Grundlagen der Integralrechnung

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1 Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe Beispielufgbe

2 1 Ds unbestimmte Integrl Am Beispiel eines Polnoms wollen wir ds sogennnte unbestimmte Integrl herleiten. Gegeben sei die Funktion f(x) sowie deren Ableitung f (x). f(x) x n f (x) n x n 1 Nun stellen wir uns vor, wir kennen nur f (x) und frgen uns, von welcher Funktion diese Funktion f (x) ls Ableitung bstmmen könnte. Mn nennt diese gesuchte Funktion dher uch Stmmfunktion. Wenn die gegebene Funktion nicht f (x), sondern f(x) heißt, dnn verwendet mn für die Stmmfunktion die Bezeichnung F (x). Dmit ist dnn: f(x) F (x) Kommen wir zurück zum Beispiel. Wenn wir zur Funktion f(x) n x n 1 die Stmmfunktion F (x) suchen, dnn könnte die Lösung luten: F (x) x n Möglich sind ber uch noch nchfolgende Stmmfunktionen: F 1 (x) x n + F 2 (x) x n + 7 F (x) x n 19 D beim Ableiten immer die Konstnte (ls Summnd) wegfällt, ergäbe sich beim Ableiten stets: F (x) f(x) n x n 1 Allgemein knn mn dher sgen, die Stmmfunktion zu f(x) lutet: f(x) n x n 1 F (x) x n + c Hierbei ist c eine Konstnte, die eine beliebige reelle Zhl sein knn. Kommen wir nun zur Festlegung einiger Begriffe. Die Umkehrung des Differenzierens nennt mn Integrieren. D für ds Differenzieren uch der deutsche Begriff Ableiten verwendet wird, knn mn umgekehrt zum Integrieren uch Aufleiten sgen. Dieser Begriff ist zwr nicht llgemein üblich, drückt ber meines Erchtens nschulich gut die Umkehrung des Ableitens us. Die Stmmfunktion zu einer Funktion f(x) heißt unbestimmtes Integrl von f(x). Unbestimmt, weil die Konstnte c j nicht bestimmt werden knn. Hierfür wird folgende Schreibweise verwendet: f(x)dx F (x) + c Gelesen wird ds ls Integrl von f von x dx. Die genue Bedeutung des Kürzels dx soll n dieser Stelle nicht erklärt werden (es stmmt vom dx us dem Differenzenquotienten b, ds ds differenziell kleine x us der Steigungsformel drstellt), es reicht n 2

3 dieser Stelle, wenn mn weiß, dss die Funktion vorn durch ds Integrlzeichen und hinten durch ds Kürzel dx eingeschlossen wird. In unserem Beispiel sieht ds dnn so us: } n {{ x n 1 } dx } x {{ n + } c f(x) F (x) Ws bedeutet ds? Es gibt zu jeder Funktion f(x) eine gnze Schr von Stmmfunktionen, die lle f(x) ls Ableitung hben. D nicht feststellbr ist, welche dvon dir richtige ist, spricht mn vom unbestimmten Integrl. Hier einige Grundintegrle wichtiger grundlegender Funktionen, jedoch ohne dss diese hergeleitet werden: x n 1 dx n + 1 xn+1 + c e x dx e x + c sin xdx cos x + c cos xdx sin x + c 1 dx x ln x + c Drüber hinus gibt es einige Integrtionsregeln, von denen ich hier nur die beiden wichtigsten ngeben möchte: k f(x)dx k f(x)dx u(x) ± v(x)dx u(x)dx ± v(x)dx Eine wichtige Anwendung für Integrle ist die Bestimmung einer krummlienig begrenzter Fläche. Diese wird mit dem bestimmten Integrl berechnet. Um zu klären, ws dhinter steckt, müssen wir etws weiter usholen und mit einem scheinbr völlig nderen Problem beginnen.

