Die Hyperbeläste kommen den Koordinaten-achsen beliebig nahe. Sie sind Asymptoten der Hyperbel.

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1 .8. Die indirekte (umgekehrte) Proportionlität Die Funktion f : y \ heisst umgekehrte (indirekte) Proportionlität. Spezilfll : f: Bilde den Kehrwert der gegebenen Zhl. An der Stelle ist die Funktion nicht definiert. Der Grph heisst rechtwinklige Hyperbel. Um etw den Grphen zu zeichnen, bestimmt mn n einigen Stellen die Funktionswerte f() und verbindet die Punkte durch eine schön geschwungene Linie. Geometrische Interprettion der Funktionsgleichung: Unbhängig von der Whl des Hyperbelpunktes sind die entsprechenden chsenprllelen Rechtecke inhltsgleich. Die Hyperbeläste kommen den Koordinten-chsen beliebig nhe. Sie sind Asymptoten der Hyperbel. D für lle gilt: f(-) - f(), d.h. die Funktionswerte sind n den entgegengesetzten Stellen und - entgegengesetzt gleich, ist die Hyperbel zentrlsymmetrisch zum Ursprung (, ). Sie ist usserdem ilsymmetrisch zu den Winkelhlbierenden. Welchen Einfluss ht der Prmeter? Skizze mit, 4, -, Die bisherigen Funktionswerte werden mit multipliziert. Dies bewirkt eine Dehnung bzw. Pressung der Kurve in y-richtung. Ist <, so kommt eine Spiegelung n der -Achse dzu. Diese Abbildung heisst normle Affinität bezüglich der -Achse. Asymptote (griech. nicht zusmmenfllen) 7..5 funktion_ind_prop.doc/ul

2 Unterscheide: Proportionlität: y und sind quotientengleich indirekte Proportionlität: y y und sind produktgleich y geometrisch: flächengleiche Rechtecke y f : y 6 Der Grph von f ist eine Ursprungsgerde 6 f : y Der Grph von f ist eine Hyperbel Beispiele: Erreicht mn bei einer Wnderung eine mittlere Geschwindigkeit von 4. km/h, dnn ist der zurückgelegte Weg s (in km) proportionl zur Zeit t (in Stunden): s 4. t Die Duer t (in Stunden) eines Fussmrschs von km ist umgekehrt proportionl zur Geschwindigkeit v (in km/h): t v Aufgbe: Bestimme den Prmeter so, dss die Hyperbel mit der Gleichung y durch den Punkt P(, 3) geht. Die Koordinten von P erfüllen die Hyperbelgleichung: 3 und dmit funktion_ind_prop.doc/ul

3 3.9. Qudrtische Funktionen Funktionen mit der Gleichung f : y + b + c,,, heissen qudrtische Funktionen. Der Grph einer qudrtischen Funktion heisst Prbel. Spezilfll: Die Qudrtfunktion f : y f: qudriere die gegebene Zhl Der Funktionswert n der Stelle ist 4 oder kurz: f() 4 Es gilt: f() f(-) 4 oder llgemein f(-) f() für lle. Der Grph der Funktion, die Normlprbel, ist symmetrisch zur y-achse. An der Stelle berührt die Prbel die - Achse, die -Achse ist lso Tngente n die Prbel. Dieser Punkt heisst Scheitel der Prbel. Eine Anwendung der Prbeleigenschften in der Pris: Achsenprllele Lichtstrhlen werden bei Refleion n einem prbolförmigen Spiegel im Brennpunkt F gesmmelt (Prbolspiegel, -ntenne). Aufgbe : Zeichne den Grphen der Funktion. f : y für - 7 und bestimme geometrisch die -Koordinten der Schnittpunkte mit der -Achse Dzu werden n einigen Stellen die Funktionswerte bestimmt: f() -3 Die bgebildete Prbel ist nch unten geöffnet. An der Stelle 4 ist die Prbeltngente horizontl, der zugehörige Prbelpunkt S(4, ) heisst Scheitel der Prbel. Die Prbel schneidet die -Achse n den Stellen und 6. Dmit ist die qudrtische Gleichung + 3 uf grphischem 4 Weg gelöst. Ein rechnerischer Weg ergibt sich später mit der qudrtischen Auflösungsformel funktion_ind_prop.doc/ul

4 4 Übungsufgbe: Zeichne den Grphen der Funktion f: f : y 3 und bestimme geometrisch die -Koordinten der Schnittpunkte mit der -Achse. Lösung: Der Grph ist eine nch oben geöffnete Prbel mit dem Scheitel S(, -5). Sie schneidet die -Achse n den Stellen -. und 5.3, d.h. die qudrtische Gleichung 3 ht die Lösungen. und 5.3. D n diesen Stellen der Funktionswert ist, sgt mn uch und sind die Nullstellen der Funktion f : y funktion_ind_prop.doc/ul

