n = 1 ( x n 1 + ) 2 x n 1 = x2 n 1 2 x n 1 + 2x n 1 = (x 2 n 1 ), 2x n 1 (2.7) lso x n für lle n 1. Die Folge (x n ) ist dher nch unten beschränkt! Weiter ist x n+1 x n = 1 ( ) x n = x2 n 0, (2.8) 2 x n 2x n d.h. x n+1 x n für lle n 1. Die Folge ist lso uch monoton nicht steigend. Nun benutzen wir (eine nschulich einleuchtende?) Ttsche: Jede monoton nicht steigende, nch unten beschränkte Folge konvergiert! Sei x der Grenzwert. Aus der Rekursionsvorschrift ( erkennen wir, dß der Grenzwert x der Gleichung genügt: x = 1 2 x + x). Aufgelöst nch x ergibt dies x =, und der erste Teil des Stzes ist bewiesen.

19 2.2. TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 13 Wir setzen nun zur Abkürzung δ n := x n = x n. Aus der obigen Gleichung erhlten wir (n 2) Hierus folgt sofort δ n = δ2 n 1 2x n 1 δ2 n 1 2 = cδ2 n 1. (2.9) cδ n (cδ n 1 ) 2 (cδ n 2 ) 2 2 (cδ 1 ) 2n 1. (2.10) Aus den beiden oben gezeigten Gleichungen (2.7) und (2.8) folgt, dß die posteriori Abschätzung äquivlent ist zur Ungleichung (x n ) 2 x 2 n. Dieses prüft mn direkt durch Ausmultiplizieren nch! Um uch nichtlinere Gleichungssysteme, lso mehrere Gleichungen in mehreren Unbeknnten behndeln zu können, müssen wir den Begriff der Konvergenz für Folgen von Punkten erklären. Wir nehmen n, dß die Leser mit den grundlegenden Eigenschften des Vektorrumes R N vertrut sind: Punkte des R N knn mn ddieren, subtrhieren und mit einer Zhl multiplizieren (d.h. strecken oder stuchen). Es gibt einen Nullpunkt (oder Ursprung) 0. Elemente des R N nennen wir Vektoren oder Punkte und bezeichnen sie wieder einfch mit x, y usw. Die Komponenten eines Vektors bezeichnen wir mit unten ngehängten Indizes, lso etw x = (x 1, x 2,..., x N ) R N. Sklre, lso reelle Zhlen, bezeichnen wir i.. mit griechischen Buchstben, etw λ oder µ. Eine Punktfolge ist eine Aneinnderreihung von Punkten x 1, x 2,... mit x k R N. Wir indizieren die Elemente der Folge für den Augenblick mit oben ngehängten Indizes: ( x k) R N. Eine Verwechslung mit Potenzen ist nicht zu befürchten. Der Begriff der Beschränktheit, Konvergenz und Stetigkeit werden wir im llgemeinen folgendermßen definieren: Eine Folge ( x k) R N heißt beschränkt, wenn es R > 0 gibt mit für lle k = 1, 2,.... mx x k j R j=1,...,n Eine Folge ( x k) R N heißt konvergent gegen x R N, wenn es zu jedem ε > 0 ein K 0 N gibt mit x k j x j ε für lle k K0. mx j=1,...,n Eine Funktion f : R N D R heißt im Punkt x D stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit f(x) f(y) ε für lle y D mit mx x j y j δ. j=1,...,n Eine Funktion f : R N D R M heißt im Punkt x D stetig, wenn jede Komponente f i : R N D R für i = 1,..., M in x stetig ist.

20 14 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN In beiden Definitionen tritt die Größe mx x j uf. Diese mißt den Abstnd des Punktes j=1,...,n x R N vom Ursprung. x := mx x j besitzt die drei Eigenschften der folgenden j=1,...,n Definition: Definition 2.2 (Norm) Unter einer Norm im R N versteht mn eine Abbildung : R N R mit den drei Eigenschften: () x 0 für lle x R N, und x = 0 x = 0. (Definitheit) (b) λx = λ x für lle x R N und lle λ R. (Homogenität) (c) x + y x + y für lle x, y R N. (Dreiecksungleichung) Der R N zusmmen mit einer Norm heißt dnn uch normierter Rum. Bemerkung 2.1 () Diese Definition läßt sich ntürlich uf jeden Vektorrum übertrgen. (b) Aus der Dreiecksungleichung und der Homogenität läßt sich sofort die zweite Dreiecksungleichung herleiten: x y x y für lle x, y R N. (2.11) Diese folgt us den beiden Abschätzungen x = (x y) + y x y + y y = (y x) + x y x + x. (2.12) (c) Die Dreiecksungleichung läßt sich uch uf mehr ls zwei Summnden usdehnen: Durch vollständige Induktion zeigt mn leicht: n n x k x k für beliebige x 1,..., x n R N. (2.13) k=1 k=1 Wir benötigen zunächst nur die folgenden drei Beispiele für Normen:

21 2.2. TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 15 Beispiel 2.3 (Normen im R N ) N () x 2 := für x = (x 1,..., x N ) R N. Diese euklidische Norm x 2 j j=1 x 2 eines Vektors x beschreibt nschulich den Luftlinienbstnd des Punktes x zum Ursprung. Nur die Dreicksungleichung ist zu zeigen, die nderen Eigenschften sind offensichtlich. Dzu beweisen wir die Cuchy- Schwrzsche Ungleichung: Seien x 1,..., x N und y 1,..., y N reelle Zhlen. Dnn gilt: N x j y j N N yj 2 (2.14) j=1 j=1 Beweis: Aus der binomischen Formel für zwei Zhlen und b folgt sofort b b2. Sei λ > 0 ) beliebig. Wendet mn diese Ungleichung uf jedes x j y j = (λ x j ) n, so erhält mn nch Summtion: ( yj λ x 2 j j=1 N x j y j 1 2 j=1 = λ2 2 N λ 2 x 2 j j=1 N j=1 N j=1 x j λ 2 1 λ 2 y j 2 N y j 2 j=1 (2.15) D dies für λ > 0 gilt, können wir speziell λ 2 = beweist die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung. Hierus folgt weiter mit der binomischen Formel: N y j 2 j=1 N j=1 x j 2 wählen. Dies x + y 2 2 = N N x j + y j 2 ( ) = x 2 j + 2x j y j + yj 2 j=1 j=1 N x 2 j + 2 N x 2 j j=1 j=1 j=1 N N yj 2 + j=1 y 2 j (2.16) = ( x 2 + y 2 ) 2 (b) x := mx x j (Mximumsnorm) j=1,...,n

22 16 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN (c) x 1 := N x j. j=1 Bei diesen beiden Beispielen sind die Normeigenschften sehr leicht einzusehen. Wir können jetzt die obigen Definitionen von Konvergenz und Stetigkeit wiederholen und diese etws elegnter mit Hilfe der Norm usdrücken. D wir jetzt die Komponenten der Vektoren nicht mehr benötigen, werden wir jetzt die Folgenindizes wieder unten nhängen. Definition 2.3 Sei eine Norm im R N bzw. im R M. () Eine Folge (x n ) R N von Punkten heißt beschränkt, wenn es ein R > 0 gibt mit x n R für lle n R. (b) Eine Folge (x k ) R N heißt konvergent gegen den Punkt x R N, wenn es zu jedem ε > 0 ein K 0 N gibt mit x k x ε für lle k K 0. (c) Sei D R N eine Teilmenge und f : D R M eine Funktion. f heißt in einem Punkt x D stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit f(x) f(x ) ε für lle x D mit x x δ. Zunächst einml stimmt die Definition für = mit der obigen überein. Der folgende Stz besgt jedoch, dß es gnz egl ist, welche Norm im R N mn für Beschränktheit, Konvergenz und Stetigkeit nimmt. Eine Funktion knn nicht bzgl. einer Norm stetig sein und bzgl. einer nderen nicht. Stz 2.2 Im R N sind lle Normen zur Mximumsnorm äquivlent, d.h. zu jeder Norm gibt es c 1 > 0 und c 2 > 0 mit c 1 x x c 2 x für lle x R N. (2.17) Beweis: Sei eine Norm uf R N. Es seien e (1), e (2),..., e (n) die Koordinteneinheitsvektoren, lso e (i) = (0,..., 0, }{{} 1 i testelle, 0,..., 0) R N. Dnn ht jedes x R N

23 2.2. TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 17 die eindeutige Drstellung x = N x j e (j). Dher ist mit der Dreiecksungleichung N x = x j e (j) j=1 j=1 N N x j e (j) x e (j) = c 2 x j=1 (2.18) } {{ } =:c 2 j=1 Die rechte Ungleichung ist lso bewiesen. { } Für die ndere definieren wir M := x R N : x = mx x j = 1. Dnn j=1,...,n ist M bgeschlossen und beschränkt im R N. Die Funktion f(x) := x ist stetig im R N, denn es gilt mit (2.11) und der schon bewiesenen rechten Ungleichung f(x) f(y) = x y x y c 2 x y. Außerdem ist f(x) > 0 für lle x M. Nch einem beknnten Stz der Anlysis nimmt f dher ihr Infimum n, d.h. es gibt x 0 M mit f(x) f(x 0 ) =: c 1 für lle x M. Sei nun x R N \ {0} beliebig. Mit m := x ist 1 x M, lso m f ( x m) c1, d.h. x c 1 x. Als Nebenresultt hben wir im Beweis gezeigt, dß jede Norm f(x) := x, x R N, eine stetige Funktion ist. Mn überlegt sich leicht, dß durch die folgende Definition wirklich eine Äquivlenzreltion uf der Menge ller Normen definiert ist: Zwei Normen und heißen äquivlent, wenn es c 1, c 2 > 0 gibt mit c 1 x x c 2 x für lle x R N. (2.19) Wir erinnern n den Begriff der bgeschlossenen Menge: Eine Menge A R N heißt bgeschlossen, wenn der Grenzwert x jeder konvergenten Folge ( n ) A us A uch zu A gehört. Wir benötigen ußerdem noch den folgenden Stz, der im ersten oder zweiten Semester bewiesen wird und gnz wesentlich die reellen von den rtionlen Zhlen unterscheidet: Stz 2.3 Sei (x n ) R N eine Cuchyfolge, d.h. eine Folge mit der Eigenschft: Für lle ε > 0 gibt es ein N 0 N mit x n x m ε für lle n, m N 0. Dmit ist die Folge konvergent, d.h. es gibt ein x R N mit lim n x n = x. Schließlich wollen wir noch eine äquivlente Definition der Stetigkeit einer Funktion wiederholen:

24 18 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Stz 2.4 Beweis: Sei D R N eine Teilmenge, f : D R m eine Funktion. Es ist f in x D genu dnn stetig, wenn f in x folgenstetig ist, d.h. wenn gilt: Für jede Folge (x n ) D mit x n x gilt uch f(x n ) f(x). Sei f stetig, und sei (x n ) D eine Folge mit x n x. Sei ε > 0. Nch Definition existiert δ > 0 mit f(x) f(x ) ε für lle x D mit x x δ. D x n x, gibt es ein N 0 N mit x n x δ für lle n N 0. Dher gilt uch f(x n ) f(x) ε für lle n N 0. Dies beweist die Konvergenz der Bildfolge. Sei umgekehrt f in x folgenstetig. Angenommen, f sei in x nicht stetig. Dnn muß es ein ε > 0 geben, so dß es zu jedem δ = 1 ein x n n D gibt mit x n x δ = 1, ber f(x n n) f(x) > ε. Dher hben wir die Konvergenz der x n x, ber keine Konvergenz der Bildfolge! Dmit ist der Stz insgesmt bewiesen. 2.3 Der Bnchsche Fixpunktstz Nun kommen wir zu der Aufgbe, eine Lösung des nichtlineren Gleichungssystems f 1 (x 1,..., x N ) = 0... f N (x 1,..., x N ) = 0 zu bestimmen. In Kurzform schreiben wir wieder f(x) = 0, Zunächst bemerken wir, dß mn ds Auffinden einer Nullstelle von f uf verschiedene Weise umformen knn in ds Bestimmen eines Fixpunktes einer nderen Funktion g. Ein Fixpunkt ist ein Punkt x mit g(x) = x. Z.B. knn mn g(x) = x + cf(x) für beliebiges c R mit c 0 nehmen. Wir werden ber noch bessere Funktionen g untersuchen. Nheliegend ist es, einen Fixpunkt von g durch die Itertionsvorschrift x n+1 := g(x n ), n = 0, 1,..., zu bestimmen. (x 0 sei ein gegebener Strtwert.) Die so definierte Vorschrift heißt Fixpunktitertion. Zur Berechnung von hbe wir eine Nullstelle der Funktion f(x) = x 2 zu bestimmen. Ds Heronverfhren( ist gerde die Fixpunktitertion für die schon etws kompliziertere Funktion g(x) = 1 2 x + x). Gnz zentrl ist der folgende Stz: Stz 2.5 (Bnchscher Fixpunktstz ) Sei eine fest gewählte Norm im R N und A R N eine bgeschlossene Menge, sowie g : A R N eine Abbildung mit den folgenden beiden Eigenschften:

25 2.3. DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ 19 Beweis: g(a) A, d.h. g bildet A in sich b. es gibt c < 1 mit g(x) g(y) c x y für lle x, y A, d.h. g ist eine Kontrktion uf A. Dnn gibt es genu einen Fixpunkt ˆx A von g in A. Die Fixpunktitertion x n+1 := g(x n ), n = 0, 1,..., konvergiert für jeden Strtwert x 0 A gegen ˆx. Es gelten die priori und posteriori Abschätzungen: x n ˆx cn 1 c 0 x 1 für lle n 1, und x n ˆx c 1 c n x n 1 für lle n 1. Wegen x 0 A und g(a) A, liegen lle Folgenglieder in A. Wir zeigen, dß die Folge (x n ) eine Cuchyfolge ist. Zunächst ist x j+1 x j = g(x j ) g(x j 1 ) c x j x j 1. (2.20) Hierus folgt x j+1 x j c j x 1 x 0 für lle j 1. Sei nun m > n. Dnn folgt m 1 m 1 x n x m = (x j+1 x j ) x j+1 x j j=n j=n m 1 x 1 x 0 c j = x 1 x 0 cn c m 1 c j=n D c n gegen Null konvergiert, knn zu ε > 0 ein N 0 N gefunden werden mit x n x m ε für lle n, m N 0, d.h. (x n ) ist eine Cuchyfolge. Nch Stz 2.3 ist lso (x n ) konvergent: x n ˆx n für ein ˆx R N. D A bgeschlossen ist, liegt ˆx in A. D jede Kontrktion trivilerweise stetig ist, folgt us der Itertionsvorschrift uch ˆx = g(ˆx), d.h. ˆx ist ein Fixpunkt. Es ist uch der einzige Fixpunkt, denn gäbe es noch einen zweiten x A, so wäre (2.21) x ˆx = g( x) g(ˆx) c x ˆx. (2.22) Wegen c < 1 muß dher x ˆx = 0 sein, d.h. x = ˆx. Schließlich müssen wir noch die Abschätzungen zeigen: Lssen wir in obiger Abschätzung m gegen unendlich streben, so erhlten wir c n x n ˆx x 1 x 0 1 c. (2.23)

26 20 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Die posteriori Abschätzung erhlten wir m einfchsten durch folgenden Trick : Sei n fest, y 0 := x n 1 und y 1 := g(y 0 ) = g(x n 1 ) = x n. Aus der soeben bewiesenen Abschätzung (diese für n = 1 und (y n )) erhält mn x n ˆx = y 1 ˆx c 1 c y 1 y 0 = c 1 c x n x n 1. (2.24) Dies beendet den Beweis! Wir erkennen, dß die Fixpunktitertion i.. liner konvergiert. Dies folgt einfch us der Abschätzung x n+1 ˆx = g(x n ) g(ˆx) c x n ˆx. (2.25) Wir beweisen einige Folgerungen us dem Bnchschen Fixpunktstz. Korollr 2.1 Beweis: Sei eine fest gewählte Norm im R N und K[x 0 ; r] := { x R N : x x 0 r } die bgeschlossene Kugel mit Rdius r > 0 um x 0. Sei g : K[x 0 ; r] R N eine Abbildung mit den folgenden beiden Eigenschften: g ist eine Kontrktion uf K[x 0 ; r] mit Konstnte c < 1. x 0 ist schon so gewählt, dß gilt: g(x 0 ) x 0 (1 c)r. Dnn existiert genu ein Fixpunkt von g in K[x 0 ; r] und die Fixpunktitertion für g usgehend von x 0 konvergiert gegen den Fixpunkt. Ferner gelten die Abschätzungen des letzten Stzes. Setze A := K[x 0 ; r]. Es ist nun zu zeigen, dß g die Kugel K[x 0 ; r] in sich bbildet. Sei x K[x 0 ; r] d.h. x x 0 r. Dnn ist mit der Dreiecksungleichung: g(x) x 0 g(x) g(x 0 ) + g(x 0 ) x 0 c x x 0 + (1 c)r cr + (1 c)r = r. (2.26) Ds folgende Kriterium ist sehr nützlich für den Nchweis, dß eine Funktion g : R A R einer Vriblen eine Kontrktion ist:

27 2.3. DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ 21 Lemm 2.1 Beweis: Sei I R ein Intervll, c > 0 und g : I R eine stetig differenzierbre Funktion. Dnn sind äquivlent: () g (x) c für lle x I, und (b) g(x) g(y) c x y für lle x, y I. () = (b): Dies folgt us dem Mittelwertstz der Differentilrechnung. Nch diesem gibt es nämlich zu x, y I mit x y ein z I mit g(x) g(y) = g (z). x y hierus folgt sofort die Abschätzung (b). (b) = (): Dieses folgt us der Definition für die Ableitung: g g(y) g(x) (x) = lim. y x y x Als Korollr hben wir sofort: Korollr 2.2 Sei I = [x 0 r, x 0 +r] R ein bgeschlossenes Intervll um x 0 und g : I R eine stetig differenzierbre Funktion. Ferner gebe es c < 1 mit g (x) c für lle x I. Dnn konvergiert die Fixpunktitertion für g, usgehend von x 0 gegen den einzigen Fixpunkt von g in I, flls nur g(x 0 ) x 0 (1 c)r. Ferner gelten die Fehlerbschätzungen des Bnchschen Fixpunktstzes. Beispiel 2.4 Es sei der Fixpunkt von g(x) := π + rctn(x) zu bestimmen. Aus einer Skizze erkenne wir, dß er etw bei x 0 := liegt. Für noch unbestimmtes r > 0 bilden wir ds Intervll I = [x 0 r, x 0 + r]. Dnn ist g (x) = 1, lso 1+x 2 g 1 (x) c := 1+(x 0 für lle x [x r) 2 0 r, x 0 + r]. Jetzt müssen wir r > 0 so bestimmen, dß g(x 0 ) x 0 (1 c)r = (x 0 r) 2 } {{ } 1 + (x 0 r) r 2 (2.27) gilt. Eine zulässige Whl ist r = Dmit gilt für die k-te Näherung der Fixpunktitertion die Fehlerbschätzung x k ˆx ck 1 c g(x 0) x (0.048) k. (2.28) Als weitere Folgerung erhlten wir einen loklen Konvergenzstz:

28 22 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Stz 2.6 Sei ˆx R ein Fixpunkt der stetig differenzierbren Abbildung g : I R, die uf einem Intervll I = [ˆx r, ˆx + r] R definiert ist. Es gelte g (ˆx) < 1. Dnn existiert ein (kleines) Intervll J = [ˆx δ, ˆx + δ] I so, dß die Fixpunktitertion für g für jeden Strtwert x 0 J liner gegen ˆx konvergiert. Ist g sogr zweiml stetig differenzierbr und ist g (ˆx) = 0, so konvergiert die Fixpunktitertion qudrtisch gegen ˆx, d.h. es gibt c > 0 mit x k+1 ˆx c x k ˆx 2 für lle k N (2.29) Beweis: Sei ε > 0 so klein, dß noch q := g (ˆx) + ε < 1. Wir müssen δ > 0 so wählen, dß zum einen g (x) q und zum nderen g(x) ˆx δ gilt für lle x J. D g stetig ist, existiert δ > 0 mit g (x) g (ˆx) ε für lle x J := [ˆx δ, ˆx+δ]. Dher ist für x J uch g (x) g (x) g (ˆx) + g (ˆx) q. Ferner ist g(x) ˆx = g(x) g(ˆx) q x ˆx qδ < δ. Dher ist der Bnchsche Fixpunktstz nwendbr und liefert die Konvergenz x k ˆx. Ist g (ˆx) = 0, so ist mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung und dem Mittelwertstz: x k+1 ˆx = g(x k ) g(ˆx) + g (ˆx)(x k ˆx) = 1 0 [ g (ˆx)(x k ˆx) d ] dt g(x k + t(ˆx x k )) dt (2.30) 1 = [g (ˆx) g (x k + t(ˆx x k ))] dt(x k ˆx), 0 lso x k+1 ˆx 1 2 mx y ˆx δ g (y) x k ˆx 2. (2.31) Ds bedeutet qudrtische Konvergenz! Bemerkung 2.2 () Ist g sogr p-ml stetig differenzierbr und ist g (ˆx) =... = g (p 1) (ˆx) = 0, ber g (p) (ˆx) 0, so konvergiert die Fixpunktitertion von der Ordnung

29 2.3. DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ 23 p. Dies sieht mn ebenflls mit der Tylorformel: x k+1 ˆx = g(x k ) g(ˆx) = p 1 1 j! g(j) (ˆx)(x k ˆx) j j=1 } {{ } =0 + 1 p! g(p) (z)(x k ˆx) p, (2.32) lso x k+1 ˆx 1 p! mx g (p) (y) x k ˆx p. (2.33) y ˆx δ (b) Die letzten Aussgen, die wir für Abbildungen g : R R formuliert und bewiesen hben, gelte uch für Abbildungen im R N. Dfür benötigt mn die Differentilrechnung mehrerer Veränderlicher. Genueres knn mn z.b. in [We92] nchlesen. Beispiel 2.5 () Gesucht ist x > 0 mit x = cos(x). Hier ist lso g(x) = cos(x) und g (x) = sin(x). Wir betrchten ds Intervll I = [0, ] mit einem > 0 und müssen zur Anwendung des Bnchschen Fixpunktstzes zeigen: g (x) c < 1 für lle x I. Dies ist offenbr richtig, wenn < π 2 gewählt wird. Dnn ist c = sin(). g(i) I. Wegen g(i) = [cos(), 1] ist dies erfüllt, flls 1. Wählen wir lso [ 1, π 2 ], so können wir in [0, ] den Fixpunktstz nwenden und erhlten die eindeutige Existenz eines Fixpunktes und die Konvergenz der Fixpunktitertion. (b) Gesucht sei jetzt ein positiver Fixpunkt der Funktion g(x) = tn(x) 1. Jetzt ist g (x) = 1 + tn 2 (x) > 1. Dher können wir die Kontrktionseigenschft nicht erwrten. Schreiben wir die Fixpunktufgbe um in x = rctn(x + 1), so ist jetzt g(x) = rctn(x + 1). Wegen g 1 (x) = (1+(1+x) 2 ) ist diesml g (x) 1 für lle x 0. Hier können wir einfch I = [0, ) 2 setzen, dnn bildet g die Menge I in sich b. Jetzt ist wieder der Bnchsche Fixpunktstz nwendbr!

30 24 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 2.4 Ds Newtonverfhren In diesem Kpitel beschränken wir uns uf die Aufgbe, eine Nullstelle ˆx einer Funktion f : I R (I R), einer Veränderlichen zu berechnen. Als Motivtion knn die folgende Konstruktion dienen: Sei x k eine Näherung für die Nullstelle von f. Mn lege eine Tngente n die Funktion f im Punkt (x k, f(x k )) und bestimmen deren Nullstelle ls nächste Näherung x k+1. Die Tngente ht die Gleichung y = f(x k ) + f (x k )(x x k ). Mn erhält dmit die Itertionsvorschrift für ds Newtonverfhren x k+1 = x k f(x k) f (x k ) für k = 0, 1, 2,... (2.34) wobei der Strtwert x 0 gegeben sein muß. Ntürlich funktioniert dieses Verfhren nur, flls f (x) 0 ist n den Itertionspunkten. Wir erkennen, dß ds Newtonverfhren genu die Fixpunktitertion ist für die Funktion g(x) = x f(x) f (x) für x R (2.35) Als Beispiel betrchten wir wieder einml die Berechnung von, lso die Berechnung der Nullstelle von f(x) = x 2. Es ist g(x) = x f(x) f (x) = x x2 2x = 1 2 ( x + ). (2.36) x Wir erkennen lso, dß ds Heronverfhren uch ls Newtonverfhren, ngewndt uf die Funktion f(x) = x 2 gedeutet werden knn. Wir können den folgenden Huptstz über ds Newtonverfhren beweisen: Stz 2.7 (lokler Konvergenzstz für ds Newtonverfhren) Die Abbildung f : R R besitze in ˆx eine Nullstelle. f sei in einer Umgebung von ˆx zweiml stetig differenzierbr und es gelte f (ˆx) 0. (Insbesondere ist die Nullstelle lso einfch.) Dnn gibt es ein ε > 0, so dß ds Newtonverfhren für jeden Strtwert x 0 [ˆx ε, ˆx + ε] wohldefiniert ist und qudrtisch gegen ˆx konvergiert. Beweis: Wir wollen Stz 2.6 uf die Funktion g(x) = x f(x) nwenden. Dieser Ausdruck ist in einer Umgebung der Nullstelle ˆx wohldefiniert, d wegen f (ˆx) f (x) 0

31 2.4. DAS NEWTONVERFAHREN 25 uch f (x) 0 in einer Umgebung von ˆx gilt. Wir berechnen die Ableitung: g (x) = 1 f (x) 2 f(x)f (x) f (x) 2 = f(x) f (x) f (x) 2, (2.37) lso g (ˆx) = 0. Dher liefert Stz 2.6 die Behuptung. Es sei noch einml betont, dß es sich bei diesem Stz um ein lokles Verfhren hndelt: Konvergenz ist nur grntiert, wenn sich der Strtwert dicht genug bei der Nullstelle befindet. Ds folgende Beispiel verdeutlicht dies drstisch: Beispiel 2.6 Sei f(x) = rctn(x). Dnn besitzt f offenbr die einfche Nullstelle ˆx = 0. Für die Strtwerte x 0 = 1, x 0 = 1.2, x 0 = 1.5 und x 0 = 2 sind die Newtonitertionen in der folgenden Tbelle ufgetrgen. Wir erkennen, dß Konvergenz x 0 = 1 x 0 = 1.2 n x n n x n E E E E E E E E E E-012 x 0 = 1.5 x 0 = 2 n x n n x n E+010 Tbelle 2.1: Newtonverfhren für x und Divergenz für x vorliegt.

32 26 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Bemerkung 2.3 () Ws pssiert, wenn mn ds Newtonverfhren uf eine doppelte Nullstelle losläßt? Sei llgemeiner ˆx eine Nullstelle der Ordnung p, d.h. es gelte f(ˆx) = f (ˆx) =... = f (p 1) (ˆx) = 0, ber f (p) (ˆx) 0. Mit der Tylorformel gilt f(x) = (x ˆx) p h(x) mit einer Funktion h, für die h(ˆx) 0 gilt. Wir setzen dies in die Formel für g ein, müssen dfür die Ableitungen f und f berechnen: f (x) = p(x ˆx) p 1 h(x) + (x ˆx) p h (x) = (x ˆx) p 1 h 1 (x) mit h 1 (ˆx) = ph(ˆx) (2.38) f (x) = p(p 1)(x ˆx) p 2 h(x) + 2p(x ˆx) p 1 h (x) + (x ˆx) p h (x) = (x ˆx) p 2 h 2 (x) mit h 2 (ˆx) = p(p 1)h(ˆx). (2.39) Eingesetzt in die Formel für g ergibt sich g (x) = h(x) h 2(x) h 1, lso g (ˆx) = (x) 2 (p 1) (0, 1). Dher konvergiert in diesem Fll ds Newtonverfhren nur p noch liner! Modifiziert mn es llerdings in der Form x k+1 = x k p f(x k) f (x k ) für k = 0, 1, 2,... (2.40) so erhält mn wieder qudrtische Konvergenz. In diesem Fll ist nämlich g(x) = x p f(x) und f (x) g (x) = (1 p) + p f(x)f (x), somit wieder g (ˆx) = 0. f (x) 2 (b) Auch ds Newtonverfhren knn mn uf nichtlinerre Gleichungssysteme f i (x 1,..., x N ) = 0, i = 1,..., N, übertrgen. Anstelle der Ableitung f (x) ht mn dnn die Funktionlmtrix ( f fi (x) (x) = x j ) N i,j=1 zu nehmen. Die Itertionsvorschrift sieht dnn so us: R N N (2.41) x k+1 = x k f (x k ) 1 f(x k ), k = 0, 1, 2,... (2.42) mit Anfngspunkt x 0 R N. Hierbei ist f (x k ) 1 die Inverse der Mtrix f (x k ). Dnn knn Stz 2.7 wörtlich übernommen werden, wenn die Vorussetzung f (ˆx) 0 ersetzt wird durch die Bedingung f (ˆx) R N N ist invertierbr.