4 2 Ds bestimmte Integrl Die Fläche A unter dem Funktionsgrphen der Funktion f(x) soll im Intervll [; b] berechnet werden. Nebenstehend ist diese Fläche drgestellt. Links wird sie durch x und rechts durch x b begrenzt, die untere Begrenzung ist die Abszisse (x-achse) und die obere der Funktionsgrph von f(x). f(x) A F (x) F x x Abbildung 1: Fläche unter einer Kurve Gehen wir dvon us, dss die Fläche, die links bei beginnt und rechts n der Stelle x endet (lso die linke Teilfläche), ntürlich vom rechten Begrenzungswert x bhängt. Sie stellt lso uch eine Funktion von x dr, die ich A F (x) nennen möchte. Mn knn sich leicht vorstellen, dss die Fläche kleiner wird, wenn ich x nch links verschiebe, oder größer, wenn x nch rechts bewegt wird. Betrchten wir nun den eingezeichneten Streifen mit der Breite x. Wir erhlten einen kurzen Streifen mit der Höhe und einen etws längeren mit der Höhe +. Die mrkierte Fläche unter der Kurve in diesem Streifenbereich hbe ich F gennnt, denn um diesen Wert würde j die Flächenfunktion F (x) nwchsen, wenn x um x nch rechts verschoben wird. Wie mn leicht sieht, ist diese Fläche F etws größer, ls der kurze Rechteckstreifen und etws kleiner, ls der längere Rechteckstreifen. Ds schreibe ich ls Ungleichungskette uf: x < F < x ( + ) kurzerstreifen lngerstreifen Ich dividiere die gnze Ungleichung durch x. Ds ist erlubt, denn x ist nicht negtiv und uch nicht Null. Ich erhlte: < F x < + Mchen wir nun den Grenzwertübergng, dss x 0 geht, dnn wird F df zu, ws x dx mn beknntlich uch Ableitung F (x) nennt. D mit x 0 uch 0 geht, lufen der linke und der rechte Term in der Ungleichungskette ufeinnder zu. Setzt mn noch für f(x) ein, dnn ergibt sich drus: df dx F (x) f(x) b x 4

5 Ds bedeutet, dss die Ableitung der Flächenfunktion mit der Funktion, die die obere Begrenzung der Fläche drstellt, übereinstimmt. Mcht mn die Umkehrung, dnn knn mn drus schließen, dss die Flächenfunktion F (x) ds unbestimmte Integrl der Funktion f(x) drstellt. A F (x)dx f(x)dx F (x) + c Um nun eine konkrete Fläche berechnen zu können, müssen wir ds c irgendwie in den Griff bekommen. Wir wollen us dem unbestimmten Integrl ein bestimmtes Integrl mchen. An der Stelle muss die Flächenfunktion genu 0 ergeben. Drus ergibt sich für die Fläche von bis x: A() F () + c 0 und A(; x) F (x) + c (F () + c) Wie mn leicht erkennen knn, hebt sich ds c dbei genu uf. Welchen Wert mn dfür einsetzt, ist völlig gleichgültig. Aus Bequemlichkeit können wir lso uch mit c 0 weiter rechnen. Für die Fläche in dem Intervll [; b] ergibt sich dmit: A(; b) F (b) F () Dieser Zusmmenhng wird folgendermßen geschrieben: A(; b) F (b) F () b f(x)dx Der Term bis b. b f(x)dx heißt: Ds bestimmte Integrl von f(x) in den Grenzen von Zum Schluss möchte ich noch zeigen, woher die Smbole stmmen. Dzu zerlege ich die oben ngesprochene Fläche in n Streifen, so dss n Rechteckstreifen unter und n Rechteckstreifen über dem Funktionsgrphen enden. Für n geht die Differenz der beiden Rechtecksummen gegen 0. Dnn ist die Fläche der oberen Rechtecksumme gleich der Fläche der unteren Rechtecksumme gleich der Fläche unter dem Funktionsgrphen. Zusmmengefsst ist A gleich der Summe der n Rechtecke von x bis x b. dx d b Abbildung 2: Streifenzerlegung x 5

