Numerische Integration

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1 TU Ilmenu Institut für Mthemtik FG Numerische Mthemtik und Informtionsverrbeitung PD Dr. W. Neundorf Dtei: UEBG9.TEX Übungsufgben zum Lehrgebiet Numerische Mthemtik - Serie 9 Numerische Integrtion. Mn beweise. Zu ε > und gegebener Funktion f C[, b] existiert ein lgebrisches Polynom p n (x), so dss mit dem Funktionl I(f) = 2. Mn bestimme näherungsweise ds Integrl I = () Trpezregel, (b) Simpson-Regel, b f(x) stets I(f) I(p n ) < ε gilt. bei einer Einteilung des Integrtionsintervlls in N =, 2, 4 Teile. Mn vergleiche mit dem exkten Wert und berechne den Fehler. π sin(x) = 2 unter Benutzung der 3. Durch Linerkombintion von Integrtionsformeln knn mn Formeln höherer Genuigkeit gewinnen. Mn zeige, dss S = 3 (2R M + T) gilt. Dbei seien R M die Rechtecksregel (Mitte), T die Trpezregel und S die Simpson- Regel. 4. Zur näherungsweisen Berechnung des bestimmten Integrls I = betrchten wir folgende Integrtionsformeln: - Rechteckregel (Links) R L = (b )f() - Rechteckregel (Mitte) R M = (b )f( +b 2 ) - Trpezregel T = 2 (b )(f() + f(b)) - Simpson-Regel S = 6 (b )(f() + 4f(+b 2 ) + f(b)) b f(x), < b, - Zusmmengesetzte Trpezregel bei N = 2 i gleichgroßen Teilintervllen uf [, b] der Länge h = h i = b N T i = h [f() + 2f( + h) + 2f( + 2h) f(b)], i =,,... 2 Mn notiere T und T.

2 Durch Linerkombintion von Integrtionsformeln knn mn neue Formeln mit höherer Genuigkeit gewinnen. Mn zeige, dss () S = 3 (2R M + T ) (b) S = 3 (R M + 2T ) (c) S = 3 (4T T ) 5. Mn bestimme näherungsweise ds Integrl I = unter Benutzung () der Rechteckregel, (b) der Trpezregel, (c) der Simpson-Regel, (d) der Milne-Regel, sin(x) x = (e) der Guß-Tschebyscheff-Integrtionsformel für n = 2 und n = 3, bei der Einteilung des Integrtionsintervlles in N =, 2, 4 Teile. Mn bestätige ufgrund des gegebenen exkten Wertes (uf Stellen) die Gesetzmäßigkeit der Fehlerentwicklung. 6. Mn bestimme näherungsweise I = x+ = ln(2) = bei einer Einteilung des Integrtionsintervlls in N = 2, 4, 8 Teile. () Mn benutze dzu die Rechteckregel (Rechts), Trpezregel und Simpson-Regel. (b) Mn gebe die Integrtionsfehler n. (c) Mn schätze die Fehler mit dem Runge-Prinzip und vergleiche mit (b). 7. Ds Integrl I = sin( π 2 x) = 2 π = ist mit der zusmmengesetzten Trpezregel bei N Teilintervllen näherungsweise bestimmt worden. () Mn gebe für N =,, die Fehlerschrnken für die Näherungswerte n. (b) Mit wieviel Knoten knn mn einen Integrtionsfehler ε 3 4 grntieren? 8. Mn bestimme näherungsweise I = I = sin(x) = x π sin(x) = 2 unter Benutzung der 2

