Gebrochenrationale Funktionen (Einführung)

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1 Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle Funktion Nullstellen im Nenner, ws uf (hebbre) Lücken oder Pole hindeutet. Außerdem können Asymptoten, Extrempunkte, Wendepunkte und Nullstellen uftreten. Polgerden sind prllel zur y-achse verlufende Gerden, denen der Grph der betrchteten Funktion ( für y bzw. y ) beliebig nhe kommt, ohne sie jemls zu schneiden. Die zu den Polgerden gehörenden x-werte heißen Pole bzw. Polstellen. Asymptoten (griechisch; Nicht Übereinstimmende ) sind Gerden, denen der Grph der betrchteten Funktion ( für x bzw. x bzw. y bzw. y ) beliebig nhe kommt, ohne sie jemls zu schneiden. Polgerden sind demnch spezielle Asymptoten. D diese seprt untersucht werden betrchtet mn Asymptoten in der Regel nur in x-richtung. Es gibt Fälle, in denen der Grph sich nicht einer Gerden nähert, sondern einer beliebigen Näherungsfunktion, z.b. einer gnzrtionlen Funktion. Oft werden in der Litertur uch solche nichtlineren Näherungsfunktionen ls Asymptoten bezeichnet. Bei gebrochenrtionlen Funktionen werden die Ableitungen mit der Quotientenregel gebildet: u(x) u ' v u v' f (x) f '(x) v(x) v Zur Bestimmung von Asymptoten ( x bzw. x ) ist in der Regel eine Polynomdivision erforderlich. In vielen Fällen knn mn erstzweise eine geschickte Umformung des Bruchterms derrt vornehmen, dss der Grd des Zählerpolynoms kleiner ls der Grd des Nennerpolynoms wird. So lssen sich die Grenzwerte für x bzw. x leichter bilden. Beispiel: x 4x + 8 (x x + 4) x x + 4 x + 4 x x x + 4 x + 4 x + 4 x + 4 x + 4 (1 ) Hier sieht mn, dss der Klmmerterm gegen 1 strebt ( für betrgsgroße x), weil der Bruchterm in der Klmmer gegen 0 strebt. Die Asymptote ht demnch die Gleichung y. Im folgenden untersuchen wir einige Beispiele:

2 Beispiel 1: f(x) Zerlegt mn die Terme, so erkennt mn bereits Polstellen und Nullstellen: (x + 1)(x 1) f(x) Nullstellen: x1 sowie x-1 Polstellen: x sowie x- (x + )(x ) f ist lso n den Stellen und - nicht definiert, dher ist der Definitionsbereich D IR\{-;} Dieses Beispiel ist problemlos, weil die Nullstellen des Nenners nicht mit den Nullstellen des Zählers übereinstimmen. Andernflls müsste mn uf (hebbre) Lücken prüfen (s. weiter unten). Der Grph sieht so us: x 1 x 8 x (x 8) (x 1) 4x Ableitungen: f '(x) (x 8) Die Polgerden sind hier nicht eingezeichnet! 1x Vereinfcht ergibt sich: f '(x) (x 8). Noch einfcher: f '(x) Ebenso erhält mn für die.ableitung: f ''(x) Bestimmung der Extrempunkte: 1 Ds notwendige Kriterium f '(x) 0 liefert x0. f ''(0) 3 ( 4) < 0 HP(0 / 0,15). Wendepunkte existieren nicht, weil f ''(x) 0 keine Lösung liefert! x 1 Asymptoten: Wir betrchten lim sowie x x 8 Dzu formen wir den Funktionsterm zunächst um: x 1 1 x 1 1 x x 8 x 4 x 4 x x 16x 4x + 4x (x 8) 3x (1 ) 3 (3x + 4) 3 x 1 lim x x 8 Lssen wir nun x ± streben, so strebt der Bruchterm Funktionsterm gegen 0,5. Die Asymptote ht lso die Gleichung y 0,5. 3 x 4 gegen 0 und somit der gesmte Betrchtet mn den Funktionsgrphen, so knn mn ds Ergebnis uch bestätigen.

3 Beispiel : f(x) x x 1 3x + 6 Zunächst wird der Zähler zerlegt: f(x) Mn erkennt, dss f n der Stelle x- nicht definiert ist. Es ist lso D IR \ {-}. Für lle x-werte ußer x - knn mn den Funktionsterm kürzen, so dss sich g(x) x - ergibt. Diese Funktion g heißt Erstzfunktion bezüglich f. 3 g ist in diesem Fll eine Gerde mit dem Funktionswert y-10/3 n der Stelle x-. f stimmt mit g bis uf den n der Stelle x- fehlenden Punkt überein und lässt sich n dieser Stelle stetig ergänzen, d.h.: Würde mn den fehlenden Punkt P(- ; -10/3) einsetzen, so wäre f lückenlos. Eine solche stetige Ergänzbrkeit ist bei Polstellen nicht möglich! Grph von f: (x x 6) (x 3)(x + ) 3(x + ) 3(x + ) Wegen der Einfchheit der Erstzfunktion verzichten wir hier uf eine Kurvendiskussion.