33 2.5. DAS SEKANTENVERFAHREN Ds Sekntenverfhren Ein Nchteil des Newtonverfhrens ist die Notwendigkeit, Ableitungen der Funktion f berechnen zu müssen. Wird die Funktion z.b. us Messungen bgetstet, so ist die Ableitung zunächst nicht gegeben. Beim vereinfchten Newtonverfhren wird nicht in jedem Schritt die Ableitung berechnet, sondern nur m Anfng: x k+1 = x k f (x 0 ) 1 f(x k ), k = 0, 1, 2,... (2.43) Dnn knn llerdings nur linere Konvergenz erwrtet werden. Aufgbe: Mn versuche dies zu beweisen! Eine ndere Möglichkeit ist, dß mn sttt der Tngente n der Stelle (x k, f(x k )) die Seknte durch die Punkte (x k, f(x k )) und (x k 1, f(x k 1 )) legt und deren Nullstelle ls neue Approximtion x k+1 nimmt. Die Seknte ist durch die Gleichung y = x k x x k x k 1 f(x k 1 ) + x x k 1 x k x k 1 f(x k ), x R, (2.44) gegeben. Für x k+1 ergibt sich lso die Rekursionsvorschrift x k+1 = x k x k x k 1 f(x k ) f(x k 1 ) f(x k), k = 1, 2, 3,... (2.45) Hier müssen zwei Strtwerte x 0 und x 1 gegeben sein, und ds Verfhren ist nur durchführbr, flls immer f(x k 1 ) f(x k ) gilt. Anlog zu Stz 2.7 können wir beweisen: Stz 2.8 (lokler Konvergenzstz für ds Sekntenverfhren) Die Abbildung f : [, b] R sei zweiml stetig differenzierbr und besitze in ˆx (, b) eine einfche Nullstelle, d.h. f(ˆx) = 0 und f (ˆx) 0. Dnn gibt es ein δ > 0, so dß ds Sekntenverfhren für lle Strtwerte x 0, x 1 [ˆx δ, ˆx + δ] mit x 0 x 1 wohldefiniert ist und gegen ˆx konvergiert. Ferner gilt eine Abschätzung der Form x k ˆx c k für lle k, wobei (c k ) R eine Folge positiver, reeller Zhlen ist, die mit der Ordnung τ = (1+ 5) gegen Null konvergiert. Beweis: Sei γ := mx x b f (x). Mn wähle δ > 0 so klein, dß zum einen γδ 1 2 f (ˆx) und zum nderen I := [ˆx δ, ˆx + δ] [, b] gilt. Dnn ist f (x) 1 2 f (ˆx)

34 28 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN für lle x I, d f (ˆx) f (ˆx) f (x) + f (x) γδ + f (x) 1 2 f (ˆx) + f (x). (2.46) Dher können für x, z I, x z, die Funktionswerte f(x) und f(z) nicht gleich sein! Angenommen, es sei schon gezeigt worden, dß x k 1 x k gilt, z.b. für k = 1. Dnn ist x k+1 ˆx = x k ˆx x k x k 1 f(x k ) f(x k 1 ) f(x k) = (x k ˆx) f(x k ) f(x k 1 ) x k x k 1 f(x k) f(ˆx) x k ˆx f(x k ) f(x k 1 ) x k x k 1 (2.47) = x k ˆx f (z k ) 1 0 mit einem z k I. Dher können wir bschätzen: [f (x k 1 + t(x k x k 1 )) f (ˆx + t(x k ˆx))] dt x k+1 ˆx 2 x k ˆx f (ˆx) 1 0 f (x k 1 + t(x k x k 1 )) f (ˆx + t(x k ˆx)) dt γ f (ˆx) x k 1 ˆx x k ˆx 1 2 x k ˆx. } {{ } 1 2 (2.48) Insbesondere folgt hierus x k+1 x k und x k+1 I, d.h. ds Sekntenverfhren ist für x 0, x 1 I, x 0 x 1, wohldefiniert. Außerdem erhält mn hierus eine Abschätzung x k ˆx ( 1 k 2) x0 ˆx, für lle k N, d.h. wir hben die Konvergenz x k ˆx schon bewiesen. Mit c := γ ist lso cδ 1 und f (ˆx) 2 x k+1 ˆx c x k ˆx x k 1 ˆx, k = 1, 2, 3,... (2.49) Definiert mn e k := c x k ˆx, so ist e k+1 e k e k 1, und mit ε := mx{e o, e 1 } 1 2 ist

35 2.5. DAS SEKANTENVERFAHREN 29 e 2 ε 2, e 3 ε 3, e 4 ε 5,..., lso e k ε σ k für lle k, (2.50) wobei die σ k die Folge der Fibonccizhlen ist, d.h. rekursiv definiert ist durch Dmit ist σ 0 := σ 1 := 1, σ k+1 := σ k + σ k 1, k = 1, 2, 3... (2.51) x k ˆx c k := 1 c εσ k, k = 0, 1, 2,... (2.52) Zu zeigen bleibt, dß (c k ) von mindestens τ ter Ordnung gegen Null konvergiert. Wegen c k+1 c τ k = c τ 1 ε σ k+1 τσ k (2.53) ist dies bewiesen, wenn lim k (σ k+1 τσ k ) = 0 ist. Dies wiederum sieht mn folgenderßen ein: Durch Induktion zeigt mn leicht die Formel von Binet: σ k = 1 5 [ τ k+1 ( τ) (k+1)], k = 0, 1, 2,..., (2.54) und dher ist σ k+1 τσ k = 1 5 [ τ k+2 ( τ) (k+2) τ k+2 + ( 1) k+1 τ k] = ( 1)k+1 5 [ τ (k+2) + τ k], (2.55) worus mn die Behuptung bliest. Bemerkung 2.4 Ds Sekntenverfhren benötigt pro Itertionsschritt nur eine Funktionsberechnung. Beim Newtonverfhren benötigt mn eine Funktionsberechnung und eine Berechnung der Ableitung. Dher muß mn eigentlich einen Itertionsschritt des Newtonverfhrens mit zwei Itertionsschritten des Sekntenverfhrens vergleichen. Wegen c k+2 c τ τ k = ( ck+2 ) ( ) τ ck+1 (2.56) c τ k+1 c τ k

36 30 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN und τ 2 = 1 + τ ist ds Sekntenverfhren dnn sogr etws besser ls ds Newtonverfhren. 2.6 Konvergenzbeschleunigung In diesem Abschnitt wollen wir eine Methode ufzeigen, wie mn us einer gegebenen konvergenten Folge (x n ) R eine ndere Folge (z n ) konstruieren knn, die gegen den selben Grenzwert konvergiert jedoch viel schneller. Dies ist nicht nur interessnt bei der Nullstellenbestimmung, sondern z.b. uch bei der numerischen Berechnung von Reihen. Sei lso jetzt (x n ) eine Folge, die liner gegen den Grenzwert ˆx konvergiert. Es gelte sogr etws mehr, nämlich x n+1 ˆx lim n x n ˆx = c für ein c mit c < 1. (2.57) Dnn ist x n+1 ˆx c(x n ˆx) und uch x n+2 ˆx c(x n+1 ˆx), lso nch Elimintion von c: Hierus knn mn ˆx usrechnen, lso (x n+1 ˆx) 2 (x n+2 ˆx)(x n ˆx) (2.58) ˆx x n+2x n x 2 n+1 (x n+1 x n ) 2 = x n (2.59) x n+2 2x n+1 + x n x n+2 2x n+1 + x n Es ist lso nheliegend, die Folge z n := x n (x n+1 x n ) 2 x n+2 2x n+1 + x n, n = 1, 2, 3,..., (2.60) zu definieren. Diese sollte schneller gegen ˆx konvergieren ls die Folge (x n ) selbst. Bevor wir dies beweisen, schreiben wir z n noch etws um: Sei X der Vektorrum ller Folgen x = (x n ). Der linere Opertor (=Homomorphismus) : X X, definiert durch ( x) n := x n+1 x n für n N, heißt Vorwärts-Differenzenopertor. Dnn ist ( 2 x) n = (x n+2 x n+1 ) (x n+1 x n ) = x n+2 2x n+1 +x n. Dmit können wir z n uch in der Form schreiben z n := x n ( x)2 n ( 2 x) n, n = 1, 2, 3,... (2.61) Dieses Verfhren der Konvergenzbeschleunigung heißt Aitkens 2 -Verfhren zur Konvergenzbeschleunigung. Wir beweisen nun:

37 2.6. KONVERGENZBESCHLEUNIGUNG 31 Stz 2.9 (Aitkens 2 -Verfhren zur Konvergenzbeschleunigung) Sei (x n ) R eine Folge, die liner gegen ˆx konvergiere. Es gelte sogr x n+1 ˆx lim n x n ˆx = c für ein c mit c < 1. (2.62) Dnn konvergiert die Folge (z n ), definiert durch (x n+1 x n ) 2 z n := x n x n+2 2x n+1 + x n = x n ( x)2 n ( 2 x) n, n = 1, 2, 3,..., (2.63) schneller gegen ˆx ls (x n ) selbst, d.h. es gilt z n ˆx lim n x n ˆx = 0. (2.64) Beweis: Setze d n := x n ˆx und c n := x n+1 ˆx x n ˆx. Dnn gilt c n c und d n+1 = c n d n für lle n. Dher gilt lso z n ˆx = d n (d n+1 d n ) 2 d n+2 2d n+1 + d n, (2.65) z n ˆx d n = 1 = 1 d 2 n(c n 1) 2 d n (c n+1 c n d n 2c n d n + d n ) (c n 1) 2 c n+1 c n 2c n (c 1)2 c 2 2c + 1 = 0. (2.66) Dies beendet den Beweis. Wir wollen ( dieses ) Verfhren zunächst uf die Konvergenzbeschleunigung von Reihen der Form j nwenden. Wir zeigen:

38 32 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Stz 2.10 ( ) Sei j eine Reihe reeller Zhlen j, welche ds Quotientenkriterium in Beweis: der folgenden Form erfüllen j+1 lim = q für ein q mit 0 < q < 1. j j (2.67) Dnn konvergiert die Reihe liner gegen ŝ := j, und es gilt mit s n := n j : d.h. ds 2 -Verfhren von Aitken ist nwendbr. s n+1 ŝ lim n s n ŝ = q, (2.68) Sei ε > 0 so klein, dß ε < q und q + ε < 1. Dnn existiert ein N 0 = N 0 (ε) mit q ε < j+1 j < q + ε für lle j N 0. (2.69) Insbesondere wechselt j für j N 0 nicht mehr ds Vorzeichen. Wir zeigen zunächst, dß (s n ) eine Cuchyfolge ist. Aus obiger Ungleichung folgt j+1 c j für j N 0, wobei c = q + ε < 1. Induktiv zeigt mn dnn, dß j c j N 0 N0 für lle j N 0. Seien nun m > n N 0. Dnn ist s m s n m j=n+1 j N0 c N 0 m j=n+1 c j 0, n, m. (2.70) Dher ist (s n ) eine Cuchyfolge, lso konvergent. Für n N 0 gilt ußerdem (q ε) j=n+1 j } {{ } =ŝ s n j=n+1 j+1 } {{ } ŝ s n+1 (q + ε) j=n+1 j } {{ } ŝ s n, (2.71) lso q ε ŝ s n+1 ŝ s n q + ε für lle n N 0. Dies bedeutet ber genu, dß lim n s n+1 ŝ s n ŝ = q. (2.72)

39 2.6. KONVERGENZBESCHLEUNIGUNG 33 Beispiel 2.7 (Reihenberechnung) Es soll der Wert der folgenden Reihe berechnet werden: 1 cosh(j) (2.73) Hier ist lso j = 1 = 2. Diese Reihe erfüllt ds Quotientenkritierium des letzten Stzes mit q = 1. In der folgenden Tbelle hben wir cosh(j) exp(j)+exp( j) e die Folge s n sowie die beschleunigte Folge z n ufgetrgen. Auf die Folge z n können wir nochmls ds 2 -Verfhren loslssen. Dies ergibt die Folge w n, die noch schneller konvergiert. n s n z n w n Tbelle 2.2: Konvergenzbeschleunigung Wir wollen jetzt dieses Verfhren uf die Fixpunktitertion nwenden. Sei lso die Folge (x n ) definiert durch x n+1 = g(x n ), n = 0, 1, 2,.... Aus x n, x n+1 und x n+2 berechnet dnn ds 2 -Verfhren ds z n. Ds nächste z n+1 erhält mn dnn us x n+1, x n+2 und x n+3 usw. Im llgemeinen ist es wesentlich ufwendiger, den Funktionswert g(x n ) zu berechnen, ls us drei Folgengliedern von (x n ) ds Folgenglied z n zu bestimmen. z n ist eine wesentlich

40 34 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN bessere Approximtion n den Grenzwert ls x n, g(x n ) oder g(g(x n )). Setzt mn die Form für x n+1 und x n+2 ein, so erhält mn direkt z n = x n (g(x n ) x n ) 2 g(g(x n )) 2g(x n ) + x n, n = 0, 1,... (2.74) Es ist nun nheliegend, ds nächste x n+1 direkt durch diese Formel zu definieren, lso x n+1 := x n (g(x n ) x n ) 2 g(g(x n )) 2g(x n ) + x n, n = 0, 1,... (2.75) Ds ist ds sogennnte Steffensen-Verfhren. Es ist die Fixpunktitertion für die Funktion Wir können zeigen: G(x) := x (g(x) x) 2 g(g(x)) 2g(x) + x, n = 0, 1,... (2.76) Stz 2.11 (lokle Konvergenz des Steffensen-Verfhrens) Beweis: Sei ˆx R ein Fixpunkt der Abbildung g. Sei g in einer Umgebung von ˆx zweiml stetig differenzierbr und sei g (ˆx) < 1. Dnn gibt es ein δ > 0, so dß die Steffensen-Folge für jeden Anfngswert x 0 [ˆx δ, ˆx+δ] wohldefiniert ist und qudrtisch gegen ˆx konvergiert. Wir wollen wieder den loklen Konvergenzstz 2.6 nwenden und hben dfür die Funktion G zu untersuchen. Wegen g(ˆx) = ˆx gibt es δ 0 > 0 und eine stetig differenzierbre Funktion h : [ˆx δ 0, ˆx + δ 0 ] R mit g(x) = ˆx + h(x)(x ˆx) für lle x [ˆx δ 0, ˆx + δ 0 ], denn: (2.77) Wir definieren einfch h durch h(x) := g(x) ˆx für x ˆx und sehen, dß wir x ˆx wegen g(ˆx) = ˆx die Funktion h stetig ergänzen können zu h(ˆx) = g (ˆx). Leiten wir h mit der Quotientenregel b, so können wir mit der l Hospitlschen Regel zeigen, dß h uch in ˆx differenzierbr ist. Einfcher sieht mn es, wenn mn die Drstellung g(x) = ˆx + h(x)(x ˆx) zweiml bleitet. Dnn erkennt mn, dß h (ˆx) = 1 2 g (ˆx). Dmit sehen wir, dß g(g(x)) = ˆx + h(g(x))(g(x) ˆx) = ˆx + h(g(x))h(x) (x ˆx). } {{ } =:h 2 (x) (2.78)

41 2.7. DAS MEHRDIMENSIONALE NEWTONVERFAHREN 35 Für x ˆx ist lso der Nenner von x G(x) gerde g(g(x)) 2g(x) + x = ˆx + h 2 (x)(x ˆx) 2ˆx 2h(x)(x ˆx) + x = (1 2h(x) + h 2 (x))(x ˆx) (2.79) Für x = ˆx ist wegen h 2 (ˆx) = g (ˆx) 2 und h(ˆx) = g (ˆx) der Nenner von x G(x) gerde (1 g (ˆx)) 2 > 0. Dher gibt es ein kleines δ (0, δ 0 ), so dß G uf [ˆx δ, ˆx + δ] wohldefiniert ist. G ht dnn die Drstellung Leiten wir dies b, so erhlten wir sofort G(x) = x (h(x) 1)2 (x ˆx) 1 2h(x) + h 2 (x). (2.80) G (ˆx) = 1 (g (ˆx) 1) 2 1 2g (ˆx) + g (ˆx) 2 = 0 (2.81) Dmit ist lles bewiesen. 2.7 Ds mehrdimensionle Newtonverfhren Wir wollen jetzt doch noch einml uf ds mehrdimensionle Newtonverfhren eingehen. Zu lösen sei ds Gleichungssystem f 1 (x 1,..., x N ) = 0... f N (x 1,..., x N ) = 0 oder kurz f(x) = 0, wobei jetzt f : R N R N eine vektorwertige Funktion ist. Wir setzen vorus, dß jede Funktion f i, i = 1,..., N, bzgl. jeder Komponente x j, j = 1,..., N, zweiml stetig differenzierbr sei. Die N N-Mtrix ( ) f fi (x) (x) := x (2.82) j i,j=1,...,n heißt Funktionlmtrix oder Jcobimtrix der Abbildung f bei x. Ist h : R N R eine sklrwertige Funktion, so heißt ( h(x) h(x) :=,..., h(x) ) T R N (2.83) x 1 x N

42 36 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN der Grdient von h. Ds Newtonverfhren zur Lösung von f(x) = 0 ht nun die Form: x (n+1) = x (n) f ( x (n)) 1 f ( x (n) ), n = 0, 1, 2,... (2.84) für gegebenen Anfngspunkt x (0) R N. Hier hben wir usnhmsweise den Folgenindex oben ngehängt, um Verwechslungen mit den Komponenten der Vektoren x (n) zu vermeiden. Dnn gilt gnz nlog zu Stz 2.7: Stz 2.12 (lokler Konvergenzstz für ds Newtonverfhren im R N ) Die Abbildung f : R N R N besitze in ˆx eine Nullstelle. f sei in einer Umgebung von ˆx zweiml stetig prtiell differenzierbr, und die Funktionlmtrix f (ˆx) R N N sei invertierbr. Dnn gibt es ein ε > 0, so dß ds Newtonverfhren für jeden Strtwert x (0) K[ˆx, ε] wohldefiniert ist und qudrtisch gegen ˆx konvergiert. Beispiel 2.8 (siehe [HH89], S.359 ) Hier ist lso x 1 = 0.1x sin(x 2 ) x 2 = cos(x 1 ) + 0.1x 2 2 ( ) x1 0.1x 2 1 sin(x f(x) = 2 ) x 2 cos(x 1 ) 0.1x 2 2 (2.85) (2.86) und ( ) 1 f 0.2x1 cos(x (x) = 2 ) sin(x 1 ) 1 0.2x 2 R 2 2. (2.87) Die Determinnte der Mtrix ist det(f (x)) = (1 0.2x 1 )(1 0.2x 2 ) + sin(x 1 ) cos(x 2 ), (2.88) und die Inverse ist f (x) 1 = ( ) x2 cos(x 2 ) det(f (x)) sin(x 1 ) 1 0.2x 1 (2.89)

43 2.7. DAS MEHRDIMENSIONALE NEWTONVERFAHREN 37 In den folgenden beiden Tbellen vergleichen wir für den Strtwert x = (0, 0) T die Fixpunktitertion (erste Tbelle) mit dem Newtonverfhren (zweite Tbelle) für die Funktion ( ) 0.1x 2 g(x) = 1 + sin(x 2 ) cos(x 1 ) + 0.1x 2 2 (2.90) n x 1 x 2 f(x) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E - 03 Tbelle 2.3: Fixpunktitertion für g

44 38 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN n x 1 x 2 f(x) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E - 07 Tbelle 2.4: Newtonverfhren für g Mn erkennt uch hier den immensen Vorteil des Newtonverfhrens! 2.8 Ds Verfhren von Birstow In diesem Kpitel geht es um die Berechnung komplexer Nullstellen eines Polynoms p(x) = 0 x N + 1 x N N 1 x + N = N N j x j (2.91) mit reellen Koeffizienten j. Um spätere Formeln einfcher zu hlten, hben wir die Koeffizienten in der umgekehrten Reihenfolge wie früher indiziert. Wie mn m Beispiel p(x) = x sieht, können einige Nullstellen imginär sein. Ist z C eine Nullstelle mit Im(z) 0, so ist uch die konjugiert komplexe Zhl z eine Nullstelle, d us p(z) = 0 folgt: 0 = p(z) = N N j z j. Also ist p(x) = (x z)(x z)q(x) = (x 2 ûx ˆv)q(x) (2.92) mit einem Polynom q vom Grd N 2 und reellen Koeffizienten, sowie û = z+ẑ = 2Re(z) und ˆv = zz = z 2. Der Ausdruck (x 2 ûx ˆv) oder kurz (û, ˆv) heißt qudrtischer Fktor von p. Ht mn umgekehrt û und ˆv bestimmt mit p(x) = (x 2 ûx ˆv)(x), dnn erhält mn z einfch us dem Lösen der qudrtischen Gleichung x 2 ûx ˆv = 0. Mn bechte, dß û und ˆv reell sind! Anstz: Sei nun (u, v) eine Näherung n den exkten qudrtischen Fktor (û, ˆv), so dividiere mn p durch (x 2 ux v) mit Rest:

45 2.8. DAS VERFAHREN VON BAIRSTOW 39 p(x) = (x 2 ux v)q(x) + b N 1 (x u) + b N, (2.93) wobei q ein Polynom (N 2)-ten Grdes ist. Wir setzen n: q(x) = b 0 x N b N 3 x + b N 2 = N 2 b N 2 j x j. (2.94) Jedes b j hängt ntürlich von (u, v) b, ist lso eine Funktion b j = b j (u, v). Ds Pr (u, v) ist genu dnn qudrtischer Fktor von p, wenn gilt: b N 1 (u, v) = 0 und b n (u, v) = 0 (2.95) Ds Birstow-Verfhren besteht nun genu in der Lösung dieses Gleichungssystems (zwei Gleichungen in zwei Unbeknnten u und v) mit dem Newtonverfhren. Ist lso (u n, v n ) eine ktuelle Näherung, so berechnen wir (u n+1, v n+1 ) := (u n, v n ) (ε, δ), wobei (ε, δ) ds folgende Gleichungssystem löst: ( bn 1 (u n,v n) b N 1 (u n,v n) u v b N (u n,v n) b N (u n,v n) u v ) ( ) ε = δ ( ) bn 1 (u n, v n ). b N (u n, v n ) (2.96) Wir müssen noch zeigen, wie wir b N 1, b N sowie deren prtielle Ableitungen nch u und v berechnen können. Die b j, j = 0,..., N, berechnen sich wie beim Hornerschem durch die Rekursion im folgenden Lemm: Lemm 2.2 Sei p(x) = N N j x j (2.97) = (x 2 ux v)(b 0 x N b N 2 ) + b N 1 (x u) + b N. Dnn erhält mn durch Koeffizientenvergleich: b 0 = 0, b 1 = 1 + ub 0, b j = j + ub j 1 + vb j 2 für j = 2, 3,..., N. (2.98) Den einfchen Beweis belssen wir ls Übung.

46 40 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Wiederum betonen wir, dß die Koeffizienten b j von u und v bhängen. Wir leiten die Rekursionsformel mit Hilfe der Produktregel b und benutzen dfür die Abkürzungen b j,u := b j u und b j,v := b j v Dnn erhlten wir die Rekursionsformel für b j,u und b j,v : b 0,u = 0, b 1,u = b 0, b j,u = ub j 1,u + b j 1 + vb j 2,u, j = 2,..., N, b 0,v = 0, b 1,v = 0, b j,v = ub j 1,v + b j 2 + vb j 2,v, j = 2,..., N, (2.99) (2.100) Berechnet mn lso die Zhlen c j, j = 0,..., N 1, durch die Vorschrift c 0 = b 0, c 1 = b 1 + uc 0, c j = b j + uc j 1 + vc j 2 für j = 2, 3,..., N 1, (2.101) so ist b j,u = c j 1 und b j,v = c j 2 für j 2. Wegen bestimmt sich (ε, δ) us ( ) ε = δ ( ) bn 1,u (u, v) b N 1,v (u, v) = b N,u (u, v) b N,v (u, v) 1 c 2 N 2 c N 1c N 3 ( ) cn 2 c N 3 c N 1 c N 2 ( ) ( ) cn 2 c N 3 bn 1 c N 1 c N 2 b N (2.102) (2.103) (2.101) erhält mn durch prtielle Ableitung von (2.98) einml nch u mit c j 1 := b j,u und nch v mit c j 2 := b j,v, für j 2. Mn knn sich leicht überlegen: Ist (û, ˆv) ein qudrtischer Fktor von p und sind die beiden Nullstellen von x 2 ûx ˆv = 0 einfch, so ist die Funktionlmtrix von ( b N 1 ) (u,v) b N (u,v) bei (û, ˆv) invertierbr, so dß ds Birstowverfhren qudrtisch konvergiert.

47 2.8. DAS VERFAHREN VON BAIRSTOW 41 Beispiel 2.9 Es sind die Nullstellen des Polynoms p(x) = x 4 + x 3 2x 2 6x 4 = (x 2 x 2)(x 2 + 2x + 2) = (x + 1)(x 2)(x i)(x + 1 i) (2.104) zu bestimmen. Die qudrtischen Fktoren sind hier (u, v) = (1, 2) und (u, v) = ( 2, 2). Wir hben ds Birstowverfhren für verschiedene Strtwerte (u 0, v 0 ) lufen lssen. In Splte 2 und 3 der folgenden Tbelle hben wir u k und v k ufgetrgen, in der letzten den Defekt b 2 4(u k, v k ) + b 2 3(u k, v k ). Mn erkennt schön die qudrtische Konvergenz! k u v Defekt E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E - 10

48 42 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN k u v Defekt E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E - 12 Tbelle 2.5: Birstow-Verfhren Aufgben 1. Sei [, b] R ( < b) und f : [, b] [, b] stetig. Zeigen Sie: () f besitzt einen Fixpunkt ˆx [, b]. (b) Ist f sogr stetig differenzierbr mit mx x [,b] f (x) < 1, dnn ist ˆx eindeutig bestimmt und die Fixpunktitertion x n+1 = f(x n ), n = 0, 1, 2,..., konvergiert für jeden Strtwert x 0 [, b] monoton gegen ˆx, flls f (x) 0 für lle x [, b] gilt, und sie schchtelt ˆx lternierend ein, flls f (x) 0 im gesmten Intervll [, b] erfüllt ist.

49 2.8. DAS VERFAHREN VON BAIRSTOW 43 (c) Die Eindeutigkeit von ˆx in Teil (b) läßt sich ohne den Kontrktionsstz beweisen. Wie? 2. Lösen Sie die Gleichung x = e 1 2 x, x R, näherungsweise durch Fixpunktitertion. Bestimmen Sie dzu ein geeignetes bgeschlossenes Intervll I R, uf dem f(x) = e 1 2 x die Vorussetzungen des Bnchschen Fixpunktstzes erfüllt. Sie sollen den Fixpunkt mit einer Genuigkeit von 10 6 berechnen. Schätzen Sie ( priori) b, wieviele Itertionen dzu usreichend sind. Dokumentieren Sie Ihre Näherungen und sichern Sie Ihren letzten errechneten Wert durch eine posteriori- Fehlerbschätzung b. 3. Sei F : R 2 R 2 gegeben durch F (x) = F (x 1, x 2 ) = ( 1 3 x x Wenden Sie Korollr 2.1 n zum Nchweis der Existenz eines eindeutigen Fixpunktes von F in D = {x R 2 x 1}. Berechnen Sie diesen näherungsweise durch Fixpunktitertion, bis sich Ihre berechneten Näherungen nicht mehr ändern und sichern Sie die letzte so erhltene Näherung durch eine posteriori-fehlerbschätzung b. Dokumentieren Sie Ihre Näherungen. 4. Im Jhr 1225 untersuchte Leonrdo von Pise (Fiboncci) die Gleichung ). f(x) = x 3 + 2x x 20 = 0 und berechnete ls Lösung x = Es ist nicht beknnt, mit welcher Methode Fiboncci diesen Wert gefunden ht, es ist ber für seine Zeit ein bechtliches Resultt. () Bestätigen Sie Fibonccis Resultt durch eine geeignete Fixpunktitertion mit Strtwert x 0 = 1. (b) Nicht jede Umformung der obigen Gleichung in eine Fixpunktgleichung führt zu einem Itertionsverfhren, welches gegen die von Fiboncci berechnete Nullstelle konvergiert (uch dnn nicht, wenn der Strtwert noch so gut gewählt ist). Versuchen Sie, dfür ein Beispiel zu finden und begründen Sie ds hierbei von Ihnen beobchtete numerische Verhlten.

50 44 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN (c) Wenden Sie ds Newtonverfhren uf Leonrdos Gleichung n. Wie fällt der Vergleich mit der Fixpunktitertion numerisch us? Beobchten Sie qudrtische Konvergenz? 5. Sei f : [, b] R zweiml stetig differenzierbr mit f (x) > 0 und f (x) 0 für lle x [, b] sowie f() < 0 < f(b). Zeigen Sie, dß ds Newtonverfhren für jeden Strtwert x 0 [, b] mit f(x 0 ) > 0 monoton fllend gegen die einzige Nullstelle von f konvergiert. Vernschulichen Sie diese Sitution nhnd einer Skizze. 6. Für jedes Zhlenpr (, b) R 2 ist durch F (,b) (x, y) := (x 2 y 2 +, 2xy + b), (x, y) R 2, eine Abbildung F (,b) : R 2 R 2 gegeben. () Beweisen Sie, dß für (x, y) 2 > R := mx(2, (, b) 2 ) die Ungleichung F (,b) (x, y) 2 (x, y) 2 > (x, y) 2 1 > 1 erfüllt ist und schließen Sie drus, dß die Fixpunktitertion (x n+1, y n+1 ) = F (,b) (x n, y n ), n = 0, 1, 2,..., für lle Strtpunkte (x 0, y 0 ) mit (x 0, y 0 ) 2 > R unbeschränkt ist. Die Menge ller (, b) R 2, für die die Fixpunktitertion für F (,b) mit Strt im Ursprung beschränkt bleibt, ht einen beknnten Nmen: es ist die Mndelbrot- Menge (ds Apfelmännchen ). (b) Zeigen Sie mit Teil (), dß die Mndelbrot-Menge enthlten ist in der bgeschlossenen Kreisscheibe mit Rdius 2 um den Urpsrung. (c) Formulieren und begründen Sie mit Hilfe von Teil () und (b) ein einfches Kriterium zum Zeichnen der Mndelbrot-Menge mit einem Grfikcomputer. Wenn Sie über einen entsprechenden Rechner verfügen, sollten Sie dieses Kriterium nutzen, um ein Progrmm zum Zeichnen der Mndelbrot-Menge zu implementieren. 7. f : R R besitze in ˆx R eine Nullstelle und sei in einer Umgebung von ˆx stetig differenzierbr mit f (ˆx) 0. Zeigen Sie: ds vereinfchte Newtonverfhren x k+1 = x k f(x k) f (x 0 )

51 2.8. DAS VERFAHREN VON BAIRSTOW 45 konvergiert für jeden Strtwert x 0 us einem hinreichend kleinen Intervll [ˆx δ, ˆx+δ] liner gegen ˆx. 8. Sei f : [, b] R zweiml stetig differenzierbr mit f (x) > 0 und f (x) 0 für lle x [, b] sowie f() < 0 < f(b). Zeigen Sie: Wählt mn x 0, x 1 [, b] so, dß x 1 < x 0 und f(x 0 ) f(x 1 ) < 0 erfüllt ist, dnn konvergiert ds durch x k+1 = x k x k x 0 f(x k ) f(x 0 ) f(x k) für k = 1, 2, 3,... definierte Itertionsverfhren (eine Vrinte des Sekntenverfhrens, die vielfch ls Regul flsi bezeichnet wird) liner gegen die Nullstelle von f. Bevor Sie diese Aussge beweisen, sollten Sie sich die Sitution nhnd einer Zeichnung plusibel mchen. 9. () Wenden Sie ds Regul flsi-verfhren us der letzten Aufgbe n uf die Funktion f(x) = e 2x sin(x) 2, x 0 = 1, x 1 = 0 (b) Berechnen Sie diesselbe Nullstelle mit dem Sekntenverfhren. (c) Beschleunigen Sie die Regul flsi-folge us () mit dem Aitkens 2 -Verfhren. Die Vorussetzungen von Stz 2.9 sind erfüllt. Wrum? Wie fällt der numerische Vergleich mit dem Sekntenverfhren us? 10. Die Gleichung x x = 0 ht zwei positive reelle Lösungen (Skizze!). Berechnen Sie die kleinere von ihnen uf 8 Dezimlstellen genu ncheinnder mit folgenden Methoden: () Fixpunktitertion (b) Fixpunkitertion mit nschließender 2 -Beschleunigung (c) Steffensen-Verfhren Ws pssiert, wenn Sie diese Verfhren uf die größere Lösung loslssen? Erklären Sie Ihre numerische Beobchtungen. 11. P (x) sei ein reelles Polynom vom Grd 1, welches usschließlich reelle Nullstellen besitzt, deren Beträge kleiner gleich γ sind.