3 - Trpezregel, - Simpson-Regel, - Newton-3/8-Regel, bei einer Einteilung des Integrtionsintervlls in N =, 2, 4 Teile. Mn vergleiche mit dem exkten Wert und berechne den Fehler. Mn bestätige die Gesetzmäßigkeit der Fehlerentwicklung. 9. Eine Funktion sei durch die folgende Wertetbelle gegeben. x f(x) Mn pproximiere ds Integrl I = f(x) durch die Anwendung der zusmmengesetzten Trpezregel Mn schreibe ein Progrmm zur numerischen Berechnung von b f(x) mit der zusmmengesetzten Mittelpunktformel und der zusmmengesetzten Trpezregel. Mn teste ds Progrmm n den Funktionen () f(x) = sin(x), x [, π 2 ], (b) f(x) = e x, x [, ], (c) f(x) = cos(x) x, x (, ]. Mn vergleiche die Resultte (soweit möglich) mit den exkten Werten.. Mn schreibe ein Progrmm, welches für Unterteilungen des Intervlles [,] in N = 8, 6, 32, 64, 28, 256, 52 und 24 gleichgroße Teilintervlle ds Integrl I = xsin(x) = sin() cos() = mittels Rechteck-, Trpez- und Simpson-Regel berechnet und die Ergebnisse in einer Tbelle usgibt. Mn schreibe ds Progrmm so, dss vrible Integrtionsgrenzen und b ( < b) verwendet werden können. 2. Mn schreibe uf der Bsis des Ablufplnes für die Trpezregel mit Schrittweitensteuerung und Grob- und Feinrechnung eine geeignete Prozedur. Eingngsgrößen, b - Integrtionsgrenzen, < b f - Integrnd ε - Genuigkeitsschrnke h - Strtschrittweite Ergebnisgröße I - Näherungswert für Integrl 3

4 Mn ergänze den Ablufpln um Zähler, die die Gesmtzhl der Funktionswertberechnungen ls uch diejenige Anzhl ermitteln, die effektiv zum Näherungwert (Summe) beigetrgen hben. Mn teste die Prozedur nhnd von Beispielen. A h := h ; x := ; I := f := f(x) j x + 2h > b n f 3 := f(x + 2h) h := (b x)/2 f 2 := f(x + h) F := h/2 (f + 2f 2 + f 3 ) G := h (f + f 3 ) f 3 := f 2 h := h/2 est := (F G)/3 j est > ε n I := I + F + est f := f 3 x := x + 2h j x b > ε n E est < ε/5 j h := 2h n 3. Ist T(h, f) eine Abkürzung für die zusmmengesetzte Trpezregel mit Knotenbstnd h = b N zur Integrtion einer Funktion f(x), so zeige mn, dss T(h/2, f) = 2 T(h, f) + h 2 f(xi ), wobei in der letzten Summe nur über die neuen Knoten + h 2, h,..., b 3 2 h, b h 2 zu summieren ist. 4

5 4. Mn integriere uf [, ] mit der zusmmengesetzten Trpezregel die Funktionen f(x) = sin(x), g(x) = sin(x) x und bestimme jeweils experimentell die Fehlerordnung. Mn bechte I(f g) = Mn bestimme die Anzhl N der benötigten Teilintervlle konstnter Länge h = b N, mit der die zusmmengesetzte Trpezregel den Integrlwert I = e x2 = mindestens uf 6 signifiknte Dezimlstellen genu liefert. Wie groß ist I uf 8 signifiknte Stellen genu? 6. Die Simpson-Regel heißt uch Keplersche Fssregel. Mn leite die Näherungsformel V = π h 2 (d2 + 2D 2 ) für den Inhlt eines Fsses her, in die die Höhe h, der Durchmesser D in hlber Höhe und der Durchmesser d n den Enden des Fsses eingehen. Für welche Fässer ist die Formel exkt bei beliebiger Höhe (kreisförmige Querschnitte vorusgesetzt). Wie ist die Genuigkeit von V im Vergleich zum Volumen des Fsses, dessen Mntellinie durch eine qudrtische Prbel beschrieben wird. 7. Mn leite in den Newton-Cotes-Formeln I n+ (f) = (b ) n A k f(x k ) = k= n w k f(x k ) k= die Integrtionsgewichte A k (w k ) her, indem der Integrnd f(x) durch ds Lgrngesche Interpoltionspolynom für n = und n = 2 ersetzt wird. Die Knotenreferenz lutet stets R = { x j : x j = + hj, j =,,...,n, h = b n 8. Mn leite die Integrtionsformel I n+ = h n A k f(x k ) und den zugehörigen Fehlerterm F = I I n+ für die Newton-Cotes-Formeln mit n = 3 und n = 4 her. 9. Zu gegebenem n N und Referenz R seien die Integrtionsgewichte w k mittels Interpoltionsqudrtur bestimmt worden. Die mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten ermittelten Gewichte A k, k = ()n, liegen ebenflls vor. Mn zeige, dss stets w k = ha k, k = ()n, gilt. k= }. 5

