HM I Tutorium 14. Lucas Kunz. 9. Februar 2018

Transkript

1 HM I Tutorium 14 Lucs Kunz 9. Februr 218 Inhltsverzeichnis 1 Theorie Uneigentliche Integrle Typ Typ Typ Konvergenzkriterien Absolute Konvergenz Cuchy-Kriterium Minornten und Mjornten Integrlkriterium Stmmfunktionen von Potenzreihen Theorie über ds Tutorium hinus Integrle über Funktionenfolgen Ableitungen von Funktionenfolgen Aufgben 5 1

2 1 Theorie 1.1 Uneigentliche Integrle Uneigentliche Integrle sind solche Integrle, deren grenzen sich im Bereich von eventuellen Divergenzen der Funktionen befinden. Ein Beispiel wäre 1 1 x dx, weil die Funktion 1 x in x = nicht definiert ist. Dennoch ist der Wert des Integrls existent und endlich, lässt sich jedoch nur ls Grenzwert berechnen. Ebenso sind Integrle, in deren Grenzen ± uftucht, uneigentlich, d uch derrtige Rechnungen nur ls Grenzwert durchführbr sind. Dher müssen diese Integrle uf spezielle Weise definiert werden. Hierzu seien im Folgenden jeweils, b R, R { } und β R { }, < < b < β Typ 1 Der erste Typ uneigentlicher Integrle ist jener mit einer problemtischen oberen Grenze. Es sei f : [, β) R eine Funktion, dnn heißt f(x) dx ein uneigentliches Integrl Typ 1. Es lässt sich berechnen ls f(x) dx := lim r β und wird ls konvergent bezeichnet, wenn sein Wert endlich ist. r f(x) dx (1.1) Typ 2 Wie zu erwrten bezeichnet mn Integrle mit problemtischer unterer Grenze ls uneigentliches Integrl Typ 2. Ein solches ist gegeben durch f(x) dx mit einer Funktion f : (, b] R und wird berechnet ls f(x) dx = lim r + r f(x) dx. (1.2) Konvergenz bedeutet uch in diesem Fll, dss der Wert des Integrls endlich ist Typ 3 Ds uneigentliche Integrl Typ 3 ist nun die Kombintion dieser beiden bisherigen Typen, mn nimmt lso eine Funktion f : (, β) R und integriert drüber ls f(x) dx. Um dies zu berechnen benötigt mn ein beliebiges c (, β), mit dem dnn folgendes gilt: c f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. (1.3) c }{{}}{{} Typ 2 Der Wert des linken Integrls ist dbei unbhängig von der Whl von c (wie schon bei gewöhnlichen Integrlen); mn bezeichnet es ls konvergent, wenn beide rechten Integrle wie für die Typen 1 und 2 definiert konvergieren. 1.2 Konvergenzkriterien Die folgenden Konvergenzkriterien werden der Kürze wegen hier nur für Integrle des Typs 1 formuliert, lssen sich ber (bis uf 1.2.4) uch uf die Typen 2 und 3 übertrgen. 2 Typ 1

3 1.2.1 Absolute Konvergenz D in den folgenden Kriterien dieser Begriff uftuchen wird, sei n dieser Stelle bsolute Konvergenz definiert. Ein Integrl f(x)dx heißt bsolut konvergent, wenn f(x) dx (1.4) konvergiert. Dmit ht der Begriff für Integrle die selbe Bedeutung wie für Reihen. Außerdem erfüllen Integrle eine sehr ähnliche Dreiecksungleichung. Aus dieser Ungleichung folgt uch, dss jedes bsolut konvergente Integrl uch norml konvergent ist, d ds Integrl über den Betrg ls Mjornte dient (siehe 1.2.3) Cuchy-Kriterium Ein uneigentliches Integrl f(x) dx ist genu dnn konvergent, wenn v ɛ > c = c(ɛ) (, β) : f(x) dx < ɛ u, v (c, β). (1.5) Ein uneigentliches Integrl ist lso genu dnn konvergent, wenn mn uch in der Nähe der problemtischen Stelle β über kleinere Intervlle [u, v] integrieren knn und diese Integrle einen beliebig kleinen Wert (kleiner ls jedes ɛ) nnehmen können. Um ds Kriterium uf Integrle des Typs 2 nzuwenden muss mn u und v jeweils us dem Intervll (, c) wählen, lso ebenflls in der Nähe der problemtischen Stelle Minornten und Mjornten Die Mjornten- und Minorntenkriterien für Integrle sind jenen für Reihen sehr ähnlich. Sie luten folgendermßen: u Ist f g uf [, β) und ist g(x) dx konvergent, so konvergiert f(x) dx bsolut. Entsprechendes gilt für Integrle des Typs 2, flls die zugrundeliegende Unglei- chung f g uf (, b] erfüllt wird. Gilt f g uf [, β) (bzw. (, b] für Typ 2) und ist divergiert uch f(x) dx. g(x) dx divergent, dnn Insbesondere die Mjornten können dbei nicht nur helfen, llgemeine Konvergenz festzustellen, sondern schränken uch den möglichen Grenzwert nch oben ein. Eine solche Einschränkung ist ntürlich bei Integrlen ebenso wie bei Summen durch Einschnürung/ds Sndwich-Theorem möglich (siehe bei Folgen-Konvergenz Tutorium 4) Integrlkriterium Dieses Kriterium existiert usschließlich für Integrle des Typs 1. Ist m N und f : [m, ) (, ) ist monoton fllend, dnn besteht folgende Äquivlenz: f(k) konvergiert k=m m f(x) dx konvergiert. (1.6) Dmit lässt sich lso die Konvergenz von Reihen und Integrlen ineinnder überführen. Eine exkte Berechnung des Grenzwerts ist mit dieser Methode ber leider nicht möglich. 3

