Mathematikaufgaben > Analysis > Funktionenscharen

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Dieter Kuntz
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1 Michel Buhlmnn Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren Auge: Gegeen ist die Funktionenschr t t t mit reellen Prmeter t >. Die zugehörigen Schuilder heißen K t. Skizziere die Schuilder K,5, K und K jeweils u dem Intervll [-; ]. Zeige: Der Inhlt der Fläche zwischen der Kurve K t und den Achsen des Koordintensystems im. Qudrnten ist unhängig von t. c Es sei t /. Konstruiere n die Kurve K / eine Prel. Grdes der Form p, die die Kosinuskurve n der Stelle / erührt. d Berechne die Fläche zwischen der Prel p und der Funktion / im. Qudrnten des Koordintensystems. e Die gemeinsme Tngente zwischen der Prel p und der Funktion / im Berührpunkt zwischen Prel und Kosinusunktion teilt die Fläche zwischen der Prel p und der Funktion / im. Qudrnten des Koordintensystems. Berechne eine Teilläche und ds Verhältnis der eiden Flächeninhlte zueinnder. Bestimme die mimle Aweichung zwischen der Prel p und der Funktion / im Intervll [; ]. g Es sei t,5. Wie lutet die Gleichung der Tngente, die durch den Punkt P verläut und die Kurve K,5 im Intervll [ ; ] erührt? 5 5 h Es sei t,5. Welcher Punkt u der Kurve K,5 ht den kleinsten Astnd zum Punkt R? Lösung: Wertetelle und Grph ergeen jeweils: t,5:,5,5,5 Wertetelle: y Besondere Kurvenpunkte Nullstelle N-.5 Wendepunkt W Schnittpunkt S y.5 Hochpunkt H Nullstelle N. Wendepunkt W Tiepunkt T Michel Buhlmnn, Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren

2 Grph: t: Wertetelle: y Besondere Kurvenpunkte Tiepunkt T Nullstelle N Wendepunkt W Schnittpunkt S y Hochpunkt H Nullstelle N.57 Wendepunkt W Tiepunkt T Nullstelle N.7 Wendepunkt W Hochpunkt H6.8 Grph: Michel Buhlmnn, Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren

3 t: Wertetelle: y Besondere Kurvenpunkte Nullstelle N Wendepunkt W Hochpunkt H Nullstelle N-.6. Wendepunkt W Tiepunkt T Nullstelle N Wendepunkt W Schnittpunkt S y Hochpunkt H Nullstelle N.78. Wendepunkt W Tiepunkt T Nullstelle N.5 -. Wendepunkt W Hochpunkt H Nullstelle N.9. Wendepunkt W Tiepunkt T Nullstelle N Wendepunkt W Hochpunkt H6.8 Grph: I. Wir enötigen die erste positive Nullstelle der Funktion t t t und erhlten: t t t t t, t lso: N. t II. Wir erechnen mit Hile einer Stmmunktion die Fläche zwischen Kurve K t und Achsen des Koordintensystems im. Qudrnten des Koordintensystems wie olgt: t t t t A t d t t d t t d t sin t o t t [ sin t ] sin t sin t o Michel Buhlmnn, Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren

Michel Buhlmnn, Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren sin. Die Fläche A ht lso unhängig von t immer den Wert. c I. Es gilt ür t /:. An der Stelle / lutet der Funktionswert:.

4 Michel Buhlmnn, Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren sin. Die Fläche A ht lso unhängig von t immer den Wert. c I. Es gilt ür t /:. An der Stelle / lutet der Funktionswert:. Die Aleitung von ist: sin, so dss: 8 sin sin gilt. II. Mit dem Anstz p erechnen wir die gesuchte Prel. Grdes und erhlten ls Aleitung: p nch der Kettenregel. Nun gilt: p 8 p. Division der eiden Gleichungen und ergit:,8 8 + und weiter:,5,5,8. Die gesuchte Prel lutet dmit: p,5,8 und erührt die Kosinusunktion im Berührpunkt B.

5 d Die Fläche A zwischen der Funktion cos und der Prel p im. Qudrnten des Koordintensystems errechnet sich wegen / p und wegen der Nullstellen N / > und N p,8 p >,8 ls:,8 A,8 p d d,5,8 d,5,5 u Grund der oen ewiesenen Identität: t d. t e I. Die gemeinsme Tngente im Berührpunkt B von Funktion und Prel p,5,8 lutet: t: y + +,69 +,. 8 II. Die Tngente zerteilt die Fläche A zwischen Kosinusunktion und Prel im. Qudrnten in zwei Teillächen. Wir erechnen die untere Teilläche A zwischen Kosinusunktion und Tngente, indem wir zunächst die Achsenschnittpunkte der Tngente y -,69+, ermitteln: > y, > S y, y > -,69+, >,,69 >, > N,. Ds Dreieck, ds die Tngente mit den Achsen des Koordintensystems ildet, ht dher den Flächeninhlt: A,5,,,7 FE. Wegen der Identität: t d olgt: A A,7,7 FE. III. Die zweite Teilläche A ht den Flächeninhlt: A A A,5,7,98 FE, so dss ds Verhältnis der eiden Flächen A :A,75, lso etw : eträgt. Etremwertuge: Wir estimmen ds glole Mimum der Dierenzunktion t Michel Buhlmnn, Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren 5

6 d p /,5,8 cos wegen / p u dem Intervll [; ]. Die Dierenzunktion ht ein lokles Minimum n der Berührstelle / mit d/, die y- Werte der Rndstellen zw. luten: d,85 und d,6, so dss ein gloles Mimum ei vorliegt mit mimler Dierenz,85. g Es ist t,5. Wir legen eine Tngente von ußerhl, vom Punkt P us n die Kosinusunktion,5,5 und hen den Anstz gemäß der Tngentengleichung:,5 t: y u u +, u,5 5 mit P5 5, y ls:, 5 u u + *. u,5 Wir lösen Gleichung * nch u u und hen: u,, u,6, u,67, Nur u,6 liegt im vorgeeenen Intervll [ ; ], so dss sich wegen,5,6 -,75 der Berührpunkt 5 5 B,6 -,75 ergit. Im Berührpunkt ergit sich ls Tngente, die durch den Punkt P verläut: t: y,9,6887. h Etremwertuge: Für t,5 ergit sich zunächst die Funktion:,5,5. Punkte,5 Q u der Kosinusunktion hen die Koordinten: Q,5. Der Astnd eines solchen Punktes Q zum Punkt R errechnet sich letztlich nch dem Stz des Pythgors ls: d dq,r R +,5 yr +,5 +,5,5 Als Minimum der Astndsunktion können wir dnn,9 mit d,9,55 eststellen. Der Kurvenpunkt Q mit minimlem Astnd zu R esitzt die Koordinten: Q,9,75,5,9. Michel Buhlmnn, Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren 6

7 ,75. y d d d Besondere Kurvenpunkte Schnittpunkt S y Wendepunkt W Tiepunkt T Wendepunkt W Hochpunkt H Wendepunkt W Tiepunkt T Wendepunkt W Wendepunkt W /.6 / Auge 96 Michel Buhlmnn, Mthemtikugen > Anlysis > Funktionenschren 7

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