6 2. Mn zeige für die Konstnten A k = n n n j=,j k s j k j ds der Newton-Cotes-Formeln I n+ (f), dss () A n k = A k und n (b) A k =. i= 2. Die Newton-Cotes-Formeln I n+ (f) sind exkt für Polynome bis zum Grd n. Mn zeige, flls n gerde ist, dss die Formel I n+ (f) sogr für Polynome bis zum Grd n + exkt ist. Hinweis: Mn benutze die Restgliedformel der Polynominterpoltion und bechte die Symmetrie bezüglich +b Seien < b und x = (3 + b)/4, x = ( + b)/2, x 2 = ( + 3b)/4. Mn zeige b f(x) = b 3 [2f(x ) f(x ) + 2f(x 2 )] + R mit R 7 72 ( ) b 5 mx f (4) (x). 2 x [,b] Hinweis: Die ngegebene Formel ist eine Newton-Cotes-Formel mit negtivem Gewicht. 23. Von einer gltten Funktion f : [, 3] R seien die folgenden Funktionswerte beknnt: f = f(), f = f(.5), f 2 = f(), f 3 = f(2), f 4 = f(3). Gesucht sind Näherungsformeln (Qudrturformeln) für ds bestimmte Integrl I(f) = f(t)dt. () Notieren Sie für I(f) mit den oben gegebenen Knoten (Referenz) {(t i, f i ), i =,, 2, 3, 4} (lso keine weiteren oder weniger Knoten) eine zusmmengesetzte (summierte) Trpezregel T zus sowie eine zusmmengesetzte Simpson-Regel S zus. 6

7 (b) Es sei f(t) = /(t + ) und somit I(f) = ln(4) = Berechnen Sie dmit die in () ngegebenen Größen T zus und S zus und vergleichen Sie die Ergebnisse mit I(f). Welche Qudrturformel liefert ds genuere Ergebnis und wrum? (c) Finden Sie mit der Funktion f(t) = /(t + ) zu den beiden Referenzen t.5 f(t) f f f 2 und t 2 3 f(t) f 2 f 3 f 4 die jeweiligen Interpoltionspolynome p(t) bzw. q(t) und berechnen Sie ds Integrl I pq = p(t)dt + Wrum gilt I pq = S zus? q(t)dt. 24. Mn berechne mittels Romberg-Verfhren bei N = 2 k Teilintervllen () I = x+ = ln(2) = uf 4 bzw. 6 Stellen nch dem Komm genu. Die Werte der zusmmengesetzten Trpezregel T m, m = ()4, für die. Splte des Romberg-Tbleus sind (.75, , , , ). Mn konstruiere zu diesen Werten uch ds Interpoltionspolynom p 4 (h). Mn berechne und vergleiche p 4 () mit I. (b) I = x e x = e = mit folgender Tbelle von Stützwerten e x / / / / / / / Mn bestimme mit dem Romberg-Verfhren I = 2 x = ln(2) = () Wie lutet die Berechnungsvorschrift der Werte T ik im Romberg-Tbleu? (b) Mn gebe die ersten 4 Zeilen des Romberg-Schems n. 7