52 46 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN () Zeigen Sie: Ds Newtonverfhren, gestrtet mit x 0 = γ, konvergiert monoton gegen die größte Nullstellen von P. (b) Ws pssiert, wenn Sie in x 0 = γ strten? Begründen Sie Ihre Aussge. 12. Lösen Sie die Gleichung x = 9 10 e x mit Fixpunktitertion. Dzu: () Bestimmen Sie ein Intervll I = [, b], uf dem f(x) = 9 10 e x kontrktiv und eine Selbstbbildung ist. Geben Sie eine zugehörige Lipschitzkonstnte n. (b) Führen Sie die Itertion durch, bis sich die Näherungen im Rhmen Ihrer Rechnergenuigkeit nicht mehr ändern. (c) Führen Sie mit dem zuletzt ermittelten Wert x n eine priori- und eine posteriori-fehlerbschätzung durch. 13. Lösen Sie die Gleichung us der letzten Aufgbe mit dem Newtonverfhren. Im einzelnen: () Bestimmen Sie ein (möglichst großes) Intervll [x δ, x + δ], us dem herus ds Newtonverfhren konvergiert. (b) Berechnen Sie die Newtonfolge, bis eine Genuigkeit von 10 8 erreicht ist (Absichern durch Fehlerbschätzung). (c) Ws knn mn zum Vergleich mit der Fixpunkitertion der letzten Aufgbe sgen? 14. Lösen Sie bermls obige Gleichung mit () Bisektion (uf 4 Stellen) (b) Regul flsi (mit Rechnergenuigkeit). Wenden Sie uf die Regul flsi-folge ds 2 -Verfhren n. Brechen Sie ds Verfhren b, wenn sich die Werte der beschleunigten Folge im Rhmen der Rechnergenuigkeit nicht mehr ändern. 15. Sei f : [, b] R zweiml stetig differenzierbr und konvex, d.h. f (x) 0 uf I. Ferner sei f (x) 0 für lle x I sowie f() < 0 und f(b) > 0. Zeigen Sie: () f ht in I genu eine Nullstelle ξ. (b) Ist x 0 I mit f(x 0 ) > 0, so konvergiert die Newtonfolge mit Strtwert x 0 monoton fllend gegen ξ.

53 2.8. DAS VERFAHREN VON BAIRSTOW Gegeben ist die Funktion f(x) = x 1 + x Zeigen Sie: () Für jeden Strtwert x 0 > 0 konvergiert die Fixpunktitertion x n+1 = f(x n ) gegen die Lösung ξ = 0 von x = f(x). (b) Wie viele Itertionen sind nötig, um bei gegebenem x 0 = 1 die Genuigkeit x n < 10 4 zu erreichen? (c) Wie viele Schritte brucht ds Newton-Verfhen beim gleichen Strtwert (Experiment oder Abschätzung)? 17. Berechnen Sie die Lösung von x = e x 1.2 mit folgenden Verfhren, jeweils, bis sich die 8. Dezimlstelle nicht mehr ändert: () primitive Regul flsi, dzu 2 -Verbesserung (b) Fixpunktitertion, dzu 2 -Verbesserung (c) Steffensen-Verfhren Dzu (wenigstens einml) eine Fehlerbschätzung für ds Ergebnis. 18. Es sei P (x) = 3x 4 8.4x x x () Werten Sie P (2) mit dem Horner-Schem us. (b) Entwickeln Sie P (x) um die Stelle x 0 = 2 und geben Sie lle Ableitungen n der Stelle 2 n (großes Horner-Schem) (c) Geben Sie obere Schrnken für die Nullstellen von P n. (d) Bestimmen Sie mit dem Newtonverfhren eine reelle Nullstelle mit Rechnergenuigkeit. (e) Bestimmen Sie lle reellen Nullstellen und geben Sie Fehlerbschätzungen für die ermittelten Nullstellen n. (f) Splten Sie die Nullstelle von größtem Betrg mit dem Horner-Schem uf. 19. Gesucht sind lle Nullstellen des Polynoms P (x) = x x x x + 1. () Wählen Sie einen Strtwert z 0 = x 0 + iy 0 C mit z 0 < 3 und bestimmen Sie ein Nullstellenpr mit dem Newtonverfhren. (Flls z n > 4 uftritt, wählen Sie einen neuen Strtwert.)

54 48 KAPITEL 2. NICHTLINEARE GLEICHUNGEN (b) Bestimmen Sie ds zweite Nullstellenpr mit Hilfe des Newtonverfhrens mit impliziter Defltion (Rechnergenuigkeit). Geben Sie jeweils den Strtwert, die Schrittzhl und ds Ergebnis n. 20. Schreiben Sie ein Progrmm für ds Birstow-Verfhren mit einer Ausgbe wie in Abschnitt 2.8, d.h., für jeden Itertionsschritt bis zum Abbruch u k, v k und den Defekt. zusätzlich soll ds us der letzten Näherung errechnete Nullstellenpr usgegeben werden. Berechnen Sie dmit lle Nullstellen des Polynoms p(x) = x 6 3x 5 + 5x 4 15x x 2 30x Strten Sie mit der Anfngsnäherung (u 0, v 0 ) = ( 2, 5) zur Bestimmung des ersten qudrtischen Fktors von p und eines Nullstellenpres. Berechnen Sie mit dem verbelibenden Quotientenpolynom q(x) einen weiteren qudrtischen Fktor. Der Rest ist klr!

55 Kpitel 3 Interpoltionsufgben Unter einer Interpoltionsufgbe versteht mn ds Problem, zu gegebenen Punkten x 0, x 1,..., x n der reellen Achse und gegebenen Werten f 0, f 1,..., f n R eine Funktion p us einer gegebenen Klsse von einfchen Funktionen zu bestimmen mit p(x i ) = f i für i = 0, 1,..., n. Als einfche Funktionen knn mn sich Polynome oder Polygonzüge vorstellen. Beispiel 3.1 Aus einem Tfelwerk entnehmen wir die Dten ϕ sin(ϕ) Wir benötigen den Wert von sin(62 ). Dzu könnten wir liner interpolieren, d.h. sin(62 ) (62 60 ) (65 60 ) sin(65 ) + (65 62 ) (65 60 ) sin(60 ) = 2 5 sin(65 ) sin(60 ) = (uf 7 Stellen gerundet). Der exkte Wert ist sin(62 ) = Wir werden Methoden kennenlernen, die noch die nderen gegebenen Werte benutzen und genuer sind. Heute ist diese Anwendung der Interpoltion nicht mehr wichtig, d jeder über Tschenrechner verfügt. Benötigt wird die Theorie ber noch bei der numerischen Integrtion oder der Drstellung von Kurven im CAD-Bereich. Druf werden wir später kommen. Wir beginnen ber mit dem einfchsten Fll, der Polynominterpoltion. 49

56 50 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN 3.1 Interpoltion durch Polynome Gegeben seien n + 1 prweise verschiedene Punkte x 0, x 1,..., x n R der Zhlengerden sowie beliebige Werte f i R, i = 0,..., n, die nicht unbedingt verschieden sein müssen. Gesucht ist eine Polynomfunktion p vom Grd höchstens n, welche n den Stellen x i den Wert f i nnimmt: p(x i ) = f i für i = 0,..., n. Der folgende Stz sichert die Existenz und Eindeutigkeit, liefert jedoch kein gutes Verfhren, um p zu berechnen. Mit P n bezeichnen wir den Rum der Polynomfunktionen vom Grd höchstens n. Stz 3.1 Zu vorgegebenen prweise verschiedenen Stützstellen x i R, i = 0,..., n, und beliebigen Werten f i R, i = 0,..., n, existiert genu ein p P n mit p(x i ) = f i für lle i = 0,..., n. Es besitzt die Form (Lgrnge-Drstellung): p(x) = n f j L j (x) mit L j (x) := n k=0 k j x x k x j x k, j = 0, 1,..., n. (3.1) Beweis: Zunächst erkennt mn, dß jedes L j wirklich ein Polynom vom Grd n ist. { 0 : i j Ferner gilt L j (x i ) =. Hierus folgt sofort, dß die ngegebene 1 : i = j Form von p wirklich die Interpoltionsufgbe löst. Ist q P n ein weiteres Polynom, welches die Interpoltionsufgbe löst, so betrchte mn die Differenz r := p q. Dieses ist wiederum ein Polynom vom Grd höchstens n und besitzt wegen r(x i ) = p(x i ) q(x i ) = f i f i = 0 n den Stützstellen x i, i = 0,..., n, Nullstellen. Jetzt benutzen wir ein beknntes Resultt: Wenn ein Polynom vom Grd höchstens n mehr ls n Nullstellen besitzt, so muß es nch dem Fundmentlstz der Algebr verschwinden. Also ist r = 0, lso uch p = q. Diese Lgrnge-Drstellung des Interpoltionspolynoms ht theoretische Vorteile, jedoch numerische Nchteile. Zählen wir die Opertionen, so erkennen wir, dß zur Berechnung von jedem L j n(n 1) Multipliktionen und 2n Additionen erforderlich sind, zusmmen lso n(n 1)+(n+1) = n 2 +1 Multipliktionen und 3n Additionen. Will mn ds Polynom n einer nderen Stellen uswerten, so ht mn wiederum etw ebensoviele Opertionen durchzuführen. Ein nderer, noch größerer Nchteil besteht jedoch drin, dß mn lle Lgrngepolynome neu berechnen muß, wenn mn nur eine Stützstellen hinzunimmt. Diesen Nchteil vermeidet die Newtonsche Drstellung. Wir definieren j 1 N 0 (x) := 1 und N j (x) := (x x k ) für x R und j = 1, 2,..., n. (3.2) k=0

57 3.1. INTERPOLATION DURCH POLYNOME 51 Ds Newtonpolynom N j ht Grd j und verschwindet genu n den Stellen x 0,..., x j 1. Dnn mchen wir den Anstz p(x) = n j N j (x) mit noch unbeknnten j. (3.3) Jetzt setzen wir ncheinnder die Stützstellen ein: Aus f 0 = p(x 0 ) = 0 N 0 (x 0 ) folgt 0 = f 0. Aus f 1 = p(x 1 ) = 0 N 0 (x 1 ) + 1 N 1 (x 1 ) errechnet mn 1 durch Auflösen. Itertiv erhält mn so ( ) 1 k 1 0 = f 0 und k = f k j N j (x k ), k = 1, 2,..., n. N k (x k ) (3.4) Wir wollen jetzt die effiziente Berechnung des Interpoltionspolynoms in der Newtondrstellung beschreiben. Mn unterscheidet hier zwei Ansätze. Ist mn n der Auswertung des Polynoms n vielen Punkten x interessiert, so sollte mn die Koeffizienten j, j = 0,..., n, nch dem folgenden Schem der dividierten Differenzen berechnen und dnch eine Art Hornerschem benutzen, um p(x) zu ermitteln. Ist mn dgegen nur n p(x) für ein x (oder gnz wenigen) interessiert, so lohnt der Aufwnd, lle Koeffizienten j zu berechnen, nicht, und mn wird ds sogennnte Verfhren von Neville vorziehen. Definition 3.1 Seien (x i, f i ) R R, i = 0,..., n, mit prweise verschiedenen x i. () Die k-te dividierte Differenz f[x i,..., x i+k ] wird rekursiv definiert durch und für k = 1,..., n und i = 0,..., n k: f[x i ] := f i, i = 0,..., n, (3.5) f[x i,..., x i+k ] := f[x i+1,..., x i+k ] f[x i,..., x i+k 1 ] x i+k x i (3.6) Die dividierten Differenzen ordnet mn übersichtlich in einem dreieckigen Schem n, welches wir nchfolgend für n = 3 ngeben. (b) Seien i 0,..., i k {0,..., n} prweise verschiedene Indizes. Mit P i0...i k P k bezeichnen wir ds eindeutig bestimmte Interpoltionspolynom k-ten Grdes mit P i0...i k (x ij ) = f ij, j = 0,..., k. Wir werden gleich sehen, wie die Größen f[x 0 ], f[x 0, x 1 ],..., f[x 0,..., x n ] mit dem Interpoltionspolynom zusmmenhängen. Mn berechnet diese dividierten Differenzen us ngegebenem Tbleu spltenweise. Dies liefert die folgende Rekursion:

58 52 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN k=0 k=1 k=2 k=3 x 0 f[x 0 ] = f 0 f[x 0, x 1 ] x 1 f[x 1 ] = f 1 f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f[x 2 ] = f 2 f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 2, x 3 ] x 3 f[x 3 ] = f 3 Für i = 0,..., n setze: i := f i. Für k = 1,..., n: Tbelle 3.1: Dividierte Differenzen-Schem Für i = n, n 1,..., k setze: i := i i 1 x i x i k Zunächst werden die i lso mit der ersten Splte des Tbleus belegt. Dnn werden die Splten 1 bis n von unten nch oben bgerbeitet. Ist mn in Splte k, so steht f[x n k,..., x n ] in n, f[x n k 1,..., x n 1 ] in n 1, usw. Den Zusmmenhng zwischen den dividierten Differenzen und den Koeffizienten j der Newtonschen Interpoltionsdrstellung liefert der nun folgende Stz: Stz 3.2 Vorgegeben seien prweise verschiedene Stützstellen x i R, i = 0,..., n, und beliebige Werte f i R, i = 0,..., n. Dnn ist P i...i+k (x) = f[x i ] + f[x i, x i+1 ](x x i ) + +f[x i,..., x i+k ](x x i ) (x x i+k 1 ). (3.7) Insbesondere ist lso ds gesuchte Interpoltionspolynom p = P 0...n gegeben durch p(x) = P 0...n (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + +f[x 0,..., x n ](x x 0 ) (x x n 1 ) = n = f[x 0,..., x j ]N j (x). (3.8)

59 3.1. INTERPOLATION DURCH POLYNOME 53 Beweis: D die dividierten Differenzen rekursiv definiert sind, bietet sich die Beweismethode der vollständigen Induktion nch k n. Wegen P i (x) = f i = f[x i ] ist die Behuptung für k = 0 richtig. Sei die Behuptung für k 1 richtig. Wir können ds Polynom P i...i+k in der Form schreiben P i...i+k (x) = P i...i+k 1 (x) + (x x i ) (x x i+k 1 ), (3.9) denn der zweite Summnd uf der rechten Seite verschwindet j in den Knoten x i,..., x i+k 1 und der erste liefert die Werte f i,..., f i+k 1. Der Koeffizient wird us der letzten Interpoltionsbedingung P i...i+k (x i+k ) = f i+k bestimmt. Wegen der Induktionsnnhme muß nur noch = f[x i,..., x i+k ] gezeigt werden. Zunächst ist der Koeffizient von P i...i+k P k zur höchsten Potenz x k. Dnn bechten wir, dß P i...i+k in der Form geschrieben werden knn P i...i+k (x) = (x x i)p i+1...i+k (x) (x x i+k )P i...i+k 1 (x) x i+k x i, (3.10) denn uf der rechten Seite steht ebenflls ein Polynom k-ten Grdes, welches die Interpoltionsbedingungen lle erfüllt genu wie uf der linken Seite. Nch Induktionsvorussetzung ist der höchste Koeffizient von P i+1...i+k gerde f[x i+1,..., x i+k ] und der von P i...i+k 1 gerde f[x i,..., x i+k 1 ]. Vergleicht mn die höchsten Koeffizienten in (3.10), so erkennt mn, dß = f[x i+1,..., x i+k ] f[x i,..., x i+k 1 ] x i+k x i = f[x i,..., x i+k ] (3.11) Dies wr zu zeigen! Für die Berechnung ller dividierter Differenzen 0 = f[x 0 ],..., n = f[x 0,..., x n ] zusmmen benötigt mn n(n+1) Divisionen und n(n+1) Additionen bzw. Subtrktionen. Ht mn 2 diese nun berechnet, so erhält mn ds gesuchte Interpoltionspolynom p(z) = P 0...n (z) n der Stelle z us dem folgenden Horner-ähnlichen Verfhren: P 0...n (z) = 0 + (z x 0 )( 1 + (z x 1 )( (z x n 1 )( n + (z x n )) )) (3.12) Dieses wird relisiert durch p := n, p := k + (z x k ) p, k = n 1, n 2,..., 0, (3.13) und benötigt nur n Mutipliktionen und 2n Additionen bzw. Subtrktionen. Führen wir dieses Verfhren m einführenden Beispiel zur Interpoltion von sin(62 ) durch, so ist n = 4, und erhlten den wert p(62 ) = Der exkte Wert

60 54 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN ist uf 11 Stellen nch dem Komm sin(62 ) = Auf 7 Stellen stimmt die Interpoltion mit dem exkten Wert überein! Der jetzt beschriebene Neville-Algorithmus ist ngebrcht, wenn ds Interpoltionspolynom n nur einer Stelle z berechnet werden soll. Wir hben in (3.10) schon die Identität hergeleitet: P i...i+k (z) = (z x i)p i+1...i+k (z) (z x i+k )P i...i+k 1 (z) x i+k x i = P i+1...i+k (z) + (z x i+k) [P i+1...i+k (z) P i...i+k 1 (z)] x i+k x i (3.14) Hierus knn mn wieder ein Schem ufbuen, welches dem der dividierten Differenzen entspricht: k=0 k=1 k=2 k=3 x 0 P 0 (z) = f 0 P 01(z) x 1 P 1 (z) = f 1 P 012 (z) P 12 (z) x 2 P 2 (z) = f 2 P 123 (z) P 23 (z) x 3 P 3 (z) = f 3 P 0123 (z) Tbelle 3.2: Neville-Algorithmus Genu wie oben können wir dies rekursiv von Splte zu Splte berechnen: Für i = 0,..., n setze: p i := f i. Für k = 1,..., n: Für i = n, n 1,..., k setze: p i := p i + (z x i ) p i p i 1 x i x i k In p n steht dnn der Wert p(z) des Interpoltionspolynoms n der Stelle z. Wir wollen uns ds berühmte Beispiel von Runge nsehen. Es ist die Aufgbe, die Funktion f(x) = 1 uf dem Intervll [ 5, 5] durch ein Polynom 10-ten Grdes zu 1+x 2 pproximieren, indem wir es n den 11 äquidistnten Punkten 5, 4, 3,..., 3, 4, 5 interpolieren. Hier ist lso x i = i 5 und f i = f(x i ) für i = 0,..., 10. Ds Resultt sieht so us:

61 3.1. INTERPOLATION DURCH POLYNOME Abbildung 3.1: Beispiel von Runge Zwischen den Interpoltionspunkten ht wenigstens m Rnd ds Polynom nichts mit der Funktion zu tun! Wesentlich besser wird es, wenn wir ndere, nicht äquidistnte, Punkte x i nehmen. Für die sogennnten Tschebyscheffknoten x i = + b 2 + b 2 ( ) 2(n i) + 1 cos π, i = 0,..., n, 2(n + 1) (3.15) erhält mn in unserem Fll (n=10, =-5, b=5) ds rechte Bild, ds schon besser ist. Weshlb ist dies der Fll? Zunächst wollen wir eine Drstellung des Interpoltionsfehlers herleiten, wenn wie beim Runge-Beispiel die Werte f i durch eine stetige Funktion f : [, b] R gemäß f i = f(x i ) gegeben sind. Wir können zeigen: Stz 3.3 Sei f C n+1 [, b], d.h. (n + 1)-ml stetig differenzierbr. Die Interpoltionsknoten x i, i = 0,..., n, seien prweise verschieden. Sei p n P n ds (nch Stz 3.1 eindeutig existierende) Interpoltionspolynom mit p n (x i ) = f(x i ) für lle i = 0,..., n. Dnn existiert zu jedem x [, b] ein z (min{x 0,..., x n, x}, mx{x 0,..., x n, x}) mit f(x) p n (x) = f (n+1) (z) (n + 1)! n (x x k ) (3.16) k=0 Beweis: Ist x einer der Punkte x i, so ist die Behuptung richtig, denn uf beiden Seiten steht Null. Sei lso x von den Punkten x i verschieden. Wir setzen zur

62 56 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN Abkürzung w(t) := n k=0 durch (x ist festgehlten!): (t x k ) und definieren die Funktion g : [, b] R g(t) := f(t) p n (t) f(x) p n(x) w(t), t R. w(x) (3.17) Die Funktion g C n+1 [, b] verschwindet n den n+2 prweise verschiedenen Punkten x i, i = 0,..., n, und x. Nch dem Stz von Rolle muß zwischen je zwei solcher Nullstellen ein Punkt liegen, in dem die Ableitung verschwindet. g besitzt lso (mindestens) n + 1 prweise verschiedene Nullstellen. Genuso rgumentiert mn weiter und erhält, dß die (n + 1)-te Ableitung g (n+1) mindestens eine Nullstelle z besitzt, d.h. 0 = g (n+1) (z) = f (n+1) (z) p (n+1) n (z) (n + 1)! f(x) p n(x) } {{ } w(x) (3.18) =0 Dies beweist die Behuptung! Hiermit wurde die Fehlerbschätzung gezeigt: mx f (n+1) (z) n z b f(x) p n (x) x x k für lle x [, b]. (3.19) (n + 1)! Mn erkennt, dß mn die Knoten x k so wählen sollte, dß die Größe mx x b k=0 k=0 n x x k (3.20) möglichst klein ist. D x n (x x k ) ein Polynom vom Grd n + 1 ist, können wir die k=0 Forderung uch so formulieren: Gesucht ist ds Polynom q n+1 P n+1 vom Grd n+1, welches den höchsten Koeffizienten 1 ht und die Größe mx x b q n+1(x) miniml mcht. Die Lösung dieses Problems wird durch ein Tschebyscheffpolynom gegeben. Diese in der numerischen Mthemtik so wichtigen Tschebyscheffpolynome T n sind uf [ 1, 1] definiert durch T n (x) := cos(n rccos(x)) für x [ 1, +1], n = 0, 1, 2,... (3.21)

63 3.1. INTERPOLATION DURCH POLYNOME 57 Weshlb sind dies überhupt Polynome? Es ist T 0 = 1 und T 1 (x) = x für lle x [ 1, +1] (3.22) und mit dem Additionstheorem T n±1 (x) = cos(n rccos(x) ± rccos(x)) = = cos(n rccos(x)) cos(rccos(x)) sin(n rccos(x)) sin(rccos(x)), } {{ } =x (3.23) lso nch Addition d.h. T n+1 (x) + T n 1 (x) = 2xT n (x) für x [ 1, +1], (3.24) T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x) für x [ 1, +1] und n = 1, 2,... (3.25) Aus der Definition und dieser dreigliedrigen Rekursionsformel erkennen wir die folgenden Eigenschften (n = 1, 2,...): T n ist ein Polynom n-ten Grdes mit höchstem Koeffizienten 2 n 1. Die Nullstellen von T n liegen bei cos ( 2k 1 2n π), k = 1,..., n. T n (1) = 1 und T n ( 1) = ( 1) n. T n (x) 1 für lle x [ 1, +1], lso mx T n(x) = 1 für lle n. 1 x 1 Die ersten Polynome T 0,..., T 4 hben wir im folgenden Plot ufgetrgen, im linken Plot von 1 bis +1, im rechten von 1.2 bis Dmit können wir zeigen, zunächst für ds Intervll [, b] = [ 1, +1]: Stz 3.4 Sei q P n+1 ein beliebiges Polynom (n + 1)-ten Grdes mit höchstem Koeffizienten 1. Dnn ist mx q(x) 1 x 1 2 n = mx 1 x 1 2 n T n+1 (x). (3.26) Ds Polynom 2 n T n+1 (x) = n (x x k ) mit k=0 ( ) 2k + 1 x k = cos 2(n + 1) π, k = 0,..., n, (3.27)

64 58 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN Abbildung 3.2: Tschebyscheffpolynome minimiert lso mx q(x) für lle Polynome q P n+1 mit höchstem Koeffi- 1 x 1 zienten 1. Beweis: Die rechte Gleichung ist wegen obiger Eigenschften der Tschebyscheffpolynome klr. Für die linke Ungleichung führen wir einen Widerspruchsbeweis und nehmen dfür n, es sei q(x) < 2 n für lle x [ 1, +1]. Betrchte die Extremlstellen von T n+1 : ( ) jπ z j = cos, j = 0,..., n + 1. n + 1 (3.28) Wegen T n+1 (z j ) = cos(jπ) = ( 1) j ist { < 0 : flls j gerde q(z j ) 2 n T n+1 (z j ) > 0 : flls j ungerde. (3.29) Nch dem Zwischenwertstz gibt es lso n + 1 Stellen, n denen ds Polynom q 2 n T n+1 vom Grde n (die oberste Potenz hebt sich weg!) verschwindet. D ein Polynom n-ten Grdes nur n Nullstellen hben knn, müssen q und 2 n T n+1 übereinstimmen, ein Widerspruch (betrchte z.b. x = z j ). Für ein beliebiges Intervll [, b] betrchte die Trnsformtion x 2 x b 1 von [, b] uf [ 1, +1]. Ds Polynom P (x) = 2 n T n+1 ( 2 x b 1) vom Grd n + 1 minimiert

65 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES 59 mx q(x). x b Es stellt sich nun die Frge der Konvergenz: Gegeben sei eine stetige Funktion f : [, b] R und eine Folge x (n) j, j = 0,..., n, von Unterteilungen des Intervlls [, b]. Seien p n P ( ) ( ) n die Polynome n-ten Grdes mit p n x (n) = f für j = 0,..., n. Konvergiert dnn j die Folge p n gleichmäßig oder wenigstens punktweise gegen f für n? Beide Frgen sind llgemein zu verneinen (Stz von Fber)! Trotzdem können wir ls Fzit festhlten: Wenn wir mit Polynomen höheren Grdes interpolieren wollen, sollten wir es nicht bzgl. äquidistnter Knoten tun, sondern bzgl. der Tschebyscheffknoten. x (n) j 3.2 Interpoltion durch Splines Am Beispiel von Runge hben wir gesehen, dß es i.. nicht sinnvoll ist, mit Polynomen zu hohen Grdes zu interpolieren. Besser ist es, die Interpoltionspunkte zu unterteilen, und Interpoltionspolynome kleinen Grdes neinnderzustückeln. Sei : = x 0 < x 1 < < x n = b eine Unterteilung des Intervlls in n Teilintervlle. Gegeben seien n + 1 Werte f j, j = 0,..., n. Als einfchstes Beispiel können wir die lineren Splines betrchten: Wir verbinden den Punkt (x j, f j ) mit (x j+1, f j+1 ) durch eine Gerde. Dies liefert einen Polygonzug S(x) = x x j f j+1 + x j+1 x f j für x [x j, x j+1 ], j = 0,..., n 1 x j+1 x j x j+1 x (3.30) j Welche Frgen sind hier von Interesse? D die Berechnung denkbr einfch ist, eigentlich nur die der Konvergenz: Angenommen, die Werte f j kommen von einer stetigen Funktion f, d.h. f j = f(x j ) für j = 0,..., n. Konvergiert die Folge von Splinefunktionen gegen f, wenn qir die Unterteilung immer feiner werden lssen? Die Frge knn bejht werden, wie der folgende Stz zeigt: Stz 3.5 Sei f : [, b] R zweiml stetig differenzierbr und : = x 0 < x 1 < < x n = b eine Unterteilung. Wir setzen h := mx (x j x j 1 ). S sei der zu j=1,...,n (x j, f(x j )), j = 0,..., n gehörende interpolierende Spline. Dnn gilt die Fehlerbschätzung S f h2 8 f, (3.31) wobei wir in Anlehnung n die Mximumsnorm bei Vektoren die Mximumsnorm für Funktionen g C[, b] definieren durch

66 60 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN Beweis: g := mx x b g(x). (3.32) Wird die Verfeinerung lso immer enger, d.h. konvergiert h gegen Null, so konvergiert der linere Spline gleichmäßig gegen f. Sei x [x j, x j+1 ] für ein j = 0,..., n 1. Dnn können wir den Interpoltionsfehler mit Stz 3.3 (für n = 1) drstellen: Es gibt z j [x j, x j+1 ] mit S(x) f(x) = f (z j ) (x x j )(x x j+1 ) (3.33) 2 Die Prbel ω(x) = (x x j )(x x j+1 ) ist in (x j, x j+1 ) negtiv und ht bei 1 (x 2 j+1 +x j ) ihren Scheitel mit Wert 1(x 4 j+1 x j ) 2. Hierus folgt die Behuptung! Bemerkung 3.1 Ist f nur stetig, so läßt sich immerhin noch die folgende Aussge zeigen: Ist (n) : = x (n) 0 ( < x (n) 1 < ) < x (n) n = b eine Folge von Unterteilungen mit h n := mx x (n) j x (n) j 1 0 für n. Dnn konvergieren die zu j=1,...,n ( ) x (n) j, f(x (n) j ), j = 0,..., n, gehörenden lineren Splines S n gleichmäßig gegen f. Stückweise linere Splines sind nun nicht gerde besonders gltte Funktionen. Wir wollen jetzt stückweise Polynome höheren Grdes betrchten und beschränken uns uf den wichtigsten Fll der kubischen Splines. Definition 3.2 (kubischer Spline) Sei : = x 0 < x 1 < < x n = b eine Unterteilung des Intervlls [, b]. Dnn heißt S : [, b] R kubischer Spline, wenn gilt: S ist zweiml stetig differenzierbr uf [, b] und S [xj,x j+1 ] P 3 für lle j = 0,..., n 1, d.h. S ist uf jedem Teilintervll [x j, x j+1 ] ein kubisches Polynom. Den Rum ller kubischen Splines uf bezeichnen wir mit S( ). Der Rum S( ) ist wirklich ein Vektorrum, denn Summe und sklre Vielfche von Splines sind wieder Splines. Der nächste Stz bestimmt eine Bsis und dmit die Dimension dieses Vektorrums.

