a = x 0 < x 1 <... < x n = b

Transkript

1 7 Integrtion 7.1 Integrtion von Treppenfunktionen Im folgenden ezeichnen wir mit I = [, ] ein eschränktes und geschlossenes Intervll. Für Punkte = x 0 < x 1 <... < x n = nennen wir Z = (x 0,x 1,...,x n ) eine Zerlegung des Intervlls. Die Zerlegung erzeugt die Teilintervlle I k = (x k 1,x k ) der Länge I k = x k x k 1. Z heißt äquidistnt, wenn I j = I k, lso I k = ( )/n. φ : [,] Ê heißt Treppenfunktion, wenn es eine Zerlegung Z git mit φ(x) = c k uf jedem Teilintervll I k. Auf den Zerlegungspunkten x k drf φ elieige Werte nnehmen. Die Menge der Treppenfunktionen uf I = [, ] wird mit T(I) ezeichnet. Sklre Vielfche, Summe und Produkt von Treppenfunktionen sind wieder Treppenfunktionen, llerdings nicht immer uf der gleichen Zerlegung. Ds Integrl der Treppenfunktion φ ist definiert ls φ(x)dx = n c k I k. Ist φ 0, so entspricht dieser Wert dem Flächeninhlt der Rechtecke, die unterhl des Grphen von φ liegen. k=1 Für Treppenfunktionen φ,ψ und α,β Ê gilt dnn (αφ+βψ)dx = α φdx+β ψ dx φdx ( )K mit φ(x) K (Linerität), (Beschränktheit), φ ψ in [,] φdx ψdx (Monotonie). 7.2 Regelfunktionen Für eine uf [, ] eschränkte Funktion f setzen wir f = f [,] = sup{ f(x) : x [,]}. Mn sieht sofort, dss dieser Ausdruck den Bedinungen (i) (ii) (iii) f 0 und f = 0 nur, wenn f = 0 αf = α f für lle α Ê f +g f + g (Definitheit), (Positive Homogenität), (Dreiecksungleichung). genügt.istf stetiguf[,],sonimmtf MximumundMinimumnundesgilt f = mx{ f(x) : x [,]}. f : [,] Ê heißt Regelfunktion, wenn in jedem Punkt x (,) die rechts- und linksseitigen Grenzwerte von f und in jedem Rndpunkt die einseitigen Grenzwerte von f existieren. Die Menge der Regelfunktionen üer I = [,] ezeichnen wir mit R(I). Stz () Regelfunktionen sind eschränkt. () Sklre Vielfche, Summe und Produkte von Regelfunktionen sind Regelfunktionen. 57