8 26. Berechnung von π nch Archimedes (im Kreis ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke: Dreieck, Sechseck, Zwölfeck,...) und Romberg-Integrtion. π = hlber Umfng des Einheitskreises N Anzhl der Ecken des Vielecks T i, i = ()4, hlber Umfng des Vielecks Mn ergänze die Romberg-Schemt. () Einbeschriebene Vielecke i N T i T i T i2 T i3 T i (b) Umbeschriebene Vielecke i N T i T i T i2 T i3 T i Sei T(n) der Umfng des regulären n-ecks mit Umkreisdurchmesser d =. () Mn begründe die Existenz einer symptotischen Entwicklung T(n) = π π3 3! für n. n 2 + π5 5! n 4 π7 7! n (b) Mn bestimme mit T(3), T(6), T(2) eine Näherung für π mit dem Romberg- Schem. (c) Mn verbessere mittels T(24) die gefundene Näherung weiter. 28. Mn entwickle eine Pscl-Procedur oder eine C-Funktion procedure Romberg(m:integer;,b:rel; f:funktion); die die ersten m Zeilen des Romberg-Schems zur Berechnung des bestimmten Integrls I = b f(x) berechnet und usgibt. Dbei seien und b die Integrtionsgrenzen mit < b und Funktion der Funktionstyp des Integrnden f(x). 8

9 b 29. Sei I = f(x) mit f C [, b]. Mn zeige, dss für lle k N die Werte der k-ten Splte des Romberg-Schems die symptotische Entwicklung T k (h) = I + c k h 2(k+) + c 2k h 2(k+2) + c 3k h 2(k+3) +... besitzen, wobei die c ik unbhängig von der Schrittweite h sind. 3. Es seien die folgenden Integrle gegeben I n (α) = t 2n+α sin(πt)dt mit α > und n =,, 2,... Mn beweise, dss die Größen I n (α) der Rekursion I n (α) = π genügen. Mn zeige ußerdem (2n + α)(2n + α ) π 2 I n (α) () lim n I n(α) =, (b) I n+ (α) I n (α), n. 3. Mn bestimme die Werte der folgenden Integrle mit geeigneten Progrmmen/ Softwre bis uf eine Genuigkeit von signifiknten Dezimlstellen. () I = (b) I 2 = (c) I 3 = 2π sin 64 (x) = x = x = Mn ermittle die benötigten Rechenzeiten und vergleiche die numerischen Rechnungen mit den ngegebenen exkten Integrlwerten. 32. Mn wende geeignete Guß-Formeln für die Berechnung folgender Integrle n und stelle den Fehler fest. () I = (b) I = (c) I = sin(x) = cos() = e x = e = e cos2 (x) =

10 33. Mn wende die Guß-Formeln G n+, n =, 2, n für die Berechnung folgender Integrle und vergleiche mit den exkten Werten. () I = (b) I = (c) I = sin(x) = cos(x) = x 3 = Mn gebe die Gußsche Integrtionsformel n, die für () gerde Polynome höchstens 2. Grdes genu ist, (b) ungerde Polynome höchstens 3. Grdes genu ist. Für ds Integrtionsintervll [, b] gelte < b. Mn wende die Eregebnisse n für die Integrle in Aufgbe Mn zeige die Existenz von Koeffizienten w, w 2,...,w n in Abhängigkeit von den Intervllgrenzen, b und den Stützstellen x < x <... < x n b, so dss b f(x) = n w i f(x i ) i= für lle Polynome p(x) vom Grd n gilt. 36. Mn finde eine Integrtionsformel der Form xf(x) A f(x ) + A f(x ), welche exkt für lle Polynome vom Grd 3 ist. 37. Gibt es eine Formel der Form x x f(x) A(f(x ) + f(x )) welche exkt für lle Polynome vom Grd 2 ist? 38. Mn leite eine Formel der Gestlt 2π f(x) A f() + A f(π) her, welche exkt für jede Funktion der Art f(x) = + b cos(x) ist. Mn zeige, dss die erhltene Formel ußerdem exkt ist für lle Funktionen der Form n f(x) = [ k cos((2k + )x) + b k sin(kx)]. k=