4 (x k)(x + 3) Beispiel 3: f k (x) ( eine nicht gnz einfche Funktionenschr ) x 4 Hier sieht mn, dss gilt: D IR\{-;}. Dies gilt für lle k. Flls der Zähler nicht gleichzeitig Null wird hben wir es bei den Stellen - und mit Polstellen zu tun. Dies gilt ber ersichtlich nicht für lle k, sondern es gibt Ausnhmen, k sowie k-: (x )(x + 3) (x )(x + 3) x + 3 k: f (x), flls x gilt. x 4 (x )(x + ) x + x + 3 Die Erstzfunktion ist hier g (x) ; x x + Es gilt g () 5/4 1,5. Der Punkt P( ; 1,5) stopft die Lücke bei f ( s. Grfik unten ). f ht demnch einen Pol n der Stelle x-, eine hebbre Lücke n der Stelle x mit dem Erstzfunktionswert 1,5 und eine Nullstelle bei x-3. x + 3 k-: Die Erstzfunktion ist hier g - (x) ; x x Es gilt g - (-) -1/4-0,5. Der Punkt Q(- ; -0,5) stopft die Lücke bei f - ( s. Grfik unten ). f - ht demnch einen Pol n der Stelle x, eine hebbre Lücke n der Stelle x- mit dem Erstzfunktionswert -0,5 und eine Nullstelle bei x-3. Grphen (mit ihren Polgerden): Für lle k und k existieren Pole und keine hebbren Lücken! Dies knn mn n den unten bgebildeten Grphen sehen.

5 Einige Beispiele für k und k - : Wie mn sieht können die Grphen gnz unterschiedlich verlufen. Anmerkung: Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurden hier die Pole weggelssen. Asymptote: Es sieht so us, ls hätte die Asymptote die Gleichung y 1. Für welche k-werte lässt sich ds nchweisen?? Lösung: (x k)(x + 3) x 3k + (3 k)x x k + (3 k)x 4 + 3k + (3 k)x 1 + x 4 x 4 x 4 x 4 Der Term strebt gegen 1, flls x ± strebt, und dies unbhängig von k!! Also ht bei llen Grphen der Schr die Asymptote die Gleichung y 1.

6 Nullstellen: xk ( flls k und k ) sowie x-3 1. Ableitung: f k '(x) (x + 3 k) (x + 3x kx 3k) x 3 3 x + 3x kx 8x 1 + 4k x 6x + kx + 6kx (k 3)x + (6k 8)x + 4k 1 ds wr schon ziemlich viel Arbeit! Wegen der ufwändigen Rechnerei verzichten wir uf eine llgemeine Bestimmung der Extremund Wendepunkte. Ds wäre eine schöne Aufgbe für ein CAS! Beispiel 4: f(x) x 3x 10 x 5 x 3x 10 (x 5)(x + ) Hier knn mn folgendermßen zerlegen: x 5 x 5 Mn erkennt nun bereits folgendes: - Nullstelle x - - hebbre Definitionslücke bei x 5 ( Erstzfunktion g(x) x+ ) - keine Polstelle Zur Bestimmung der Asymptote zerlegt mn so: x 3x 10 x(x 5) + x 10 x 10 x + x 5 x 5 x 5 D der Bruchterm gegen strebt ergibt sich für die Asymptote die Gleichung y x+. Grph:

7 Ein Anwendungsbeispiel us der Physik: Ein Stromversorgungsgerät ht unbelstet eine Spnnung von U 30V und besitzt einen Innenwiderstnd von R i 8Ω. Welchen Widerstnd R muss ein ngeschlossenes Gerät ufweisen, wenn die ufzunehmende Leistung P mximl werden soll ( Leistungsnpssung )? Lösung: Die ufgenommene Leistung beträgt P I U Kl I I R I R ( U Kl Klemmenspnnung ) Für die Stromstärke gilt: I Uo R + R Uo ist die sog. Urspnnung Setzt mn dies in die Gleichung für P ein, so ergibt sich P P hängt lso von R b gemäß der Vorschrift: i P(R ) U U R ( ) R R R (R R ) (30V) (8Ω + R ) o o i + i + R Die Grfik zeigt, dss die Leistung im Bereich von 8Ω mximl ist. Rechnerisch knn mn nchweisen, dss die Lösung exkt 8Ω ist. Dher ist die Leistung genu dnn mximl, wenn ds ngeschlossene Gerät den gleichen Widerstnd besitzt wie der Innenwiderstnd.