EF - M Klausur Lösungen. sind (nicht in dieser Reihenfolge) die Ableitungen der Funktionen f 1 Ordnen Sie den Funktionen f 1

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Hanna Voss
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1 EF - M Klusur Lösungen ), und sind (nicht in dieser Reihenfolge) die Ableitungen der Funktionen f, f und f. Ordnen Sie den Funktionen f, f und f jeweils ihre Ableitung zu. Begründen Sie usführlich Ihre Entscheidungen! f f f ist die Ableitung von f : f = ht die Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel und mit Vorzeichenwechsel von nch +. Dementsprechend ht f die Sttelstelle und die Tiefstelle. ist die Ableitung von f : f = ht die Nullstellen und, beide mit Vorzeichenwechsel von und die Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nch. Dementsprechend ht f die Tiefstellen und und die Hochstelle. nch +, ist die Ableitung von f : f = ht die Nullstellen und, beide ohne Vorzeichenwechsel, und sonst nur positive Werte. Dementsprechend ht f die Sttelstellen und und steigt monoton.

2 ) Berechnen Sie die Nullstellen, Extrem- und Sttelpunkte der Funktion f, mit f(x), x, x,5 x, x x 5x = + = +. = + = + = f(x), x, x,5 x, x x 5x + = + = = 5 4 x x 5x x x x 5 x x 5 x = (dreifch) x = 5 (doppelt) 4 f (x) =, x,8 x +,5 x = + = + = 4 x 8x 5x x x 8x 5 x = (doppelt) x 8x + 5 = x 8x + 5 = 5 QE x 8x + 4 = x = 4 ± x = x = 5 Kritische Stellen: ; und 5. f (x) ( x 4) = ± x 4 = ± + 4 x < < x < < x < < x f ( ) =,4 f () =, f (4) =,6 f (6) =, f steigt Sttelst. steigt Hochst. fällt Tiefst. steigt f(x),6 f ht den Sttelpunkt S( / ), den Hochpunkt H( /,6 ) und den Tiefpunkt T( 5 / ).

) Die Anzhl der Termiten einer Kolonie wird über einen neun-wöchigen Beobchtungszeitrum erfsst. Sie knn durch die Funktion 9 f(t) = t t + t +, t 9 64 modelliert werden.

3 ) Die Anzhl der Termiten einer Kolonie wird über einen neun-wöchigen Beobchtungszeitrum erfsst. Sie knn durch die Funktion 9 f(t) = t t + t +, t 9 64 modelliert werden. Dbei ist t die Zeit in Wochen b Beobchtungsbeginn und f(t) die Anzhl der Termiten in Millionen. ) Legen Sie eine Wertetbelle der Funktion f mit der Schrittweite n und zeichnen Sie den Grphen von f in ein Koordintensystem mit der Längeneinheit cm. b) Berechnen Sie die Zeitbschnitte, in denen die Termitenpopultion wächst bzw. schrumpft. c) Berechnen Sie die Zeitpunkte des Beobchtungszeitrums, n denen die Popultion m größten / m kleinsten ist und geben Sie die mximle / minimle Popultionsgröße während des Beobchtungszeitrums n. (Rndwerte nicht vergessen!) d) Bestimmen Sie mittels GTR den Zeitpunkt, n dem die Popultionsgröße,6 Millionen beträgt. e) Bestimmen Sie die mittlere Wchstumsrte der Termitenpopultion in den ersten cht Wochen des Beobchtungszeitrums. f) Bestimmen Sie die momentne Wchstumsrte der Termitenpopultion fünf Wochen nch Beobchtungsbeginn. g) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, n dem die Popultion m schnellsten schrumpft. ) t f(t),,9,5,4,5,8,

4 9 b) f (t) = t t + = t t + = QE t t + 6 = + 6 QE ( t 6) = 4 ± t 6 = ± + 6 t = 6 ± t = 4 t = 8 Kritische Stellen: 4 und 8. f (t) t < < t < < t 9 f (),98 f (5),4 f (9), f steigt Hochst. fällt Tiefst. steigt f(t),5 Die Termitenpopultion wächst in den ersten vier Wochen, schrumpft in der fünften bis einschließlich chten Woche und wächst in der neunten Woche wieder. c) f(4) =,5 ist lokles Mximum und f(8) = ist lokles Minimum. Vergleich mit den Rndwerten f() = und f(9), ergibt, dss f(4) =,5 ds bsolute Mximum und f() = ds bsolute Minimum von f ist. Im Beobchtungszeitrum wr die Popultion zu Beginn mit einer Millionen Termiten m kleinsten und nch vier Wochen mit,5 Millionen Termiten m größten. d) Mittels GTR wird der Schnittpunkt S von f und k mit k(t)=,6 bestimmt: S(,4 /,6 ). Nch,4 Wochen (nch Tgen) beträgt die Popultionsgröße lso,6 Millionen. e) f(8) f() = = = =, In den ersten cht Wochen des Beobchtungszeitrums nimmt die Popultion im Mittel um 5 Termiten pro Woche zu. f) f (5),4 Fünf Wochen nch Beobchtungsbeginn beträgt die momentne Wchstumsrte c. 4 Termiten pro Woche.

5 g) Gesucht ist der Zeitpunkt; n dem die Ableitung f ihr bsolutes Minimum nnimmt. 9 f (t) = t = 6 t 6 = + 6 t = 6 Mögliche Extremstelle von f. f (t) t < < t < 9 f (),47 f (8), f fällt Tiefst. steigt f (t) f () =,5,875 f (9),4 f (6) =,875 ist lokles Minimum von f. Vergleich mit den Rndwerten f () =,5 und f (9),4 zeigt, dss f (6) =,875 ds bsolute Minimum von f ist. Also schrumpft die Termitenpopultion sechs Wochen nch Beobchtungsbeginn m schnellsten.

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