11 b 39. Mn konstruiere Qudrturformeln für p(x) möglichst niedrigen Grdes ersetzt, ds die Eigenschften () p() = f(), p ( x) = f ( x), p(b) = f(b), (b) p () = f (), p( x) = f( x), p (b) = f (b) f(x), indem mn f(x) durch ein Polynom für ein x [, b] besitzt. Ist eine derrtige Konstruktion immer möglich? Welche Ordnung hben die gewonnenen Formeln? Mn teste die gewonnenen Formeln n f(x) = (x.5) 2 und f(x) = (x.5) 3 für [, b] = [, ]. 4. Ds Integrl Regeln. π sin(x) = 2 soll näherungsweise bestimmt werden mittels folgender - S mit den Stützstellen, π 2, π, - H 2 mit den Stützstellen, π, - Zus. S mit den Stützstellen, π 4, π 2, 3π 4, π, - Zus. H 2 mit den Stützstellen, π 2, π. 4. Mn zeige, dss für hinreichend gltte periodische Funktionen (Periode = b, f() = f(b), f () = f (b)) bez. der zusmmengesetzten Qudrturformeln gelten () R L = T = H 2, (b) S und H 2 sind von gleicher Genuigkeitsordnung. 42. Es soll die Zhl e mittels eines Extrpoltionsverfhrens näherungsweise berechnet werden. () Mn zeige: T(h) = ( + h) /h, h, h <, besitzt die für lle h, h <, konvergente Entwicklung T(h) = e + α i h i. i= (b) Wie ist T(h) bzuändern, dmit die Extrpoltion für h = einen Näherungswert für e x, x fest, liefert? 43. Mit T(f, h) werde die Trpezsumme zur Schrittweite h für ds Integrl f(x) bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dss für α > die Größe T(x α, h) folgende symptotische Entwicklung besitzt T(x α, h) = x α + h +α + 2 h h h

12 Mn zeige, dss zu jeder nlytischen Funktion f(x) dnn die folgende symptotische Entwicklung existiert T(x α f(x), h) = x α f(x) + b h +α + b 2 h 2+α + b 3 h 3+α c 2 h 2 + c 4 h 4 + c 6 h Hinweis: f ist nlytisch und es gilt llgemein T(φ + ψ, h) = T(φ, h) + T(ψ, h). 44. Mn bestimme die Integrlwerte () I = (b) I 2 = (c) I 3 = π sin(x) = 2 x = x = mit einer dptiven Trpezformel uf 5 signifiknte Ziffern genu. Mn entwickle dzu ein geeignetes Pscl- oder C-Progrmm. 45. Mn entwickle nlog zur dptiven Trpezregel eine rekursive Prozedur Integrl zur dptiven Simpson-Regel. Mn teste diese n folgenden Beispielen. () I = (b) I 2 = (c) I 3 = π sin(x) x x 46. Für ds Integrl I = G n = n k f(x k ), k= f(x) betrchten wir die Guß-Formel die für lle Polynome bis zum Grd 2n exkt ist. Sie ist eine offene Formel mit Stützstellen x k (, ). Fordert mn den mximlen Exktheitsgrd unter der zusätzlichen Bedingung x =, x n =, so erhält mn die Lobtto-Formel L n, die für Polynome vom Grd 2n 3 richtige Werte ergibt. () Mn zeige L 2 = T. 2