67 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES 61 Stz 3.6 Sei : = x 0 < x 1 < < x n = b eine Unterteilung des Intervlls [, b]. Die Funktionen S 3 (x) = 1, S 2 (x) = (x x 0 ), S 1 (x) = (x x 0 ) 2 S 0 (x) = (x x 0 ) 3, und (3.34) S j (x) = (x x j ) 3 + := { (x xj ) 3 : x x j 0 : x < x j, j = 1,..., n 1, bilden eine Bsis von S( ). Jedes S S( ) besitzt die eindeutige Drstellung S(x) = 3 S (i) (x 0 ) (x x 0 ) i + 1 n 1 (S (x j +) S (x j )) (x x j ) 3 i! 6 +. (3.35) i=0 j=1 Beweis: Hierbei bezeichnet g(x+) den rechtsseitigen Grenzwert lim g(y) und nlog y x, y>x g(x ) den linksseitigen Grenzwert. Dher ist dim S( ) = n + 3. Die Funktionen S j, j = 3,..., n 1, sind offenbr kubische Splines. Sei umgekehrt S S( ). Definiere dnn den Spline Ŝ S( ) durch Ŝ(x) = 3 S (i) (x 0 ) (x x 0 ) i + 1 n 1 (S (x j +) S (x j )) (x x j ) 3 i! 6 +. (3.36) i=0 j=1 Dnn berechnen wir für k = 1,..., n 1 die dritten Ableitungen: k Ŝ (x k +) S (x k +) = S (x 0 ) + (S (x j +) S (x j )) S (x k +) j=1 k 1 = S (x 0 ) + (S (x j +) S (x j )) S (x k ) j=1 (3.37) = Ŝ (x k ) S (x k ) Der kubische Spline Ŝ S ist lso sogr dreiml differenzierbr in [, b]. Dher muß Ŝ S ein kubisches Polynom uf gnz [, b] sein. Außerdem ist (Ŝ

68 62 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN S) (i) (x 0 ) = 0 für i = 0, 1, 2, 3. Dher muß Ŝ S verschwinden, und es ist gezeigt, dß jedes S S( ) die ngegebene Drstellung besitzt. D diese Drstellung offenbr eindeutig ist, ist der Stz bewiesen. Für numerische Zwecke ist die Bsis nicht gut geeignet. Wir werden später eine geeignete Bsis us sogennnten B-Splines einführen. D der Rum S( ) die Dimension n + 3 ht, wir ber nur n + 1 Interpoltionsbedingungen S(x j ) = f j, j = 0,..., n, vorgeben, hben wir noch zwei Freiheitsgrde frei. Dher werden noch zwei Zustzbedingungen gestellt. Ds Interpoltionsproblem sieht lso jetzt so us: Gegeben seien wieder prweise verschiedene Punkte : = x 0 < x 1 <... < x n = b, die jetzt geordnet seien sowie Werte f 0,..., f n R. Zusätzlich seien noch zwei Zhlen ρ, ρ b R gegeben. Gesucht ist ein kubischer Spline S S( ) mit S(x j ) = f j, j = 0,..., n, und S () = ρ, S (b) = ρ b. (3.38) An den Rndpunkten und b werden lso uch die Ableitungen des Splines vorgegeben, dmit wir n+3 Interpoltionsbedingungen hben genusoviel wie Freiheitsgrde in S( ). Wir werden gleich sehen, dß dieses Interpoltionsproblem eindeutig lösbr ist. Dfür und für spätere Zwecke leiten wir eine wichtige Beziehung her, die wir ls Lemm formulieren. In Anlehnung n die euklidische Vektornorm benutzen wir für stetige Funktionen h C[, b] die Bezeichnung h 2 := h(x) 2 dx. (3.39) Lemm 3.1 Sei g C 2 [, b] und S S( ) ein beliebiger Spline. Dnn gilt die Gleichung g S 2 2 = g 2 2 S [(g (x) S (x))s (x)] b + 2 n j=1 [g(x) S(x)] x j x j 1 S (x j ). (3.40) Mn bechte, dß die dritte Ableitung S uf jedem Intervll [x j 1, x j ] konstnt ist. S (x j ) bezeichnet lso diese Konstnte. Die Größe g 2 können wir ls Gesmtkrümmung der Funktion g deuten.

69 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES 63 Beweis: g S 2 2 = (g (x) S (x)) 2 dx = g (x) 2 dx S (x) 2 dx 2 (g (x) S (x))s (x) dx. (3.41) Den letzten Term formen wir mit prtieller Integrtion um: (g (x) S (x))s (x) dx = = n j=1 n j=1 x j x j 1 (g (x) S (x))s (x) dx [(g (x) S (x))s (x)] x j x j 1 n j=1 x j x j 1 (g (x) S (x))s (x) dx (3.42) = [(g (x) S (x))s (x)] b n j=1 [g(x) S(x)] x j x j 1 S (x j ) lso g S 2 2 = g 2 2 S 2 2 2[(g (x) S (x))s (x)] b +2 n j=1 [g(x) S(x)] x j x j 1 S (x j ). (3.43) Dies wr zu zeigen. Mit diesem Hilfsstz können wir nicht nur den folgenden Existenz- und Eindeutigkeitsstz beweisen, sondern uch eine interessnten Chrkterisierung der interpolierenden Splinefunktion:

70 64 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN Stz 3.7 () Ds oben formulierte Interpoltionsproblem ist eindeutig lösbr. (b) Für die interpolierende Splinefunktion S S( ) gilt: S 2 g 2 für lle g C 2 [, b] mit { g(xj ) = f j j = 0,..., n g () = ρ, g (b) = ρ b (3.44) Gleichheit besteht nur für g = S. Beweis: () Die Eindeutigkeit der Lösung der Interpoltionsproblems folgt us Lemm 3.1, wenn wir dort g = 0 einsetzen. Seien nämlich S 1 und S 2 zwei interpolierende Splines und S = S 1 S 2. Dnn verschwindet S n den Knoten x j, j = 0,..., n, und zusätzlich gilt S () = S (b) = 0. Dher hben wir S 2 2 = S [S (x)s (x)] b 2 } {{ } =0 n [S(x)] x j x } {{ j 1 S (x j ) } =0 j=1 (3.45) = S 2 2, j= 3 lso S 2 = 0. Dher ist S (x) = 0 für lle x [, b] und S muß eine linere Funktion sein. D S n den Knoten verschwindet, muß S = 0 sein. Für die Existenz mchen wir den Anstz S = n 1 λ j S j mit den Bsisfunktionen S j, j = 3,..., n 1, von Stz 3.6. Wir hben lso n + 3 Unbeknnte λ j, j = 3,..., n 1, zu bestimmen. Setzen wir lle Interpoltionsbedingungen ein, so erhlten wir n + 3 linere Gleichungen: λ 3 S 3 (x j ) + + λ n 1 S n 1 (x j ) = f j, j = 0,..., n, λ 3 S 3() + + λ n 1 S n 1() = ρ, λ 3 S 3(b) + + λ n 1 S n 1(b) = ρ b, (3.46) Aus der Eindeutigkeit folgt, dß ds homogene Gleichungssystem, nämlich ds für die rechten Seiten f j = 0, j = 0,..., n und ρ = ρ b = 0 nur die Lösung λ 3 = = λ n 1 = 0 besitzt. Nun benutzen wir ein Resultt über qudrtische Gleichungssysteme der Form Ax = y: Besitzt Ax = 0 nur die Lösung x = 0, so ist Ax = y für jedes y eindeutig lösbr. Dies liefert die Existenz. Ein nderer, konstruktiver Beweis wird später in Stz 3.8 geführt.

71 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES 65 (b) Sei nun g C 2 [, b] beliebig mit g(x j ) = f j für lle j = 0,..., n und g () = ρ, g (b) = ρ b. Wir benutzen wiederum Lemm 3.1 und erkennen, dß sich wegen S(x j ) = g(x j ) für lle j und S () = g (), S (b) = g (b) die Gleichung erheblich vereinfcht, nämlich zu g S 2 2 = g 2 2 S 2 2. (3.47) Hierus sehen wir sofort g 2 2 S und g 2 2 S 2 2 = 0 g S = 0. Dies ist genu dnn der Fll, wenn g S liner ist uf [, b]. D g S in den Knoten verschwindet, so muß g = S sein. Dmit ist der Stz bewiesen. Nun wollen wir zu effizienten Berechnung kubischer Splines kommen. Gegeben sei wieder eine Zerlegung := < x 0 < x 1 < < x n = b, und Werte f 0,..., f n R, sowie ρ, ρ b R. Der Trick bei der Berechnung des kubischen Splines S S( ) besteht drin, dß mn ihn einfch usrechnen knn, wenn mn die zweiten Ableitungen M j := S (x j ), j = 0,..., n, kennen würde. Für diese Momente M j, j = 0,..., n, knn mn dnn ein gut strukturiertes Gleichungssystem ufstellen, ds mn noch lösen muß. D S uf [, b] stetig und uf jedem Teilintervll [x j 1, x j ] liner ist, so muß S ein Polygonzug sein und so ussehen: S (x) = x x j 1 M j + x j x M j 1 für x [x j 1, x j ], j = 1,..., n. x j x j 1 x j x (3.48) j 1 Durch zweimlige Integrtion können wir leicht zeigen: Lemm 3.2 Sei : = x 0 < x 1 < < x n = b eine Zerlegung, und seien Werte f 0,..., f n R, sowie M j, j = 0,..., n, gegeben. Sei h j := x j+1 x j und sei S : [, b] R definiert durch S(x) := α j +β j (x x j )+γ j (x x j ) 2 +δ j (x x j ) 3 für x [x j, x j+1 ], j = 0,..., n 1, wobei α j, β j, δ j und γ j definiert sind durch α j := f j, β j := f j+1 f j 2M j + M j+1 h j 6 γ j := M j 2, δ j := M j+1 M j 6h j h j (3.49) für j = 0,..., n 1. Dnn ist S(x j ) = S(x j +) = f j und S (x j ) = S (x j +) = M j für lle j = 0,..., n. (Für j = 0 und j = n ist ntürlich der links- bzw, rechtsseitige Grenzwert wegzulssen.)

72 66 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN Die Funktion S ist dher der gewünschte Spline, wenn die M j so gewählt werden, dß noch S (x j ) = S (x j +) für j = 1,..., n 1 gilt und zusätzlich S () = ρ, S (b) = ρ b. Beweis: Es ist S(x j+1 +) = α j+1 = f j+1, und S (x j+1 +) = 2γ j+1 = M j+1 sowie S(x j+1 ) = α j + β j h j + γ j h 2 j + δ j h 3 j = f j+1 S (x j+1 ) = 2γ j + 6δ j h j = M j+1 (3.50) Setzt mn die Definitionen von α j, β j, δ j und γ j ein, so erhält mn sofort die behupteten Beziehungen. Wir stellen jetzt die Gleichungen S (x j ) = S (x j +), j = 1,..., n 1, uf: S (x j +) = β j = f j+1 f j 2M j + M j+1 h j 6 h j S (x j ) = β j 1 + 2γ j 1 h j 1 + 3δ j 1 h 2 j 1 = f j f j 1 h j 1 2M j 1 + M j h j 1 + M j 1 h j h j 1(M j M j 1 ) (3.51) = f j f j 1 h j h j 1M j h j 1M j 1. Gleichsetzen von S (x j ) und S (x j +) liefert nch Multipiktion mit 6 die n 1 Gleichungen ( fj+1 f j h j 1 M j 1 + 2(h j + h j 1 )M j + h j M j+1 = 6 h j f ) j f j 1 h j 1 (3.52) für j = 1,..., n 1. Die beiden Rndbedingungen S (x 0 +) = ρ und S (x n ) = ρ b liefern zwei weitere Gleichungen ( ) f1 f 0 2h 0 M 0 + h 0 M 1 = 6 ρ h 0 ( h n 1 M n 1 + 2h n 1 M n = 6 ρ b f ) (3.53) n f n 1 h n 1 Führt mn die Abkürzungen ein:

73 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES 67 d 0 := h 0, d j := h j 1 + h j, j = 1,..., n 1, d n := h n 1, sowie ( ) f1 f 0 r 0 := 6 ρ, h 0 ( fj+1 f j r j := 6 h j ( r n := 6 ρ b f ) n f n 1,, h n 1 f ) j f j 1, j = 1,..., n 1, und h j 1 (3.54) so schreibt sich ds Gleichungssystem in der Form 2d 0 M 0 + h 0 M 1 = r 0 h 0 M 0 + 2d 1 M 1 + h 1 M 2 = r 1 h 1 M 1 + 2d 2 M 2 + h 2 M 3 = r 2 h n 3 M n 3 + 2d n 2 M n 2 + h n 2 M n 1 h n 2 M n 2.. = r n 2 + 2d n 1 M n 1 + h n 1 M n = r n 1 h n 1 M n 1 + 2d n M n = r n. Solche Gleichungssysteme heißen von Tridigonlgestlt, d die Koeffizientemtrix A nur in der Digonlen und den beiden Nebendigonlen besetzt ist: A = 2d 0 h 0 h 0 2d 1 h 1 h 1 2d 2 h h n 3 2d n 2 h n 2 h n 2 2d n 1 h n 1 h n 1 2d n R (n+1) (n+1) (3.55) Wie löst mn solche speziellen Gleichungssysteme? Wir wollen dies gleich ein bißchen llgemeiner tun und betrchten linere Gleichungssysteme der Form

74 68 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN α 1 x 1 + β 2 x 2 = y 1 γ 1 x 1 + α 2 x 2 + β 3 x 3 = y 2 γ 2 x 2 + α 2 x 3 + β 4 x 4 = y 3. γ n 3 x n 3 + α n 2 x n 2 + β n 1 x n 1.. = y n 2 γ n 2 x n 2 + α n 1 x n 1 + β n x n = y n 1 γ n 1 x n 1 + α n x n = y n (3.56) Wir werden jetzt zeigen, dß wir dieses Gleichungssystem in ein äquivlentes Gleichungssystem umformen können, ds wir dnn gnz einfch lösen können. (Dies ist eine spezielle Form des Gußschen Elimintionsverfhrens, siehe Kpitel 7.) Stz 3.8 Seien α 1,..., α n R, β 2,..., β n R und γ 1,..., γ n 1 R gegeben, wobei gelten soll: β 2 < α 1, γ j 1 + β j+1 < α j, j = 2,..., n 1, γ n 1 < α n. (3.57) Seien zusätzlich die rechten Seiten y 1,...,, y n R gegeben. Definiere rekursiv α j und ỹ j, j = 1,..., n, durch α 1 := α 1 ; ỹ 1 := y 1 ; α j := α j γ j 1 α j 1 β j, j = 2,..., n, ỹ j := y j γ j 1 α j 1 ỹ j 1, j = 2,..., n. (3.58) Dnn gilt α j 0 für lle j = 1,..., n, und die Lösungsmenge des Gleichungssystems (3.56) ist dieselbe wie die des Gleichungssystems α 1 x 1 + β 2 x 2 = ỹ 1 α 2 x 2 + β 3 x 3 = ỹ 2 α 3 x 3 + β 4 x 4 = ỹ 3. α n 2 x n 2 + β n 1 x n 1.. = ỹ n 2 α n 1 x n 1 + β n x n = ỹ n 1 α n x n = ỹ n. (3.59) Dieses Gleichungssystem ist rekursiv lösbr durch

75 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES 69 x n = ỹn α n, x j = 1 α j (ỹ j β j+1 x j+1 ); j = n 1,..., 1. (3.60) Beweis: Wir beweisen zunächst etws mehr, nämlich, dß für lle j = 1, 2,..., n 1 gilt: α j 0 und β j+1 α j < 1. (3.61) Dies beweisen wir durch vollständige Induktion nch j. Induktionsnfng: Für j = 1 ist α 1 = α 1 0 nch Vorussetzung und ebenso β 2 α 1 = β 2 α 1 < 1. (3.62) Induktionsvorussetzung: Die Behuptung sei für j 1 richtig. Induktionsschritt: Wir zeigen die Behuptung für j. Wäre α j = 0, so wäre nch Definition α j = β j γj 1 α j 1 und dher nch Induktionsvorussetzung α j < γ j 1 < α j. Dies wäre ein Widerspruch. Also ist α j 0 und weiter α j α j β j α j 1 γ j 1 > α j γ j 1 > β j+1 (3.63) Dmit ist die Behuptung bewiesen. Wir zeigen jetzt die Äquivlenz von (3.56) und (3.59). Wieder zeigen wir durch vollständige Induktion nch m, dß die folgenden beiden Gleichungssysteme dieselben Lösungsmengen besitzen: α 1 x 1 + β 2 x 2 = y 1 γ j 1 x j 1 + α j x j + β j+1 x j+1 = y j j = 2,..., m. (3.64) α 1 x 1 + β 2 x 2 = ỹ 1 γ j 1 x j 1 + α j x j + β j+1 x j+1 = ỹ j j = 2,..., m. (3.65) Hierbei setzen wir β n+1 := 0, dmit die Gleichungssysteme für m = n mit (3.56) und (3.59) übereinstimmen.

76 70 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN Induktionsnfng: Für m = 1 ist die Behuptung offensichtlich. Induktionsvorussetzung: Die Lösungsmenge der Systeme (3.64) und (3.65) stimmen für m 1 überein. Induktionsschritt: Wir zeigen, dß dnn die Lösungsmengen der Systeme (3.64) und (3.65) für m + 1 übereinstimmen. Dfür schreiben wir (3.64) m+1 und (3.65) m+1 Nch Induktionsvorussetzung ist (3.64) m+1 äquivlent zu α 1 x 1 + β 2 x 2 = ỹ 1... α m 1 x m 1 + β m x m = ỹ m 1 α m x m + β m+1 x m+1 = ỹ m γ m x m + α m+1 x m+1 + β m+2 x m+2 = y m+1 (3.66) Sei λ := γm α m. Von der letzten Gleichung können wir nun ds λ-fche der vorletzten Gleichung bziehen, ohne dß sich die Lösungsmenge ändert. (Mn mche sich ds klr!) Dnn ist ds System (3.64) m+1 äquivlent zu α 1 x 1 + β 2 x 2 = ỹ 1 α m 1 x m 1 + β m x m... = ỹ m 1 α m x m + β m+1 x m+1 = ỹ m (α m+1 λβ m+1 )x m+1 + β m+2 x m+2 = y m+1 λỹ m (3.67) Nch Definition von α m+1 und ỹ m+1 ist dies ber genu ds Gleichungssystem (3.65) m+1. Dmit ist die Äquivlenz bewiesen. Wir wollen uns dies ml für n = 3 und konstnte h = h j nsehen, lso der äquidistnten Unterteilung x j = + jh, j = 0,..., n, mit h = b. Nch Division ller Gleichungen n durch h erhlten wir mit r j := r j ds Gleichungssystem h 2M 0 + M 1 = r 0 M 0 + 4M 1 + M 2 = r 1 M 1 + 4M 2 + M 3 = r 2 M 2 + 2M 3 = r 3. (3.68) Aufgben 1. Eine Funktion f(x) werde uf dem Intervll [, b] durch ein Polynom P n (x) höchstens n-ten Grdes interpoliert, Stützstellen seien x 0,..., x n mit x 0 < x 1 <... <

77 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES 71 x n b. f sei uf [, b] beliebig oft differenzierbr und es gelte f (i) (x) M für i = 0, 1, 2,... und lle x [, b]. Konvergiert P n (x) für n (ohne weitere Vorussetzungen über die Lge der Stützstellen) gleichmäßig uf [, b] gegen f(x)? 2. Berechnen Sie für h = 0.4 und h = 0.2 den Wert J 0 (0.7) mit J 0 (x) = 1 π π 0 cos(ϕ sin(ϕ)) dϕ us der nchfolgenden Tbelle: x J 0 (x) Gegeben seien die 6 Stützpunkte (x i, y i ), i = 0,..., 6: x i y i () Bestimmen Sie ds Lgrnge-Polynom P 5 vom Grd 5 durch diese Stützpunkte und berechnen Sie P 5 (2.7). (b) Berechnen Sie P (2.7) mit dem Algorithmus von Neville. (c) Berechnen Sie P (2.7) mit der Newton-Interpoltionsformel. 4. Die Dichtefunktion y(x) = 1 2π e x2 2 für die Normlverteilung ist uszugsweise folgendermßen tbelliert: x i y i () Interpolieren Sie y(1.5) mit dem Algorithmus von Neville. (b) Bestimmen Sie ds zugehörige Interpoltionspolynom in der Newtonschen Drstellung. (c) Nehmen Sie ls weiteren tbellierten Stützpunkt (x 5, y 5 ) = (2.0, ) hinzu. Welche Konsequenzen ht dies für () und (b)?

78 72 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN 5. Gegeben sei eine Funktion f : R R sowie n + 1 äquidistnten Stützstellen x i = x 0 + ih (i = 0,..., n), x 0 R, h > 0. p n P n sei ds Interpoltionspolynom für f zu diesen Stützstellen, ds heißt, p n (x i ) = f(x i ) für i = 0,..., n. Für k = 0, 1, 2,... definieren wir Differenzenopertoren k rekursiv durch: Zeigen Sie: 0 f(x) := f(x), k+1 f(x) := k f(x + h) k f(x), x R. () Für k = 1,..., n gilt: f[x i,..., x i+k ] = 1 k f(x k!h k i ), i = 0,..., n k. (Beweis durch vollständige Induktion nch k.) (b) Mit δ := x x 0 h, ( δ k ) := 1 δ(δ 1)... (δ k + 1) gilt k! p n (x) = n k=0 (dbei ist 0! := 1 und ( δ 0) := 1 gesetzt). ( ) δ k f(x 0 ) k 6. Sei x i = x 0 + ih (x 0 R, h > 0), i = 0, 1, 2, 3, f C 4 ([x 0, x 3 ]) und p 3 P 3 ds Interpoltionspolynom mit p 3 (x i ) = f(x i ) für i = 0,..., 3. Zeigen Sie: Für lle x [x 1, x 2 ] gilt die Fehlerbschätzung: f(x) p 3 (x) h4 mx x 0 x x 3 f (4) (x). 7. Polynomile Interpoltion von e x in [0, 3]: () Berechnen Sie ds Newtonsche Interpoltionspolynom P 4 (x) für die Stützpunkte (x i, e x i ), 0 i 4 mit x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 1.5, x 3 = 2, x 4 = 3. (b) Werten Sie P 4 (x) n der Stelle x = 0 mit dem hornerähnlichen Schem us. (c) Geben Sie mit Hilfe von L(x) = 4 (x x j ) eine Abschätzung n für mx 0 x 3 ex P 4 (x). (d) Suchen Sie ds ttsächliche Mximum von e x P 4 (x) in [0, 3].

79 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES Durch x i = 2 + i für i = 0, 1,..., 4 ist eine Unterteilung des Intervlls [ 2, 2] gegeben. Bestimmen Sie denjenigen kubischen Spline B S( ), der durch folgende drei Bedingungen festgelegt wird: () B( x) = B(x), x [0, 2]. (b) B(2) = B (2) = B (2) = 0. (c) 2 2 B(x) dx = 1. Geben Sie die Funktionsterme von B für die 4 Teilintervlle n. 9. Berechnen Sie den kubische Spline S : [0, 8] R durch die Stützpunkte (0, 3), (2, 5), (4, 9), (6, 7), (8, 5) mit den (ntürlichen) Rndbedingungen S (0) = S (8) = Progrmmieren Sie ds in Abschnitt 3.2 beschriebene Verfhren zur Berechnung kubischer interpolierender Splines. Ds Progrmm soll zu eingegebenen Stützpunkten (x i, f i ), i = 0,..., n, sowie zwei vorgegebenen Zhlen (Ableitungen) f 0, f n lle Koeffizienten β i, γ i und δ i (i = 0,..., n 1) des kubischen Splines S : [x 0, x n ] R mit den Rndbedingungen S (x 0 ) = f 0 und S (x n ) = f n usgeben. Außerdem soll es für eingegebenes x [x 0, x n ] den Wert S(x) berechnen. Testen Sie Ihr Progrmm n den Beispielen: () f(x) = sin(x), x [ ] 0, π 2, mit xi = i π für i = 0,..., 4; 8 (b) f(x) = 1, x [ 5, 5], mit x 1+x 2 i = 5 + i für i = 0,..., 10. Zeichnen Sie jeweils die Funktionen und ihre interpolierenden Splines. 11. () Sei x 0 R, x 1 = x 0 + h, h > 0, f C 2 ([x 0, x 1 ]), ε > 0 und y 0, y 1 R mit y i f(x i ) ε für i = 0, 1 gegeben. Schätzen Sie den Interpoltionsfehler f(x) p 1 (x) für ds linere Interpoltionspolynom p 1 durch (x 0, y 0 ) und (x 1, y 1 ) mit Hilfe von ε, h und f für x [x 0, x 1 ] b. (b) Der dekdische Logrithmus f(x) = log 10 (x) sei uf 6 Nchkommstellen genu (ds heißt, mit einem Abbrechfehler ε mit ε ) in Argumentschritten der Länge 10 3 tbelliert. Von welchem Tbellenwert n knn mn sicher sein, dß der Interpoltionsfehler bei linerer Interpoltion mit dieser Tbelle noch immer kleiner ls 10 6 bleibt. 12. () Sei f(x) = cos(x). Für jedes n N seien n+1 prweise verschiedene Stützstellen x (n) 0,..., x (n) n im Intervll [ ] 0, π 2 gegeben, und pn P n sei ( jeweils ) ds ( Interpoltionspolynom für f zu diesen Stützstellen, ds heißt, p n x (n) = ) f j x (n) j

80 74 KAPITEL 3. INTERPOLATIONSAUFGABEN für j = 0,..., n. Zeigen Sie: Die Folge (p n ) n konvergiert gleichmäßig uf dem Intervll [ ] 0, π 2 gegen f, ds heißt, es gilt lim f p n = 0. n (b) Betrchten Sie nun llgemein eine Funktion f : [, b] R nsttt des Cosinus. Unter welchen Vorussetzungen n f gilt eine nloge Aussge wie in Teil ()? Formulieren und beweisen Sie einen entsprechenden Konvergenzstz. 13. S 1 ( ) sei der Rum der lineren Splines zu einer Unterteilung : = x 0 < x 1... < x n = b des Intervlls [, b]. () Zeigen Sie, dß sich jeder linere Spline S S 1 ( ) in eindeutiger Weise drstellen läßt ls und n 1 S(x) = S(x 0 ) + S (x 0 )(x x 0 ) + (S (x i +) S (x i )) (x x i ) + (x x i ) + := i=1 { (x xi ) für x x i 0 für x < x i, i = 1,..., n 1. Wie luten die Elemente der bei dieser Drstellung verwendeten Bsis von S 1 ( )? (b) Gegeben seien für i = 0,..., n 2 die Hutfunktionen x x i x i+1 x i für x [x i, x i+1 ) x B i (x) := i+2 x x i+2 x i+1 für x [x i+1, x i+2 ) 0 sonst sowie B 1 (x) := { x1 x x 1 x 0 für x [x 0, x 1 ) 0 sonst B n 1 (x) := { x xn 1 x n x n 1 für x [x n 1, x n ) 0 sonst

81 3.2. INTERPOLATION DURCH SPLINES 75 Zeigen Sie: Auch diese Funktionen B 1,..., B n 1 bilden eine (viel schönere) Bsis von S 1 ( ). Wie lutet in diesem Fll die eindeutige Bsisdrstellung für ein gegebenes S S 1 ( )?

