Kapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36. F (x) = f (x) Vermuten und Verifizieren.

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1 Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F() heißt Stmmfunktion einer Funktion f (), flls F () = f () Berechnung: Vermuten und Verifizieren Beispiel: Wir suchen die Stmmfunktion von f () = ln(). Vermuten: F() = (ln() ) Verifizieren: F () = ( (ln() ) = = (ln() ) + = ln() Aber uch: F() = (ln() ) + 5 Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 2 / 36 Stmmfunktion Die Stmmfunktion wird mit dem Symbol f () d + c bezeichnet und wird meist ls ds unbestimmte Integrl der Funktion f bezeichnet. Die Zhl c heißt Integrtionskonstnte. Für ds Suchen von Stmmfunktionen gibt es keine Kochrezepte (sondern nur Werkzeuge, die mn durchprobieren knn). Es gibt Funktionen, deren Stmmfunktionen sich nicht durch elementre Funktionen usdrücken lssen. E.g., die Stmmfunktion von ep( 2 2 ). Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 3 / 36

2 Grundintegrle Zur Erleichterung gibt es Tbellen mit beknnten Stmmfunktionen, sogennnten Grundintegrlen: f () f () d c c e e + c cos() sin() ln + c sin() + c cos() + c Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 4 / 36 Integrtionsverfhren Summenregel α f () + βg() d = α f () d + β g() d Prtielles Integrieren f g d = f g f g d Substitution f (g()) g () d = f (z) dz mit z = g() und dz = g () d Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 5 / 36 Beispiel Summenregel Stmmfunktion von f () = f () d = d = 4 3 d 2 d + 3 d 5 d = c = c Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 6 / 36

3 Beispiel Prtielles Integrieren Stmmfunktion von f () = e. f d = e g g e f f e d = e e + c g f = f = g = e g = e Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 7 / 36 Beispiel Prtielles Integrieren Stmmfunktion von f () = 2 cos(). 2 f cos() d = sin() g f g 2 2 f sin() d g Prtielles Integrieren des zweiten Terms ergibt: 2 sin() d = 2 ( cos()) f g f g 2 f = 2 cos() 2 ( sin()) + c ( cos()) d g Die Stmmfunktion von f lutet dher: 2 cos() d = 2 sin() + 2 cos() 2 sin() + c Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 8 / 36 Beispiel Substitution Stmmfunktion von f () = 2 e 2. ep( 2 g() ) 2 g () d = ep(z) dz = e z + c = e 2 + c z = g() = 2 dz = g () d = 2 d Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 9 / 36

4 Integrtionsverfhren Herleitung Prtielles Integrieren erhält mn us der Produktregel für ds Differenzieren: f () g() = ( ( f () g()) d = f () g() + f () g () ) d = f () g() d + f () g () d Substitution folgt us der Kettenregel: Sei F eine Stmmfunktion von f und z = g(). Dnn gilt f (z) dz = F(z) = F(g()) = (F(g())) d = F (g()) g () d = f (g()) g () d Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Aufgbe 9. Bestimmen Sie die Stmmfunktionen folgender Funktionen: () 3 3 (b) 2 (c) 3 (d) (e) e 2 (f) 2 3 (g) 2 (h) 5 (i) sin(π) (j) cos(2π) Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Lösung 9. () c; (b) c; (c) c; (d) 2 + c; (e) 2 e2 + c; (f) 3 ln(2) 23 + c; (g) 2 ln + c; (h) 5 + c; (i) π cos(π) + c; (j) sin(2π) + c. 2π Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 2 / 36

5 Aufgbe 9.2 Bestimmen Sie die Stmmfunktionen folgender Funktionen: () (b) (c) e + e + e + (d) + (e) Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 3 / 36 Lösung 9.2 () c; (b) ln + + c; (c) e + e+ e+ + e c; (d) 2 3 3/ c; (e) ln c. Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 4 / 36 Aufgbe 9.3 Ermitteln Sie die Stmmfunktionen folgender Funktionen durch prtielle Integrtion: () f () = 2 e (b) f () = 2 e (c) f () = ln() (d) f () = 3 ln (e) f () = (ln()) 2 (f) f () = 2 sin() Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 5 / 36

6 Lösung 9.3 () 2( )e + c; (b) ( ) e + c; (c) 2 2 ln() c; (d) 4 4 ln() c; (e) 2 2 (ln()) ln() c; (f) 2 sin() + (2 2 ) cos(). Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 6 / 36 Aufgbe 9.4 Berechnen Sie die folgenden Stmmfunktionen durch Anwendung der Substitutionsregel: () e 2 d (b) (c) (d) d d + d (e) ln() d Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 7 / 36 Aufgbe 9.4 / 2 (f) ln d (g) d (h) 5 2 d (i) (j) 2 + d 3 ( 8) 2 d Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 8 / 36

