Inhaltsverzeichnis Integralrechnung f

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1 Inhltsverzeichnis 4 Integrlrechnung für f : D(f R R 4. Bestimmtes und unbestimmtes Integrl Ds bestimmte Integrl Ds unbestimmte Integrl, Stmmfunktion Integrtionsregeln Grundintegrle Summenregel, Linerität Prtielle Integrtion Substitution Integrtion rtionler Funktionen, Prtilbruchzerlegung Uneigentliche Integrle Definition Unendliche Grenzen Unendlichkeitsstellen (US Cuchyscher Huptwert (CHW Numerische Integrtion Rechteckregel Trpezregel Kurven, Längen- und Flächenmessung Prmeterdrstellungen von Kurven (in der Ebene Tngente n einer Kurve K Länge L(K einer Kurve K Kurvendrstellung in Polrkoordinten Kurven im R n

2 0 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R Flächenmessung Rottionskörper

3 Kpitel 4 Integrlrechnung für f : D(f R R 4. Bestimmtes und unbestimmtes Integrl 4.. Ds bestimmte Integrl ( Definition von Riemnn Es sei f eine Funktion und I = [, b] ein Intervll mit I D(f. y.... α α 2 α 3 α 4 x = x 0 x x 2 x 3 b = x 4 Zerlegung von [, b]: Z n = (x 0, x,..., x n mit x 0 = < x < < x n = b dx k = x k x k und

4 2 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R α k [x k, x k ] Zwischensumme von Z n : R(Z n := n f(α k dx k Feinheit von Z n : δ(z n = mx k n dx k Gibt es eine Zhl G R, so dß für jede Folge Z n von Zerlegungen des Intervlls [, b] mit δ(z n 0 gilt lim R(Z n = G n so heißt G der Wert des bestimmten Integrls von f über [, b], kurz k= f(xdx = lim n δ(z n 0 n f(α k dx k k= Die Funktion f heißt dnn integrierbr über [, b]. Weiterhin ist b f(xdx := f(xdx (2 geometrische Deutung (Flächeninhlt f(xdx = A + A 2 B (3 Kriterium für Integrierbrkeit ( Ist f stetig über [, b], so ist f integrierbr über [, b].

5 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 3 (b Ist f uf [, b] beschränkt (d.h. k R : f(x < k x [, b] und f stückweise stetig uf [, b] (d.h. f stetig für lle x [, b] bis uf endlich viele Ausnhmen, so ist f integrierbr über [, b] ist nicht integrierbr über [0, ] - f(x nicht be- Achtung: f(x = x schränkt uf [0, ] (4 Folgerung us der Definition Ist f integrierbr über [, b], so gilt ( (b f(xdx = c f(xdx = 0 f(xdx + c f(xdx c [, b] 4..2 Ds unbestimmte Integrl, Stmmfunktion ( Definition Eine Funktion F heißt Stmmfunktion von f uf dem Intervll I, flls gilt F (x = f(x x I (2 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ist die Funktion f stetig uf I = [, b], so gilt ( Die Funktion F mit x F (x = f(tdt ist eine Stmmfunktion von f

6 4 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R (b Ist F irgendeine Stmmfunktion von f uf dem Intervll I, so gilt: F (x = F (x + c x I mit c R und f(xdx = F (x b := F (b F ( (3 Definition Die Menge ller Stmmfunktionen von f wird mit f(xdx bezeichnet und unbestimmtes Integrl von f gennnt, kurz f(xdx = F (x + c, c R F (x = f(x 4.2 Integrtionsregeln 4.2. Grundintegrle x α dx = α+ xα+ + c, α, c R xdx = ln x + c, x cos xdx = sin x + c, sin xdx = cos x + c, 0, c R c R c R +x 2 dx = rctnx + c, c R x 2dx = rcsinx + c, c R e x dx = e x + c, c R Summenregel, Linerität (f(x ± g(xdx = f(xdx ± g(xdx αf(xdx = α f(xdx

