Analysis. Klausur zu e-funktionen (Produkt-/Kettenregel, momentane Änderungsrate) (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J1.

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Mathias Knopp
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1 Anlysis Klusur zu e-funktionen (Produkt-/Kettenregel, momentne Änderungsrte) (Berbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnsium J Alender Schwrz Jnur 05

2 Pflichtteil - ohne Hilfsmittel Aufgbe : Bilde jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen: ) c) f() = sin() b) f() = 6 ( + 9) f() = e cos( + ) d) f() = ln( + ) Aufgbe : Löse folgende Gleichungen ) + = b) ( ) ( ) 4 e 0e 5e 0 e e 4 = 0 c) ln(5) + ln( ) = 7 Aufgbe : Ordne die Funktionsterme den jeweiligen Schubildern zu: () f() = e () g() = e () h() = e (4) i() = e ) b) c) d) Aufgbe 4: Gegeben sind die Funktionen f, g, h mit f() = + 6, g() = + und h() = ) Stelle die Funktion f ls Verkettung zweier Funktionen u und v dr. Welche neue Funktion ergibt sich, wenn mn die Reihenfolge der Verkettung vertuscht? b) Berechne: g(h()), h(g(0)), g(h()). c) Bei der Funktion i hndelt es sich um eine linere Funktion. Der Grph von i steigt pro Längeneinheit uf der -Achse um Einheiten uf der y-achse. Außerdem gilt i() =. Berechne j () wenn gilt: j() = h(i()) Aufgbe 5: Bestimme die Gleichung der Tngente, die ds Schubild von B(0/f(0)) berührt. f() = e im Punkt

3 Whlteil - mit GTR und Formelsmmlung Aufgbe 6: Die Grphen von f() = b e und g() = e sollen sich n der Stelle senkrecht schneiden. Für welche Werte von und b trifft dies zu? Aufgbe 7: In einer großen Stdt breitet sich eine Viruserkrnkung us. Die momentne 0,t Erkrnkungsrte wird modellhft beschrieben durch die Funktion f mit f(t) = 50t e, t 0. Dbei ist t die Zeit in Wochen seit Beobchtungsbeginn und f(t) die Anzhl der Neuerkrnkungen pro Woche. ) Skizziere ds Schubild von f. b) Wnn erkrnken die meisten Personen? c) Zeige, dss b diesem Zeitpunkt die momentne Erkrnkungsrte rückläufig ist? d) Wnn nimmt sie m stärksten b? Aufgbe 8: Ein Mittel gegen Viren wird getestet. Die Anzhl n Viren nch Verbreichung des Mittels 0,t knn beschrieben werden durch f (t) = 4 t e ; > 0, 0 t 0 (t in Tgen seit Wirkstoffzufuhr, f (t) in Anzhl pro cm³). Die Anzhl ist bhängig von der Dosierung des Medikments. ) Zeige, dss der Zeitpunkt der minimlen Virennzhl unbhängig von der Dosierung des Mittels ist. b) Ist jede Funktion f für die Modellierung der Virennzhl geeignet? Begründe.

4 Lösungen Aufgbe : ) b) f() = sin() Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: 6 f() = = ( + 9) 6 ( + 9) 7 f () = 6( + 9) = ( + 9) 7 f () = sin() + cos() c) d) f() = e cos( + ) Ableitung mit Produkt.- und Kettenregel: f() = ln( + ) f () = = + + = f () e cos( ) e ( sin( )) ( ) = e cos( + ) sin( + ) Aufgbe : ) 4 e 0e 5e 0 + = ( ) e e 0e + 5 = 0 Anwendung des Stzes vom Nullprodukt: I) e = 0 nicht lösbr II) e 0e + 5 = 0 Möglichkeit : Mn erkennt, dss e 0e + 5 = (e 5) ist (.Binom). (e 5) = 0 e 5 = 0 = ln(5) Möglichkeit : Substitution u = e 0 ± ± 0 u 0u + 5 = 0 u, = = u, = 5 Rücksubstitution: e = 5 = ln(5) Lösungsmenge L = { ln(5) } b) ( ) ( ) e e 4 = 0 Anwendung des Stzes vom Nullprodukt. I) e e = 0 e = e = = 0 II) 4 = 0 = 4 = ± Lösungsmenge L = {0 ; - ; } ln 4