6 A b dx x b f(x) dx Für n bzw. dx 0 werden die Rechtecke zum -Strich ; die Summe ller Rechtecke ist gleich der Summe ller -Werte von bis b. Ds Summenzeichen Grenzwertübergng zum Integrlzeichen b x, ds dx bleibt erhlten. b x wird beim Hier noch einml zusmmengefsst die Formel für die Berechnung der Fläche in den Grenzen von bis b: A(; b) Auch dies wollen wir uns näher nsehen. b f(x)dx Wir hben gesehen, dss wir die Fläche, die links durch x, rechts durch x b, unten durch die Abszisse (x-achse) und oben durch den Grphen der Funktion f(x) begrenzt ist, berechnen können durch den Anstz: A dnn durch: A b b f(x)dx F (b) F () wobei F (x) eine beliebige Stmmfunktion von f(x) ist. f(x)dx. Ausgerechnet wird ds Dmit mn die Stmmfunktion und uch die Grenzen bequem hinschreiben knn, wird noch eine weitere Schreibweise eingeführt. In dem Augenblick, wo die Stmmfunktion ufgeschrieben wird, verwndelt sich ds Integrlzeichen mit dem bschließenden dx in einen Stz eckige Klmmern, wobei die Grenzen n der zweiten Klmmer oben und unten ngeschrieben werden, etw so: In einem Zhlenbeispiel sieht ds dnn so us: 5 2 b f(x)dx [F (x)] b F (b) F (). x 2 4x + 5dx [ x 2x 2 + 5x ] 5 2 ( ) ( )... Es folgen zwei durchgerechnete komplette Beispiele. 6

7 Beispielufgben.1 Beispielufgbe 1 Berechnen Sie die Fläche, die durch den Grphen der Funktion f(x) 4 x2 9x + 24 sowie die Ordinte (-Achse) und die Abszisse (x-achse) begrenzt ist. Fertigen Sie eine Skizze n! Lösung: Schritt 1: Nullstellenbestimmung Zunächst müssen die Schnittpunkte des Funktionsgrphen mit der Abszisse (x-achse) berechnet werden. Dzu wird die Funktion gleich Null gesetzt P 1 f(x) A P x f(x 0 ) 0 4 x2 0 9x x x x 01/2 6 ± 6 2 x 01/2 6 ± 2 x 01 4 x

8 Schritt 2: Flächenberechnung Die Skizze zeigt, dss für die gesuchte Fläche die Nullstelle von Belng ist, die dichter n der Ordinte (-Achse) liegt, lso hier x Die untere Grenze ist dnn die Ordinte, die bei x 0 liegt. Die Integrtionsgrenzen sind dmit 0 und 4. Im untersuchten Bereich liegt f oberhlb der Abszisse, drum ist ds Integrl positiv nzusetzen. A x 2 f(x)dx x 1 llgem. Anstz 4 A 40 4 x2 9x + 24dx 0 konkrete Funktion [ 1 4 x 9 ] 4 2 x2 + 24x 0 Stmmfunktion ( ) obere Grenze ) untere Grenze ( 1 Die gesuchte Fläche beträgt: A 40 Flächeneinheiten 8

9 .2 Beispielufgbe 2 Gegeben sind die Funktionen mit den Funktionsgleichungen: f 1 (x) 2x 2 12x + 14 und f 2 (x) 2x 6 Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgrphen. Skizzieren Sie die zu berechnende Fläche! Lösung: Zunächst müssen die Schnittpunkte der beiden Funktionsgrphen berechnet werden. Dzu werden die Funktionsterme gleichgesetzt: 4 2 f 1 (x) f 2 (x) P A P 1 x f 1 (x s ) f 2 (x s ) 2x 2 s 12x s x s 6 2x s + 6 2x 2 s 14x s : 2 x 2 s 7x s x s1/ ± x s1/2 7 2 ± 2 x s1 2 x s2 5 Mit diesen beiden Schnittstellen knn nun der Anstz für die Flächenberechnung gemcht werden. Die folgende Formel knn dfür verwendet werden: x 2 A f 2 (x) f 1 (x)dx x 1 9

10 Hierbei ist zu bechten, dss die untere Integrtionsgrenze unten ns Integrlzeichen und die obere oben ns Integrlzeichen gesetzt wird. die untere Funktion von der oberen subtrhiert wird. In diesem Beispiel stimmen die Indizes zufällig schon. Wir können die Werte lso so einsetzen, wie sie sind. A x 2 obere x 1 untere {}}{ f 2 (x) f 1 (x) dx } {{ } llgemeiner Anstz 5 2 (2x 6) ( 2x 2 12x + 14 ) dx } {{ } konkrete Funktionen und Grenzen 5 2x 6 2x x 14dx 2 5 A 9 2x } 2 + {{ 14x 20 } dx 2 Zusmmenfssung 2 x + 7x 2 20x Stmmfunktion 2 ( 2 ) obere Grenze eingesetzt 5 ( 2 2 Die gesuchte Fläche beträgt: A 9 Flächeneinheiten ) } {{ } untere Grenzen einsetzt 10