2012 A I Angabe. 1.0 f sei eine ganzrationale Funktion mit der Ableitungsfunktion

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1 0 A I Angbe.0 sei eine gnzrtionle Funktion mit der Ableitungsunktion und ID ID IR.. Geben Sie die Nullstellen der Funktion n, skizzieren Sie den Grphen von und ermitteln Sie die mimlen Monotonieintervlle der Funktion. 0 y G 0 0 Somit olgt ür die Monotonieintervlle: ist echt monoton zunehmend in ; ist echt monoton bnehmend in ;. 0 sowie in ;. Bestimmen Sie die mimlen Krümmungsintervlle des Grphen G. 0 Somit olgt ür die Krümmungsbereiche: G ist rechtsgekrümmt in ; VZT 0 0 G rk lk und linksgekrümmt in ;. Lösungen erstellt von W. Strk; Beruliche Oberschule Freising

2 . Der Grph G enthält den Punkt A 0 Funktion. Mögliches Ergebnis : 7. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Aus olgt durch bilden der Stmmunktion c D nun den Punkt A 0 enthlten muss olgt: c c 0 Also: c,5,5 von. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion mit Vielchheit. Runden Sie gegebenenlls u zwei Nchkommstellen. Teilergebnis : 7,85. ( BE),5 0 A 0 G D 0 ist Nullstelle. gilt: Polynomdivision: Nullstellen:,5 :,5,5,5,5, Ermitteln Sie Art und Koordinten der Etrempunkte sowie die Koordinten des Wendepunkts des Grphen G.,5 Augrund der Änderung des Monotonieverhltens n der Stelle (von zunehmend u bnehmend) ht der Grph der Funktion hier einen Hochpunkt. 5 5 HP Lösungen erstellt von W. Strk; Beruliche Oberschule Freising

3 An der Stelle ht der Grph der Funktion ugrund der Änderung des Monotonieverhltens (von bnehmend u zunehmend) einen Tiepunkt. 9 9 TP An der Stelle ändert sich ds Krümmungsverhlten, dher ht der Grph der Funktion hier einen Wendepunkt. WP. Zeichnen Sie den Grphen G im Bereich 0 8 unter Verwendung vorliegender Ergebnisse in ein krtesisches Koordintensystem. y G.7 Der Grph G und die -Achse begrenzen im vierten Qudrnten des Koordintensystems ein endliches Flächenstück. Berechnen Sie die Mßzhl seines Flächeninhlts. Runden Sie u zwei Stellen nch dem Komm. (5 BE) 9 Für die rechte Grenze gilt: 5 7,85 7,85 7,85 A d,5 d,5,7, 9 8 (Ds Minuszeichen vor dem Integrl kommt dher, d die Fläche unterhlb der -Achse liegt.) 7,85 Lösungen erstellt von W. Strk; Beruliche Oberschule Freising

4 g : mit.0 Gegeben sind die Funktionen ID g IR und IR.. Geben Sie in Abhängigkeit von Lge und Vielchheit der Nullstellen der Funktion g n. ( BE) g 0 0. Fll: 0 Mn ht eine dreiche Nullstelle bei 0. Fll: 0 Mn ht eine einche Nullstell bei 0 und eine doppelte Nullstelle bei. Berechnen Sie in Abhängigkeit von diejenigen Stellen, n denen die Grphen der Funktion (us.) und g gleiche Steigung besitzen. (8 BE) g g Zunächst gilt: Dnn olgt ür die Ableitung: D beide Grphen die gleiche Steigung hben sollen olgt nun: g Um die Gleichung nun nch uzulösen müsste mn durch teilen. Ds geht ber nur, wenn:. Fll: ist, dnn olgt: Andernlls dr nicht geteilt werden, ber dnn muss mn:. Fll: in die letzte Zeile der obigen Umormung einsetzen und erhält: 0 0 w Eine whre Aussge. Somit sind lle IR Lösungen dieser Gleichung. Folge dessen hben die Grphen G und G n jeder Stelle die gleiche Steigung. g. Erläutern Sie ür den Zusmmenhng der Grphen von und g. ( BE) g Nch. olgt: Lösungen erstellt von W. Strk; Beruliche Oberschule Freising

5 Vergleicht mn die beiden Funktionsterme g,5 miteinnder, so olgt: Somit erhält mn den Grphen oben verschiebt. g und,5 G g indem mn den Grphen G um,5 Einheiten nch.0 Ds Brett eines Bücherregls liegt u drei Stützen, die jeweils einen Abstnd von 0,5m hben und sich u gleicher Höhe beinden. Belstet mn ds Brett gleichmäßig mit Büchern, so biegt es sich durch (vgl. Skizze). Die Unterknte des Brettes knn im Bereich ID 0;0,5 k u k ls Grph der Funktion u : k 0 8 ugesst werden, wobei k IR vom Brett und von der Belstung bhängt. und werden in Meter gemessen. Runden Sie bei den olgenden Berechnungen der Augbengruppe die Ergebnisse u Stellen nch dem Komm. Au die Mitührung von Einheiten wird verzichtet.. Ermitteln Sie die Stelle E, ür die die größte Durchbiegung des Brettes im Bereich ID u k vorliegt. ( BE) Ergebnis : 0, 89 k E 0,5 u k 0 8 u k 0 k Rndwert! k , 89 0, 8 ID Vorzeichentbelle: Die mimle Durchbiegung liegt vor, wenn der Grph der Funktion den größten Abstnd von der -Achse besitzt. Ds ist n der Stelle E 0, 89 der Fll, denn hier ht der Grph der Funktion y 0,5 Stütze Stütze Brett Stütze k 0 0 0,5 0, 89 0, 8 u k HP TP HP einen reltiven Tiepunkt. Lösungen erstellt von W. Strk; Beruliche Oberschule Freising 5

6 . Berechnen Sie den Wert ür k so, dss die größte Durchbiegung zwei Millimeter beträgt. ( BE) Es muss gelten: k u 0, 89 0, 00 k 8 0, , 89 0, 89 0, 00 k 0, ,00 k 0, Nun wird ds Brett us Augbe im Bereich 0,5 0,5 betrchtet. Die Unterknte des Reglbretts wird jetzt durch den Grphen einer bschnittsweise deinierten Funktion h beschrieben mit v ür 0,5 0 h 0,0 8 ür 0 0,5 Wenn ds Brett gleichmäßig belstet ist, ist der Grph der Funktion h symmetrisch zur y-achse und erner ist h n der Stelle 0 0 stetig.. Ermitteln Sie unter obigen Bedingungen v. Ihre Vorgehensweise muss durch Rechnung erkennbr sein oder verbl begründet werden. ( BE) Der rechte Teil des Brettes (lso ür 0 0,5) wird beschrieben durch die Funktion 0, u 0, 0 8. Der linke Teil wird beschrieben durch die Funktion v. D die beiden Funktionsgrphen symmetrisch sind muss gelten: v u 0, 0 8 0, 0 8. D 0, u0, 0 0 und die beiden Funktionsgrphen symmetrisch sind, ist der Grph der Funktion h stetig n der Stelle Bestimmen Sie lim h h0 dierenzierbr ist. und begründen Sie, ob die Funktion h n der Stelle 0 0 Es gilt: h 0,0 ür 0 0,5 Nch. gilt: lim h 0 0, 0 ür 0,5 0 0 Wegen der Symmetrie des Grphen der Funktion h gilt ber uch 0 Somit ist der Grph der Funktion h n der Stelle 0 0 dierenzierbr. lim h 0. Lösungen erstellt von W. Strk; Beruliche Oberschule Freising