13 (b) Mn finde die Freiheitsgrde x 2,...x n,, 2,... n ufgrund der Exktheitsforderung für die Lobtto-Formeln L 2, L 3, L 4, L 5. 2 e (c) Mn berechne I = x x = mittels L 2, L 3, L 4, L Seien G n und G m zwei Guß-Qudrturformeln, die exkt sind für Polynome vom Grd d und deren Stützstellen in (, ) liegen. Mn zeige. Für beliebige l N, c R existiert eine Funktion f C d+l [, ] mit ) f (d+s), s =, 2,..., l, 2) G n (f) = G m (f), 3) R n (f) = I(f) G n (f) = c. D. h. zwei Guß-Qudrturen können übereinstimmen, obwohl ihr gemeinsmer Fehler zu I(f) noch beliebig groß sein knn. Der Abstnd zweier Näherungen ist lso noch kein usreichendes Gütekriterium für den Näherungswert selbst. Hinweis: Stützstellen { von G n, G m in (, ε), ε >,, x [, ε] g = [x ( ε)] l, f (d+) cg, x ( ε, ] 48. Doppelintegrle lssen sich oft durch Hintereinnderführen zweier einfcher Integrtionen bestimmen. () Gesucht sind die Gewichte w ij von I = b d c f(x, y)dy n i= j= m w ij f(x i, y j ), x i = + ih, y j = c + jk, h = (b )/n, k = (d c)/m. Dbei soll zur Bestimmung von F(x) = d c f(x, y)dy und I = b F(x) die zusmmengesetzte Trpezregel benutzt werden. (b) Mn bestimme näherungsweise I = e x+y dy = e x 2 = (e ) 2 = bei n = m = und n = m = 2 und vergleiche mit dem exkten Wert. 3

14 Auswhl von Integrlen zur numerischen Berechnung. Eigentliche Einfchintegrle () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) sin(x) = cos() = sin(x) = x e x2 = xe 3x2 = e x = e = e x = e 2 = e cos2 (x) = x + 2 = = ( 25x x 2 8) = 4 x (2 x) 3 =.25 3 x( x 2 ) = x( + x 2 ) = = ln(2) = x + x = ln(3) = x 2 = rctn() = π 4 = = 2 rctn(4) = x2 e x sin(x) =

15 (r) (s) (t) (u) (v) π/2 e 5x sin(x) = xcos(x) = cosh(x)cos(x) = e π 2 e2x cos(x) = ( x 2 ) 3/2 cos(x) = 3πJ 2 () = , J 2 (x) Besselfunktion. Art J k+ (x) = 2k x J k(x) J k (x), (w) f(x) = (x) f(x) = J k (x) = { e 3x sin(3x), flls x < 3π 6 5e (x3π/6), flls x 3π 6 f(x) = { e 3x sin(3x), flls x < 3π 6 5e (x3π/6)2, flls x 3π 6 f(x) = m= () m x 2m+k 2 2m+k, k =,, 2,... m!(k + m)! 2. Uneigentliche Integrle Anwendung der Qudrturformeln von Guß-Legendre, -Tschebyscheff, -Lguerre und -Hermite. () (b) (c) (d) (e) + x x = 8 3, Substitution x = z x e x = x e x, >, Substitution x = cosh(z) x 2 x 4 x = π 2 = x 2 cos(x) = πj () =

16 (f) (g) (h) (i) (j) π/2 π x 4 x8 = π cos 8 (z)dz = 35π 28 3x = 3π = x 2 e x x = 2(e ) = x(3 3x x 2 ) = π = 3 = ln(sin(x)) = π 2 ln(2) = (k) (l) (m) (n) (o) e x + e 2x = π 4 = e x sin(x) = = x π2 + ex = = e x + x2 = e x x k = k!, k (p) (q) (r) e x2 = (s) f(x) = π 2 e 3x2 x = 3 = e x2 cos(x) = π e = { e 3x sin(3x), flls x < 3π 6 5e (x3π/6)2, flls x 3π 6 f(x) = Doppelintegrle () ( π e y ) + cos(2x) + cos(y) dy =

17 (b) (c) (d) (e) (f) 2 ( 4 3 dy xy = π2 6 ) (x + y) 2 ( 5 (5x 2 y 2y 3 ) 2.5 ( 3 x 2 = , Punktsingulrität bei x = y = dy = ln( 25 ) = ) dy = 66 + y 2dy = π = π 2(3y2 + ) 9 x 2 e 4x 2 ) π (3y2 +) 6 dy =

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