4 Die Integralfunktion*

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1 Übungsmteril 1 Die Integrlfuntion* In den vorigen Kpiteln hben wir bereits ds unbestimmte und ds bestimmte Integrl und deren Eigenschften ennengelernt. Ersteres liefert die Menge der Stmmfuntionen einer Funtion, ds zweite einen eten Flächeninhlt. Nun lernen wir zusätzlich die Integrlfuntion ennen. Denition Für eine stetige und integrierbre Funtion f(t) stellt die Funtion I () = f(t) dt die Funtion des Flächeninhlts dr, den f(t) mit der -Achse zwischen und einschlieÿt. Diese Funtion gibt lso eine Flächenbilnz n und heiÿt Integrlfuntion. Als Funtion lässt sich I () bleiten: I () = d [ ] f(t) dt = d d d [F () F ()] = F () + 0 = f() Ds heiÿt: Die Ableitung der Integrlfuntion einer stetigen Integrndenfuntion f(t) ist der Integrnd selbst. Beispiele 1) f(t) = 2t 2 I () = 2t 2 dt = [ t 2 2t ] = 2 2 ( 2 2) 2) f() = sin. Bestimme die Stmmfuntion F c (). Gibt es Einschränungen für c? I () = sint dt = [ cost] = cos + cos Die Menge der Stmmfuntionen ist F c () = cos + c c = cos c [ 1; 1] 3) f() = + cos. Bestimme die Stmmfuntion F c (). Gibt es Einschränungen für c? [ ] 1 F () = t + cost dt = 2 t2 + sint = sin sin Die Menge der Stmmfuntionen ist F c () = sin + c c = sin c R

2 Übungsmteril 2.1 Eigenschften und Rechenregeln Es gelten dieselben Eigenschften und Rechenregeln wie bei bestimmten Integrlen, lso die Ftorregel, die Summenregel und die Additivität des Integrls sowie die Eigenschften bei Flächenstücen unterhlb der -Achse, bei Vertuschung der Integrlgrenzen und zur Flächenbilnz (siehe Kpitel 3)..2 Disussion von Integrlfuntionen Die Integrlfuntion nn, wie jede ndere Funtion uch, disutiert werden. Bei der Disussion einer Funtion werden folgende Punte betrchtet: Symmetrie: I ( ) = I () Achsensymmetrie zur y-achse I ( ) = I () Puntsymmetrie zum Ursprung I () = 0 uf jeden Fll für =. Andere Nullstellen sind möglich, wenn die Flächenbilnz irgendwo 0 ist. Etrem: I () = f() Etrem von I () sind demnch die Nullstellen von f(). Wendepunte: I () = f () Wendepunte von I () sind demnch die Etrem von f(). Beispiel f() = f ht zwei Nullstellen, nämlich 1 = 2 und 2 = 2. f () = 6. f () = 0 für 2 = 0. An dieser Stelle ht die Funtion lso ein Etremum. Wir betrchten die Integrlfuntion F () = 3t2 dt = 3 12 ( 3 12). F ht eine Nullstelle bei =. Eine ndere Nullstelle eistiert nicht. F () = f() = 3 2. Die Etrem von F sind die Nullstellen von f, lso ht F zwei Etrem: bei 1 = 2 und 2 = 2. F () = f () = 6 F (2) = 12 > 0, F ( 2) = 12 < 0. F ht lso ein Minimum bei = 2 und ein Mimum bei = -2. F () = 0 für = 0. F ht lso einen Wendepunt bei = 0; und dies ist genu ds Etremum von f!

3 Übungsmteril 3.3 Aufgbe Gegeben ist die Funtion f () = (8 )( 2 ). 2 1) Disutiere (in Abhängigeit des Prmeters ) die Funtion bzgl. Symmetrie, Nullstellen, Etrem und Wendepunten. b) Sei nun =. Fertige eine Sizze des Grphes von f n. 2) Disutiere die Integrlfuntion F () bzgl. Symmetrie, Nullstellen, Etrem und Wendepunten. b) Fertige eine Sizze des Grphes von F n. Lösung: 1) Symmetrie: Es gibt sowohl ungerde ls uch gerde Eponenten von. Der Grph der Funtion ist lso weder chsensymmetrisch zur y-achse noch puntsymmetrisch zum Ursprung. Die letzte Klmmer (und dmit uch die gnze Funtion) wird 0, wenn ( 2 ) = 0, lso wenn ( ) = 0. Wir erhlten lso zwei Nullstellen: bei 1 = 0 (diese ist unbhängig von der Whl des Prmeters ) und bei 2 =. Etrem: f () = 2 (8 )(2 ) f () = 0 2 (8 )(2 ) = 0 2 = 0 = 2. Es gibt lso eine einzige Etremstelle bei 3 = 2. Die Art des Etremums nden wir herus, wenn wir den Wert der zweiten Ableitung n dieser Stelle berechnen: f () = 2 (8 ) 2 = 8 2 (8 ). Dies ist unbhängig von und je nch Whl des Prmeters entweder immer gröÿer oder immer leiner 0. Es gilt: < 8 f < 0 Hochpunt > 8 f > 0 Tiefpunt Wendepunte: Es ist überll f () 0, es gibt lso eine Wendepunte. b) f () = 2 +. Wir erhlten die Nullstellen 1 = 0 und 2 =. Ds Etremum ht die Koordinten (2/), Art des Eremums: < 8 Hochpunt.

4 Übungsmteril Sizze: y f 2) Wir betrchten jetzt die Integrlfuntion I () = Symmetrie: t 2 + t dt = Es gibt sowohl ungerde ls uch gerde Eponenten von. Der Grph der Funtion ist lso weder chsensymmetrisch zur y-achse noch puntsymmetrisch zum Ursprung. 1 =. Polynomdivision liefert ( ) : ( ) = Also 2,3 = 2 3 ± = 2 3 ± = 2, 3 = = 1 Es gibt lso sogr eine doppelte Nullstelle bei =. Ds bedeutet, ds dort uch die erste Ableitung verschwinden muss (siehe unten). Etrem: Die Etrem von F sind die Nullstellen von f. Also gibt es zwei Etrem, und zwr bei 3 =, = 0 (wie erwrtet). Die zugehörigen y-werte sind y 3 = 0 und y = Aus der Sizze in b) liest mn: Bei = 0 wechselt ds Vorzeichen von f von + nch, lso genuso ds Vorzeichen von F. Demnch ist der Punt (0/ ) ein Tiefpunt, der Punt (/0) ein Hochpunt. Wendepunte: Die Wendepunte von F sind die Etrem von f. Wir erhlten lso einen Wendepunt bei 5 = 2. Die zugehörige y-koordinte ist y 5 =

5 Übungsmteril 5 b) Sizze: y -2 F -10