4 1.3 Stmmfunktionen von Potenzreihen Wie schon bei Ableitungen von Potenzreihen sei f : I R definiert über eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R >, wobei I := (x R, x + R) bzw. I = R flls R =. Die Funktion ist lso definiert ls f(x) = n (x x ) n. (1.7) n= Die in ihrer Definition sehr ähnliche Potenzreihe n F (x) = n + 1 (x x ) n+1 (1.8) n= ht genu den selben Konvergenzrdius wie f und ist uf dem Intervll I eine Stmmfunktion zu f, lso F = f uf I, wie einfch nchzurechnen ist. 2 Theorie über ds Tutorium hinus 2.1 Integrle über Funktionenfolgen Mn definiere zur Vernschulichung der Idee dieses Kpitels eine Folge f n : [, 1] R wie folgt: n 2 x x [, 1 ) n f n (x) = 2n n 2 x x [ 1, 2 ) (2.1) n n x [ 2, 1] n Die Funktion steigt lso im Bereich [, 1 ) liner von uf n n und fällt im Intervll [ 1, 2 ) n n n wieder uf b, beschreibt lso nschulich ein Dreieck. Ds Dreieck ht eine Höhe von n und eine Breite von 2, lso ht es den vom Prmeter n unbhängigen Flächeninhlt n A = 1 n 2 = 1. Dieser Flächeninhlt entspricht dem Integrl über die Funktion f 2 n n, lso knn mn schreiben 1 f n (x) dx = 1 n N. (2.2) Im Grenzfll n strebt die Funktionenfolge punktweise gegen die Nullfunktion f(x), d ds dritte Intervll der Definition, [ 2, 1], dnn zunehmend den gesmten Rum in n [, 1] nnimmt. Die Konvergenz ist llerdings nicht gleichmäßig, d direkt neben der immer noch ein Dreieck der Höhe n existiert, die in diesem Grenzfll divergiert. Vergleicht mn lso die Integrle über f n und f, so fällt einem ein erheblicher Unterschied uf: ( 1 ) 1 1 ( ) lim f n (x) dx = 1 = f(x) = lim }{{} f n(x) dx. (2.3) Die Reihenfolge, in der Integrl und Grenzwert berechnet werden, ist bei dieser punktweise konvergenten Folge lso wichtig. Dies ist bei gleichmäßiger Konvergenz nicht der Fll. Ist f n R[, b] gleichmäßig konvergent gegen f : [, b] R, dnn ist uch diese Grenzfunktion uf dem Intervll [, b] integrierbr und es gilt ttsächlich die Gleichheit lim ( ) f n (x) dx = f(x) dx = 4 ( ) lim f(x) dx. (2.4)

5 2.2 Ableitungen von Funktionenfolgen Es sei f n eine Folge stetig differenzierbrer Funktionen, lso f n C 1 ([, b]), die uf [, b] punktweise gegen eine Funktion f konvergiere. Die Folge der Ableitungen f n konvergiere gleichmäßig gegen g. In diesem Fll ist f C 1 ([, b]) und f = g uf gnz [, b], lso ( ) g(x) = lim f n (x) = f (x) = g(x) = lim f n(x). (2.5) Wenn die Folge der Ableitungen lso gleichmäßig konvergent ist, dnn lssen sich Ableitung und Grenzwert vertuschen, selbst wenn die Folge selbst nur punktweise konvergiert. 3 Aufgben Die Musterlösungen der Tutoriumsufgben 85, 86 und 87 finden sich uf der Internetseite der Vorlesung unter 5