5 c) ln(5) + ln( ) = 7 Anwendung des Logrithmusgesetz: ln(5) + ln( ) = ln(5 ) = ln(5 ) 7 ln(5 ) 7 7 e ln(5 ) = 7 e = e 5 = e = 5 Aufgbe : () Die Funktion f() ht eine einfche Nullstelle bei = 0. Für strebt f() 0. Zu () gehört Schubild b) () Die Funktion g() ht eine doppelte Nullstelle bei = 0. Für strebt f() 0. Zu () gehört Schubild d) () Die Funktion f() ht eine einfche Nullstelle bei = 0. Für + strebt f() 0. Zu () gehört Schubild c) (4) Die Funktion f() ht eine doppelte Nullstelle bei = 0. Für + strebt f() 0. Zu () gehört Schubild ) Aufgbe 4: ) f() = + 6 = u(v()) Es ist v() = + 6 und u() = Bei Vertuschung der Verkettungsreihenfolge ergibt sich v(u()) 6 6 = + = + b) g(h()) = g( ) = h(g(0)) = h() = g(h()) = ( ) + = 4 c) Nch der Kettenregel gilt: j () = h (i()) i () j () = h (i()) i () Ds Schubild von i() ist eine Gerde mit der Steigung. Somit gilt i () = und dmit uch i () =. Außerdem ist h () = j () h (i()) i () h () 4 = = = = 5

6 Aufgbe 5: Die llgemeine Tngentenformel lutet y = f (u) ( u) + f(u) Die Berührstelle ist u = 0. Tngentengleichung: y = f (0) ( 0) + f(0) Mit = 4e folgt f (0) 4 f () =. Außerdem ist f(0) =. Tngentengleichung: y = 4 ( 0) + y = 4 + Aufgbe 6: Für einen senkrechten Schnitt bei = gelten folgende Bedingungen: ) f() = g() ) f () g () = Es ist = b e und f () g () = e Bedingung ) Bedingung ) b e = e b e ( e ) = ) in ) eingesetzt: Aus ) folgt: b e = b = e Aufgbe 7: ) Skizze von f: e ( e ) = e = e = = 0 = b) Die meisten Personen erkrnken zum Zeitpunkt, bei dem f(t) einen Hochpunkt besitzt. GTR: Die meisten Personen erkrnken nch 0 Wochen. c) Zu zeigen: Für t > 0 ist die momentne Erkrnkungsrte rückläufig, ds heißt ds Schubild von f ist streng monoton fllend. 6

7 Die wird gezeigt über die Bedingung f (t) < 0 für t > 0. Die Funktion f wird mit der Produktregel bgeleitet: 0,t 0,t 0,t = + = f (t) 00t e 50t e ( 0,) e 50t ( 0,t) Für t > 0 ist Somit ist 0,t e > 0 und 50t > 0 und 0,t < 0. 0,t = < für t > 0 ws zu zeigen wr. f (t) e 50t ( 0, t) 0 d) Die Erkrnkungsrte nimmt m stärksten b, wenn ihre Ableitungsfunktion f (t) miniml wird. Die Erkrnkungsrte nimm nch c. 7 Wochen m stärksten b. Aufgbe 8: ) Der Zeitpunkt der minimlen Virennzhl ist der -Wert des Tiefpunktes von f. Hinreichende Bedingung für Tiefpunkt: f (t) = 0 und f (t) > 0 (bzw. VZW-Kontrolle) f (t) = 4 t e 0,t 0,t 0,t 0,t = = + f (t) e t e ( 0,) e ( 0,t) 0,t = + = f (t) 0 e ( 0,t) 0 Stz vom Nullprodukt: 0 + 0,t = 0 t =, Kontrolle des Vorzeichenswechsels: 0,9 f () = e ( + 0,9) < 0, = + > f (4) e (, ) 0 0 Bei t = besitzt die.ableitungsfunktion einen VZW von - nch +. Somit eistiert dort ein Tiefpunkt. D der Zeitpunkt vom Prmeter unbhängig ist, ist die Behuptung bewiesen. b) D für bestimmte positive -Werte die Funktionswerte negtiv werden können (negtive Virennzhlen gibt es nicht), ist nicht jede Funktion für die Modellierung geeignet. Beispiel: Für = 0 gilt f 0 () =, 4 7

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