Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Differentilgleichungen Gewöhnliche Differentilgleichungen ( n) Eplizite Form: (Gleichung lässt sich nch höchster Ableitung uflösen Implizite Form: + 0 Lösung: Durch eine Funktion Lösungsweg: n-ml Integrieren. mn erhält die llgemeine Lösung (mit n Integrtionskonstnten C) ds Bedeutet: Mn erhält eine Funktionsschr. Aus llgemeiner Lösung eine spezielle Lösung mchen: Anfngs- Rndwerte benutzen. Sind solche Werte vorgegeben, ( (...)... (...)... (...)...) setzt mn sie in die jeweilige Gleichung ein und erhält eine Integrtionskonstnte. Inhlt dieses Scripts: Differentilgleichungen. Ordnung Isoklinen Trennbre Vriblen Vrition der Konstnten (inhomogene DGL) rtikuläre Lösung für inhomogene DGL Differentilgleichungen. Ordnung 4 Wronski-Determinnte Chrkteristische Gleichung rtikuläre Lösung für inhomogene DGL Differentilgleichungen n-ter Ordnung 6 Lösung rtikuläre Lösung für inhomogene DGL Ssteme linerer DGL 8 / 9

2 Differentilgleichungen. Ordnung Isoklinen Wie oben beschrieben löst sich eine solche DGL ( f(,)) durch -Mliges Integrieren, woruf wir eine Integrtionskonstnte (nchfolgend Ink gennnt) bekommen. Ddurch ist die Lösungsfunktion beliebig verschiebbr (in -Richtung) Und dmit wird jeder unkt im Definitionsbereich bgedeckt. Aber, durch einen unkt geht immer nur eine Kurve (bei DGL.Ordnung). Ds bedeutet: die Steigung der Funktion in einem unkt ( / ) ist j die erste Ableitung n der Stelle : m f ( ). genuso knn mn ber uch gleich die Funktion nehmen: m f( ; ), denn dies ist j die erste Ableitung. Mn erhält einen Steigungswert für einen unkt. Mn zeichnet in eine kleine Linie mit der Steigung. Dnn errechnet mn noch die Steigung von weiteren unkten, bis mn ein gnzes Gitternet voller Striche ht. Die Isoklinen sind dbei die Linien, die die Striche mit der gleichen Steigung verbinden, lso wo gilt: f(;) konstnt. Löst mn die DGL nch uf und setzt c (Konstnte) so erhält mn die Gleichung für Isoklinen in Abhängigkeit von C. Ein Gitternetz voller Stricher gibt Aussge über die Lösungsfunktion. Allgemein DGL: seprbel g() f (seprbel) Wichtig: d d Lösung durch Trennung der Vriblen, Integrtion und nschließende Auflösung nch (flls möglich). Bei der Trennung müssen und uf verschiedenen Seiten der Gleichung sein. Dnn werden beide Seiten getrennt Integriert. Auf einer der Seiten muss die Ink C stehen (m besten uf der -Seite) (mnchml uch sehr hilfreich, wenn C ln C heißt) Allgemein DGL: seprbel mchen Nicht immer ist die DGL seprbel, ber mn knn sie durch Substitution dhin bringen. Nch der Integrtion erfolgt dnn die Rücksubstitution. Lösbre DGL: f( b c) ++ u + b + c f u u Methode: Substitutionsgleichung wird bgeleitet und für in dieser Ableitung wird f(u) eingesetzt. Jetzt ist die Gleichung seprbel! Hinweis: u und sind Funktionen von, bekommen deshlb beim Ableiten einen Strich. Rücksubstitution nicht vergessen (nch uflösen!). Spezielle DGL: liner, homogen,.ordnung Form: + f 0 Lösung: f d C e (durch Trennung der Vriblen) ( C IR ) Bedingungen für linere DGL:, nur in erster otenz und kein gem. rodukt / 9

3 Spezielle DGL: liner, inhomogen,.ordnung Form: + f g (g() Störglied) Lösungsmöglichkeit : Vrition der Konstnten: Lösung: f d K e wobei: f d K g e + Cd Methode: bilden und zusmmen mit in [ + f g ] einsetzen. Nch K () uflösen und Integrieren. Lösungsmöglichkeit : Aufsuchen der prtikulären Lösung: f d Lösung: 0 + C e + knn nur in den einfchsten Fällen durch einen speziellen Funktionstpen mit bestimmten rmetern bestimmt werden! Allgemeine Lösungen, siehe Tbelle (pul S. 464). Spezielle DGL: liner, (in)homogen,.ordnung, konstnte Koeffizienten Form: + 0 Lösung: C Form: + g Lösung: e (homogen) (durch Trennung der Vriblen) (inhomogen) Vrition der Konstnten prtikuläre Lösung: rtikuläre Lösung nch folgender Tbelle: Störfunktion g() Lösungsnstz () Konstnte Funktion Konstnte Funktion c 0 rmeter: c 0 Linere Funktion Linere Funktion c+ c0 rmeter: c 0, c Qudrtische Funktion Qudrtische Funktion c + c+ c0 rmeter: c 0, c, c olnomfunktion vom Grd n olnomfunktion vom Grd n n cn c+ c0 rmeter: c 0, c,, c n g A sin Csin ( ) + C cos g B cos g A sin + B cos C + g b A e b sin rmeter: C, C bzw. C, C e b für C e b b rmeter: C 3 / 9