82 Kpitel 4 Drstellung von Kurven in der Ebene 4.1 Grundbegriffe Ds Them dieses Kpitels ist eng verknüpft mit der Theorie der Splines. Dieses Gebiet ist im Gegenstz zu den nderen bisher behndelten Themen (wie die Nmen Lgrnge, Newton schon usdrücken) noch nicht lt, sondern sogr in einer stürmischen Entwicklung begriffen. In der Konstruktion von technischen oder ästetischen Gegenständen greift mn immer mehr uf die Drstellung des Gegenstndes uf dem Computer zurück. Es ist ntürlich billiger, sich den Trgflügel vorher in einer dreidimensionlen Drstellung im Computer nzusehen, ls ein ufwendiges Modell zu buen. Der Designer ht eine Vorstellung dvon, wie die Fläche oder Kurve etw ussehen soll. Gewisse Koeffizienten knn er ändern, um die Figur seinen Vorstellungen nzupssen. Dher ist es wichtig, Kurven und Flächen im Rum schnell zeichnen und mnipulieren zu können. Ntürlich sollten die Veränderungen der Koeffizienten die Figur uf vorhersehbre Weise verändern. Wir werden uns in diesem Abschnitt uf die Drstellung von Kurven in der Ebene R 2 beschränken. Definition 4.1 (Kurve im R 2 ) () Eine Kurve ist eine stetige Funktion x : R [, b] R 2. Die Kurve heißt gltt, wenn beide Komponenten x 1 und x 2 stetig differenzierbr sind. [, b] heißt ds Prmeterintervll. x = (x 1, x 2 ) die Prmetrisierung und t der Prmeter. (b) Eine Funktion x : R R 2 heißt polynomile Kurve vom Grd n, wenn sie sich in der Form x(t) = 0 + t 1 + t t n n, t R, (4.1) 76

83 4.1. GRUNDBEGRIFFE 77 mit vektorwertigen Koeffizienten j R 2 für j = 0,..., n, geschrieben werden knn. Ausführlich usgeschrieben heißt dies: x 1 (t) = n j,1 t j und x 2 (t) = n j,2 t j. (4.2) Den Rum der polynomilen Kurven vom Grd n bezeichnen wir mit P 2 n. Wir sollten uns t immer ls Zeit vorstellen: Wir durchlufen die Kurve (d.h. ds Bild der Kurve) und sind zur Zeit t m Ort x (t). Beispiel 4.1 ( ) () x(t) = cos(t), t [0, 2π], beschreibt den Einheitskreis um (0, 0) in der sin(t) Ebene. (b) Jede Funktion x 2 = g(x 1 ), x 1 ) [, b], läßt sich ls Kurve in der Ebene uffssen mittels x (t) =, t [, b]. Umgekehrt läßt sich jedoch ( t g(t) nicht jede Kurve in die Form x 2 = g(x 1 ) bringen, wie ds Beispiel () des Kreises zeigt. (c) x(t) = ( t 2 t 3 ) für t [ 1, 1]. Obwohl die Komponenten gnz gltte Funktionen sind, ht ds Bild {x (t) : t [ 1, 1]} der Kurve eine unngenehme Spitze. Mn zeichnet eigentlich immer nur ds Bild der Kurve, d.h. die Menge {x (t) : t [, b]} R 2 und mrkiert vielleicht mnchml die Punkte dieses Bildes für gewisse Prmeter t. Oft bezeichnet mn uch ds Bild {x (t) : t [, b]} selbst ls Kurve. Für jede gltte Kurve x : [, b] R 2 und jeden Punkt knn mn den Ableitungsvektor x (t) = ( x 1 (t) x 2 (t) ) R 2 bilden. Anschulich beschreibt dieser Vektor die Richtung der Tngente n die Kurve im Punkt x (t). Dher heißt x (t) der Tngentenvektor n der Stelle t (oder besser x (t)). Die obige Drstellung einer polynomilen Kurve ist äußerst unprktisch. Nur 0 und 1 hben eine unmittelbre geometrische Bedeutung: 0 liegt uf der Kurve für t = 0, und 1 ist ein Tngentenvektor n die Kurve in t = 0. Besser sind die Drstellungen ls Interpoltionspolynome in der Lgrngedrstellung x (t) = n L j (t)z j, t R, (4.3) wobei z j R 2, j = 0,..., n, Punkte der Ebene sind und L j die Lgrnge-Bsispolynome vom letzten Kpitel. Dnn verläuft die Kurve durch die Punkte z j, oszilliert ber im

84 78 KAPITEL 4. DARSTELLUNG VON KURVEN IN DER EBENE llgemeinen sehr strk zwischen den Punkten, wie wir schon gesehen hben. Wir sollten lso polynomile Kurven niedrigen Grdes neinnderstückeln, ähnlich wie bei Splines. Dfür wiederum sind weder Lgrnge- und Newtondrstellung gut geeignet. Eine Möglichkeit wäre es, kubische Splines zu nehmen. Seien lso Punkte z 0, z 1,..., z n R 2 gegeben (prweise verschieden). Wie legen wir durch diese Punkte eine (vektorielle) Splinefunktion S? Zunächst verschffen wir uns Knoten uf der Prmetergerden R, etw durch t 0 = 0, t j := t j 1 + z j z j 1 2, j = 1,..., n. Je dichter lso die Punkte z j liegen, desto dichter liegen uch die Knoten t j. Nun bestimmen wir die interpolierenden kubischen Splinefunktionen S 1, S 2 S( ) durch die Punkte (t j, z j,1 ), j = 0,..., n, sowie die Rndbedingungen S 1(0) = z 1,1 z 0,1 und S 1(t(n)) = z n,1 z n 1,1 bzw. durch die Punkte (t j, z j,2 ), j = 0,..., n, sowie den Rndbedingungen S 2(0) = z 1,2 z 0,2 und S 2(t(n)) = z n,2 z n 1,2. Zwischen den Punkten ist der Spline dnn eindeutig festgelegt. Ds folgende Beispiel ist us [Sc88]: Abbildung 4.1: Drstellung zweier Kurven durch Splines Für nschuliche Zwecke ist die zweimlige Differenzierbrkeit oft gr nicht erforderlich, die einmlige Differenzierbrkeit reicht. Dfür möchte mn lieber noch Freiheitsgrde hben, um die Kurve uszubiegen oder einzubeulen. Dies wird in elegnter Weise durch die im folgenden Abschnitt beschriebenen Bézierkurven erreicht. 4.2 Bernsteinpolynome und Bézier-Drstellung Zunächst können wir uns mit der Vriblentrnsformtion [0, 1] [, b], t + t(b ) (4.4) uf ds Intervll [0,1] zurückziehen. Die Kurven x : [, b] R 2 und y : [0, 1] R 2, definiert durch y(t) := x ( + t(b )), t [0, 1], sind zwr verschieden, besitzen ber denselben Wertebereich: x ([, b]) = y([0, 1]). Wir nehmen lso b jetzt immer ds Pr-

85 4.2. BERNSTEINPOLYNOME UND BÉZIER-DARSTELLUNG 79 meterintervll [0, 1] n. Nch der binomischen Formel ist n ( ) n 1 = ((1 t) + t) n = (1 t) n j t j, wobei j ( ) n = j n! j!(n j)! (4.5) die Binomilkoeffizienten sind. Die Summnden in dieser Zerlegung der Einsfunktion sind lles Polynome vom Grd n und heißen Bernsteinpolynome, lso: Definition 4.2 (Bernsteinpolynome) Ds j-te Bernsteinpolynom vom Grd n ist definiert durch ( ) n Bj n (t) := (1 t) n j t j, wobei j = 0,..., n. j (4.6) Beispiel 4.2 Die Bernsteinpolynome vom Grd 0, 1, 2 und 3 sehen so us: B0(t) 0 = 1 B0(t) 1 = 1 t B1(t) 1 = t B0(t) 2 = (1 t) 2 B1(t) 2 = 2(1 t)t B2(t) 2 = t 2 B0(t) 3 = (1 t) 3 B1(t) 3 = 3(1 t) 2 t B2(t) 3 = (1 t)t 2 B3(t) 3 = t 3 Die wichtigsten Eigenschften der Bernsteinpolynome sind im folgenden Stz zusmmengefßt: Stz 4.1 () t = 0 ist j-fche Nullstelle von B n j. (b) t = 1 ist (n j)-fche Nullstelle von B n j. (c) Die Bernsteinpolynome sind uf [0, 1] nicht negtiv und bilden eine Zerlegung der Eins, d.h. B n j (t) 0 für t [0, 1] und n Bj n (t) = 1 für t R. (4.7) (d) B n j ht im Intervll [0, 1] genu ein Mximum, und zwr bei t = j n.

86 80 KAPITEL 4. DARSTELLUNG VON KURVEN IN DER EBENE Beweis: (e) Die Bernsteinpolynome genügen der Rekursionsformel Bj n (t) = tb n 1 j 1 (t) + (1 t)bn 1 j (t) für j = 0, 1, 2,..., n und t R, (4.8) wobei hier B 1 n 1 (t) = Bn n 1 (t) = 0 gesetzt wurde. (f) Die Bernsteinpolynome {B0 n,..., Bn} n bilden eine Bsis des Polynomrumes P n. (g) Die Ableitungen der Bernsteinpolynome sind gegeben durch d dt Bn j (t) = wobei wieder B n 1 1 () - (d) sind elementr. n [ B n 1 j 1 nb n 1 0 (t) : j = 0, (t) Bn 1 j (t) ] : j = 1,..., n 1, nbn 1(t) n 1 : j = n, (t) = B n 1 (t) = 0 gesetzt wurde. n zu (e): Dfür benutzen wir die folgende Formel für Binomilkoeffizienten: ( ) n + j 1 ( ) n = j ( n + 1 j (4.9) ), (4.10) die mn leicht nchprüft. Sei zunächst j {1,..., n 1}. Dnn ist tb n 1 j 1 (t) + (1 t)bn 1 j (t) = = ( ) n 1 (1 t) n j t j + j 1 ( ) n (1 t) n j t j = Bj n (t). j ( n 1 j ) (1 t) n j t j (4.11) Für j = n ist B n n = t n = tb n 1 n 1, und für j = 0 geht es genuso. zu (f): D wir schon wissen, dß der Polynomrum P n die Dimension n + 1 besitzt, bruchen wir nur die linere Unbhängigkeit der {B n 0,..., B n n} zu zeigen. Dies folgt us Stz 4.2 weiter unten. zu (g): Sei n 2, j {1,..., n 1}. Dnn ist mit der Produktregel d dt Bn j (t) = ( ) n [j(1 t) n j t j 1 (n j)(1 t) n j 1 t j]. j (4.12)

87 4.2. BERNSTEINPOLYNOME UND BÉZIER-DARSTELLUNG 81 Aus der einfchen Formel ( ) n = n j j ( ) n 1 = n j 1 n j ( ) n 1 j (4.13) erkennen wir die Behuptung. Aus (g) folgt sofort, dß d dt Bn j (0) = n : j = 0 n : j = 1 0 : j 2 und d dt Bn j (1) = 0 : j n 2 n : j = n 1 n : j = n (4.14) Die Aussge (f) des Stzes besgt, dß wir jede polynomile Kurve x P 2 n in eindeutiger Weise drstellen können in der Form x (t) = n Bj n (t)b j, t [0, 1], (4.15) mit vektorwertigen Koeffizienten b j R 2 j = 0,..., n. Polynomile Kurven in dieser Drstellung heißen Bézierkurven. Welche geometrische Bedeutung hben die Koeffizienten b j R 2? Sehen wir uns zunächst ein Beispiel für n = 3 n ([We92], Seite 199): b 1 b b b b 3 b b 0. b 3 Abbildung 4.2: Beispiel Bézierkurve Wegen x (0) = b 0 und x (1) = b 3 geht ds kubische Polynom jedenflls durch die Punkte b 0 und b 3. Ws ist mit den nderen Punkte b 1 und b 2? Dzu zeigen wir zwei weitere grundlegende Eigenschften von Bézierkurven. Wir erinnern n folgende Definition: Definition 4.3 (konvexe Menge) Eine Menge A R N heißt konvex, wenn mit je zwei beliebigen Punkte x, y A uch deren Verbindungsstrecke gnz in A liegt, d.h. [x, y] := {λx + (1 λ)y : 0 λ 1} A für lle x, y A. (4.16)

88 82 KAPITEL 4. DARSTELLUNG VON KURVEN IN DER EBENE Die konvexe Hülle co(a) einer Menge A R N ist die kleinste konvexe Menge, die A enthält, d.h. co(a) ist konvex und Ist B R N konvex mit A B, so ist uch co(a) B. Wir können co(a) expliziter beschreiben: Lemm 4.1 () Sei B konvex, b j B, λ j 0 für j = 0,..., k, und uch die Konvexkombintion k λ j b j B. (b) Sei A R N. Dnn ist die konvexe Hülle gegeben durch { k co(a) = λ j j : j A, λ j 0 für lle j und k λ j = 1. Dnn ist } k λ j = 1, k N. (4.17) (c) Ist A = { j : j = 0,..., n}, so ist { k co( 0,..., n ) = λ j j : λ j 0 für lle j und } k λ j = 1. (4.18) Beweis: () Dies wird durch vollständige Induktion nch k bewiesen. Für k = 0 ist die Aussge offensichtlich. Sei sie nun für ein k richtig. Sei jetzt λ j 0, j = 0,..., k + 1, mit k+1 λ j = 1, sowie b j B. Dnn betrchten wir die Zerlegung k+1 λ j b j = µ k (wegen 1 µ = λ k+1 ). Wegen λ j µ b j + (1 µ)b k+1 mit µ := k λ j µ k λ j (4.19) = 1 können wir die Induktionsvorussetzung benutzen. Dher liegt die Summe uf der rechten Seite in B und ebenflls ntürlich in b k+1 B. Dher liegt uch diese Konvexkombintion in B, und wir hben die Behuptung bewiesen.

89 4.2. BERNSTEINPOLYNOME UND BÉZIER-DARSTELLUNG 83 (b) Die Menge uf der rechten Seite heiße R. Dnn ist R konvex: Seien k λ j j R und l µ j b j R sowie ρ [0, 1]. Dnn ist ρ k λ j j + (1 ρ) l µ j b j = k+l+1 δ j c j mit { c j = j : j = 0,..., k b j k 1 : j = k + 1,..., k + l + 1 (4.20) und { ρλ δ j = j : j = 0,..., k (1 ρ)µ j k 1 : j = k + 1,..., k + l + 1 (4.21) Wegen c j A und k+l+1 δ j = ρ k λ j + (1 ρ) l µ j = ρ + (1 ρ) = 1 ist uch die Konvexkombintion in R. Sei nun B konvex und A B. Aus Teil () folgt direkt R B. (c) geht genuso, sogr noch einfcher! Nch diesen Vorbereitungen können wir zeigen: Stz 4.2 Seien b 0, b 1,..., b n R 2 gegeben und x(t) = n Bj n (t)b j, t [0, 1], (4.22) die zugehörige Bézierkurve. Dnn gilt: () Ds Bild {x(t) : t [0, 1]} der Bézierkurve liegt in der konvexen Hülle co(b 0,..., b n ). (b) Die r-te Ableitung von x ist gegeben durch x (r) (t) = n! n r B n r j (t) r b j, t [0, 1], (n r)! (4.23) wobei die Vorwärts-Differenzen r b j rekursiv definiert sind durch 0 b j = b j, r b j = r 1 b j+1 r 1 b j für r = 1, 2,... (4.24)

90 84 KAPITEL 4. DARSTELLUNG VON KURVEN IN DER EBENE Beweis: () Wegen Bj n (t) 0 und n Bj n (t) = 1 ist die Behuptung klr. (b) Dies zeigen wir durch vollständige Induktion nch r. Für r = 0 ist die Aussge offenbr richtig. Sei die Drstellung schon für die (r 1)-te Ableitung bewiesen. Dnn folgt mit Stz 4.1: x (r) (t) = n r+1 n! (n r + 1)! d dt Bn r+1 j (t) r 1 b j = = n r+1 n! (n r + 1)! (n r + 1) [ n! n r (n r)! ( B n r j 1 n r B n r j (t) r 1 b j+1 (t) Bn r j (t) ) r 1 b j B n r j (t) r 1 b j ] (4.25) = n! n r B n r j (t) r b j. (n r)! Folgerung: Für die Rndpunkte t = 0, 1 erhält mn die Werte x (r) (0) = n! (n r)! r b 0 und x (r) (1) = lso speziell bis zur zweiten Ableitung: () x (0) = b 0 und x (1) = b n, (b) x (0) = n(b 1 b 0 ) und x (1) = n(b n b n 1 ), Beispiel 4.3 n! (n r)! r b n r, (4.26) (c) x (0) = n(n 1)(b 2 2b 1 +b 0 ) und x (1) = n(n 1)(b n 2b n 1 +b n 2 ). Für n = 3 sind die Tngentilvektoren in den Punkten x (0) und x (1) lso bis uf den Fktor n = 3 durch b 1 b 0 und b 3 b 2 gegeben. Wir können die Bézierkurve n einer Stelle t [0, 1] sehr effektiv berechnen gnz nlog zum Algorithmus von Neville und Aitken:

91 4.2. BERNSTEINPOLYNOME UND BÉZIER-DARSTELLUNG 85 Stz 4.3 (Algorithmus von de Cstelju) Seien b 0,..., b n R 2 und t [0, 1] gegeben. Wir berechnen die Vektoren b r j(t), j = 0,..., n r, r = 0,..., n, durch Beweis: Für j = 0,..., n setze: Für r = 1,..., n und j = 0,..., n r setze: Dnn gilt für jedes r = 0,..., n: b 0 j(t) := b j (4.27) b r j(t) := (1 t)b r 1 j (t) + tb r 1 j+1(t) (4.28) n r x(t) = B n r j (t)b r j(t) (4.29) Für j = m folgt speziell x(t) = b n 0(t). Wiederum beweisen wir den Stz durch vollständige Induktion nch r. Für r = 0 ist die Aussge offenbr richtig. Sei sie nun richtig für r. Wir schließen nun weiter mit den Rekursionsformeln, zunächst für B n r j, dnn für b r j: n r x (t) = B n r j (t)b r j(t) n r = t n r 1 = t n r j 1 (t)b r j(t) + (1 t) B n r 1 j (t)b r j(t) B n r 1 n r 1 B n r 1 j (t)b r j+1(t) + (1 t) B n r 1 j (t)b r j(t) (4.30) = n (r+1) B n (r+1) j (t)b r+1 j (t) Dmit ist die Aussge für r + 1 bewiesen.

92 86 KAPITEL 4. DARSTELLUNG VON KURVEN IN DER EBENE Wir bruchen ntürlich nicht lle b j zu speichern. Ds Computerporgrmm sieht etw so us: Für j = 0,..., n setze: c j := b j Für r = 1,..., n setze: Für j = 0,..., n r setze c j := (1 t)c j + tc j+1 Dnn ist x (t) = c 0. Bemerkung 4.1 Zwei wichtige Resultte wollen wir noch ngeben, den der Grdnhebung und den Subdivisionslgorithmus. () Sind Bézierpunkte b 0,..., b n R 2 gegeben und ist k > n, so knn mn Punkte c 0,..., c k R 2 ngeben, so dß die Bézierkurven n-ten Grdes und k-ten Grdes übereinstimmen, d.h. n Bj n (t)b j = k Bj k (t)c j für t [0, 1]. (4.31) (b) Teilt mn die Bézierkruve x vom Grd n in zwei Stücke, etw ls Einschränkungen uf [0, 0.5] und [0.5, 1], so können die Teilkurven wieder ls Bézierkurve x vom Grd n geschrieben werden. Die Punkte werden durch den Algorithmus von de Cstelju gegeben. Mn stelle m Beispiel n = 3 ein Vermutung uf, welches die Punkte für x [0,0.5] und x [0.5,1] wohl sind. Nun kommen wir zum gltten Aneinndersetzen von zwei Bézierkurven. Seien lso x 1 (t) = n Bj n (t)b j und x 2 (t) = n Bj n (t)c j, t [0, 1], (4.32) zwei Bézierkurven. Dmit wir sie stetig neinndersetzen können, setzen wir b n = c 0 vorus. Sei ˆt (0, 1) festgehlten. Wir definieren die Kurve x : [0, 1] R 2 durch { ( x ṱ 1 x (t) := ( t) ) t ˆt x 2 1 ˆt : 0 t ˆt : ˆt t 1. (4.33) Dnn ist x stetig, denn x (ˆt ) = x 1 (1) = b n = c 0 = x 2 (0) = x (ˆt+). Für die Ableitungen ist nch Stz 4.2: x (r) (ˆt ) = 1ˆt r x (r) 1 (1) = n! (n r)!ˆt r r b n r (4.34)

93 4.2. BERNSTEINPOLYNOME UND BÉZIER-DARSTELLUNG 87 und x (r) (ˆt+) = 1 (1 ˆt) r x (r) 2 (0) = Dher ist die Kurve stetig differenzierbr, wenn n! (n r)!(1 ˆt) r r c 0 (4.35) 1 ˆt 1 b n 1 = 2 1 ˆt 1 c 0, d.h. b n b n 1 = ˆt 1 ˆt (c 1 c 0 ). (4.36) Mn bechte ber: Ist b n 1 = b n = c 0 = c 1, so knn die Kurve trotzdem eine Spitze hben, ist lso nicht gltt im nschulichen Sinn. Wir müssen dher b n 1 b n und c 0 c 1 vorussetzen. Ist (4.36) erfüllt, so ist die Kurve zweiml stetig differenzierbr, wenn d.h. 1 ˆt 2 2 b n 2 = 1 (1 ˆt) 2 2 c 0, (4.37) ( ) 2 ˆt b n 2 2b n 1 + b n = (c 2 2c 1 + c 0 ). (4.38) 1 ˆt Beispiel 4.4 Sei ˆt = 1 2. Gegeben seien die Bézierpunkte b 0,..., b n einer ersten Bézierkurve x 1. Obige Formeln zeigen, wie die ersten Punkte einer nzuhängenden zweiten Bézierkurve zu wählen sind. Für die Stetigkeit benötigt mn c 0 = b n. Für die Differenzierbrkeit benötigt mn b n b n 1 = c 1 c 0, lso c 1 = 2b n b n 1, und für die zweimlige Stetigkeit zusätzlich noch b n 2 2b n 1 + b n = c 2 2c 1 + c 0, lso c 2 = b n 2 + 4(b n b n 1 ). Die folgenden Bilder zeigen zwei zusmmengesetzte Bézierkurven für n = 3 ([We92], Seite 208), links zweiml-, rechts einml stetig differenzierbr. b 0 b b b 1 2 b 0 b b b 1 2 b 0 2 b 0 3 b 1 1 b 0 2 b 0 3 b 1 1 Abbildung 4.3: Beispiel zusmmengesetzte Bézierkurven

94 88 KAPITEL 4. DARSTELLUNG VON KURVEN IN DER EBENE Aufgben

95 Kpitel 5 Numerische Integrtion 5.1 Grundbegriffe Ds Ziel dieses Kpitels ist es, Integrle der Form f(x) dx numerisch zu berechnen. Hierbei sei f : [, b] R eine wenigstens stetige Funktion, so dß ds Integrl im eigentlichen Sinn Riemnn-integrierbr ist. Viele interessnte Funktionen, wie etw f(x) = exp( x 2 ) besitzen keine Stmmfunktion, so dß sich die Integrle nicht über den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung usrechnen lssen. Mn ist in diesen Fällen meistens uf numerische Verfhren ngewiesen. Als Beispiel für ein solches Verfhren kennen Sie schon die Riemnnsummen: f(x) dx n f(z j )(x j x j 1 ), (5.1) j=1 wobei = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b wieder eine Unterteilung des Intervlls [, b] und z j [x j 1, x j ) ist. Wie wir beim Beispiel gnz m Anfng dieses Buches gesehen hben, stellen diese Riemnnsummen keine besonders guten Approximtionen n ds Integrl dr. Wir setzen die Abkürzung I(f) = f(x) dx (5.2) für stetige Funktionen f. In diesem Kpitel befssen wir uns mit Näherungsformeln ( Qudrturformeln ) vom Typ Q n (f) := n w j f(x j ) (5.3) 89

96 90 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION wobei = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b eine Unterteilung des Intervlls [, b] ist. Wir nennen x j die Knoten und w j die Gewichte der Qudrturformel. Wir bechten, dß die Knoten und Gewichte ntürlich i.. von n bhängen: Wenn wir feiner unterteilen, ändern sich Knoten und Gewichte. Wir untersuchen in diesem Kpitel die Frge, wie die Knoten und Gewichte gewählt werden müssen, dmit möglichst gute Qudrturformeln heruskommen. Die Frge der Güte einer Qudrturformel wird zunächst drn gemessen, wie sie uf Polynome wirken. Zwei Klssen von Verfhren werden wir untersuchen: Newton-Cotes-Formeln: Hier werden die Knoten äquidistnt ngenommen: x j = +j b, j = 0,..., n. Die n+1 Gewichte w n j werden nun so bestimmt, dß Polynome bis zum Grd n exkt integriert werden, d.h. dß gilt: I(p) = Q n (p) für lle p P n. (5.4) Für große Werte von n hben diese Formeln Nchteile, so dß wir ds Intervll [, b] in kleinere Intervlle ufteilen, und in jedem Teilintervll einfche Qudrturformeln (d.h. solche mit kleinem n) wählen. Guß-Formeln: Hier werden die insgesmt 2n + 2 Knoten und Gewichte so bestimmt, dß Polynome bis zum Grd 2n + 1 exkt integriert werden, d.h. dß gilt: I(p) = Q n (p) für lle p P 2n+1. (5.5) Für ds Folgende benötigen wir die Tylorformel und den Mittelwertstz der Integrlrechnung: Stz 5.1 (Tylorformel) Sei f C m [, b]. Dnn gilt für x [, b]: f(x) = m 1 j! f (j) ()(x ) j + r m (x) (5.6) mit x r m (x) := 1 f (m+1) (t)(x t) m dt. m! (5.7) Beweis: durch vollständige Induktion nch m. Für m = 0 ist die rechte Seite gerde x f() + r 0 (x) = f() + f (t) dt = f(x) nch dem Huptstz der Differentil-

97 5.1. GRUNDBEGRIFFE 91 und Integrlrechnung. Sei die Formel nun für m schon bewiesen, und sei f C m+1 [, b]. Dnn gilt schon f(x) = m 1 j! f (j) ()(x ) j + r m (x), (5.8) und wir müssen die Formel für m + 1 sttt m zeigen. Dzu formen wir ds Restglied r m mit prtieller Integrtion um: r m (x) = 1 m! = x f (m+1) (t) (x t) m dt } {{ } } {{ } =h(t) =g (t) 1 (x t) m+1 f (m+1) (t) x t=x m!(m + 1) + t= f (m+2) (t)(x t) m+1 dt (5.9) = 1 (m + 1)! (x )m+1 f (m+1) () + r m+1 (x) Setzt mn diesen Ausdruck in (5.8) ein, so folgt die Gleichung für m + 1. Stz 5.2 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Seien f, g C[, b], und sei g(x) 0 für lle x [, b] oder g(x) 0 für lle x [, b], d.h. g wechsele nicht ihr Vorzeichen in [, b]. Dnn existiert ein ẑ [, b] mit f(x)g(x) dx = f(ẑ) g(x) dx (5.10) Beweis: Setze ψ(z) := f(x)g(x) dx f(z) g(x) dx = [f(x) f(z)]g(x) dx (5.11) für z [, b]. Dnn ist ψ stetig. Seien z 1 und z 2 Miniml- bzw. Mximlstellen von f, d.h. f(z 1 ) = min f(x) und f(z 2) = mx f(x) (weshlb existieren x b x b

98 92 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION sie?). Sei nun z.b. g 0. Dnn ist offenbr ψ(z 1 ) 0 und ψ(z 2 ) 0, d der Integrnd größer bzw. kleiner Null ist. Der Zwischenwertstz, ngewndt uf ψ, liefert die Existenz eines ẑ zwischen z 1 und z 2 mit ψ(ẑ) = 0. Dies ist die Behuptung. Nun können wir eine wichtige Fehlerdrstellung beweisen. Stz 5.3 (von Peno) Die Qudrturformel Q n (f) = n w j f(x j ) für ds Integrl I(f) = f(x) dx sei exkt für lle Polynome vom Grd m, d.h. I(p) = Q n (p) für lle p P m. Dnn gilt für lle f C m+1 [, b] die Drstellung I(f) Q n (f) = f (m+1) (t)k m (t) dt (5.12) mit dem Penokern K m (t) = 1 m! Hierbei ist (x t) m + dx n w j (x j t) m +. (5.13) (x t) m + := { (x t) m : x t 0 0 : x t < 0 (5.14) Beweis: Wir benutzen die Tylorformel von Stz 5.1 und nutzen us, dß ds Tylorpolynom, d.h. die Summe (5.8), exkt integriert wird. Dnn erhlten wir I(f) Q n (f) = I(r m ) Q n (r m ) = 1 m! n w j (x t) m +f (m+1) (t) dt dx (x j t) m +f (m+1) (t) dt (5.15)

99 5.1. GRUNDBEGRIFFE 93 = 1 m! f (m+1) (t) (x t) m + dx n w j (x j t) m + dt Hier hben wir usgenutzt, dß wir beim Doppelintegrl die Reihenfolge der beiden Integrtionen (nch x und nch t) vertuschen dürfen (Stz von Fubini). Dies beweist die Formel. Wir bechten, dß der Penokern K m nicht von der zu integrierenden Funktion f bhängt, sondern nur von den Knoten und den Gewichten der Qudrturformel. Folgerung: Es seien die Vorussetzungen des letzten Stzes erfüllt. () Es gilt die Abschätzung I(f) Q n (f) mx f (m+1) (x) x b K m (t) dt. (5.16) (b) Wechselt K m ds Vorzeichen nicht uf [, b], so existiert ein von f bhängiges z [, b] mit I(f) Q n (f) = f (m+1) (z) (m + 1)! [ I ( x m+1 ) Q n ( x m+1 )] (5.17) Bemerkung 5.1 Beweis: Hier hben wir eine etws schlmpige, ber llgemein übliche Nottion benutzt. Mit dem Ausdruck I (x m+1 ) (und nlog für Q n (x m+1 )) meinen wir eigentlich I(x x m+1 ). Die Funktion wird j mit (x x m+1 ) bezeichnet, und x m+1 ist nur eine Zhl (der Funktionswert). Der erste Teil folgt sofort us dem Stz von Peno. Für Teil (b) wenden wir den Mittelwertstz 5.2 uf ds Integrl mit f und K m sowie mit x m+1 und K m n und erhlten die Existenz von z [, b] mit (d dm+1 dx m+1 x m+1 = (m+1)!): I(f) Q n (f) = f (m+1) (z 1 ) K m (t) dt, (5.18)

100 94 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION I ( x m+1) ( Q ) n x m+1 = (m + 1)! K m (t) dt. (5.19) Elimintion von K m (t) dt liefert die Behuptung. Beispiel 5.1 () Die Qudrturformel sei gegeben durch die einfche Rechteckregel, d.h. Q(f) = (b )f(). Hier ist lso n = 0, x 0 = und w 0 = b. Es ist offenbr I(p) = Q(p) für lle konstnten Funktionen, lso für lle p P 0. Es ist lso m = 0. Wir rechnen us: K 0 (t) = (x t) 0 + dx (b )( t) 0 + = 1 dx = b t 0 (5.20) t und I(x 1 ) Q(x 1 ) = x dx (b ) (5.21) Dher hben wir nch der Folgerung: = 1 2 (b2 2 ) (b ) = 1 2 (b )2. I(f) Q(f) = 1 2 (b )2 f (z) für ein z [, b]. (5.22) (b) Jetzt betrchten wir die Trpezregel, d.h. Q(f) = b (f() + f(b)). Hier 2 ist n = 1, x 0 =, x 1 = b, w 0 = w 1 = b. Es ist 2 K 1 (t) = = t (x t) + dx b 2 (( t) + + (b t) + ) (x t) dx b 2 (b t) = 1 2 (b t)2 1 (b )(b t) 2 (5.23)

101 5.1. GRUNDBEGRIFFE 95 = 1 (b t)( t) 0. 2 Die Vorussetzung der Folgerung ist wieder erfüllt. Weiter rechnen wir us: I(x 2 ) Q(x 2 ) = Dmit erhlten wir x 2 dx b 2 (2 + b 2 ) = 1 6 (b )3. (5.24) I(f) Q(f) = 1 12 (b )3 f (z) für ein z [, b]. (5.25) Wir wollen uns jetzt eine systemtische Methode zur Konstruktion von Qudrturformeln überlegen. Denkt mn n ds Kpitel 3 über Interpoltionsufgben zurück, so ist es doch nheliegend, dß mn sttt der zu integrierenden Funktion f ihr Interpoltionspolynom p f integriert. Dieses liefert eine Qudrturformel von dem hier betrchteten Typ: Stz 5.4 Es seien Knoten x 0 < x 1 < < x n b und eine Funktion f C[, b] gegeben. Es bezeichne p f P n ds Interpoltionspolynom p f (x j ) = f(x j ) für j = 0,..., n. Setze Q n (f) := p f (x) dx. Dnn gilt: () Q n (f) = n w j f(x j ) mit w j = L j (x) dx, (5.26) Beweis: wobei L j (x) = n i=0 i j x x i x j x i, j = 0,..., n, die Lgrngepolynome sind. Q n (f) ht lso die von uns gewünschte Form. (b) Es ist I(p) = Q n (p) für lle p P n, d.h. diese Qudrturformel ist exkt für lle Polynome vom Grd n. () Es ist p f (x) = n f(x j )L j (x), lso dies beweist schon Teil (). p f (x) dx = n (b) Wegen f P n gilt p f = f. Dmit ist lles bewiesen. f(x j ) L j (x) dx, und

102 96 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION 5.2 Die Newton-Cotes-Formeln Bei diesen Formeln werden die Knoten äquidistnt ngenommen, lso x j := + jh für j = 0,..., n, wobei h := b. Ntürlich hängen Knoten und Gewichte von n b. Wir n schreiben dher oft uch x (n) j und w (n) j. Wir können den letzten Stz nwenden und die Qudrturformel betrchten: Q n (f) = n w j f(x j ) mit w j = L j (x) dx, (5.27) wobei wieder L j (x) = n i=0 i j die Gewichte etws genuer us: x x i x j x i, j = 0,..., n, die Lgrngepolynome sind. Wir rechnen w j = n i=0 i j n = h 0 x x b i dx = x j x i n i=0 i j n i=0 i j y i n ( 1)n j dy = h j i j!(n j)! 0 x ih (j i)h dx (Subst. y = 1 (x )) h n (y i) dy, j = 0,..., n. i=0 i j (5.28) Definition 5.1 = + j b, j = 0,..., n. Die Qu- n Wir definieren für n N die Knoten x (n) j drturformeln mit Gewichten Q n (f) = n ( w (n) j f x (n) j ) (5.29) w (n) j = b n ( 1) n j j!(n j)! n 0 n (y i) dy (5.30) i=0 i j für j = 0,..., n heißen Newton-Cotes-Formeln. Wir bemerken, dß in den Gewichten w j die Intervllgrenzen nur über den gemeinsmen Vorfktor b eingehen, lso w(n) n j = (b )w (n) j mit