7 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R Prtielle Integrtion Für uf [, b] stetige Funktionen u = u(x und v = v(x gilt uv dx = uv u vdx uv dx = uv b Beweis Produktregel ergibt (uv = u v + uv u vdx Somit uv = (uv dx = u vdx + uv dx lso uv u vdx = uv dx prtielle Integrtion : I = x cos xdx prtielle Integrtion 2 : I = ln(xdx (v = prtielle Integrtion 3 : I = cos 2 xdx Substitution Idee: Ersetze komplizierten Term h(x durch t, lso t = h(x. Achtung: Dnn muss uch dx ersetzt werden! Für t = h(x ist dt dx = h (x dt = h (xdx dx = Substitution I = e 5x 7 dx (t = 5x 7 dt h (x Beispiel Substitution 2 I = tn xdx = sin x cos xdx (t = cos x

8 6 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R Integrtion rtionler Funktionen, Prtilbruchzerlegung Gegeben f(x = p(x q(x echt gebrochen rtionle Funktion, d.h. p und q sind Polynome in x mit grd(p < grd(q Gesucht f(xdx ( Lösungsmethode Zerlegen f(x in eine Summe von Prtilbrüchen und integrieren die Summnden. (2 Integrle über Prtilbrüche ( A x dx = A ln x + c (b A (x dx = A (x n n n + c n 2 (c Bx+C (x 2 +αx+β dx s. TR n (3 Integrtion rtionler Funktionen : f(x = 5x+ x 3 3x+2 ( Nullstellen und Fktorzerlegung des Nennerpolynoms (x = (b Anstz für Prtilbruchzerlegung: Anstz für Fktor (llgemein: (x n : A (x + A 2 (x A n (x n (x 2 +αx+β n : B x+c (x 2 +αx+β + B 2x+C 2 (x 2 +αx+β B nx+c n (x 2 +αx+β n

9 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 7 (c Bestimmung der Konstnten durch Koeffizientenvergleich f(xdx = ln x ln x x + c, c R 4.3 Uneigentliche Integrle uneigentliches Integrl : 2 x 2 dx = x 2 = 2 ( = 2!!! FALSCH!!!! 2 Der Integrnd f(x = x 2 x 2 dx = x 2 = 3 2!!! FALSCH!!!! ist in x = 0 nicht definiert Definition f(xdx heißt uneigentliches Integrl, flls ( = oder b = + ist oder (b f eine Unendlichkeitsstelle c [, b] ht, d.h. lim f(x = ± x c± Unendliche Grenzen ( Definition Ist f stetig uf dem Definitionsintervll, so definiert mn f(xdx := lim f(xdx b f(xdx := lim f(xdx

10 8 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R f(xdx := lim f(xdx bzw.. b c f(xdx := lim f(xdx + lim f(xdx b c Die Integrle heißen konvergent, flls die GW endlich sind. (2 Beispiele unendliche Grenzen b c 0 Bemerkung: x 2 dx =... = cos xdx... ex. nicht +x 2 dx =... = π (rctn f heißt Dichtefunktion, flls f(xdx = ist. (wird in der Whrscheinlichkeitsrechnung benutzt Unendlichkeitsstellen (US ( Definition ( f stetig uf (, b], ist US, dnn f(xdx := lim ϵ 0+0 +ϵ f(xdx (b f stetig uf [, b, b ist US, dnn f(xdx := lim ϵ 0+0 b ϵ f(xdx

11 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 9 (c f stetig uf (, b, und b sind US, dnn f(xdx := lim b ϵ ϵ 0+0 +ϵ f(xdx (d f ht uf [, b] US x < x 2 < < x m, dnn x x 2 f(xdx := f(xdx + x f(xdx + + x m f(xdx Beispiele uneigentliche Integrle ( x dx =... =, (b Sei α R, α x =... = α 0 x α =... = 0 x dx = { α flls α > flls α < { flls α > α flls α < 4.4 Cuchyscher Huptwert (CHW f hbe eine US c in [, b] CHW : Definition: CHW 3 0 x ( dx konvergiert nicht! ( c ϵ f(xdx := lim f(xdx + ϵ 0+0 c+ϵ f(xdx Bemerkung: Aus der Exitenz des CHW folgt nicht die Konvergenz des Integrls. CHW : CHW ( 3 0 x dx = ln 2