4 Differentilgleichungen. Ordnung DGL: liner, homogen,.ordnung, konst. Koeff. Kennzeichen für linere Fkt: (wie oben) nur. otenz und keine gem. rodukte Form: + + b 0 Lösung: Funktion () weitere Lösungen: C C + C 3 ist u + j v eine Lösung, so uch u() und v() 3 C + C wenn gilt: W( ; ) ist eine Linerkombintion von Bsislösungen, 0 Integrtion: Durch die Eponentilfunktion e und ihre Ableitungen in die Gleichung + + b 0 eingesetzt ergibt sich: + + b 0 Die Lösungen / dieser CG durch p-q-formel ergeben schließlich die Lösung der DGL. (D ist der Teil unter der Wurzel in der p-q-formel). Fll: D > 0 Mn erhält zwei Werte für, DGL: C e + C e. Fll: D 0 Mn erhält den Wert ( ) 3. Fll: D < 0 DGL: 0 0 Ce + Ce Mn erhält zwei komplee Lösungen: / ± j wobei 4b und 4 sind. DGL: e [ C sin + C cos ] 0 4 / 9

5 DGL: liner, inhomogen,.ordnung, konst. Koeff. Die inhomogene DGL. Ordnung löst mn wie die inhomogene DGL. Ordnung, indem mn eine prtikuläre Lösung sucht. Dbei ist 0 +(zu 0 siehe Seite 4) Störfunktion g() olnomfunktion vom Grd n g() n () Eponentilfunktion g() e c Sinusfunktion g() sin() Kosinusfunktion g() cos() Linerkombintion us sin(), cos() Lösungsnstz () n Qn b 0 Q für 0, b 0 Qn b 0 Q n (): olnom vom Grd n rmeter: Koeffizienten des olnoms c ist keine Lösung der CG c ist eine einfche Lösung der CG c A e rmeter: A c ist eine doppelte Lösung der CG c A e rmeter: A c A e rmeter: A j ist keine Lösung der CG Asin + Bcos sin C + rmeter: A, B bzw. C, j ist eine Lösung der CG Asin ( ) + Bcos C + rmeter: A, B bzw. C, sin c g c+j ist keine Lösung der CG n e sin c e Qn sin ( ) + Rn cos c g n e cos rmeter: Koeffizienten der olnome Q und R ( n ist dbei eine olnomfkt.) c+j ist eine Lösung der CG c e Qn sin ( ) + Rn cos rmeter: Koeffizienten der olnome Q und R 5 / 9

6 Differentilgleichungen n-ter Ordnung DGL: liner, inhomogen, n-ter Ordnung, konst. Koeff. Form: ( n) ( n) g n 0 Lösung: Diese DGL besitzt n Bsisfunktionen/Bsislösungen, die in der Wronski-Determinnte nicht null ergeben: ( ; ;...; ) n n W n 0 ( n) ( n) ( n) n C + C + + C Lösungsfunktion:... n n. Fll: Alle Lösungen sind reell und voneinnder verschieden (n Lösungen) n Lösung: e (für,, 3, n) n. Fll: Mehrfche reelle Lösungen dbei ( r, r+ ) ( r) Lösung: e e... r e (für die r-fche) und: n e für lle restlichen Lösungen n in der Lösungsfunktion bildet sich ein olnom vom Grd (r-): C e 3. Fll: Konjugiert komplee Lösungen dbei. ( / ± j ) e sin und e cos Einfche komplee Lösung: in der Lösungsfunktion eingesetzt: e Csin ( ) + C cos r-fche komplee Lösung: Konstnten werden zu olnomfkt. vom Grd (r-) e C sin ( ) + C cos 6 / 9

7 Integrtion: Auch hier gilt wieder: 0 + Die prtikuläre Lösung erhält mn us folgender Tbelle: Störfunktion g() olnomfunktion vom Grd n g() n () Eponentilfunktion g() e c Sinusfunktion g() sin() Kosinusfunktion g() cos() Linerkombintion us sin() und cos() Lösungsnstz () für... Q 0 rmeter: Koeffizienten des olnoms Q c ist keine Lösung der CG c A e rmeter: A c ist eine r-fche Lösung der CG r c A e rmeter: A n 0 k Qn 0 k 0 j ist keine Lösung der CG Asin + Bcos rmeter: A, B j ist eine r-fche Lösung der CG r Asin ( ) + Bcos rmeter: A, B 7 / 9

8 Ssteme linerer DGL Ssteme.Ordnung mit konst. Koeff. Integrtion des homogenen Sstems (g 0): + + Lösung durch den Eponentilstz: K e und K e det A E 0 Ergebnis: det det. Fll: ( reell) A E Sp A + A 0 (pq-formel nwenden!) C e + Ce ( ). Fll: ( reell) ( C + C ) e ( ) 3. Fll: / ± j ( konj. komple) e C sin ( ) + C cos Integrtion des inhomogenen Sstems + + g + + g Lösung: Summe der Lösung des homogenen Sstems und der rtikulären Lösung! rtikuläre Lösung nch Tbelle / 3 wobei jeweils beide Störfunktionen berücksichtigt werden müssen! Spezieller Lösungsnstz in die Gleichungen einsetzen und so die Konstnten ermitteln 8 / 9

9 Integrtion des inhomogenen Sstems - Alterntive: Elimintionsverfhren: + + g + + g - Die erste DGL ( ) nch uflösen und einml Ableiten ( ). - Die gewonnenen Gleichungen und in die zweite DGL einsetzen Ergebnis: Spur( A) + det ( A) g det ( B) wobei: A und g B g Dieses Ergebnis wie DGL: liner, inhomogen,.ordnung, konst. Koeff. (S.6) lösen Mn erhält die Lösung für! Setzt mn und in die.dgl ein erhält mn die Lösung für Fehler im Script bitte uf melden! 9 / 9