103 5.2. DIE NEWTON-COTES-FORMELN 97 w (n) j = 1 ( 1) n j n j!(n j)! n 0 n (y i) dy. (5.31) i=0 i j Mn knn diese Zhlen w (n) j lso usrechnen und tbellieren (siehe unten). Beispiel 5.2 () n = 1: Hier ist lso x 0 =, x 1 = b und w (1) 0 = 1 0 (y 1) dy = und w (1) 1 = 0 y dy = 1 2. (5.32) Dmit erhlten wir wieder die Trpezregel ws nicht weiter verwundert, denn diese entsteht j gerde us der linere Interpoltion: Q 1 (f) = b 2 (f() + f(b)). (5.33) (b) n = 2: Hier ist jetzt x 0 =, x 1 = 1 2 ( + b) und x 2 = b, sowie w (2) 0 = (y 1)(y 2) dy = 1 6, w (2) 1 = 1 2 y(y 2) dy = 4 2 6, 0 (5.34) w (2) 2 = 1 2 y(y 1) dy = 1 4 6, 0 Die so erhltene Formel Q 2 (f) = b 6 ( f() + 4f ( ) + b 2 ) + f(b) (5.35) heißt Simpsonformel bzw. Simpsonregel. Wir geben noch die Zhlen ω (n) j = w(n) j (b ) für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6 n:

104 98 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION n ω (n) j = w (n) j /(b ) Nme 1 Trpezregel Simpsonregel Newtons 3/8-Regel Milne-Regel Weddle-Regel 1400 Tbelle 5.1: Newton-Cotes-Formeln Bemerkung 5.2 Stz 5.5 Beweis: () Für n = 8 und n 10 werden die Gewichte uch negtiv! (b) Summieren wir die ω (n) j in der obigen Tbelle zeilenweise uf, so erhlten wir immer Eins. Dies ist kein Zufll, denn (d die konstnte Funktion f(x) = 1 exkt integriert wird): n ω (n) j = n ω (n) j 1 = dx = b. (5.36) Die Simpsonregel integriert lso Polynome vom Grd 2 exkt. Etws überrschend ist jedoch, dß sie sogr Polynome vom Grd 3 exkt integriert. Dies liegt n der symmetrischen Anordnung der Knoten. () Für die Gewichte der Newton-Cotes-Formel gilt w j = w n j für lle j = 0,..., n. (b) Ist n N gerde, so integriert die Newton-Cotes-Formel Q n sogr Polynome vom Grd n + 1 exkt. () Es ist mit der Substitution z = n y: w n j = b n ( 1) j (n j)!j! n 0 n (y i) dy (5.37) i=0 i n j

105 5.2. DIE NEWTON-COTES-FORMELN 99 = b n = b n = b n ( 1) j (n j)!j! ( 1) j+n (n j)!j! ( 1) j+n (n j)!j! n 0 n 0 n 0 n i=0 i n j n i=0 n i j (n i z) dz (z (n i)) dz n (z k) dz = w j. (b) Sei nun n gerde, etw n = 2m. Sei p P n+1. Dnn knn p in der folgenden Form geschrieben werden: k=0 k j ( p(x) = α x + b ) 2m+1 + q(x) mit α R und q P n. (5.38) 2 Wegen I(q) = Q n (q) muß nur noch der Fehler im ersten Ausdruck betrchtet werden. Es ist ( x + b ) 2m+1 dx = 0, (5.39) 2 wie mn durch Integrtion nchweist oder ber direkt durch eine Symmetrieüberlegung erkennt (durch Verschiebung um +b wird ds Problem uf 2 die Integrtion einer ungerden Funktion über ein symmetrisches Intervll zurückgeführt). Ähnlich erkennt mn für die Newton-Cotes-Formel, dß 2m ( w j x j + b ) 2m+1 = 2 m j=1 + ( w m+j x m+j + b ) 2m+1 2 m j=1 ( w m j x m j + b ) 2m+1 = 0. 2 Hier hben wir zunächst x m = +b usgenutzt und dnn, dß wegen () 2 w m+j = w m j gilt und ußerdem x m+j +b = ( ) x 2 m j +b 2. Dies beweist den Stz! (5.40) Als Beispiele betrchten wir noch einml die Fälle n = 1 und n = 2, und geben uch die

106 100 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Fehlerdrstellung mit dem Stz 5.3 (bzw. der Folgerung) n: Trpezregel: Es gilt die Fehlerdrstellung (siehe oben): Q 1 (f) = b 2 (f() + f(b)). (5.41) I(f) Q 1 (f) = 1 12 (b )3 f (z) für ein z [, b]. (5.42) Simpsonregel: Q 2 (f) = b 6 ( f() + 4f ( ) + b 2 ) + f(b). (5.43) Nch dem letzten Stz integriert die Simpsonformel nicht nur Polynome zweiten, sondern sogr Polynome dritten Grdes exkt. Für die Fehlerdrstellung nch dem Stz von Peno müssen wir lso m = 3 setzen. Wir rechnen us: K 3 (t) = 1 3! (x t) 3 + dx b 3!6 [ ( + b ( t) ) ] 3 t + (b t) = 1 6 t (x t) 3 dx b 36 [ ( + b 4 2 ) ] 3 t + (b t) 3 + (5.44) { 1 = (t 72 )3 ( + 2b 3t) : t +b 2 1 (t 72 )3 (3t 2 b) : t +b 2 Dieser Ausdruck ist uf [, b] nicht positiv. Die Vorussetzung der Folgerung des Stzes von Peno ist lso wieder erfüllt. Weiter rechnen wir us: I(x 4 ) Q(x 4 ) = x 4 dx b 6 = (b )5. [ 4 + ] ( + b)4 + b (5.45) Dmit erhlten wir

107 5.2. DIE NEWTON-COTES-FORMELN 101 I(f) Q 2 (f) = 1 1 4! 120 (b )5 f (4) (z) für ein z [, b]. (5.46) Diese einfchen Newton-Cotes-Formeln werden für größere Werte von n in der Prxis nicht benutzt. Zum einen gilt Konvergenz Q n (f) I(f) für n genuso wenig, wie die Interpoltionspolynome gegen die zu interpolierende Funktion konvergieren. Zum nderen ist die Berechnung von Q n (f) für große n numerisch instbil. Dies liegt drn, dß für n 10 die Gewichte nicht mehr lle positiv sind. In der Prxis benutzt mn dher zusmmengesetzte Newton-Cotes-Formeln niedrigen Grdes. Wir werden die m häufigsten benutzten Trpez- und Simpsonregeln besprechen. Für die zusmmengesetzte Trpezregel unterteilen wir ds Intervll [, b] wieder in äquidistnte Punkte x j := + jh, j = 0,..., n, mit h = b. Auf jedes Teilintervll [x n i 1, x i ] wenden wir nun die Trpezregel n, lso ist mit der Fehlerdrstellung: f(x) dx = = n x i i=1 x i 1 n i=1 f(x) dx [ ] h 2 (f(x i) + f(x i 1 )) h3 12 f (z i ) (5.47) Dmit hben wir (fst) erhlten: = h n 1 2 f() + h f(x i ) + h h3 f(b) 2 12 i=1 Stz 5.6 (zusmmengesetzte Trpezregel) Sei x j = + jh, j = 0,..., n, mit h = b n und sei n f (z i ) T n (f) = h n 1 2 f() + h f(x i ) + h 2 f(b) (5.48) die zusmmengesetzte Trpezregel. Ist f C 2 [, b], so existiert ein z [, b] mit i=1 i=1 I(f) T n (f) = b 12 f (z)h 2. (5.49) Verdoppelt mn lso n, so knn mn mit einem Viertel so großen Fehler rechnen!

108 102 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Beweis: Wir hben nur noch den folgenden Fehlerterm umzuformen Nun ist offenbr h 3 12 n i=1 min x b f (x) 1 n f (z i ) = b 12 h2 1 n n i=1 n f (z i ). (5.50) i=1 f (z i ) mx x b f (x). (5.51) Nch dem Zwischenwertstz gibt es lso ein z [, b] mit f (z) = 1 n Dies beweist den Stz. n f (z i ). Die zusmmengesetzte Trpezregel ist offenbr nichts nderes ls die Integrtion des interpolierenden Splines zu f n den Knoten x j. Nun knn mn uf die Idee kommen, sttt des lineren den qudrtischen Spline zu nehmen. D wegen der Stetigkeitsbedingung dieser qudrtische Spline komplizierter uszurechnen ist, gehen wir nders vor und zerlegen [, b] in eine gerde Anzhl von äquidistnten Teilintervllen. Dnn wenden wir die Simpsonformel immer über zwei neinnderliegende Teilintervlle n. Sei lso n gerde, etw n = 2m und sei wieder x j = + jh, j = 0,..., n, mit h = b. Dnn ist n i=1 f(x) dx = = m x 2i i=1 x 2i 2 m i=1 f(x) dx [ ] 2h 6 (f(x 2i) + 4f(x 2i 1 ) + f(x 2i 2 )) (2h) f (4) (z i ) (5.52) = h 3 f() + 2h 3 m 1 i=1 f(x 2i ) + 4h 3 m f(x 2i 1 ) + h 3 f(b) 1 90 h5 i=1 n f (4) (z i ) i=1 Anlog können wir zeigen: Stz 5.7 (zusmmengesetzte Simpsonregel) Sei n = 2m gerde, x j S n (f) := h 3 [ = + jh, j = 0,..., n, mit h = b, und sei n ] f() + 2 m 1 i=1 f(x 2i ) + 4 m f(x 2i 1 ) + f(b) i=1 (5.53)

109 5.2. DIE NEWTON-COTES-FORMELN 103 Beweis: die zusmmengesetzte Simpsonregel. Ist f C 4 [, b], so existiert ein z [, b] mit I(f) S n (f) = b 180 f (4) (z)h 4. (5.54) Verdoppelt mn lso n, so verringert sich der Fehler um Fktor 16. Wir formen wieder um h 5 m i=1 f (4) (z i ) = h 4 b 2 1 m m f (4) (z i ) (5.55) i=1 und hierus folgt wieder mit dem Zwischenwertstz die Behuptung. Beispiel 5.3 Dieses Beispiel vergleicht die zusmmengesetzte Trpez- und Simpsonregeln für eine gltte Funktion und eine, die bei 0 nicht differenzierbr ist. In der ersten Splte ist I(f) T n (f), in der zweiten I(f) S n (f) ufgetrgen. () 1 0 ( ) e dx = 1 ln 1 + ex 2 (5.56) n I(f) T n (f) I(f) S n (f) E E E E E E E E E E E E Tbelle 5.2: Gltte Funktion (b) 1 0 x dx = 2 3 (5.57)

110 104 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION n I(f) T n (f) I(f) S n (f) E E E E E E E E E E E E Tbelle 5.3: Nicht gltte Funktion Wir erkennen deutlich die Konvergenzordnung h 2 bzw. h 4 beim ersten, gltten, Beispiel, dgegen die viel lngsmere Konvergenz beim zweiten nichtgltten Beispiel. Immerhin hben wir für stetige Funktionen noch Konvergenz: Stz 5.8 Beweis: Sei Q n (f) = n ( w (n) j f x (n) j ) eine Qudrturformel mit nichtnegtiven Gewichten, die für konstnte Funktionen exkt ist und für lle Polynome p konvergiert: Q n (p) I(p) für lle Polynome p. Dnn gilt uch Q n (f) I(f) für lle stetigen Funktionen f : [, b] R. Wir benutzen ds folgende Resultt (Weierstrßscher Approximtionsstz): Zu jeder stetigen Funktion f und jedem ε > 0 gibt es ein Polynom p mit mx x b f(x) p(x) ε. (5.58) Dmit können wir den Stz beweisen: Für jedes Polynom hben wir nch Vorussetzung Konvergenz Q n (p) I(p) für n. Sei nun ε > 0. Für ein zunächst beliebiges Polynom p hben wir lso Q n (f) I(f) = Q n (f p) + [Q n (p) I(p)] + I(p f) (5.59) Q n (f) I(f) Q n (f p) + Q n (p) I(p) + I(p f) (5.60)

111 5.3. DIE GAUSS-QUADRATURFORMELN 105 Wir schätzen nun die einzelnen Terme uf der rechten Seite b: Q n (f p) n w (n) j ( f x (n) j ) ( p x (n) j ) n mx f(x) p(x) x b w (n) j (5.61) = (b ) mx f(x) p(x). x b Außerdem ist I(p f) (b ) mx x b f(x) p(x). (5.62) Wir bestimmen nun ein Polynom p so, dß mx f(x) p(x) ε x b. 3(b ) Zu diesem Polynom bestimmen wir dnn ein N N mit Q n (p) I(p) ε 3 für lle n N. Für diese n N folgt dnn us (5.60): Q n (f) I(f) ε Wegen Stz 5.6 und 5.7 konvergieren die zusmmengesetzten Trpez- und Simpsonregeln für lle Funktionen f C 4 [, b], lso erst recht für lle Polynome p. Außerdem sind die Gewichte positiv und beide Formeln exkt für konstnte Funktionen. Dher knn der letzte Stz ngewndt werden und liefert die Konvergenz T n (f) I(f) und S n (f) I(f) für jede stetige Funktion f. Wie wir m Beispiel gesehen hben, erhlten wir nur für gltte Funktionen eine bessere Konvergenrte mit der Simpsonregel. 5.3 Die Guß-Qudrturformeln Sei wieder I(f) := f(x) dx und Q n (f) := n w j f(x j ). (5.63) i=0 Ziel ist es, Knoten x j und Gewichte w j so zu konstruieren mit Q n (p) = I(p) für lle p P 2n+1. Bei gewählten Knoten x 0 < x 1 < < x n b denken wir uns die Gewichte immer nch Stz 5.4 bestimmt, so dß uf jeden Fll schon ml Q n (p) = I(p) für lle p P n gilt.

112 106 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Jetzt ist nur noch die Whl der Knoten vorzunehmen. Dzu beschreiben wir die Knoten x 0,..., x n ls Nullstellen eines Polynoms P n+1 vom Grde n + 1. Wir suchen lso ein Polynom P n+1 P n+1, dessen Nullstellen reell und einfch sind, im Intervll [, b] liegen und die gewünschte Forderung Q n (p) = I(p) für lle p P 2n+1 erfüllt. Um uf die Form von P n+1 zu kommen, untersuchen wir die geforderte Gleichung Q n (p) = I(p) für lle p P 2n+1. Wir wählen lso ein beliebiges Polynom p P 2n+1. Dnn dividieren wir p durch P 2n+1 mit Rest: Dher ist p(x) = P n+1 (x)q(x) + r(x) mit r, q P n. (5.64) I(p) = p(x) dx = P n+1 (x)q(x) dx + r(x) dx, (5.65) und Q n (p) = n w j p(x j ) = n w j P n+1 (x j ) q(x } {{ } j ) + =0 n w j r(x j ). (5.66) Wegen r P n stimmen die jeweils letzten Ausdrücke I(r) und Q n (r) überein. Um lso I(p) = Q n (p) zu erreichen, muß P n+1 so gewählt werden, dß gilt: P n+1 (x)q(x) dx = 0 für lle q P n. (5.67) Wenn wir dieses schffen, und die Nullstellen von P n+1 lle einfch sind und in [, b] liegen, so sind wir fertig! Bevor wir den llgemeinen Stz bringen, wollen wir die Aussge zunächst n einem Beispiel klrmchen: Beispiel 5.4 Sei [, b] = [ 1, +1]. Wir versuchen die Polynome P 1, P 2 und P 3 zu konstruieren: Bis uf ein Vielfches ht P 1 die Form P 1 (x) = x + c, lso erhält mn us der Bedingung 0 = P 1 (x)α dx = 0 für lle Konstnten α die Gleichung (x+c) dx = 2c, lso c = 0. Wir erhlten P 1 (x) = x, wenn wir P 1 durch die Forderung normieren, dß der höchste Koeffizient Eins ist. Genuso verfhren wir bei der Konstruktion von P 2. Aus 1 1 P 2 (x)(αx + β) dx = 0 für lle α, β R erhlten wir die Gleichungen:

113 5.3. DIE GAUSS-QUADRATURFORMELN P 2 (x) dx = 0 und 1 1 xp 2 (x) dx = 0 (5.68) Der Anstz P 2 (x) = x 2 c führt durch Einsetzen in die erste Gleichung (die zweite ist sowieso erfüllt) uf die Konstnte c = 1 3. Dher ist P 2(x) = x Schließlich wollen wir noch P 3 konstruieren. Aus für lle α, β, γ R folgt: P 3 (x)(αx 2 +βx+γ) dx = 0 x j P 3 (x) dx = 0 für j = 0, 1, 2. (5.69) Eine Symmetrieüberlegung führt uf den Anstz P 3 (x) = x 3 cx. Eingesetzt in die Gleichung für j = 1 (die nderen beiden sind sowieso durch diesen Anstz erfüllt) liefert dies c = 3 5. Also hben wir P 3(x) = x x. Irgendwie ht mn den Eindruck, dß mn so weitermchen könnte. Dies besgt der folgende Stz, den wir n dieser Stelle einschieben und erst später unter etws llgemeineren Bedingungen beweisen werden. Stz 5.9 Es gibt eindeutig bestimmte Polynome P n P n mit den Eigenschften: () P n (x)q(x) dx = 0 für lle q P n 1 und n = 1, 2,... (b) der höchste Koeffizient von P n ist eins für lle n = 0, 1, 2,.... Die Nullstellen von P n sind reell, einfch und liegen lle im Intervll (, b). Für ds Intervll [ 1, +1] heißen diese Polynome Legendre-Polynome. Im obigen Beispiel hben wir die ersten drei Legendre-Polynome P 1, P 2 und P 3 bestimmt. Benutzen wir dieses Resultt, so hben wir bewiesen: Stz 5.10 Seien x 0,..., x n (, b) die Nullstellen des Polynoms P n+1 vom letzten Stz, ds j eindeutig bestimmt ist. Seien L j (x) = n die zugehörigen Lgrnge- i=0 i j x x i x j x i

114 108 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Bsispolynome und w j = Formel Q n (f) := n w j f(x j ) die Gleichheit: L j (x) dx die Gewichte. Dnn gilt für die Guß- Q n (p) = I(p) für lle p P 2n+1. (5.70) Beispiel 5.5 Sei [, b] = [ 1, +1]. Zur Bestimmmung der Guß-Formel Q 1 (f) müssen wir die Nullstellen von P 2 ermitteln. Aus Beispiel 5.4 sehen wir P 2 (x) = x 2 1, 3 lso x 0 = 1 3 und x 1 = Für die Bestimmung der zugehörigen Gewichte müssen wir die Lgrnge-Polynome L 0 und L 1 bestimmen. Mn erhält L 0 (x) = x x 1 = 1 3 x 0 x 1 2 x, (5.71) 2 L 1 (x) = x x 0 = 1 3 x 1 x x, (5.72) 2 und dher w 0 = w 1 = 1. Vergleichen wir für ds Intervll [ 1, +1] die Newton- Cotes-Formel Q NC 1 (f) mit der Guß-Formel Q G 1 (f), so erkennen wir: Q NC 1 (f) = f( 1) + f(1), Q G 1 (f) = f ( 1 3 ) + f ( 1 3 ). (5.73) Obwohl sie so ähnlich sind, ist die Newton-Cotes-Formel nur für linere Polynome exkt, die Guß-Formel dgegen für lle kubischen Polynome. Für die kubische Prbel f(x) = x 3 sind offenbr sowohl Q NC 1 ls uch Q G 1 exkt, d wegen der Symmetrie der Knoten beide wie uch I(f) verschwinden. Die Knoten sind bei Q G 1 so gewählt, dß uch ds Polynom f(x) = x 2 exkt integriert wird. Durch ein einfches Argument können wir zeigen, dß lle Gewichte positiv sind. Lemm 5.1 Seien < x 0 < < x n < b die Knoten und w j, j = 0,..., n, die Gewichte der Guß-Qudrturformel. Dnn sind lle Gewichte w j positiv.

115 5.3. DIE GAUSS-QUADRATURFORMELN 109 Beweis: Für festgehltenes k definiere ds Polynom 2n-ten Grdes p(x) := n (x x i ) 2. D es exkt integriert wird, gilt i=0 i k 0 < p(x) dx = I(p) = Q n (p) = D p(x k ) > 0 ist, so muß uch w k > 0 sein. n w j p(x j ) = w k p(x k ). (5.74) Wir wollen jetzt wieder eine Fehlerdrstellung herleiten. Dfür müssen wir wieder zeigen, dß der Penokern K 2n+1 sein Vorzeichen nicht wechselt: Lemm 5.2 Beweis: Seien < x 0 < < x n < b die Knoten und w j, j = 0,..., n, die Gewichte der Guß-Qudrturformel. Wir definieren die Penokerne K m, m = 0,..., 2n + 1, wieder durch K m (t) := 1 m! wobei wieder (x t) m + := Vorzeichen nicht. (x t) m + dx n w j (x j t) m +, t b, (5.75) { (x t) m : x t 0 0 : x t < 0. Dnn wechselt K 2n+1 sein Zunächst zeigen wir einige einfche Eigenschften der Penokerne K m : Es ist K m (b) = 0 und uch K m () = 0 für lle m = 0,..., 2n + 1 (letzteres, d die Guß-Formel lle Polynome x (x t) m exkt integriert). Dnn leiten wir K m b und erhlten: d dt K m(t) = K m 1 (t), m = 1, 2,..., 2n + 1 (5.76) Dieses erkennt mn, wenn mn K m in der Form schreibt: K m (t) = 1 m! t (x t) m dx n w j (x j t) m + (5.77)

116 110 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION = 1 (m + 1)! (b t)m+1 1 m! n w j (x j t) m +. Weiter ist für m 1: d dt K m(t) = 1 m! (b 1 t)m + (m 1)! n w j (x j t) m 1 + = K m 1 (t). (5.78) Wir bemerken noch, dß K 1 n den Punkten x j nicht differenzierbr ist. Für d K 1 gilt die Formel K dt 1(t) = K 0 (t) lso nur für lle t {x 0,..., x N }. Integrieren wir die Formel (5.76), so erhlten wir mit K m () = 0: t K m (t) = K m 1 (s) ds für m = 1,..., 2n + 1 und t [, b]. (5.79) Für t = b erhlten wir hierus d.h. K m (s) ds = 0 für lle m = 0,..., 2n. Jetzt nehmen wir n, K 2n+1 K m 1 (s) ds = 0 für lle m = 1,..., 2n + 1, hätte doch einen Vorzeichenwechsel, etw in ˆt (, b). Dnn ist K 2n+1 (ˆt) = 0 und dher nch (5.79) uch Wegen K 2n (s) ds = 0 ist ˆt K 2n (s) ds = 0. ˆt K 2n (s) ds = 0 und ˆt K 2n (s) ds = 0. (5.80) In jedem der Intervlle (, ˆt) und (ˆt, b) muß K 2n dher einen Vorzeichenwechsel hben. Seien dies ˆt 1 und ˆt 2. Dnn erhlten wir us (5.79) und wiederum, dß jetzt K 2n 1 (s) ds = 0 ˆt 1 K 2n 1 (s) ds = 0, ˆt 2 ˆt 1 K 2n 1(s) ds = 0 und ˆt 2 K 2n 1(s) ds = 0. (5.81)

117 5.3. DIE GAUSS-QUADRATURFORMELN 111 So fhren wir fort und erhlten, dß K 0 schließlich 2n+2 Vorzeichenwechsel hben muß. Nun sehen wir uns K 0 genuer n: E ist K 0 (t) = b t n w j (x j t) 0 +, d.h. b t n w j : t x 0 K 0 (t) = b t n w j : x k 1 < t x k, k = 1,..., n b t : x n < t b Wir erkennen, dß in jedem der Intervlle (, x 0 ) und (x k 1, x k ), k = 1,..., n, sowie (x n, b) die Funktion K 0 strikt monoton fllend ist. An den Endpunkten gilt K 0 () = K 0 (b) = 0. In (, x 0 ) und (x n, b) knn K 0 dher keine Nullstellen hben. Die einzigen Vorzeichenwechsel können lso bei x j, j = 0,..., n, sein, und dzu knn noch in jedem der n Intervlle (x k 1, x k ), k = 1,..., n, höchstens ein Vorzeichenwechsel sein. Zusmmen knn K 0 nur (n + 1) + n = 2n + 1 Vorzeichenwechsel hben, ein Widerspruch zu der obigen Abschätzung. (5.82) Dmit können wir die Fehlerdrstellung vom Stz von Peno nwenden. Wir müssen dzu den Qudrturfehler von x x 2n+2 betrchten. Sei P n+1 wiederum ds Polynom von Stz 5.9 und x j, j = 0,..., n, seien Nullstellen, lso die Knoten der Qudrturformel. Wegen x 2n+2 = n (x x j ) 2 + r(x) = P n+1 (x) 2 + r(x) mit r P 2n+1 (5.83) und I(r) = Q n (r), sowie Q n (P 2 n+1) = 0 ist I(x 2n+2 ) Q n (x 2n+2 ) = I(P 2 n+1), lso hben wir die Fehlerdrstellung: Stz 5.11 Seien x j (, b) die Knoten und w j, j = 0,..., n, die Gewichte der Guß- Qudrturformel. Dnn gilt mit P n+1 (x) = n (x x j ): () Zu jeder Funktion f C 2n+2 [, b] gibt es ein z [, b] mit I(f) Q n (f) = f (2n+2) (z) (2n + 2)! P n+1 (x) 2 dx. (5.84) (b) Für jede stetige Funktion f C[, b] gilt die Konvergenz Q n (f) I(f) für n.

118 112 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION (c) Für gltte Funktionen hben wir die folgende Konvergenzordnung: Zu jedem k N gibt es ein c > 0 mit Q n (f) I(f) c 1 n k mx x b f (k) (x) für lle f C k [, b]. (5.85) Beweis: Teil () ist schon gezeigt worden. Für Teil (b) wenden wir Stz 5.8 n. Dies ist möglich, d ntürlich Q n (p) I(p) für jedes Polynom p P (es gilt sogr Gleichheit für genügend große n) und die Gewichte w j lle positiv sind. Für einen Beweis von (c) konsultiere mn [SS66]. Zum Schluß dieses Abschnitts wollen wir noch die Knoten x (n) j und Gewichte w (n) j für n = 2, 3, 4, 5, 6 uflisten. Wir bruchen dies nur für ds Intervll [ 1, +1] tun, denn ds Integrl über [, b] knn mit einer ffin-lineren Trnsformtion uf ein Integrl über [ 1, +1] trnsformiert werden: I(f) = f(y) dy = (b ) 1 f ( 1 2 ( + b) + 1 ) (b )x dx. 2 (5.86) Sind lso x j und w j die Knoten und Gewichte der Guß-Formel uf [ 1, +1], so erhält mn die Knoten y j und Gewichte γ j der Guß-Formel uf [, b] durch y j = 1 2 ( + b) (b )x j und γ j = 1 2 (b )w j, j = 0,..., n. (5.87) n Knoten x j Gewichte w j 1 x (1) 0 = x (1) 0 = w (1) 0 = w (1) 1 = 1 2 x (2) 0 = x (2) 2 = w (2) 0 = w (2) 2 = x (2) 0 = 0 w (2) 0 = x (3) 0 = x (3) 3 = w (3) 0 = w (3) 3 = x (3) 1 = x (3) 2 = w (3) 1 = w (3) 2 = x (4) 0 = x (4) 4 = w (4) 0 = w (4) 4 = x (4) 1 = x (4) 3 = w (4) 1 = w (4) 3 = x (4) 2 = 0 w (4) 2 =

119 5.4. ORTHOGONALE POLYNOME 113 n Knoten x j Gewichte w j 5 x (5) 0 = x (5) 5 = w (5) 0 = w (5) 5 = x (5) 1 = x (5) 4 = w (5) 1 = w (5) 4 = x (5) 2 = x (5) 3 = w (5) 2 = w (5) 3 = x (6) 0 = x (6) 6 = w (6) 0 = w (6) 6 = x (6) 1 = x (6) 5 = w (6) 1 = w (6) 5 = x (6) 2 = x (6) 4 = w (6) 2 = w (6) 4 = x (6) 3 = 0 w (6) 3 = Tbelle 5.4: Knoten und Gewichte der Guß-Formel 5.4 Orthogonle Polynome In diesem Abschnitt wollen wir die Legendre- und verwndte Polynome ein wenig näher untersuchen. Wie wir später sehen werden, ist es nützlich, ein bißchen llgemeiner vorzugehen. Insbesondere wollen wir jetzt uch unbeschränkte Integrtionsintervlle zulssen. In diesem Abschnitt knn lso uch = oder b = (oder beides) zugelssen sein. Ws dieses mit der Integrtion zu tun ht, werden wir m Ende dieses Abschnitts zeigen. Definition 5.2 Sei ω : (, b) R eine feste stetige, positive Funktion, so dß ω(x) dx ls uneigentliches Integrl existiert. Zwei stetige Funktionen f, g C(, b) heißen zueinnder orthogonl (bzgl. der Gewichtsfunktion ω), wenn gilt ω(x)f(x)g(x) dx = 0, (5.88) d.h., wenn ds Integrl ω(x)f(x)g(x) dx ls uneigentliches Integrl existiert b und verschwindet, wenn lso gilt: ω(x)f(x)g(x) dx 0 für, b (, b), und b b. Als erstes sollte mn sich ein beschränktes Intervll und ω(x) = 1 vorstellen! Andere Möglichkeiten für ω liefern die folgenden Beispiele:

