Doppel- und Dreifachintegrale

Transkript

1 Doppel- und Dreifchintegrle Sei [, b] ein Intervll des R 2 oder R 3 (lso ein Rechteck bzw. ein Quder), i.e. [, b] = [, b ] [ 2, b 2 ] oder [, b] = [, b ] [ 2, b 2 ] [ 3, b 3 ]. Für Intervlle des R 2 bzw. R 3 (und nlog für Intervlle des R n ) können ebenflls Prtitionen erklärt werden, P [, b] : = x 0 < x <... < x l = b 2 = y 0 < y <... < y m = b 2 bzw. P [, b] : = x 0 < x <... < x l = b 2 = y 0 < y <... < y m = b 2 3 = z 0 < z <... < z n = b 3 Im Zusmmenhng dmit erklären wir Riemnnsche Summen bzgl. einer reellwertigen Funktion f S P (f; ξ, η) = l i= j= S P (f; ξ, η, ζ) = l m f(ξ i, η j )(x i x i )(y j y j ) m i= j= k= bzw. n f(ξ i, η j, ζ k )(x i x i )(y j y j )(z k z k ) wobei ξ, η, ζ bezeichnet. die Whl von entsprechenden Zwischenpunkten ξ i, η j, ζ k Definition. Sei f : R 2 R (bzw. f : R 3 R). Dnn heißt f R-integrierbr uf [, b], wenn jede Zerlegungsnullfolge P (n) mit P (n) 0 gegen ein und denselben Wert konvergiert, i.e. lim S P (n)(f; n ξ(n), η (n) ) = I 2 (f) bzw. lim S P (n)(f; ξ (n), η (n), ζ (n) ) = I 3 (f) n (unbhängig von der Whl der Zwischenpunkte ξ, η, ζ )

2 Schreibweise. I 2 (f) = f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy [,b ] [ 2,b 2 ] I 3 (f) = f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dxdydz [,b ] [ 2,b 2 ] [ 3,b 3 ] Stz. (ohne eweis) Flls f stückweise stetig uf [, b] ist, dnn ist f R-integrierbr uf [, b]. emerkung. Dbei heißt f stückweise stetig, wenn f stetig in llen Punkten von [, b] ist mit Ausnhme von Punkten einer Menge C, die ls Vereinigung von endlich vielen Kurven (im R 2 ) bzw. ls Vereinigung von endlich vielen Flächen (im R 3 ) drstellbr ist. Definition. N R 2 (bzw. N R 3 ) heißt Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 endlich viele Rechtecke (bzw. Quder) A n gibt, sodss N n A n und n A n < ε, wobei A n den üblichen Flächeninhlt eines Rechtecks (bzw. Volumen eines Quders) bezeichnet. Stz. (ohne eweis) f ist R-integrierbr uf [, b] f ist stetig uf [, b] bis uf eine Nullmenge. Konkrete erechnung von Doppel- und Dreifchintegrlen S P (f; ξ, η) = m (y j y j ) l f(ξ i, η j )(x i x i ) l i= j= i= f(ξ i, y)(x i x i ) = ϕ(y) = S P (f; ξ) P 0 wobei y ein Prmeter ist. Drus folgt b f(x, y)dx, 2

3 ( ) m ϕ(η j )(y j y j ) = m b f(x, η j )dx (y j y j ) + ein Rest, der mit j= j= P 0 gegen Null strebt. Insgesmt erhlten wir S P (f; ξ, η) P 0 Hierfür verwendet mn uch die Schreibweise b 2 b dy f(x, y)dx 2 b 2 2 ( b f(x, y)dx ) dy. emerkung. Anloges gilt uch für Dreifchintegrle. Stz. (Fubini) Sei f uf [, b] stückweise stetig und beschränkt. Dnn existiert f(x, y)dxdy = f(x, y)da und es gilt b 2 b f(x, y)da = dy f(x, y)dx = dx f(x, y)dy 2 2 b emerkung. Anloges gilt uch für Dreifchintegrle. Unter den Vorussetzungen des Stzes von Fubini ist lso die Reihenfolge der Integrtion unwesentlich. b 2 eispiel. Mn bestimme : 0 x, y 2. (x+y 2 ) 3/2 da, wobei gegeben ist durch 2 da = dy (x+y 2 ) 3/2 0 2 dx = 2 (x+y 2 ) 3/2 x+y 2 x=0 dy = 2 = 2 dy y 2 dy y = 2rsinh2 + 2rsinh + 2 ln 2. 3