2 (c) Jede stetige und jede monotone Funktion ist Regelfunktion. Beweis: () Wäre eine Regelfunktion f uneschränkt, so gäe es eine Folge (x n ) in [,] mit lim n f(x n ) = oder. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß 3.8 git es eine Teilfolge (x nk ) mit x nk ξ [,]. D höchstens endlich viele x nk mit ξ üereinstimmen, können wir x nk ξ vorussetzen. Durch Auswhl einer weiteren Teilfolge, die wir genuso nennen, können wir x nk < ξ (oder x nk > ξ) für lle k erreichen. Dmit existiert der linksseitige Grenzwert von f in ξ offenr nicht. () Dies folgt us den Sätzen üer die Konvergenz von Zhlenfolgen. (c) Die Klsse der Regelfunktionen umfßt die stetigen Funktionen. Sei f monoton wchsend und ξ (,]. Die Menge {f(x) : x < ξ} esitzt ein Supremum M. Wegen der Monotonie von f konvergiert jede Folge (f(x n )) mit x n ξ gegen M. Den rechtsseitigen Grenzwert ehndelt mn genuso. 7.3 Approximtion von Regelfunktionen durch Treppenfunktionen Im folgenden definieren wir ein Integrl für Regelfunktionen, indem wir diese durch Treppenfunktionen pproximieren und dnn nchweisen, dss die Integrle einer pproximierenden Folge von Treppenfunkionen einen Grenzwert esitzen. Stz f ist genu dnn eine Regelfunktion, wenn es zu jedem ε > 0 eine Treppenfunktion φ git mit φ f < ε, lso φ(x) f(x) < ε für lle x I. Bemerkung Die nschuliche Vorstellung dieses Stzes ist genu die gleiche, die wir ei der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenfolgen kennengelernt hen: Für jedes ε > 0 git es eine Treppenfunktion im ε-schluch um die Funktion f. Beweis: Sei f eine Regelfunktion. Wir verwenden einen Widerspruchseweis und nehmen dzu n, dss es ein ε > 0 git, für die die geforderte Treppenfunktion nicht existiert. Wir hlieren ds Intervll I = I 0 = [,] im Mittelpunkt M. Git es uf den Teilintervllen [,M] und [M,] jeweils eine ε-pproximierende Treppenfunktion, so knn diese zu einer ε-pproximierenden Treppenfunktion uf [, ] zusmmengesetzt werden. Dher git es uf mindestens einem Teilintervll eine solche Treppenfunktion nicht, wir nennen dieses I 1 und setzen ds Intervllhlierungsverfhren mit diesem Intervll fort. Auf diese Weise erhlten wir eine Folge von Intervllen I 0 I 1..., deren Endpunkte genu eine reelle Zhl ξ einschchteln. Ist ξ (,), so existieren die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von f in ξ. Es git dher ein δ > 0 mit f(x) f(ξ ) < ε für 0 < ξ x < δ, f(x) f(ξ+) < ε für 0 < x ξ < δ. Für genügend großes k ist I k (ξ δ,ξ + δ) und uf I k existiert die gesuchte Treppenfunktion, nämlich φ(x) = f(ξ ) für x < ξ, φ(ξ) = f(ξ) und φ(x) = f(ξ+) für x > ξ. Widerspruch! Den Fll ξ =, ehndelt mn genuso. Die umgekehrte Richtung ist etws technisch und soll hier nicht usgeführt werden. 7.4 Integrtion von Regelfunktionen Sei f R(I) und (φ n ) eine Folge in T(I) mit f φ n 0. Dnn heißt ds Integrl von f üer [,]. f(x)dx = lim n φ n (x)dx 58

3 D die pproximierenden Treppenfunktionen in einem ε-schluch um f liegen, ist nschulich klr, dss die Integrle üer die Treppenfunktionen sich für ε 0 dem Flächeninhlt unterhl des Grphen von f immer mehr nnähern. Dmit die Definition des Integrls sinnvoll ist, muß noch einiges gezeigt werden. Die Existenz der geforderten Folge (φ n ) folgt us Stz 7.3. Wir zeigen nun, dss der Grenzwert uf der rechten Seite der Definition existiert. Für genügend große n folgt us f φ n 0 mit der Dreiecksungleichung φ n = φ n f +f φ f + f 1+ f. Dmit ist uch die Folge der Integrle φ n dx eschränkt. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß git es eine Teilfolge φ nk mit φ nk dx Ê. Sei ε > 0 elieig vorgegeen. Dnn git es ein N Æ mit ε φ n f 3( ), φ nk dx ε 3 für lle n,n k N. Dmit folgt φ n dx = (φ n φ nk )dx+ φ nk dx ( ) φ n φ nk + ε 3 ( )( φ n f + φ nk f )+ ε 3 = ε Dmit konvergiert die gesmte Integrlfolge gegen. Ferner müssen wir zeigen, dss der Grenzwert in der Definiton des Integrls unhängig von der gewählten Folge von Treppenfunktionen ist. Sind (φ n ),(ψ n ) Folgen mit φ n f, ψ n f 0, so φ n dx ψ n dx ( ) φ n ψ n ( )( φ n f + ψ n f ) 0. Dmit ist die Differenzenfolge eine Nullfolge und die eiden Integrlfolgen streen gegen den gleichen Grenzwert. Beispiel Wir htten die Dirichlet-Funktion f : [0,1] Ê { 1 für x rtionl (7.1) f(x) = 0 für x irrtionl ereits definiert. D es in jedem Intervll, ds us mehr ls einem Punkt esteht, sowohl rtionle ls uch irrtionle Punkt git, lässt sich diese Funktion nicht durch Treppenfunktion elieig genu pproximieren. Dher ist die Dirichlet-Funktion nicht integrierr. Stz Für Regelfunktionen f,g und α,β Ê gilt f x () () (αf +βg)dx = α f dx+β f dx ( )K mit f(x) K g dx (Linerität) (Beschränktheit) (c) f g in [,] f dx g dx (Monotonie) 59