120 114 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Beispiel 5.6 () Sei ω(x) = 1 1 x 2 uf (, b) = ( 1, 1), und sei T n (x) := cos(n rccos(x)) ds Tschebyscheffpolynom vom Grd n für n = 0, 1,.... Dnn gilt x 2 T n(x)t m (x) dx = 0 für lle n m, (5.89) d.h., die Tschebyscheffpolynome sind bzgl. ω(x) = 1 1 x 2 uf ( 1, 1) prweise orthogonl. Dies erkennt mn nch der Vriblentrnsformtion x = cos(y) für y [0, π]. Dnn ist für n m: 1 1 T n (x)t m (x) 1 x 2 dx = cos(n rccos(x)) cos(m rccos(x)) dx 1 x 2 = π cos(ny) cos(my) dy 0 π = 1 [cos(n + m)y + cos(n m)y] dy 2 (5.90) = 0 1 2(n m) sin(n m)y π (n + m) sin(n + m)y π 0 = 0 (b) Sei ω(x) = e x uf (0, ), und seien P n (x) := e x dn (x n e x ), n = 0, 1, 2,..., dx n die sogennnten Lguerre-Polynome. (Weshlb sind dies überhupt Polynome?) Dnn gilt e x P n (x)p m (x) dx = 0 für lle n m. Mn weise dies 0 nch z.b. durch vollständige Induktion nch n. Die Lguerre-Polynome sind lso uf dem Intervll (0, ) prweise orthogonl bzgl. ω(x) = e x. (c) Sei ω = 1 uf (0, 2π). Dnn sind {cos(n ) : n N} {sin(n ) : n N} prweise orthogonl uf (0, 2π), d 2π cos(nx) cos(mx) dx = 2π sin(nx) sin(mx) dx = 0 für n m, (5.91) 0 0

121 5.4. ORTHOGONALE POLYNOME 115 beziehungsweise 2π 0 sin(nx) cos(mx) dx = 0 für lle n, m. (5.92) Der nächste Stz zeigt konstruktiv die Existenz von Polynomen P n P n, die orthogonl sind zu llen Polynomen vom Höchstgrd n 1. Für ω(x) = 1 beinhltet er den ersten Teil des Stzes 5.9. Stz 5.12 Zu jeder in Definition 5.2 eingeführten Funktion ω gibt es eindeutig bestimmte Polynome P n P n mit den Eigenschften: () ω(x)p n (x)q(x) dx = 0 für lle q P n 1, n = 1, 2, 3,..., und (b) der höchste Koeffizient von P n ist eins für lle n = 0, 1, 2,.... Für jedes n N ist die Menge {P 0, P 1,..., P n }eine Bsis des P n. Ferner genügen die P n der Rekursionsformel: P n (x) = (x + n )P n 1 (x) + b n P n 2 (x), n = 1, 2, 3,..., (5.93) mit Anfngswerten P 1 (x) = 0 und P 0 (x) = 1, und den Koeffizienten b 1 = 0 und n := ω(x)xp n 1 (x) 2 dx, n 1 (5.94) ω(x)p n 1 (x) 2 dx Beweis: b n := ω(x)p n 1 (x) 2 dx, n 2 (5.95) ω(x)p n 2 (x) 2 dx Zuerst zeigen wir die Existenz und betrchten (5.93) ls Definition der P n. Wir zeigen induktiv:

122 116 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION () P n ist wohldefiniert, d.h. die Nenner von n und b n sind positiv, (b) ω(x)p n (x)q(x) dx = 0 für lle q P n 1, (c) der höchste Koeffizient von P m ist eins für lle m n, (d) {P 0, P 1,..., P n } bilden eine Bsis von P n. Für n = 0 ist dies sicher richtig. Sei es für n 1 schon richtig. Dnn ist P n wohldefiniert. Wäre nämlich z.b. der Nenner von n Null, so hätten wir ω(x)p n 1 (x) 2 dx = 0 und d der Integrnd positiv ist P n 1 (x) = 0 für lle x (, b). Dnn wäre P n 1 lso ds Nullpolynom, ein Widerspruch zu (c). Der höchste Koeffizient von P n ist Eins, wie mn direkt sieht. Sei nun q P n 1 beliebig. Dnn läßt sich nch Induktionsvorussetzung q ls Linerkombintion der P 0,..., P n 1 schreiben: q = n 1 α j P j. Mit der Definition von P n ist n 1 = n 1 ω(x)p n (x)q(x) dx = α j α j ω(x)p n (x)p j (x) dx ω(x)(x + n )P n 1 (x)p j (x) dx + b n ω(x)p n 2 (x)p j (x) dx = α n 2 ω(x)(x + n )P n 1 (x)p n 2 (x) dx + b n ω(x)p n 2 (x) 2 } {{ } =K 1 (5.96) +α n 1 ω(x)(x + n )P n 1 (x) 2 dx } {{ } =K 2 Hier hben wir ω(x)p j (x)p k (x) dx = 0 für j, k {0,..., n 1}, j k, benutzt. Wir diskutieren nun beide Klmmerusdrücke getrennt. Im ersten Klmmerusdruck berücksichtigen wir noch xp n 2 (x) = P n 1 (x) + r(x) mit r P n 2. Dher erhlten wir

123 5.4. ORTHOGONALE POLYNOME 117 K 1 = b n ω(x)p n 2 (x) 2 dx + ω(x)xp n 1 (x)p n 2 (x) dx = b n ω(x)p n 2 (x) 2 dx + ω(x)p n 1 (x) 2 dx + (5.97) ω(x)p n 1 (x)r(x) dx = 0 } {{ } =0 sowie K 2 = n ω(x)p n 1 (x) 2 dx + ω(x)xp n 1 (x) 2 dx = 0 (5.98) jeweils nch Einsetzen von n und b n. Schließlich müssen wir noch die linere Unbhängigkeit der P n beweisen. Dies folgt jedoch us der Orthogonlität: Ist N λ j P j (x) = 0 für lle x R, so multiplizieren wir diese Gleichung mit ω(x)p m (x) und integrieren. Dies liefert 0 = N b b λ j ω(x)p m (x)p j (x) dx = λ j ω(x)p m (x) 2 dx und hierus λ m = 0 für jedes m = 0,..., N. Dies beweist die Existenz! Die Eindeutigkeit erkennt mn schnell: Seien Q n P n mit den Eigenschften () und (b) us dem Stz, und P n die soeben konstruierten. Sei n N festgehlten. Dnn gibt es Zhlen c j R mit Q n = n c j P j. Wegen () für Q n sttt P n ist für m = 0,..., n 1: 0 = ω(x)q n (x)p m (x) dx = n c j ω(x)p j (x)p m (x) dx = c m ω(x)p m (x) 2 dx. (5.99)

124 118 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Dher ist c m = 0 für m = 0,..., n 1, und es ist Q n = c n P n. D beide Polynome nch (b) den höchsten Koeffizienten eins hben, müssen sie übereinstimmen! Stz 5.13 Es seien P n P n die nch Stz 5.12 eindeutig existierenden, bzgl. ω orthogonlen Polynome mit höchstem Koeffizienten eins. Dnn sind die Nullstellen von P n lle einfch, reell und liegen im Intervll (, b). Für ω(x) = 1 liefert dies lso den zweiten Teil des Stzes 5.9. Beweis: Es seien x 1,..., x m (, b) die prweise verschiedenen Nullstellen in (, b), n denen P n ihr Vorzeichen wechselt. Ds Polynom Q(x) := m (x x j ) vom Grd m ht in llen x j einfche Nullstellen. Dher wechselt die Funktion x ω(x)p n (x)q(x) ihr Vorzeichen in (, b) nicht! Dher ist j=1 ω(x)p n (x)q(x) dx 0. (5.100) Wegen der Orthogonlitätsbedingung () muß dher m n, lso m = n sein, und die Behuptung ist bewiesen. Wir geben jetzt ohne Beweis Chrkterisierungen der orthogonlen Polynome für verschiedene Gewichtsfunktionen n. (A) (, b) = ( 1, +1) und ω(x) = 1. Die nch Stz 5.12 eindeutig existierenden orthogonlen Polynome heißen Legendre-Polynome. Sie werden meistens durch die Forderung P n (1) = 1 normiert. Die so normierten Legendre-Polynome hben die Eigenschften: Rekursionsformel: P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P n+1 (x) = 2n + 1 n + 1 xp n(x) n n + 1 P n 1(x), n = 1, 2,... (5.101) Integrl: 1 1 P n (x) 2 dx = 2 2n + 1 (5.102)

125 5.4. ORTHOGONALE POLYNOME 119 Formel von Rodrigues: d n P n (x) = 1 2 n n! dx n (x2 1) n, x ( 1, +1) (5.103) Legendre sche Differentilgleichung: (1 x 2 ) d2 dx 2 P n(x) 2x d dx P n(x) + n(n + 1)P n (x) = 0, x ( 1, +1) (5.104) Erzeugende Funktion: 1 = P n (x)z n, z < 1, x ( 1, +1) 1 2xz + z 2 (5.105) n=0 Die ersten Polynome sehen so us: P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 1 2 (3x2 1), P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x). (5.106) (B) (, b) = ( 1, +1) und ω(x) = 1 1 x 2. Die nch Stz 5.12 zu dieser Gewichtsfunktion existierenden Polynome T n heißen Tschebyscheffpolynome. Diese hben wir schon kennengelernt, llerdings in der Normierung T n (x) = 1. Diese behlten wir uch bei. Wir wiederholen Eigenschften von T n und stellen weitere zusmmen: Rekursionsformel: T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), n = 1, 2,... (5.107) Integrl: 1 1 T n (x) 2 1 x 2 dx = { π 2 : n 1 π : n = 0 (5.108) Formel von Rodrigues: π( 1) n T n (x) = 1 x 2 n Γ(n dn ) dx [(1 2 ) n 1 2 ], x ( 1, +1) (5.109)

126 120 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Differentilgleichung: (1 x 2 ) d2 dx 2 T n(x) x d dx T n(x) + n 2 T n (x) = 0, x ( 1, +1) (5.110) Erzeugende Funktion: 1 xz 1 2xz + z = T 2 n (x)z n, z < 1, x ( 1, +1) (5.111) n=0 Die ersten Polynome sehen so us: T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T 2 (x) = 2x 2 1, T 3 (x) = 4x 3 3x. (5.112) (C) (, b) = (0, ) und ω(x) = e x. Die bzgl. ω orthogonlen Polynome L n heißen Lguerre-Polynome. Mn verwechsele ds Symbol L n nicht mit den Lgrnge-Bsispolynomen! Sie hben die Eigenschften: Rekursionsformel: L 0 (x) = 1, L 1 (x) = 1 x, L n+1 (x) = 2n + 1 x L n (x) n n + 1 n + 1 L n 1(x), n = 1, 2,... (5.113) Integrl: 0 e x L n (x) 2 dx = 1 (5.114) Formel von Rodrigues: L n (x) = 1 dn ex n! dx n (xn e x ), x > 0 (5.115) Differentilgleichung: x d2 dx 2 L n(x) + (1 x) d dx L n(x) + nl n (x) = 0, x > 0 (5.116)

127 5.4. ORTHOGONALE POLYNOME 121 Erzeugende Funktion: ( ) 1 xz 1 z exp = z 1 L n (x)z n, z < 1, x > 0 (5.117) n=0 Die ersten Polynome sehen so us: L 0 (x) = 1, L 1 (x) = 1 x, L 2 (x) = 1 2 x2 2x + 1, L 3 (x) = 1 6 x x2 3x + 1. (5.118) (D) (, b) = (, ) und ω(x) = e x2. Die bzgl. ω orthogonlen Polynome H n heißen Hermite-Polynome und hben die Eigenschften: Rekursionsformel: H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n 1 (x), n = 1, 2,... (5.119) Integrl: e x2 H n (x) 2 dx = π2 n n! (5.120) Formel von Rodrigues: Differentilgleichung: Erzeugende Funktion: H n (x) = ( 1) n e x2 dn dx n (e x2 ), x R (5.121) d 2 dx H n(x) 2x d 2 dx H n(x) + 2nH n (x) = 0, x R (5.122) e 2xz z2 = n=0 1 n! H n(x)z n. (5.123)

128 122 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Die ersten Polynome sehen so us: H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 2, H 3 (x) = 8x 3 12x. (5.124) 5.5 Qudrturformeln für uneigentliche Integrle Zunächst wollen wir noch die beiden numerischen Beispiele von oben uch mit der Guß- Formel berbeiten: Beispiel 5.7 Dieses Beispiel vergleicht die zusmmengesetzte Trpezregel T n (f), die Simpsonregel S n (f) und die Guß-Formel W n (f) für die beiden Funktionen f(x) = 1 1+exp(x) und f(x) = x. () 1 0 ( ) e dx = 1 ln 1 + ex 2 (5.125) n I(f) T n (f) I(f) S n (f) I(f) Q n (f) E E E E E E E E E E E E E E (b) 1 0 x dx = 2 3 (5.126) Wir erkennen uch hier die schnelle Konvergenz beim gltten Beispiel und die viel lngsmere Konvergenz beim zweiten nichtgltten Beispiel.

129 5.5. QUADRATURFORMELN FÜR UNEIGENTLICHE INTEGRALE 123 n I(f) T n (f) I(f) S n (f) I(f) Q n (f) E E E E E E E E E E E E E E E E Tbelle 5.5: Vergleich Qudrturformeln Es kommt nun oft vor, dß mn uch nichtgltte Funktionen integrieren will. In der Potentiltheorie kommen z.b. Integrle der Form I := 1 0 log(f(x) 2 )g(x) dx (5.127) vor mit einer gltten Funktion f, die Nullstellen besitzt, etw f(0) = 0. Dher ht der Integrnd bei x = 0 eine Singulrität, und wir müssen ds Integrl ls uneigentliches Integrl uffssen. Wir splten die Singulrität b und schreiben ( ) 2 f(x) log(f(x) 2 ) = log(x 2 ) + log. (5.128) x ( ) 2 Die Funktion x log f(x) x ist nun eine gltte Funktion (l Hospitlsche Regel!), und wir können I ufsplten in der Form: I := 1 0 log(x 2 )g(x) dx ( ) 2 f(x) log g(x) dx (5.129) x Ds zweite Integrl sollte nun mit der gewöhnlichen Guß-Formel gut konvergieren, ds erste jedoch nicht. Für ds Beispiel f(x) = sin(x) und g(x) = 2 + cos(x) erkennt mn es nhnd der nächsten Tblle gut. Wie erwrtet konvergiert ds erste Integrl sehr lngsm, ds zweite ußerordentlich schnell. In den Aufgben hben Sie schon die Möglichkeit besprochen, die Newton-Cotes- Formeln so bzuändern, dß uch ds erste Integrl gut konvergiert. Dies ist nun uch für die Guß-Formel möglich und wird ls erste Möglichkeit besprochen. Dnch werden wir einige ndere einfche Tricks zur Behndlung von uneigentlichen Integrlen ngeben.

130 124 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION n 1. Integrl 2. Integrl E E E E E E E E Tbelle 5.6: Beispiel f(x) = sin(x) und g(x) = 2 + cos(x) (A) Die Guß-Formeln: Sei < b und ω : (, b) R + so, dß ds Integrl ω(x) dx wenigstens im uneigentlichen Sinn konvergiert. Wir setzen sogr etws mehr vorus, nämlich dß ds Integrl ω(x)p(x) dx für jedes Polynom wenigstens im uneigentlichen Sinn konvergiert. Wir definieren wieder I(f) := für solche stetigen Funktionen, für die dieses Integrl existiert. Die Guß-Qudrturformeln Q n (f) := ω(x)f(x) dx (5.130) n ω j f(x j ) dx entstehen wieder durch die Forderung, dß I(p) = Q n (p) für lle Polynome bis zum Grd 2n + 1. Für die Konstruktion gehen wir vor wie im letzten Abschnitt. Dieser Abschnitt bettet sich ntürlich ein, wenn mn (, b) ls endliches Intervll nnimmt und ω(x) = 1 setzt. Wir betrchten die orthogonlen Polynome P n bzgl. der Gewichtsfunktion ω vom letzten Abschnitt. Sei lso P n+1 P n+1 mit ω(x)p n+1 (x)q(x) dx = 0 für lle q P n. (5.131) x 0,..., x n (, b) seien die nch Stz 5.9 existierenden Nullstellen von P n+1 und w j := ω(x)l j (x) dx, j = 0,..., n, die Gewichte. Hierbei seien wieder L j (x) = n k=0 k j x x k x j x k Lgrnge-Bsispolynome von Kpitel 3. Mit dieser Whl der Knoten gilt schon einml die

131 5.5. QUADRATURFORMELN FÜR UNEIGENTLICHE INTEGRALE 125 I(p) = Q n (p) für lle p P n. Weiter gilt für lle p P 2n+1 die Zerlegung p = P n+1 q + r mit gewissen q, r P n. Wir hben dnn wieder: I(p) := P n+1 (x)q(x) dx +I(r) } {{ } =0 = Q n (r) + n w j q(x j ) P n+1 (x j ) = Q } {{ } n (p). =0 (5.132) Beispiel 5.8 () Sei f : [ 1, +1] R gltt. Dnn gilt für I(f) := x 2 f(x) dx und Q n(f) := n w j f(x j ) (5.133) die Gleichheit I(p) = Q n (p) für lle p P 2n+1, wobei x j, j = 0,..., n, die Nullstellen des Tschebyscheffpolynoms T n+1 und w j, j = 0,..., n, die zugehörigen Gewichte sind. (b) Sei f : [0, ) R gltt. Dnn gilt für I(f) := e x f(x) dx und Q n (f) := 0 n w j f(x j ) (5.134) die Gleichheit I(p) = Q n (p) für lle p P 2n+1, wobei x j, j = 0,..., n, die Nullstellen des Lguerre-Polynoms L n+1 und w j, j = 0,..., k, die zugehörigen Gewichte sind. (c) Sei f : R R gltt. Dnn gilt für + I(f) := e x2 f(x) dx und Q n (f) := n w j f(x j ) (5.135) die Gleichheit I(p) = Q n (p) für lle p P 2n+1, wobei x x, j = 0,..., n, die Nullstellen des Hermite-Polynoms H n+1 und w j, j = 0,..., n, die zugehörigen Gewichte sind. Die Knoten x j und die Gewichte w j sind für einige Werte von n in Formelsmmlungen tbelliert, etw in [AS71]. Wir möchten n dieser Stelle ber deutlich betonen, dß

132 126 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION die effektive Berechnung der Stützstellen und Gewichte der Guß-Qudrturformeln ein numerisch recht schwieriges Problem ist. Die besten Verfhen erfordern Hilfsmittel zur Berechnung von Eigenwerten von Tridigonlmtrizen. Hieruf können wir n dieser Stelle jedoch nicht eingehen, sondern verweisen nur uf [St89] und [StBu90]. (B) Behndlung von uneigentlichen Integrlen mit geeigneten Substitutionen: Mnchml knn mn die Singulritäten des Integrnden durch eine geeignete Substitution überspielen. Wir betrchten ds Beispiel: x sin(x) dx (x=y 2 ) 2 = b 0 y 2 sin(y 2 ) dy (5.136) Der neue Integrnd ht nun keine Singulrität mehr, dher knn ds Integrl z.b. mit der zusmmengesetzten Simpsonregel gut berechnet werden. (Anlytisch geht ds bei diesem Beispiel nicht, d keine Stmmfunktion ngebbr ist!) Allgemeiner führt folgendes Vorgehen oft zu guten Resultten: Ht f : (, b) R Singulritäten bei und/oder b, so betrchte mn eine geeignete Vriblentrnsformtion x = ϕ(y), wobei ϕ : [0, 1] [, b] bijektiv ist: f(x) dx (x=ϕ(y)) = 1 0 f(ϕ(y))ϕ (y) dy } {{ } (5.137) =:g(y) Mn wähle nun ϕ so, dß genügend viele Ableitungen verschwinden, lso ϕ (m) (0) = ϕ (m) (1) = 0 sind für m = 1, 2,..., m 0. Dnn knn für viele Funktionen gezeigt werden, dß g zu einer gltten Funktion uf [0, 1] fortgesetzt werden knn. Auf dieses Integrl über g knn dnn die Simpson- oder Trpezregel ngewendet werden. Nimmt mn z.b. eine Newton-Cotes-Formel mit Knoten x j = j n, j = 0,..., m, und Gewichten w j, so erhält mn für ds Integrl über f die Formel Q n (f) = n w j f ( ( )) ( ) j j ϕ ϕ = n n n w j f(x j ) (5.138) mit x j := ϕ ( ) j n und wj := w j ϕ ( j n). Die Knoten x j werden lso durch die Trnsformtion ϕ, die j bei 0 und 1 flch verläuft, mehr n die Ränder und b gedrängt wie ds j uch die Guß-Formeln tun! Als Beispiel für ϕ ht sich folgende Trnsformtion bewährt: v(y) q ϕ(y) := + (b ) v(y) q + v(1 y) q (5.139)

133 5.5. QUADRATURFORMELN FÜR UNEIGENTLICHE INTEGRALE 127 für ein q 2 und dem kubischen Polynom ( v(y) = 4 1 ) ( 2 y (b )q 2) ( 2 y 1 ) + 1 (b )q 2 2. (5.140) v ist so gewählt, dß v(0) = 0, v(1) = 1 und ϕ ( 1 2) = 2 ist. Mn weist leicht die Monotonie von v nch. (C) Aufsplten des Integrtionsintervlls: Wir mchen dies wieder m Beispiel klr: Für kleines ε > 0 ist x sin(x) dx = ε x sin(x) dx + b x sin(x) dx. (5.141) 0 0 ε Ds zweite Integrl besitzt einen gltten Integrnden und knn etw mit der Simpsonregel behndelt werden. Für ds erste Integrl entwickle mn die Sinusfunktion in eine Tylorreihe und erhält ε 0 x sin(x) hx = = ε 0 n=0 ] x [x x3 3! + x5 5! ± dx ( 1) n ε 2n+ 5 2 (2n + 1)!(2n ). (5.142) Die Whl von ε ist in vielen Fällen nicht einfch: Ist ε zu klein, so konvergiert die Simpsonregel nicht besonders gut, d die Ableitungen des Integrnden sehr groß werden. Ist ε zu groß, so konvergiert die Tylorentwicklung nicht sehr gut. Ein nderes Beispiel ist die Zerlegung 9 f(x) dx = j+1 j f(x) dx. } {{ } =I j (5.143) Jedes I j knn mit der Simpsonregel gut berechnet werden, flls f gltt ist. Die Konvergenz der Reihe wird dnn mit der 2 -Methode von Aitken beschleunigt. (D) Absplten der Singulrität: Ht der Integrnd eine Singulrität, so können wir oft eine Funktion finden mit der gleichen Singulrität, die ber geschlossen integrierbr ist. Die Differenz ist dnn gltt und knn mit Stndrdverfhren berechnet werden. Wir mchen dies wieder m Beispiel

134 128 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION klr: x sin(x) dx = b x(sin(x) x) dx + b xx dx 0 0 = 2 b 5 b x(sin(x) x) dx. } {{ } C 3 [0,b] 0 (5.144) Ntürlich knn mn uch mehr Terme der Potenzreihe der Sinusfunktion bziehen. 5.6 Extrpoltionsverfhren In diesem Abschnitt kommen wir zu den effizientesten Methoden zur Berechnung von bestimmten Integrlen I(f) = f(x) dx für gltte Funktionen f : [, b] R. Hier ist wieder [, b] ein endliches Intervll. Wir erinnern noch einml n die zusmmengesetzte Trpezregel: Für h = b, n = 1, 2, 3,..., ist n [ ] n 1 1 T n (f) := h 2 f() + f( + jh) f(b). (5.145) j=1 Wir hlten f fest und schreiben b jetzt T (h) sttt T n (f). Dnn können wir T (h) gegen h für die diskreten Werte h = b, n = 1, 2, 3,..., uftrgen. Für [, b] = [0, 4] und die n Funktion f(x) = e x hben wir dies in der folgenden Grfik getn. Diese scheint die Form einer Prbel zu hben. Plusibel ist dies uch wegen der Fehlerbschätzung von Stz 5.6: T (h) = I(f) + b 12 f (z h )h 2, (5.146) wobei llerdings z h noch von h bhängt. Dher ist h T (h) nicht genu eine Prbel. Diese Kurve sollte die vertikle Achse bei I(f) schneiden. Dher liegt es doch nhe, für zwei Werte h 1 und h 2 die Trpezsummen T (h 1 ) und T (h 2 ) zu berechnen, dnn die interpolierende Prbel g : h α + βh 2 mit g(h j ) = T (h j ), j = 1, 2, zu bestimmen und α = g(0) ls neue Näherung n I(f) zu nehmen. Genuer bestimmen wir die linere interpolierende Funktion p : t α + βt mit p(h 2 j) = T (h j ) für j = 1, 2. Wir mchen es vor für h 1 = b und h n 2 = h 1 2 = b. Dnn luten die beiden Interpoltionsbedingungen: 2n

135 5.6. EXTRAPOLATIONSVERFAHREN Abbildung 5.1: Trpezregel ufgetrgen gegen h für die Funktion f(x) = e x T ( ) h1 = α + β h und T (h 1 ) = α + βh 2 1. (5.147) Multipliktion der ersten Gleichung mit 4 und Subtrktion der zweiten Gleichung führt zu g(0) = α = 4T ( h 1 ) 3 2 1T (h). Dmit hben wir eine neue Qudrturformel erhlten 3 (wir schreiben wieder h für h 1 ): Q(h) := 4 ( ) h 3 T T (h). (5.148) Eine ndere Herleitung ist die folgende: Angenommen, wir hätten gezeigt, dß gilt: T (h) = h h , (5.149) wobei 0 = I(f) und 1, 2,... von h unbhängig seien. Dnn können wir die Entwicklung für h und für h 2 ufschreiben: T (h) = h h 4 + T ( ) ( h = h ) 2 ( 1 + h ) (5.150) Multipliktion der zweiten Gleichung mit 4 und Subtrktion der ersten Gleichung ergibt: ( ) h 4T T (h) = h 4 +, (5.151) d.h.

136 130 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION 4 3 T ( ) h T (h) = h 4 +. (5.152) Dies erklärt die erwrtete bessere Konvergenz, nämlich die Konvergenzrte h 4. Wie sieht Q(h) = 4T ( ) h 3 2 1T (h) nun us? Eine einfche Rechnung zeigt: 3 [ Q(h) = 4 h f() + 1 2n 1 2 f(b) + ( f + j h ) ] 2 j=1 [ ] h f() + 1 n 1 2 f(b) + f( + jh) j=1 [ = h n 1 f() + f(b) + 2 f 6 k=1 ( + 2k h ) n f k=1 ( + (2k 1) h ) ] 2 (5.153) = S 2n (f), die Simpsonregel für 2n bzw. h 2. In diesem Fll hben wir lso keine neue Qudrturformel erhlten. Bevor wir diese Idee der Extrpoltion weiter verfolgen, wollen wir zunächst die vermutete symptotische Entwicklung von T (h) nch Potenzen von h 2 beweisen. Dies ist die berühmte Euler-McLurinsche Summenformel. Dbei treten wieder spezielle Polynome uf: Definition 5.3 Die Bernoulli-Polynome B k P k, k = 0, 1,..., sind rekursiv definiert durch B 0 (t) := 1, t R, d dt B k := B k 1 (5.154) mit der Normierung 1 0 B k (t) dt = 0, k = 1, 2, 3,... (5.155) Die Zhlen b k := k!b k (0), k = 0, 1, 2,..., heißen Bernoulli-Zhlen. Erste Eigenschften werden in folgendem Lemm bewiesen:

137 5.6. EXTRAPOLATIONSVERFAHREN 131 Lemm 5.3 Beweis: () B k (0) = B k (1) für k = 2, 3,... (b) B k (t) = ( 1) k B k (1 t) für lle t R und k = 0, 1, 2,... (c) B 2k+1 (0) = B 2k+1 ( 1 2) = B2k+1 (1) = 0 für lle k = 1, 2,... (d) Für k = 1, 2,... besitzt t B 2k (t) B 2k (0) nur die Nullstellen 0 und 1 in [0, 1]. (e) Für k = 1, 2,... besitzt B 2k+1 nur die Nullstellen 0, 1 2 () Aus der Definition der B k folgt durch Integrtion: B k (t) = B k (0) + t 0 und 1 in [0, 1]. B k 1 (s) ds (5.156) und dher B k (1) = B k (0) B k 1 (s) ds = B k (0) (5.157) (b) Definiere B k (t) := ( 1) k B k (1 t) für t R und k = 0, 1,.... Dnn ist B 0 (t) = 1 und d dt B k (t) = ( 1) k 1 d dt B k(1 t) = ( 1) k 1 B k 1 (1 t) = B k 1 (t), k = 1, 2,... (5.158) Ferner ist 1 0 B k (t) dt = ( 1) k 1 0 B k (1 t) dt = 0 für k = 1, 2, 3,.... Die Polynome B k erfüllen lso dieselbe Rekursionsformel wie die Polynome B k selbst, dher ist B k = B k für lle k. (c) Dies folgt sofort us Kombintion von () und (b). (d), (e) beweisen wir gemeinsm durch vollständige Induktion nch k. Für k = 1 sieht mn dies direkt: Die Polynome B 2 und B 3 können ls Polynome 2-ten bzw. 3-ten Grdes nicht mehr ls 2 bzw. 3 Nullstellen hben. Seien die Behuptungen von (d) und (e) nun richtig für k. Angenommen, ds

138 132 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Polynom B 2k+2 B 2k+2 (0) hätte noch eine zusätzliche Nullstelle in (0, 1 ]. Nch 2 dem Stz von Rolle hätte dnn uch d B dt 2k+2 = B 2k+1 eine Nullstelle in (0, 1], 2 ein Widerspruch zur Induktionsvorussetzung. Hätte B 2k+3 ußer in 0, 1, 1 eine weitere Nullstelle, so uch eine in ˆt (0, 1). 2 2 Der Stz von Rolle, ngewndt uf die Intervlle (0, ˆt) und (ˆt, 3 ), zeigt, dß 2 d B dt 2k+3 = B 2k+2 zwei verschiedene Nullstellen in (0, 1 ) besitzt. Eine weitere 2 Anwendung des Stzes von Rolle impliziert schließlich, dß d B dt 2k+2 = B 2k+1 eine Nullstelle in (0, 1 ) besitzt, ein Widerspruch zur Induktionsvorussetzung. 2 Dies beweist ds Lemm. Stz 5.14 (Euler-McLurinsche Summenformel) Sei m N, f C 2m [, b] und T (h) := h [ n f() + j=1 f( + jh) f(b) ], h := b n, (5.159) die zusmmengesetzte Trpezregel. Dnn gilt: f(x) dx = T (h) m 1 j=1 b 2j h 2j (2j)! [ f (2j 1) (b) f (2j 1) () ] R m (5.160) mit Restglied R m = (b )b 2mh 2m f (2m) (z) für ein von f und h bhängiges z (2m)! [, b]. Beweis: Zunächst betrchten wir ds Intervll [0, 1] und eine beliebige Funktion g C 2m [0, 1]. Unter Benutzung von B 1 (0) = 1 2, B 1(1) = 1 2, B 2j(0) = B 2j (1) und B 2j+1 (0) = B 2j+1 (1) = 0 erhlten wir durch prtielle Integrtion: 1 g(t) dt = 1 1 B 1(t)g(t) dt = B 1 (t)g(t) 1 0 B 1 (t)g (t) dt 0 0 = [g(1) + g(0)] 0 0 B 2(t)g (t) dt (5.161)

