Quadratische Funktionen

Transkript

1 Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung zeigt den Grph der Funktionsgleichung. Den Grphen einer qudrtischen Funktion bezeichnet mn uch ls Prbel. Der Grph von für,, wird ls Normlprbel bezeichnet. SP ist die Abkürzung für Scheitelpunkt. ) Erkläre, wie nhnd der Scheitelpunktform von die Lge des Scheitelpunktes direkt ngegeben werden knn. Abbildung : Prbel Nchfolgend ist der Grph von drgestellt. Dieser knn verschoben, gestucht, gestreckt oder gespiegelt werden. Nutze die Infokästen uf der rechten Seite, um die Veränderung des Grphen durchzuführen. Streckung und Stuchung 3 f(x) entspricht einer Streckung der Prbel in Abbildung. Jeder Funktionswert von f(x) wird um den Fktor 3 senkrecht gestreckt. Verschiebung prllel zur x-achse Der Grph f(x ) entsteht us dem Grph von f(x), indem f prllel zur x-achse um 2 Einheiten nch links geschoben wird Verschiebung prllel zur y-achse Der Grph f(x) entsteht us dem Grph von f(x), indem f prllel zur y-achse um Einheit nch unten geschoben wird. Abbildung 2: Prbel b) Skizziere den Grphen und berechne die Funktionsgleichung von. Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen

2 c) Betrchte die Funktionsgleichungen Zeige, dss die Funktionsgleichungen identisch sind und entscheide, welche der Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktform und welche in der Normlform drgestellt ist. Scheitelpunktform f(x) (x s) t Normlform f(x) x bx c d) Die Scheitelpunktform knnst du in die Normlform umwndeln, indem du die uftretenden Terme vereinfchst. Du knnst die Normlform in die Scheitelpunktform durch Anwendung der qudrtischen Ergänzung umwndeln. Erkläre hierzu die folgenden Umformungsschritte. ( ) ( ) ( ) e) Betrchte die Funktionsgleichung. Führe die qudrtische Ergänzung durch und bestimme in der Scheitelpunktform. Bestimme nun die Lge des Scheitelpunktes und des y-achsenschnittpunktes.. Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen

3 Die Berechnung der Nullstellen von qudrtischen Funktionen sowie der Lge der Schnittpunkte von zwei qudrtischen Funktionen oder einer qudrtischen und einer lineren Funktion lässt sich uf ds Lösen einer qudrtischen Gleichung zurückführen. f) Berechne die Lge der Nullstellen von. Stelle hierzu einen Anstz us und nutze eine der beiden Lösungsformeln zur Berechnung. p-q-formel Die Lösungen der qudrtischen Gleichung x px q sind x p ± p q bc-formel / Mitternchtsformel Die Lösungen der qudrtischen Gleichung x bx x sind Somit sind x b ± b c g) Überprüfe die erhltenen Lösungen us Teilufgbe (c) mit deinem Tschenrechner. Beim Tschenrechnermodell Csio fx-99de X: MENU A:Gleichung/Funkt 2:Polynom-Gleich. 2 Prmeter eingeben = h) Die Funktionsgleichung knn uch in der Scheitelpunktform x x b b c b b c geschrieben werden. Berechne die Lge der Nullstellen durch Umformen und ohne Verwendung der Lösungsformeln.. Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen

4 i) In dem ktuellen Abiturerlss wird der Unterschied zwischen den Opertoren berechnen und bestimmen/ermitteln verdeutlicht. In der Aufgbe ist der Schnittpunkt zweier Funktionsgleichungen gesucht. Erläutere den für beide Fälle gewählten Anstz und erkläre den Unterschied zwischen den gennnten Opertoren. j) Berechne die Lge der Schnittpunkte von und. k) Berechne denjenigen Wert für, für den mit nur einen Schnittpunkt ht.. Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen

5 Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung zeigt den Grph der Funktionsgleichung. Den Grphen einer qudrtischen Funktion bezeichnet mn uch ls Prbel. Der Grph von für,, wird ls Normlprbel bezeichnet. SP ist die Abkürzung für Scheitelpunkt. ) Erkläre, wie nhnd der Scheitelpunktform von die Lge des Scheitelpunktes direkt ngegeben werden knn. Abbildung 2: Prbel Die Koordinten des Scheitelpunktes luten. Nchfolgend ist der Grph von drgestellt. Dieser knn verschoben, gestucht, gestreckt oder gespiegelt werden. Nutze die Infokästen uf der rechten Seite, um die Veränderung des Grphen durchzuführen. Skizzie Streckung und Stuchung 3 f(x) entspricht einer Streckung der Prbel in Abbildung. Jeder Funktionswert von f(x) wird um den Fktor 3 senkrecht gestreckt. Verschiebung prllel zur x-achse Der Grph f(x ) entsteht us dem Grph von f(x), indem f prllel zur x-achse um 2 Einheiten nch links geschoben wird Verschiebung prllel zur y-achse Der Grph f(x) entsteht us dem Grph von f(x), indem f prllel zur y-achse um Einheit nch unten geschoben wird. Abbildung 3: Prbeln b) Skizziere den Grphen und berechne die Funktionsgleichung von ( ) ( ). Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen

6 c) Betrchte die Funktionsgleichungen Zeige, dss die Funktionsgleichungen identisch sind und entscheide, welche der Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktform und welche in der Normlform drgestellt ist. Scheitelpunktform f(x) (x s) t Normlform f(x) x bx c Die Gleichheit knn gezeigt werden, indem eine der Funktionsgleichungen so umgeformt wird, dss die ndere resultiert. Am einfchsten erfolgt der Nchweis, durch Vereinfchung von. liegt in der Normlform, in der Scheitelpunktform vor. Es sind und. d) Die Scheitelpunktform knnst du in die Normlform umwndeln, indem du die uftretenden Terme vereinfchst. Du knnst die Normlform in die Scheitelpunktform durch Anwendung der qudrtischen Ergänzung umwndeln. Erkläre hierzu die folgenden Umformungsschritte.. Ausklmmern des Vorfktors ( ) 2. Qudrtische Ergänzung, indem ddiert wird. Dieser Schritt funktioniert immer so, es kommt nur druf n, welche Zhl vor der Vriblen steht. In diesem Beispiel ist ds die. Würde eine ndere Zhl vor dem stehen, müsste die Zhl durch diese ndere Zhl ersetzt werden. ( ) 3. Zusmmenfssen von zu ( ) 4. Den Vorfktor mit multiplizieren 5. Binomische Formel rückwärts nwenden, lso durch ersetzen e) Betrchte die Funktionsgleichung. Führe die qudrtische Ergänzung durch und bestimme in der Scheitelpunktform. Bestimme nun die Lge des Scheitelpunktes und des y-achsenschnittpunktes. Die Lge des Scheitelpunktes ist, die des y-achsenschnittspunktes. Die Lge des Scheitelpunktes wurde nhnd der Scheitelpunktform bestimmt und die des y-achsenschnittpunktes nhnd der Normlform.. Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen

7 Die Berechnung der Nullstellen von qudrtischen Funktionen sowie der Lge der Schnittpunkte von zwei qudrtischen Funktionen oder einer qudrtischen und einer lineren Funktion lässt sich uf ds Lösen einer qudrtischen Gleichung zurückführen. f) Berechne die Lge der Nullstellen von. Stelle hierzu einen Anstz us und nutze eine der beiden Lösungsformeln zur Berechnung. Der Anstz zur Berechnung der Nullstellen lutet und die Gleichung lutet. Vergleicht mn den Aufbu der Funktionsgleichung mit dem Infoksten zur bc- Formel, so sind Die bc-formel knn direkt ngewndt werden. Bei der p-q- Formel muss bei der qudrtischen Gleichung zunächst durch den Vorfktor (-4) geteilt werden. Nch eigener Auffssung ist somit die bc-formel leichter nzuwenden. Es ist ± ± und die Lösungen luten 3 ± p-q-formel Die Lösungen der qudrtischen Gleichung x px q sind x p ± bc-formel / Mitternchtsformel Die Lösungen der qudrtischen Gleichung x bx x sind Somit sind p x b ± b c x x b b c b b c q g) Überprüfe die erhltenen Lösungen us Teilufgbe (c) mit deinem Tschenrechner. Beim Tschenrechnermodell Csio fx-99de X: MENU A:Gleichung/Funkt 2:Polynom-Gleich. 2 Prmeter eingeben = h) Die Funktionsgleichung knn uch in der Scheitelpunktform geschrieben werden. Berechne die Lge der Nullstellen durch Umformen und ohne Verwendung der Lösungsformeln. 0 (Anstz) 0 ± 3 (3 ). Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen

8 i) In dem ktuellen Abiturerlss wird der Unterschied zwischen den Opertoren berechnen und bestimmen/ermitteln verdeutlicht. In der Aufgbe ist der Schnittpunkt zweier Funktionsgleichungen gesucht. Erläutere den für beide Fälle gewählten Anstz und erkläre den Unterschied zwischen den gennnten Opertoren. Bei beiden Vrinten wurde mit der Anstz zur Berechnung der Schnittpunkte gewählt. Bei der Vrinte berechnen wurde die Gleichung so vereinfcht, dss mn die p-q-formel zur Lösung der Gleichung nwenden knn und diese wurde dnn uch ngewndt. Bei der Vrinte bestimmen wurde die Gleichung so vereinfcht, dss mn die bc-formel nwenden knn. Hier wurde direkt der Tschenrechner eingesetzt, um die Lösungen der Gleichung zu bestimmen. Bei beiden Vrinten wurde m Ende die y-koordinte der Schnittpunkte durch Einsetzen der x-werte in berechnet. j) Berechne die Lge der Schnittpunkte von und. Anstz zur Berechnung der Schnittpunkte: Funktionsgleichungen einsetzen -Formel ± 3 ± Die Lge der Schnittpunkte wird nun bestimmt, indem die jeweiligen x-werte der Schnittpunkte in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt wird (welche, ds ist egl!). Es ist, lso ist. Es ist, lso ist.. Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen

9 k) Berechne denjenigen Wert für, für den mit nur einen Schnittpunkt ht. Dmit und nur einen Schnittpunkt hben, muss die us dem Schnittnstz resultierende qudrtische Gleichung nur eine Lösung hben. Funktionsgleichungen einsetzen -Formel ± 3 Die Lösungsformel ht genu dnn eine Lösung, wenn die Wurzel verschwindet, lso wenn gilt. Im Fll gibt es nur einen Schnittpunkt von mit. Dieser Schnittpunkt ist ein sogennnter Berührungspunkt und der Grph der lineren Funktion ist eine Tngente n den Grphen der qudrtischen Funktion.. Funktionen und ihre Drstellung Qudrtische Funktionen