Numerische Integration durch Extrapolation

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1 Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der Milne-Regel, wird bei der Integrtion durch Extrpoltion eine Annäherung n den Integrlwert durch eine Extrpoltion über diskrete Werte, die eine zusmmengesetzte Regel mit verschiedenen Schrittweiten liefert, erreicht. Ds heisst, dss ds gesuchte Integrl I mit Hilfe einer zusmmengesetzen Regel für verschiedene Schrittweiten h pproximiert wird. Über diese gefundenen Werte wird nun ein Interpoltionspolynom gelegt, und n der Stelle h = usgewertet. D usserhlb des Intervlls liegt, in dem ds Interpoltionspolynom entstnd, nennt mn ds Verfhren Extrpoltion. Mn extrpoliert bei h =, d nzunehmen ist, dss wenn mn immer kleiner werdende Schrittweiten betrchtet, die Approximtion immer genuer wird. Die Annhme lso, dss lim h = I ist. Zur numerischen Integrtion des Integrls wir die Trpezregel T (h) zusmmen mit der Romberg-Folge h i T (h i ) = h i f(x) dx durch Extrpoltion verwenden i (f() + (f( + jh j )) + f(b)) j= mit der Romberg-Folge h i := b i für i =,,..., m.

2 Numerische Integrtion durch Extrpoltion Dbei knn mn T (h i+ ) rekursiv us T (h i ) berechnen. Es gilt: T (h i+ ) = T ( h i) = T (h i) + h i+ (f( + h i+ ) + f( + 3h i+ ) f(b h i+ )) T (h) besitzt folgende Entwicklung welche in Abschnitt bewiesen wird. T (h) = τ + τ h + τ h τ m h m + α m+ (h)h m+ mit τ := f(x) dx. Dbei sind die τ i von h unbhängige Konstnten und α m+ (h) ist eine beschränkte Funktion. D mn T (h) nur für h > nicht ber für h = berechnen knn, interpoliert mn T n den Stützstellen h, h,..., h m > mit den Funktionswerten T (h ), T (h ),..., T (h m ) und extrpoliert für h = mit Hilfe des Neville-Schems. Neville-Schem zur Polynomwertbestimmung: x i T i, = T (x i ) T +i, T +i,... T m +i,m T m,m x T, = T (x ) T, T,... T m,m T m,m x T, = T (x ) T, T 3,... T m,m x T, = T (x ) T 3, T 4, T m,.. T m, x m T m, = T (x m ) mit m i k und T i, = T (h i ) T i,k (x) = (x x i k)t i,k (x x i )T i,k (x) x i x i k k Drus folgt: T i,k = (x x i)t i,k +(x i x i k )T i,k (x x i )T i,k (x) x i x i k = T i,k + T i,k T i,k x x i k x x i (Der Übersicht hlber schreibe ich T i,k sttt T i,k (x), d x fest ist.)

3 Romberg-Verfhren 3 D hier n der Stelle x = usgewertet werden soll und T (h) eine Entwicklung in h ht muss lso x i = h i gesetzt werden. Es gilt lso der sogennnte Neville-Aitken-Algorithmus: T i,k () = T i,k + T i,k T i,k h i k h i Hierus knn mn verschiedene interessnte Zusmmenhänge bleiten: Zum Beispiel erhält mn für T, die Simsonregel: T, = T, + T, T, h = 4T h 3, T 3, = b b (f() + f(+b) + f(b)) (f() + f(b)) 3 6 = (b )(f() + 4f(+b) + f(b)) (Simpsonregel) 6 Anlog folgt zum Beispiel uch bei T, die Milne-Regel und für h i = b 3 i in T, die pulcherim zurück. Obrige Rechnung lässt sich uch generell für T i, mchen: T i, = 4T 3 i, T 3 i, = 4T (h 3 i) T (h 3 i) = 4(τ 3 + τ h i + τ h 4 i τ m h m i +...) (τ 3 + τ 4h i + τ 6h 4 i τ m m h m i +...) = τ 4τ h 4 i τ 3 h 6 i... Ds heisst lso, dss der Fehler in der zweiten Splte des Neville-Schems wie h 4 i gegen strebt. Insgesmmt strebt der Fehler in der k-ten Splte (d.h. von T i,k ) wie h k i gegen. Beispiel: Gesucht ist eine Näherung für dx = log() = x x i T i, = T (x i ) T +i, T +i, T 3+i,3 T 4, Unterstrichen sind hier jeweils die mit dem exktem Ergebniss übereinstimmenden Stellen.