139 5.6. EXTRAPOLATIONSVERFAHREN 133 = 1 2 [g(1) + g(0)] B 2(t)g (t) = 1 2 [g(1) + g(0)] B } 2(0) [g (1) g (0)] + {{ } =B 2 (1) 0 B 2 (t)g (t) dt 1 0 B 3(t)g (t) dt = 1 2 [g(1) + g(0)] B 2(0)[g (1) g (0)] 1 B 4 (0)[g (1) g (0)] B 4(t)g (t) dt 0. = 1 m 1 2 [g(1) + g(0)] j=1 d dt B 2m 1(t)g (2m 2) (t) dt B 2j (0)[g (2j 1) (1) g (2j 1) (0)] Mn weise diese Beziehung noch einml durch vollständige Induktion nch m nch! Dmit erhlten wir 1 0 g(t) dt = 1 m 1 2 [g(1) + g(0)] j=1 B 2j (0)[g (2j 1) (1) g (2j 1) (0)] 1 B 2m 1 (t)g (2m 1) (t) dt (5.162) 0 = 1 m 1 2 [g(1) + g(0)] j=1 B 2j (0)[g (2j 1) (1) g (2j 1) (0)]

140 134 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION 1 Und mit nochmliger prtieller Integrtion: 0 d dt [B 2m(t) B 2m (0)] g (2m 1) (t) dt 1 0 g(t) dt = 1 m 1 2 [g(1) + g(0)] 1 + j=1 [B 2m (t) B 2m (0)] g (2m) (t) dt. B 2j (0)[g (2j 1) (1) g (2j 1) (0)] (5.163) 0 Diese letzte Gleichung wenden wir nun uf die Funktion g k (t) := f(x k +th) n für k = 0,..., n 1. Hierbei ist ntürlich wieder x k = +kh für k = 0,..., n 1. Wegen b 2j = (2j)!B 2j (0) und g (j) k (t) = hj f (j) (x k + th) ist: f(x) dx = n 1 k=0 x k+1 x k m 1 h n 1 f(x) dx = h 1 k=0 0 f(x k + th) } {{ } =g k (t) dt = 1 n 1 2 h k=0 n 1 [ B 2j (0)h 2j 1 f (2j 1) (x k+1 ) f (2j 1) (x k ) ] j=1 k=0 (g k (1) + g k (0)) } {{ } =f(x k+1 )+f(x k ) = h n 1 1 +h 2m+1 k=0 0 [B 2m (t) B 2m (0)] f (2m) (x k + th) dt ( ) n f() + f(x k ) f(b) k=1 } {{ } =T (h) n 1 +h 2m k=0 x k+1 x k [ ( ) x xk B 2m h m 1 j=1 b 2j h 2j (2j)! ] B 2m (0) f (2m) (x) dx. (5.164) [ f (2j 1) (b) f (2j 1) () ] Wir benutzen jetzt, dß B 2m ( ) B 2m (0) keine Nullstelle in (0, 1) besitzt, lso ds Vorzeichen ( in [0, 1] nicht wechselt. Dnn ist uch die Funktion F (x) := B x xk ) 2m h B2m (0) für x [x k, x k+1 ], k = 0,..., n 1, stetig und von einem

141 5.6. EXTRAPOLATIONSVERFAHREN 135 Vorzeichen uf [, b]. Die Anwendung des Mittelwertstzes der Integrlrechnung uf ds Integrl im letzten Ausdruck liefert die Existenz eines z [, b] mit = n 1 k=0 x k+1 x k [ ( ) x xk B 2m h F (x)f (2m) (x) dx = f (2m) (z) ] B 2m (0) f (2m) (x) dx F (x) dx x = f (2m) n 1 k+1 ( ) x xk (z) B 2m dx (b )B 2m (0) h k=0 x } k {{ } =0 (5.165) = b (2m)! b 2mf (2m) (z). Dies beweist die Behuptung. Bemerkung 5.3 () Diese Formel knn benutzt werden, um die Trpezregel zu verbessern. Betrchtet mn die Summe für m = 2, so erhält mn: f(x) dx = T (h) b 2h 2 wobei ds Restglied bgeschätzt werden knn durch R 2 (b )b 4h [f (b) f ()] R 2 (5.166) mx f (4) (z). z b Dieses ist lso uch wie die zusmmengesetzte Simpsonregel eine Qudrturformel von der Ordnung h 4, benutzt llerdings die Ableitungen der Funktion n den Stellen und b. (b) Ist die Funktion f periodisch mit Periodenlänge b, so erhält mn durch die Trpezregel schon optimle Resultte: Sei f C 2m [, b] mit f (k) () = f (k) (b) für lle k = 0, 1,..., 2m 2, so erhält mn f(x) dx =

142 136 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION T (h) R m, und R m ist von der Ordnung h 2m. Je gltter die periodische Funktion f ist, desto höher ist lso die Konvergenzordnung. (c) Als Nebenprodukt (für uns, denn historisch wr dies der Ausgngspunkt für die Summenformel) erhlten wir z.b. die Werte von Summen der Form n 1 j k für k N. Wir mchen es für ds Beispiel k = 3 vor: Wähle in der j=1 Summenformel [, b] = [0, 1], f(x) = x 3 und m = 2. Dnn erhlten wir R 2 = 4, d die vierte Ableitung von f verschwindet. Ds Integrl über f können wir exkt berechnen und erhlten lso mit f (x) = 3x 2 : [ 1 4 = T (h) b 2h 2 2 [f (1) f (0)] = 1 1 n Wegen B 2 (0) = 1 12 ist b 2 = 1 6 n und dher ufgelöst: j=1 ] j 3 b 2 n 3 2n 3. 2 (5.167) n 1 j 3 = 1 4 n4 1 2 n n2 = 1 4 n2 (n 1) 2. (5.168) j=1 Nun beschreiben wir systemtisch die Form der Extrpoltionsverfhren: Wir geben uns eine Anzhl von Schrittweiten h k = b n k, k = 0, 1, 2,..., m, vor mit ntürlichen Zhlen n 0 < n 1 < n 2 < < n m. Dnn bestimmen wir die Trpezsummen T (h j ) für j = 0,..., m. Nun berechnen wir ds eindeutig existierende Interpoltionspolynom P 0...m P m mit P 0...m (h 2 j) = T (h j ) für j = 0,..., m (5.169) und nehmen P 0...m (0) ls neue Näherung für ds Integrl. D wir nur n einem Wert, nämlich n P 0...m (0), interessiert sind, bietet sich zur Berechnung des Interpoltionspolynoms der früher besprochene Neville-Algorithmus n. Wir bezeichnen mit P i k...i P k dsjenige Interpoltionspolynom mit P i k...i (h 2 j) = T (h j ), j = i k,..., i. Diese Polynome werden rekursiv über die folgende Formel berechnet, die wir im früheren Kpitel über Polynominterpoltion hergeleitet htten: P i (t) = T (h i ), i = 0,..., m, P i k...i (t) = P i k...i 1 (t) + (t h2 i k ) [P i k+1...i(t) P i k...i 1 (t)] h 2 i h2 i k (5.170) Für t = 0 ergibt sich mit der Abkürzung T (k) i := P i k...i (0) : T (0) i = T (h i ), i = 0,..., m, (5.171)

143 5.6. EXTRAPOLATIONSVERFAHREN 137 T (k) i = T (k 1) i 1 h 2 i k [ T (k 1) i h 2 i h2 i k ] T (k 1) i 1 = T (k 1) i + T (k 1) i T (k 1) i 1 ( hi k h i ) 2 1 für i = k,..., m, k = 1,..., m. Dmit erhält mn ds folgende Verfhren zur Berechnung von P 0...m (0) = T (m) m : Für i = 0,..., m setze: T (0) i := T (h i ). Für k = 1,..., m und i = k, k + 1,..., m setze: T (k) i := T (k 1) i + T (k 1) i T (k 1) i 1 ( hi k ) 2 1 h i Beim Rombergverfhren wird in jedem Schritt die Schrittweite hlbiert, d.h. mn wählt die Folge h j := (b ) 2 j, j = 0,..., m. Dmit erhält mn ds Rombergverfhren: Für i = 0,..., m setze: T (0) i := T (h i ). Für k = 1,..., m und i = k, k + 1,..., m setze: T (k) i := T (k 1) i + T (k 1) i T (k 1) i 1 4 k 1 Bemerkung 5.4 Die Huptrbeit bei der Durchführung des Extrpoltionsverfhrens besteht in der Berechnung der Trpezsummen T (0) i = T (h i ), denn hierzu muß die zu integrierende Funktion usgewertet werden. Dies knn kostspielig sein. Ds Rombergverfhren ht im Gegenstz zu nderen Whlen von h i den Vorteil, dß bei der Berechnung von T (h i ) nur die Hälfte der Trpezsummen berechnet werden müssen. Es ist nämlich wegen h i = 1h 2 i 1: T (0) i = h i i 1 2 f() + f j=1 j=1 ( + j 1 ) 2 h i f(b) = 1 2 T (0) i 1 + h 2 i 1 i f( + (2j 1)h i ), i = 1, 2,... (5.172) Unser Ziel ist es noch, die gute Konvergenzgeschwindigkeit zu beweisen. Wir beschränken uns dbei uf die Rombergintegrtion, d.h. die Whl h i = (b ). Zunächst zeigen wir, dß 2 i jede der Formeln T (k) i positive Gewichte ht:

144 138 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Stz 5.15 Sei T (0) i die Trpezsumme zur Mschenweite (b ), und T (k) 2 i i Rombergfolge, d.h. für i k die T (k) i := T (k 1) i + T (k 1) i T (k 1) i 1 4 k 1 = 4k T (k 1) i 4 k 1 T (k 1) i 1. (5.173) Beweis: Jedes T (k) i, k = 1, 2, 3,..., m, i = k, k + 1,..., m, ht die Form T (k) i = M k ( ) w (k) j f z (k) j mit gewissen Stützstellen z (k) j [, b] und nichtnegtiven Gewichten w (k) j. Mnchml ist es für die Durchführung eines Beweises mit vollständiger Induktion einfcher, etws mehr zu zeigen. Wir zeigen mit vollständiger Induktion nch k N die folgenden beiden Aussgen: () Für i = k 1, k, k+1,... ist T (k 1) i eine Qudrturformel der behupteten Art mit nichtnegtiven Gewichten. ebenflls eine Qudr- (b) Für i = k, k + 1,... ist Q (k) i := 4 k T (k 1) i 2T (k 1) i 1 turformel mit nichtnegtiven Gewichten. Für k = 1 sind beide Aussgen richtig, denn T (0) i und wegen T (0) i = 1 2 T (0) i 1 + b 2 i 1 f 2 i j=1 ist die Trpezsummenregel ( + (2j 1) b ) 2 i (5.174) ist Q (1) i = 4T (0) i 2T (0) i 1 = 4b 2 i 1 f 2 i j=1 ( + (2j 1) b ) 2 i (5.175) und dies ist eine Qudrturformel mit positiven Gewichten. Seien die beiden Behuptungen () und (b) nun für k richtig. Unter dieser Annhme beweisen wir sie jetzt für k + 1: Nch Induktionsnnhme ist T (k) i = 4k T (k 1) i 4 k 1 T (k 1) i 1 = Q(k) i + T (k 1) i 1 4 k 1, (5.176)

145 5.6. EXTRAPOLATIONSVERFAHREN 139 i = k, k + 1,..., ls Summe von zwei Formeln ebenflls eine Qudrturformel mit nichtnegtiven Gewichten. Dmit ist () für k + 1 gezeigt. Schließlich ist für i k + 1: Q (k+1) i = 4 k+1 T (k) i = 2 4k T (k 1) i 1 2T (k) i 1 (k 1) T i 1 = 4k k+1 Q (k) i 4 k 1 4 k 1 + 2T (k 1) i 2 + Q (k) i. 2 4k T (k 1) i 1 4 k 1 T (k 1) i 2 (5.177) Nch Induktionsnnhme ist dies offenbr ebenflls eine Qudrturformel mit nichtnegtiven Gewichten. Nun können wir etws zur Güte des Verfhrens ussgen: Stz 5.16 Beweis: Bei gegebenem f C[, b] sei T (k) i berechnete Näherung für ds Integrl I(f) :=, 0 k i, die durch ds Rombergverfhren f(x) dx. Dnn gilt: () Ist f Polynom vom Grd 2k + 1, d.h. f P 2k+1, so ist T (k) i lle i k. (b) Für jede stetige Funktion f C[, b] gilt lim T (k) k = I(f). k (c) Für jede stetige Funktion f C 2k+1 [, b] gilt lim T (k) i = I(f). i = I(f) für () Wir erinnern n die Definition von T (k) i = P i k...i (0), wobei P i k...i P k ds Interpoltionspolynom ist mit P i k...i (h 2 j) = T (h j ) für j = i k,..., i. Aus der Lgrngedrstellung folgt: T (k) i = P i k...i (0) = i j=i k i h 2 l T (h j ) h 2 l=i k l = h2 j l j } {{ } =:c (k) ij i j=i k c (k) ij T (h j). (5.178) Für ein beliebiges Polynom p P k stimmt ds Interpoltionspolynom k-ten Grdes von p mit p überein, lso p(h) = i j=i k p(h 2 j) i l=i k l j h h 2 l h 2 j. h2 l (5.179)

146 140 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION Setzt mn in dieser Formel ncheinnder die Monome p(h) = 1, p(h) = h,..., p(h) = h k ein, und wertet es bei h = 0 us, so erhält mn i j=i k { c (k) 1 : l = 0 ij h2l j = 0 : l = 1,..., k (5.180) Wegen der Euler-McLurinschen Summenformel ist nun für Polynome f P 2k+1 : f(x) dx = T (h j ) + k l=1 β l h 2l j + R k+1 (5.181) mit gewissen Konstnten β 1,..., β k. Aus der Drstellung des Restterms in der Summenformel erkennt mn, dß R k+1 = 0 für Polynome f P 2k+1. Multipliziert mn nun die so erhltene Gleichung mit c (k) ij und summiert sie über j = i k,..., i, so erhält mn unter Berücksichtigung von (5.180) und i = 1 (dies ist (5.180) für l = 0) die Drstellung: j=i k c (k) ij f(x) dx = T (h j ) + = T (h j ) + i j=i k k l=1 β l c (k) ij i k l=1 j=i k β l h 2l j c (k) ij h2l j = T (h j ). (5.182) Dmit ist Teil () bewiesen. (b) Dieser Teil ist nun einfch. Wir wissen zum einen, dß T (k) k die Form ht: T (k) k = T (k) k (f) = M k ( ) w (k) j f z (k) j mit nichtnegtiven Gewichten w (k) j und zum nderen, dß die Rombergfolge für lle Polynome konvergiert: lim T (k) k (p) = k I(p) für jedes Polynom p. Die Rombergnäherungen sind sogr exkt, wenn 2k + 1 größer ls der Grd von p ist. Nun benutzen wir den llgemeinen Konvergenzstz 5.8. Wir wiederholen noch einml die Argumenttion: Sei f stetig. Dnn existiert nch dem Weierstrßschen Approximtionsstz zu jedem ε > 0 ein Polynom p mit mx p(x) f(x) ε. Zu diesem p wählen wir 2k x b größer ls den Grd von p. Dnn gilt T (k) k (p) = I(p) für lle k k 0. D die konstnte Funktion 1 exkt integriert wird, gilt

147 5.6. EXTRAPOLATIONSVERFAHREN 141 M k w (k) j M k = w (k) j = 1 dx = b. (5.183) Dher folgt für k k 0 : T (k) k (f) I(f) T (k) k (f p) + T (k) k (p) I(p) + I(p f) (5.184) Den ersten Ausdruck uf der rechten Seite schätzen wir b durch Mk T (k) k (f p) mx p(x) f(x) x b w (k) j (b )ε. (5.185) Den letzten Ausdruck schätzen wir ebenflls durch (b )ε, und erhlten zusmmen: T (k) (f) I(f) 2(b )ε für lle k k 0. (5.186) k Dies beweist Teil (b). Für Teil (c) verweisen wir uf ds Buch [We92], n ds wir uns in diesem Abschnitt eng gehlten hben. Nun möchten wir die ußerordentlich gute Konvergenz noch n einem numerischen Beispiel zeigen. Wir betrchten wiederum ds Beispiel von oben: 1 0 ( ) e dx = 1 ln 1 + ex 2 (5.187) und erhlten ds Schem für den Fehler E (k) i := T (k) i I(f) : Vergleichen wir diese Tbelle mit der früher, so erkennen wir: In der ersten Splte stehen die Trpezsummenregeln für n = 1, 2, 4, 8 und 16. In der zweiten Splte stehen die Simpsonregeln für n = 2, 4, 8 und 16. Bemerkung 5.5 () Neben der Rombergfolge h i := (b ) 2 i benutzt mn in der Prxis noch die Bulirsch-Folge h 0 := b, h 1 = b 2, h 2 = b 3, h 3 = b 4,... (5.188) die den Vorteil ht, dß die Anzhl der Stützstellen nicht so schnell wächst und trotzdem die lten Trpezsummen benutzt werden können.

148 142 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION n k = 0 k = 1 k = 2 k = E E E E E E E E E E E E E E - 05 Tbelle 5.7: Fehler beim Rombergverfhren (b) Im Buch von Stoer [St89] werden uch Konvergenzordnungen für die Extrpoltionsverfhren hergeleitet. Allgemein läßt sich zeigen: Zu jedem f C 2k+2 [, b] existiert ein c k > 0 mit T (k) i I(f) c k h 2 i k h 2 i für lle i k. (5.189) Für die Romberg- und Bulirsch-Verfhren ergeben sich dmit Fehlerordnungen T (k) i I(f) ch 2k+2 i k, (5.190) lso so gut wie etw die Guß-Formel. Die Extrpoltionsverfhren hben ber gegenüber der Guß-Formel den immensen Vorteil, nur uf der Trpezregel zu bsieren. Die bei den Guß-Formeln so schwierige Frge, wie Stützstellen und Gewichte berechnet werden müssen, stellt sich hier nicht! (c) Die Methode der Extrpoltion wird nicht nur bei der Integrtion verwendet, sondern überll, wo eine Größe I(f) berechnet werden soll und eine symptotische Entwicklung des Fehlers T (h) I(f) nch Potenzen von h τ für ein τ 1 beknnt ist. Sehr erfolgreich wird die Methode der Extrpoltion bei der Diskretisierung von gewöhnlichen Differentilgleichungen benutzt.

149 5.6. EXTRAPOLATIONSVERFAHREN 143 Aufgben 1. Die Mittelpunktregel zur näherungsweisen Berechnung von I(f) := Q(f) := (b )f ( ) +b 2. () Zeigen Sie, dß Q(p) exkt ist für p P 1. (b) Berechnen Sie die Peno-Kerne K 0 und K 1. (c) Beweisen Sie die Fehlerbschätzungen: f(x) dx lutet I(f) Q(f) (b )2 f für f C 1 ([, b]) 4 und I(f) Q(f) (b )3 f für f C 2 ([, b]) Berechnen Sie mit der zusmmengesetzten Simpsonregel ds Integrl 1 0 e x2 2 dx uf 4 Nchkommstellen genu. Leiten Sie zunächst us der Drstellung des Qudrturfehlers I(f) S n (f) her, wie groß n mindestens gewählt werden muß, um die gewünschte Genuigkeit zu erzielen. 3. Entwickeln Sie für die Integrl der Form I(F ) := 0 f(x)x 1 2 dx ( > 0) eine Newton-Cotes-Formel Q 2 (f) = 2 ω j f(x j ) der Ordnung 2 (ds heißt, mit Q 2 (p) = I(p) für lle p P 2 bei äquidistnten Knoten), indem Sie die Funktion f durch ihr Interpoltionspolynom p f ersetzen. Bestimmen Sie die Gewichte und leiten Sie us einer Fehlerbschätzung des Interpoltionsfehlers eine Abschätzung für den Qudrturfehler I(f) Q 2 (f) her.

150 144 KAPITEL 5. NUMERISCHE INTEGRATION 4. Mit h := b 3 lutet die Newton-Cotes-Formel für n = 3 (Newtons 3 8 -Regel): Q 3 (f) = b 8 [f() + 3f( + h) + 3f( + 2h) + f(b)]. () Zeigen Sie, dß der zugehörige Penokern K 3 uf [, b] nicht ds Vorzeichen wechselt und beweisen Sie hiermit, dß es zu f C 4 ([, b]) ein z (, b) gibt mit I(f) Q 3 (f) = 3 80 h5 f (4) (z). (b) Leiten Sie eine zusmmengesetzte 3 8 -Regel her und geben Sie für f C4 ([, b]) wiederum eine Fehlerdrstellung n. 5. Schreiben Sie ein Progrmm zur Romberg-Integrtion einer stetigen Funktion uf einem Intervll [, b] und berechnen Sie dmit folgende Integrle: () 3.5 x x2 4 dx 3 (b) π 4 x 2 sin(x) dx 0 Lssen Sie jeweils ds Romberg-Dreiecksschem bis T (k 1) k T (k) k < 10 6 oder k = 10 usgeben. Vergleichen Sie Ihre Resultte mit den exkten Werten der Integrle. 6. Berechnen Sie ein 5-zeiliges Romberg-Schem für I = 1 0 x 3 2 dx = 0.4 Überprüfen Sie, ob die Fehlerordnung us der Euler-McLurinschen Summenformel erreicht wird. Wenn nicht, dnn geben Sie eine vernünftige Erklärung für ds beobchtete Verhlten.

151 Literturverzeichnis [AS71] [BGK85] [BrKr75] [BHW92] [BHW93] [DeHo91] [De89] M. Abrmowitz, I. A. Stegun. Hndbook of mthemticl functions, Dover Publictions, New York, 1971 W. Böhm, G. Gose, J. Khmnn. Methoden der Numerischen Mthemtik, Vieweg, Brunschweig - Wiesbden, 1985 B. Brosowski, R. Kress. Einführung in die Numerische Mthemtik 1, Bibliogrphisches Institut, Mnnheim - Wien - Zürich, 1975 K. Burg, H. Hf, F. Wille. Höhere Mthemtik für Ingenieure, Bnd 2: Linere Algebr, 3. Aufl., Teubner, Stuttgrt, 1992 K. Burg, H. Hf, F. Wille. Höhere Mthemtik für Ingenieure, Bnd 5: Funktionlnlysis, 2. Aufl., Teubner, Stuttgrt, 1993 P. Deuflhrd, A. Hohmnn. Numerische Mthemtik. Eine lgorithmisch orientierte Einführung, de Gruyter, Berlin - New York, 1991 Devney. An Introduction to Chotic Dynmicl Systems, Addison-Wesley, Redwood City, CA, 1989 [EnMü90] Engeln-Müllges. Formelsmmlung zur Numerischen Mthemtik mit C- Progrmmen (bzw. Turbo-Pscl-Progrmmen), B.I. Wissenschftsverlg, Mnnheim - Wien - Zürich, 1990 (bzw. 1987) [Fi77] K. F. v. Finkenstein. Einführung in die numerische Mthemtik 1, Crl Hnser, München [Gr72] R. D. Grigorieff. Numerik gewöhnlicher Differentilgleichungen,, Bnd 1, Teubner, Stuttgrt, 1972 [Gr77] R. D. Grigorieff. Numerik gewöhnlicher Differentilgleichungen,, Bnd 2, Teubner, Stuttgrt, 1977 [HH89] G. Hämmerlin, K.-H. Hoffmnn. Numerische Mthemtik. Zweite Auflge, Springer, Berlin - Heidelberg - New York - London - Tokyo,

152 146 LITERATURVERZEICHNIS [IsKe73] E. Iscson, H. B. Keller. Anlyse numerischer Verfhren, Verlg Hrri Deutsch, Zürich, 1973 [JER78] G. Jordn-Engeln, F. Reutter. Numerische Mthemtik für Ingenieure, 3. Aufl., Bibliogrphisches Institut, Mnnheim - Wien - Zürich, 1982 [MeMe79] G. Meinrdus, G. Merz. Prktische Mthemtik I, Bibliogrphisches Institut, Mnnheim - Wien - Zürich, 1979 [MeMe79b] G. Meinrdus, G. Merz. Prktische Mthemtik II, Bibliogrphisches Institut, Mnnheim - Wien - Zürich, 1979 [Ni78] [Or87] [ScWe92] Nitsche. Prktische Mthemtik, B.I. Wissenschftsverlg, Mnnheim - Wien - Zürich, 1978 Ortlieb. Gewöhnliche Differentilgleichungen, Mnuskript, Universität Hmburg, 1987 R. Schbck, H. Werner. Numerische Mthemtik, 4. Aufl., Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 1992 [SS76] G. Schmeisser, H. Schirmeier. Prktische Mthemtik, de Gruyter, Berlin - New York, 1976 [Sc88] H. R. Schwrz. Numerische Mthemtik, 2. Aufl., Teubner, Stuttgrt, 1988 [St65] [St89] [StBu90] [St86] [SS66] E. Stiefel. Einführung in die numerische Mthemtik, Teubner, Stuttgrt, 1965 J. Stoer. Numerische Mthemtik 1, Springer, Berlin - Heidelberg - New York - London - Pris - Tokyo - Hong Kong, 1989 J. Stoer, R. Bulirsch. Numerische Mthemtik 2, Springer, Berlin - Heidelberg - New York - London - Pris - Tokyo - Hong Kong, 1990 G. Strng. Introduction to Applied Mthemtics, Wellesley-Cmbridge Press, Cmbridge, 1986 A. H. Stroud, D. Secrest. Gussin Qudrture Formulres, Prentice Hll, Englewood Cliffs, New Jersey, 1966 [St65] F. Stummel, K. Hiner. Prktische Mthemtik, Teubner, Stuttgrt, 1965 [TöSp88] W. Törnig, P. Spellucci. Numerische Mthemtik für Ingenieure und Physiker, Bnd 1: Numerische Methoden der Algebr, Springer, Berlin - Heidelberg - New York - London - Pris - Tokyo - Hong Kong, 1988

153 LITERATURVERZEICHNIS 147 [TöSp90] [V61] [W72] [We79] [We92] [Wi69] W. Törnig, P. Spellucci. Numerische Mthemtik für Ingenieure und Physiker, Bnd 2: Numerische Methoden der Anlysis, Springer, Berlin - Heidelberg - New York - London - Pris - Tokyo - Hong Kong, 1990 R. S. Vrg. Mtrix Itertive Anlysis, Prentice Hll, Englewood Cliffs, New Jersey, 1961 W. Wlter. Gewöhnliche Differentilgleichungen, Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 1972 H. Werner. Prktische Mthemtik I, Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 1979 J. Werner. Numerische Mthemtik 1, Vieweg, Brunschweig - Wiesbden 1992 J. H. Wilkinson. Rundungsfehler, Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 1969 [Wi76] F. Wille. Anlysis, Teubner, Stuttgrt, 1976

154 Index Abgeschlossenheit, 17 Aitkens 2 -Verfhren zur Konvergenzbeschleunigung, 30 Bézierkurve, 81 Birstow-Verfhren, 39 Bnchscher Fixpunktstz, 18 Bernoulli -Polynom, 130 -Zhlen, 130 Bernsteinpolynom, 79 Beschrnktheit, 13 Binomilkoeffizient, 79 Bulirsch-Folge, 141 Cuchy-Schwrzsche Ungleichung, 15 Cuchyfolge, 17 de Cstelju, Algorithmus von, 85 Definitheit, 14 dividierte Differenzen, 51 Dreiecksungleichung, 14 umgekehrte, 14 Euklidische Norm, 15 Euler-McLurinsche Summenformel, 132 Extrpoltionsverfhren, 136 Fehlerbschtzung posteriori, 19 priori, 19 Fibonccizhlen, 29 Fixpunkt, 18 -itertion, 18 -stz, 18 Guss -Formel, 90, 108, 124 Gewichtsfunktion, 90, 96 Gleichungssystem homogenes, 64 nichtlineres, 13 Grdnhebung, 86 Grdient, 36 Hermite-Polynom, 121 Heronsches Verfhren, 4 Homogenitt, 14 Hornerschem, 2, 39 Interpoltion -sufgbe, 49 -sfehler, 55 -sformel nch Lgrnge, 50 nch Newton, 50 durch Splines, 59 linere, 5 Polynom-, 50 qudrtische, 6 Itertion -sfunktion, 10 Kontrktion, 19 Konvergenz, 11, 13 -Ordnung, 11 -beschleunigung, 30 -geschwindigkeit, 11 globle, 10 lokle, 10 konvex, 81 -e Hulle, 82 Konvexkombintion,

155 INDEX 149 Kurve Bézier-, 81 gltte, 76 polynomile, 76 Lguerre-Polynom, 114, 120 Legendre-Polynom, 107, 118 Mtrix Funktionl-, 35 Mximumsnorm, 15 Menge bgeschlossene, 17 konvexe, 81 Milne-Regel, 97 Mittelwertstz der Integrlrechnung, 91 Momente, 65 Neville-Algorithmus, 54, 136 Newton-Cotes-Formel, 90, 96 zusmmengesetzte, 101 Newtons 3/8-Regel, 97 Newtonverfhren, 24 mehrdimensionles, 35 vereinfchtes, 27 Norm, 14 quivlente, 17 Euklidische, 15 Mximums-, 15 normierter Rum, 14 orthogonl, 113 Prmetrisierung, 76 Peno -kern, 92, 109 Stz von, 92 Polynom Bernoulli-, 130 Bernstein-, 79 Hermite-, 121 Interpoltions-, 50 Lgrnge-, 50 Lguerre-, 114, 120 Legendre-, 107, 118 Newton-, 50 Tschebyscheff-, 56, 114, 119 qudrtischer Fktor, 38 Qudrturformel, 89 fur uneigentliche Integrle, 122 nch Guss, 90 nch Newton-Cotes, 90, 96 Rechteckregel, 94 Riemnnsumme, 6, 89 Rodrigues, Formel von, 119 Rombergverfhren, 137 Sekntenverfhren, 27 Simpsonregel, 97, 100 zusmmengesetzte, 102 Spline kubischer, 60 linerer, 59 Steffensen-Verfhren, 34 Stetigkeit, 13 Folgen-, 18 Subdivisionslgorithmus, 86 Tylorformel, 90 Trpezregel, 94, 100 zusmmengesetzte, 6, 101 Tschebyscheff -knoten, 55 -polynom, 56, 114, 119 Verfhren Aitkens 2 -, 30 Birstow-, 39 Extrpoltions-, 136 Heron-, 4 Newton-, 24 mehrdimensionles, 35 vereinfchtes, 27 Romberg-, 137 Seknten-, 27 Steffensen-, 34

156 150 INDEX Vorwrts-Differenzenopertor, 30 Weddle-Regel, 97 Weierstrsscher Approximtionsstz, 104, 140 Zerlegung der Eins, 79