12 0 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 4.5 Numerische Integrtion Ziel: Näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrls n f(xdx = lim f(α k dx k k= 4.5. Rechteckregel Zerlegen [, b] in n Teilintervlle gleicher Länge h = b n x 0 =, x k = + kh, dx k = h, α k = x k, k =,..., n f(xdx n k= f(x k h = b n (f(x f(x n Bemerkung: Ist f stetig uf [, b], so konvergiert n gegen den Wert des Integrls Rechteckregel : n = x 3 dx... = x 3 dx =.. = 64 n f(x k h für k= Trpezregel Zerlegen [, b] in n Teilintervlle der Länge h = b n, x 0 =, x k = + kh, k =,..., n

13 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R Trpez T k = h 2 (f(x k + f(x k f(xdx n k= T k = b 2n (f(x 0+2f(x + +2f(x n +f(x n Bemerkung: Ist f stetig uf [, b], so konvergiert gegen den Wert des Integrls n T k für n k= Trpezregel : 4 0 x 3 dx... = x 3 dx, n = 4

14 2 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 4.6 Kurven, Längen- und Flächenmessung 4.6. Prmeterdrstellungen von Kurven (in der Ebene K = {( x y Bedingung für x, y } ( Implizite Drstellung von K F (x, y = c, c R konstnt implizite Drstellung : K = (2 Explizite Drstellung von K {( x y x 2 + y 2 = r 2 } y = f(x, x I oder x = g(y, y I explizite Drstellung : y = r 2 x 2, x I = [ r, r] (3 Prmeterdrstellung von K x = x(t y = y(t t I r(t = ( x(t y(t Erhlten Abbildung: t I r(t K

15 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 3 Beispiele Prmeterdrstellung : ( Gerde durch die Punkte (x 0, y 0, (x, y (b K = { ( x r = y x = x(t = r cos t y = y(t = r sin t x 2 + y 2 = r 2 }, t [0, 2π] r(t = ( r cos t r sin t (c Ellipse K = { ( x r = y x = x(t = cos t y = y(t = b sin t } x2 + y2 2 b = 2, t [0, 2π] r(t = ( cos t b sin t (4 Explizite Form Prmeterform K = { ( x r = y } y = f(x, x I ( x = t t, t I, r(t = y = f(t f(t { ( } t K = r = t I f(t Umrechnung : y = r 2 x 2, x [ r, r] (ber besser Polrkoordinten!

16 4 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R Tngente n einer Kurve K ( x(t Kurve: K = {x = y(t Grenzwert: lim t r(t := t I} ( lim x(t t lim y(t t ( Ableitungen: Sind x, y uf I diffbr, so existieren die Ableitungen ẋ(t = dx dy dt, ẏ(t = dt Dnn gilt: r(t := lim lso h 0 h r(t = d r dt = ( ẋ(t ẏ(t ( r(t + h r(t = lim h 0 (2 Geometrische Deutung Anstieg der Kurve K im Punkt r(t = ( x(t+h x(t h y(t+h y(t h ( x(t y(t = ( ẋ(t ẏ(t in x-richtung ist dy dx = ẏ(tdt ẋ(tdt = ẏ(t ẋ(t Somit ist

17 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 5 ( ẋ(t r(t = ein Richtungsvektor der Tngente von K im Punkt ẏ(t r(t. (3 Gleichung der Tngente von K im Punkt r(t: ( x y = r(t + λ r(t, λ R (4 Bedeutung in der Physik: r(t Bewegung eines Punktes r(t = r(t = ( ẋ(t ẏ(t ( ẍ(t ÿ(t : Geschwindigkeitsvektor : Beschleunigungsvektor (5 Kurve : K = { r(t = ( t 2 t 3 t t (, } Länge L(K einer Kurve K Zerlegung von K: ( x(t K = { r(t =...} sei Kurve mit Anfngspunkt P y(t und Endpunkt P b. Zerlegen K in( n Teilkurven K,..., K n mit P = xk P 0, P,..., P n = P b mit P k = und K k ist die Teilkurve von P k nch P k. y k