5 5 Anwendung: Ein Etremlproblem Aufgbe. Wie sind die Seiten eines n einer Huswnd ngrenzenden rechteckigen Zuns zu wählen, wenn dzu ein 3 m lnges Drhtgeflecht zur Verfügung steht und die Rechtecksfläche möglichst gross sein soll?. Zielfunktion: Die Rechtecksfläche y z soll miml sein. Nebenbedingung: Zunlänge 3 oder 5 3. Zielfunktion Rechtecksfläche f : y (5 ) 4. Der Grph ist eine nch unten geöffnete qudrtische Prbel. Sie schneidet die - Achse n den Stellen und 3. Dmit liegt der Scheitel us Symmetriegründen in der Mitte bei 5. Also ist für die Länge 5 m die Rechtecksfläche miml. Die mimle Rechteckfläche erhält mn f (5) 5 zu Ds Resultt ist plusibel. Betrchtet mn zusätzlich, ds n der Huswnd gespiegelte Rechteck, dnn ht beknntlich unter llen Rechtecken ds Qudrt mimlen Flächeninhlt. Soll ds Drhtgeflecht ohne einschränkende Bedingungen den grösstmöglichen Flächeninhlt umfssen, dnn ist es zu einem Kreis zu formen funktion_ind_prop.doc/ul

6 6.. Weitere Funktionen Die Betrgsfunktion (Schönfrber-, Vorzeichenfresser-) Einführendes Beispiel: Die Zhlen - und hben uf der Zhlengerden von denselben Abstnd. Wir sgen - und hben denselben bsoluten Betrg und schreiben dfür -. Allgemein: < Def. < Der bsolute Betrg einer Zhl ist eine nichtnegtive Zhl. Der Grph der Betrgsfunktion Die Betrgsfunktion nimmt keine negtiven Funktionswerte n. Sie verändert positive Zhlen und die Zhl nicht, wechselt ber bei negtiven Zhlen ds Vorzeichen. Der Grph der Betrgsfunktion knn gezeichnet werden, indem mn zunächst die Gerde y drstellt und nschliessend die unterhlb der -Achse liegenden Punkte n der - Achse spiegelt. Es gilt z.b. ( 3) 3 3 oder llgemein: Aufgbe: Löse die folgenden Gleichungen: ) 5 5 b) 5 keine Lösung c) 5 5 oder -5 d) 5 Gesucht sind die Punkte, deren Abstnd von kleiner oder gleich 5 ist Lösung: -5 5 e) < < 3 [,3] [-3,-] 7..5 funktion_ind_prop.doc/ul

7 7 Aufgbe: Zeichne den Grphen der Funktion f : y Zeichne zunächst den Grphen der Funktion f : y Ds Betrgszeichen bewirkt, dss Punkte unterhlb der -Achse n der -Achse gespiegelt werden. Die Ersetzung von durch bewirkt eine Trnsltion des Grphen in - Richtung um Einheiten. Zeichnet mn zusätzlich zum Grphen die Gerde y, dnn können die folgenden Gleichungen grfisch gelöst werden: - Lösung: oder 3 - < Lösung: L ], 3[ - > Lösung: L ]-, [ ]3, [ Allgemein gibt - den Abstnd der Zhl zu n. Aufgbe: Zeichne den Grphen der folgenden Funktionen: ) f : y b) f : y + Lösung von ) Der Summnd bewirkt eine Verschiebung des Grphen um Einheiten in negtiver y-richtung 7..5 funktion_ind_prop.doc/ul

8 8 Lösung von b) f : y + Fllunterscheidung: f() + 3 < < f() + f() + 3 Der Grph knn uch durch Superposition der beiden Summnden gezeichnet werden. Aufgbe Löse die folgende Gleichung: 5 Lösung durch Fllunterscheidung: < 5 ( 6 ) 5 > 5 / 5 4 Lösungsmenge L {, 4} Grfische Lösung: In der Abbildung sind die Grphen der Funktionen f : y bzw. f : y 5 drgestellt. Die -Koordinten der beiden Schnittpunkte sind die beiden Lösungen der Gleichung funktion_ind_prop.doc/ul

9 7..5 funktion_ind_prop.doc/ul 9 Die Vorzeichenfunktion (Signumfunktion) : > < sign y f Die Guss sche Klmmerfunktion (Integerfunktion, grösste gnze Zhl ) ] [ ) int( : y f Beispiel einer Funktion, deren Grph nicht gezeichnet werden knn: irrtionl rtionl y f :