4 Beweis: Alle drei Behuptungen folgen us den nlogen Eigenschften der Treppenfunktionen, nurderbeweisdermonotonieistetwsumfngreicher.esgittreppenfunktionenmit f φ n 0 und g ψ n 0. Für die modifizierten Treppenfunktionen φ n = φ n f φ n, ψn = ψ + g ψ n gilt dnn φ n f g ψ n. Aus f φ n 0 und g ψ n 0 folgt f dx = lim φ n dx lim ψ n = gdx. Stz Für < < c sei f eine Regelfunktion uf [,c]. Dnn gilt c f dx = f dx+ Beweis: Ht mn Treppenfunktionen, die f uf [, c] pproximieren, so lssen sich diese uf die Intervlle [, ] und [, c] einschränken. Für diese Treppenfunktionen gilt die ehuptete Beziehung und dmit uch für f. Beispiel Sei I = [0,1] und f(x) = x 2. Wir erechnen den Flächeninhlt unterhl der Prel f. Wir wählen äquidistnte Zerlegungen mit Teilungspunkten x k = kh, h = 1/n. Für die Treppenfunktion c f dx. φ n (x) = x 2 k+1 für x k < x x k+1, 0 k < n, φ n (0) = 0, gilt f φ n mx{ x 2 k x2 k+1 } = (n 1)2 h 2 n 2 h 2 = (2n 1)h 2 0. Dmit ist φ n eine Folge, die f pproximiert. Es gilt 1 0 φ n dx = h(1 2 h h n 2 h 2 ) Durch Induktion eweist mn (vergleiche Aufge 1.1) n 2 = 1 3 n n n, lso 1 φ n dx = n 3 ( 1 3 n n n) Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Stz Sei f stetig uf [, ] und p 0 eine Regelfunktion uf [,]. Dnn git es ein ξ (,) mit f(x)p(x)dx = f(ξ) Bemerkung Für p = 1 erhlten wir den Spezilfll f(x)dx = f(ξ)( ), der sich gut vernschulichen lässt. Mn echte, dss der Stz nur richtig ist, wenn eine Vorzeichenedingung n p erfüllt ist. Beweis: Sei m ds Minimum und M ds Mximumvon f uf [,]. Aus ξ mp fp Mp 60

5 folgt mit der Monotonie des Integrls m p(x)dx Es git lso eine Zhl c mit m c M mit f(x)p(x)dx M f(x)p(x)dx = c Nch dem Zwischenwertstz werden lle Werte zwischen m und M von f ngenommen, ws die Existenz von ξ mit f(ξ) = c eweist. 7.6 Vertuschung von Integrtion und Grenzüergng Stz Sei (f n ) eine Folge von Regelfunktionenuf[,]undf einefunktionmit f n f 0.Dnnistuchf eineregelfunktion und es gilt f(x)dx = lim f n (x)dx. Beweis: Es git n Æ und φ T(I) mit f f n < ε/2 und f n φ < ε/2. Aus der Dreiecksungleichung folgt dnn f φ < ε. Dmit ist f eine Regelfunktion. Aus der Beschränktheit des Integrls folgt (f f n )dx ( ) f f n Ergänzende Definitionen Bisher htten wir ds Integrl für Regelfunktionen üer Intervlle [, ] mit < definiert. Aus methodischen Gründen ergänzen wir diese Definition durch f(x)dx = f(x)dx, f(x)dx = 0. Dmit ist ds Integrl für lle eschränkten und geschlossenen Intervlle definiert. Ds Integrl ist nun orientiert: Üer ds Vorzeichen des Integrls entscheidet uch, o die x-achse in positiver oder negtiver Richtung durchlufen wird. Mn echte, dss ds Integrl in dieser erweiterten Definition nicht mehr monoton ist. Der Grund für diese Definition ist drin zu sehen, dss wir nun Stz 7.4 llgemeiner formulieren können: Sind α,β,γ [,], so gilt (7.2) β α γ f(x)dx+ f(x)dx+ β α γ f(x)dx = 0. Mn knn dies leicht mit einer Fllunterscheidung üer die Lge der drei Punkte α, β, γ eweisen. Sind Rel- und Imginärteil einer komplexwertigen Funktion f : [,] Regelfunktionen, so ist ds Integrl definiert durch f(x)dx = Ref(x)dx+i Imf(x)dx. 61