18 6 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R P b = P 5 P P 2 P 3 P 4 P = P 0 (2 Ds Bogendifferentil ds: Für ds k := P k P k gilt nch Pythgors: ds k = (dx k 2 + (dy k 2, dx k = x k x k, dy k = y k y k Dmit ist ds k näherungsweise die Länge der Teilkurve K k (sofern ds k klein ist: L(K = lim n ds k 0 n P b ds k = ds P k= ds = (dx 2 + (dy 2 heißt Bogendifferentil (3 Explizite Drstellung von K K Kurve mit y = f(x, x [, b] dy dx = f (x, dy = f (xdx ds = (dx 2 + (dy 2 = L(K = + (f (x 2 dx (dx 2 ( + ( 2 dy dx = + (f (x 2 dx

19 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 7 (4 Prmeterdrstellung von K K Kurve mit x = x(t, y = y(t, t [, b] dx = ẋ(tdt, dy = ẏ(tdt ds = (dx 2 + (dy 2 = ẋ(t 2 dt 2 + ẏ(t 2 dt 2 = ẋ(t 2 + ẏ(t 2 dt L(K = ẋ(t2 + ẏ(t 2 dt Kurvenlänge : K Kreis, Rdius r, Mittelpunkt (0,0, Umfng? Kurvendrstellung in Polrkoordinten ( Polrkoordinten: r(φ, φ Umrechnung in krtesische Koordinten (s. komplexe Zhlen: x = r(φ cos φ, y = r(φ sin φ, r(φ = x 2 + y 2 (2 Länge der Kurve K: r = r(φ, α φ β L(K = β α r(φ 2 + ( dr dφ 2 dφ Kurvenlänge in Polrkoordinten : Archimed. Spirle: r = φ, 0 φ 2π

20 8 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R Kurven im R n ( Prmeterdrstellung von K: r(t = x (t.. x n (t, t [, b] (2 Ableitung, Tngentenrichtungsvektor ẋ (t r(t = lim h 0 h ( r(t + h r(t =.. ẋ n (t (3 Tngente von K im Punkt r(t: x (t.. x n (t = r(t + λ r(t, λ R (4 Länge L von K: L(K = ẋ2 + + ẋ 2 ndt = (5 Beispiel: Schrubenlinie r(t dt x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = t t [0, 2π] L =... = 2 5π

21 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R Flächenmessung ( Fläche zwischen den Grphen von Funktionen Für den Flächeninhlt F gilt: F = f(x g(x dx (2 Sektorformel von Leibniz Ist x = x(t, y = y(t, t b eine stückweise stetig diff bre Prmeterdrstellung einer Kurve K, die von jedem Ursprungsstrhl höchstens einml getroffen wird, dnn beträgt der Inhlt F der durch K begrenzten Sektorfläche F = b 2 (x(tẏ(t y(tẋ(tdt Sektorformel : Sektor mit Rndkurven y = 2 x 2, y = x, y = x (3 Sektorformel in Polrkoordinten

22 20 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R K : r = r(φ, α φ β x = r(φ cos φ, y = r(φ sin φ F = 2 β (r(φ 2 dφ α Leibnizsche Sektorformel in Polrkoordinten : K = r(φ = φ, 0 φ 2π Rottionskörper B sei der Körper, der durch Rottion der Kurve K um die x-achse entsteht. Explizite Drstellung von K Sei K = {(x, y T y = f(x, x [, b]}. Für ds Volumen V (B von B gilt dnn V (B = π (f(x 2 dx und für die Mntelfläche M(B gilt: M(B = 2π f(xds = 2π f(x + (f (x 2 dx

23 Kpitel 4: Integrlrechnung für f : D(f R R 2 (2 Prmeterdrstellung für K K = { r(t = (x(t, y(t T t [, b]} Dnn gilt: V (B = π y(t 2 ẋ(tdt und M(B = 2π y(t ẋ(t 2 + ẏ(t 2 dt Rottionskörper : Kegel K: Rdius r, Höhe h