4 Hier wäre 0 2 dx dy (x+y 2 ) 3/2 ungünstig gewesen! Definition. R 2 heißt Normlbereich bzgl. der x-achse, wenn es zwei Zhlen, b und zwei Funktionen f(x), g(x) gibt, sodss beschrieben werden knn durch = {(x, y) : x b, f(x) y g(x)}. Anlog ist ein Normlbereich bzgl. der y-achse beschrieben durch = {(x, y) : f(y) x g(y), c y d}. Definition. R 3 heißt Normlbereich bzgl. der xy-ebene, wenn es zwei Zhlen, b, zwei Funktionen u(x), v(x) uf [, b] sowie zwei Funktionen f(x, y), g(x, y) uf A = {(x, y) : x b, u(x) y v(x)} gibt, sodss drstellbr ist durch = {(x, y, z) : x b, u(x) y v(x), f(x, y) z g(x, y)}. Normlbereiche bzgl. der nderen Koordintenebenen sind nlog definiert. emerkung. A stellt die Projektion von uf die xy-ebene (bzw. die jeweilige Koordintenebene) dr. Ein Normlbereich im engeren Sinne ist ein Normlbereich bzgl. beider Koordintenchsen (im R 2 ) bzw. ller Koordintenebenen (im R 3 ). emerkung. Für ds Integrl über einen Normlbereich bzgl. der x- Achse gilt dnn h(x, y)dxdy = b dx g(x) f(x) h(x, y)dy. Für ds Integrl über einen Normlbereich bzgl. der xy-ebene gilt 4

5 h(x, y, z)dxdydz = h(x, y, z)dv = b dx v(x) u(x) dy g(x,y) f(x,y) h(x, y, z)dz Die Integrle über die nderen Normlbereiche sind nlog definiert. eispiel. Sei ds Ellipsoid ( x ) 2 + ( y b) 2 + ( z c) 2 gegeben. Die Projektion in die xy-ebene ist ( x ) 2 + ( y b) 2. Also knn ds Ellipsoid beschrieben werden durch x b ( ) x 2 y b c ( x 2 ( ) y b ( x ) 2 ) 2 z c ( x 2 ( ) y ) 2 b emerkung. Ist ein vorliegender ereich kein Normlbereich, so läßt er sich oft in Normlbereiche, 2,, n zerlegen, wobei i j nur jeweils Rndpunkte enthält. Für ds Integrl über gilt dnn eine entsprechende Additivitätseigenschft. emerkung. Ist R 2 (bzw. R 3 ) ein Normlbereich, dnn erhlten wir durch dxdy (bzw. dxdydz) den Flächeninhlt von (bzw. ds Volumen von ). Dies gilt uch für ereiche, die sich us Normlbereichen zusmmensetzen lssen. Eigenschften von Mehrfchintegrlen. Im folgenden seien f bzw. g stets stückweise stetig, und der ereich stückweise gltt. 5

6 Mittels Riemnnscher Summen knn mn die Linerität, Additivität und Positivität nchweisen. (Linerität) [λf(x,, x n ) + µg(x,, x n )]dx dx n = = λ f(x,, x n )dx dx n + µ g(x,, x n )dx dx n (Additivität) Sei,, m eine Zerlegung von, wobei m = und i j nur Rndkomponenten von i bzw. j enthält. f(x,, x n )dx dx n = f(x,, x n )dx dx n + + m f(x,, x n )dx dx n (Positivität) Sei f(x,, x n ) 0 uf. Dnn gilt f(x,, x n )dx dx n 0. Folgerung. Ist f g uf, dnn ist f(x,, x n )dx dx n g(x,, x n )dx dx n. (eweis: Verwende h = f g) Weiters gilt die etrgsungleichung f(x,, x n )dx dx n f(x,, x n ) dx dx n eweis. Ist fdx dx n 0, dnn gilt wegen f f fdx dx n = fdx dx n f dx dx n. Ist fdx dx n 0, dnn gilt wegen f f 6

7 fdx dx n = fdx dx n = = ( f)dx dx n f dx dx n. Stz. (Mittelwertstz) Sei f stetig uf einem zusmmenhängenden kompkten ereich R 3. Dnn existiert ein Punkt P (ξ, η, ζ), sodss f(ξ, η, ζ) = V ol() f(x, y, z) dv, wobei V ol() = dv ds Volumen von bezeichnet. eweis. Weil f stetig uf der kompkten Menge ist, werden ds Mximum und ds Minimum ngenommen, d.h. P 0 (ξ 0, η 0, ζ 0 ) sodss f(ξ 0, η 0, ζ 0 ) = m, P (ξ, η, ζ ) sodss f(ξ, η, ζ ) = M und m f(x, y, z) M uf. Dmit gilt mv ol() = m dv f(x, y, z)dv M dv = MV ol() Folglich m µ(f) = V ol() f(x, y, z)dv M der Mittelwert von f). ( µ(f) heißt uch Weil zusmmenhängend ist, gibt es einen Polygonzug, lso eine stetige Kurve C : (x(t), y(t)z(t)) mit Anfngspunkt P 0 und Endpunkt P, welche gnz in verläuft. etrchte nun die stetige Funktion φ(t) = f(x(t), y(t), z(t)). Nch dem Zwischenwertstz wird jeder Wert zwischen Minimum und Mximum von φ ngenommen, d.h. t : φ(t ) = µ(f). Der gesuchte Punkt ist dnn P (ξ, η, ζ) = P (x(t ), y(t ), z(t ). emerkungen. 7

8 (i) Im. Mittelwertstz der Integrlrechnung wurde gezeigt, dss b f(x)dx = (b )f(ξ), ξ b bzw. f(ξ) = b b f(x)dx und V ol(i) = b. (ii) Der Mittelwertstz gilt uch in nloger Weise für den R n. 8