4 4 Numerische Integrtion durch Extrpoltion Euler-Mclurinsche Summenformel Stz.: Für f ζ m+ [, b] (d.h. f ist uf [, b] (m + ) ml stetig differenzierbr) besitzt die Trpezsumme die Entwicklung mit τ := T (h) = τ + τ h + τ h τ m h m + α m+ (h)h m+ () f(x) dx. Dbei sind die τ i von h unbhängige Konstnten und α m+ (h) ist eine beschränkte Funktion. Beweis: Zum Beweis benötigt mn zuerst folgende Vorbemerkungen: Bernulli Polynome: B k (x) mit k =,,... rekursiv definiert durch: Aus () folgt: () B (x) = (b) B k (x) = kb k (x) k () (c) B k (x) dx = k (d) B k (x) = A k + B k (t) dt k mit der Konstnten A k = B k () so, dss Insbesondere ist z.b.: B k (x) dx =. B (x) = x B (x) = x x + 6 B 3 (x) = x 3 3 x + x B 4 (x) = x 4 x 3 + x 3 Für B k (x) gelten die folgenden wichtigen Eigenschfften: () B k () = B k () k (b) Die Polynome P k (x) := B k ( + x) sind für gerdes k (3) gerde, für ungerdes k ungerde Polynome in x. (c) B k+ () = B k+ () = k

5 Euler-Mclurinsche Summenformel 5 Beweis: zu ) Aus (b) und (c) folgt: B k () B k () = A k + k zu b) B k (t) dt A k k B k (t) dt = P (x) = B ( + x) = ist gerde. Sei nun P k (x) für ein k ein gerdes Polynom. Es gilt weiterhin wegen (b) und (c): P k+ (x) = B k+ (x + ) = (k + )B k(x + ) = (k + )P k(x) und P k+ (x) dx = P k+ (x ) dx = B k+ (x) dx = D P k (x) gerde ist, ist ds Polynom q(x) := (k + ) P k (t) dt ein ungerdes Polynom und es gilt: q(x) dx = q( x) dx = q(x) dx = q(x) dx = Dmit ht q(x) die chrkteristischen Eigenschften (q (x) = (k+)p k (x); q(x) dx = ) von P k+ (x): q(x) = P k+ (x) P k+ (x) ist ungerde. Wegen P k+ = (k +) P k+ (t) dt+a mit A konstnt ist P k+ (x) eine gerde Funktion. zu c) Aus (3) und (3b) folgt: B k+ () = B k+ () = P k+ ( ) = P k+( ) = B k+() =. Als Bernullische Zhlen bezeichnent mn: B k := ( ) k+ B k () Also zum Beispiel: B = 6, B = 3, B 3 = 4, B 4 = 3.

6 6 Numerische Integrtion durch Extrpoltion Nun definieren wir uns -periodische Funktionen: S k : R R mit: S k (x) := B k (x i) mit x I = {x i x < i + }, i gnz. Diese genügen folgender Rekursion: S k (x) = S k () + k S k+ (t) dt k (4) d wegen (d) gilt: S k (x) = B k (x i) = A k + k x i B k (t) dt = B k () + k x i S k (t + i) dt x = S k () + k S k (t) dt f r k Ausserdem gilt wegen (3) für lle k : () B k () = S k () = S k () = S k () =... (b) S k+ () = (5) (c) S k () = ( ) k+ B k. Beweis: zu ) gilt, d für lle x Z gilt: S k (x) = S k () + k zu b) S k (t) dt = S k () = B k () S k+ () = B k+ () = zu c) S k () = B k () = ( ) k+ B k Zum Beweis von Stz. betrchten wir sttt f die Funktion g mit g(t) := f( + th)

7 Euler-Mclurinsche Summenformel 7 Durch schrittweiser prtieller Integrtion von Mn knn n S (t)g (t) dt = g() n S (t)g (t) dt folgt: + g() g(n ) + g(n) n S (t)g (t) dt ber uch so umformen: n g(t) dt (6) n S (t)g (t) dt = m ( ) k+ B k (k)! (g(k ) (n) g (k ) ()) + R m+ (7) k= mit dem Restglied R m+ = (m + )! n (S m+ (t) S m+ ()) = g (m+) (t) dt (8) Wegen g(t) = f( + th) folgt durch einfches umrechnen: () n g(t) dt = h f(x) dx (b) g (k) (t) = h k f (k) ( + th) k =,,,... (9) (c) f() g() g(n) +g()+...+g(n )+ = f(b) +f(+h)+...+f(b h)+ = h T (h) Aus diesen Überlegungen und nch (6),(7) und (8) gilt nun: T (h) = τ + τ h + τ h τ m h m + α m+ (h)h m+ wegen: T (h) = h g() (f() + f( + h) f(b h) + f(b)) = h( + g() g(n ) + g(n) ) n = h( g(t) dt + m (( ) k+ B k (k)! (g(k+) (n) g (k ) ())) + R m+ ) = = k= f(x) dx + h m ( ( )k+ B k k= (k)! (h k f (k ) ( + tn) h k f (k ) ( + n))) + hr m+ f(x) dx + m k= ( ( )k+ B k (k)! (f (k ) (b) f (k ) ())) + hr m+

8 8 Numerische Integrtion durch Extrpoltion Mit dem Restglied: hr m+ = h = h (m+)! hm+ m+ = h (m+)! (m+)! (S m+ ( x ) S h m+())f (m+) (x) dx f (m+) (x)(s m+ ( s ) S h m+()) dx n (S m+ (t) S m + ())g (m+) (t) dt Genu erhält mn lso die Euler-Mclurinsche Summenformel durch: α m+ (h) = τ = f(x)dx τ k = ( )k+ B k (f (k ) (b) f (k ) () k =,,..., m (k)! b (m+)! f (m+) (x)(s m+ ( x ) S h m+()) dx S m+ ist eine stetige periodische Funktion, es gibt lso eine von h unbhängige obere Schrnke für α m+ (h). Dmit ist Stz. bewiesen.