7 Lösung 9.4 () z = 2 : 2 e2 + c; (b) z = : 2 ( ) c; (c) z = : 6 ln c; (d) z = + : 2 5 ( + ) ( + ) c; (e) z = ln(): 2 (ln())2 + c (f) z = ln(): ln ln() + c; (g) z = 3 + : 2 9 (3 + ) 3/2 + c; (h) z = 5 2 : c; (i) z = + 3: 7 ln c; (j) z = 8: 2 5 ( 8)5/ ( 8)3/2 + c. Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 9 / 36 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f () = Fläche: A = f () = + 2 Approimtion durch Treppenfunktion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 2 / 36 Riemnn-Summen f (ξ ) ξ i = 2 ( i + i ) Allgemeiner: ξ i ( i, i ) f (ξ 2 ) A = ξ ξ2 2 b f () d n f (ξ i ) ( i i ) i= Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 2 / 36

8 Approimtionsfehler f ( ) f (ξ ) f ( ) f (ξ 2 ) f ( 2 ) b f () d n i= ξ ξ2 2 f (ξ i ) ( i i ) ( f m f min ) (b ) n Annhme: Funktion monoton;,,..., n äquidistnt Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 22 / 36 Riemnn-Integrl Flls die Riemnn-Summen I n = n f (ξ i ) ( i i ) i= eine konvergente Folge bilden, dnn heißt deren Grenzwert ds Riemnn-Integrl von f. Nottion: b f () d b f () d = lim n n i= f (ξ i ) ( i i ) Alle für uns relevnten Funktionen besitzen ein Riemnn-Integrl. Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 23 / 36 Riemnn-Integrl Eigenschften b b c b b b (α f () + βg()) d = α f () d + β g() d f () d = f () d b f () d = f () d = f () d b b c f () d + f () d b g() d flls f () g() für lle [, b] Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 24 / 36

9 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Sei F() eine Stmmfunktion einer stetigen Funktion f (), dnn gilt für ds bestimmte Integrl b f () d = F() b = F(b) F() Dieser Stz erlubt es uns, Integrle einfch mittels Stmmfunktionen uszurechnen! (Bestimmtes Integrl) Beispiel: Wir suchen ds Integrl der Funktion f () = 2 im Intervll [, ]. 2 d = 3 3 = = 3 Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 25 / 36 Der Huptstz / Beweisidee Sei A() die Fläche zwischen dem Grphen einer stetigen Funktion f und der -Achse zwischen und. f min h A( + h) A() f m h f m f min A( + h) A() h f m f min Grenzübergng h : (lim h f min = f ()) A() + h A( + h) A() f () lim f () h h =A () A () = f () d.h. A() ist eine Stmmfunktion von f (). Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 26 / 36 Integrtionsverfhren / (2) Summenregel b b b α f () + βg() d = α f () d + β g() d Prtielles Integrieren b f g d = f g b b f g d Substitution b f (g()) g () d = g(b) g() mit z = g() und dz = g () d f (z) dz Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 27 / 36

10 Beispiel Berechne ds bestimmte Integrl e ln() d. e ln() ln() d = z dz = = ln(z) z = ln() dz = d ln() = = ln(ln()) ln(), 834 Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 28 / 36 Beispiel Gesucht ist 2 2 f () d für die Funktion + für < f () = für < für < und Es gilt 2 2 f () d = 2 f () d + f () d + = d + ( + ) d + 2 = ( ) + ( 2 2 ) = = 2 f () d + ( ) d + 2 f () d d Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 29 / 36 Aufgbe 9.5 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrle: () (b) (c) (d) (e) π d 3e d d sin() 3 d d Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 3 / 36

11 Lösung 9.5 () 39; (b) 3 e 2 3 = 9.7; (c) 93; (d) 6 (Tschenrechner uf Bogenmß umschlten!); (e) 2 ln(8),397. Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 3 / 36 Aufgbe 9.6 Berechnen Sie die Integrle mit Hilfe von Stmmfunktionen: () (b) (c) (d) (e) e ln d ( 2 + 3) 4 d 4 2 d 2 + d ep ) ( 2 d 2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 32 / 36 Aufgbe 9.6 / 2 (f) (g) (h) (i) ( ) 2 d ep() d 2 ep() d 2 ln d Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 33 / 36

12 Lösung 9.6 () 78 2 ; (b) ; (c) 8 3 ; (d) 2 ln(5) 2 ln(2),458; (e) e 2,8647; (f) 27 4 ; (g) ; (h) 2 e2 2 2,778; (i) 8 3 ln(2) 7 9,76. Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 34 / 36 Aufgbe 9.7 Berechnen Sie ds Integrl f () d, wobei die Funktion f () stückweise konstnt ist (Treppenfunktion) und gegeben ist durch für <,2,5 für,2 <,5 f () = 2,5 für,5 <,6 3,5 für,6 <,7 3,5 für,7 Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 35 / 36 Lösung 9.7 f ()d = (,2 ) +,5 (,5,2) + 2,5 (,6,5) + 3,5 (,7,6) + ( 3,5) (,7) =,. Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion 36 / 36