Aufgaben zur Kreisgeometrie

Transkript

1 Dr. Krlhorst Meer Aufgben zur Kreisgeometrie 1. Frgen Die folgenden Aufgben sind entsprechend MEYER [1] geordnet und beziehen sich uf dieses Mnuskript. 1. Aufgben findet mn in jedem Buch über komplee Zhlen, z. B. bei DITTMANN [1].. Kreisdefinition mit Hilfe von Doppelverhältnissen..1 Zeige mit der Doppelverhältnisdefinition, dss ein Kreis durch drei Punkte festgelegt ist; unter Umständen knn der sogennnte Kreis eine Gerde sein... Aufgben zur Norm und Spur siehe DITTMANN [1] 3. Die innere Struktur der Gruppe der Homogrphien 3..1 Bestimme rechnerisch wie zeichnerisch die Homogrphie jeweils, die ) ( ) uf (1 1) verschiebt; b) (1 ) um ( ) nch ( 1) dreht; c) (1 1) n spiegelt; d) (1 ) n einem Kreis um ( ) nch (4 ) spiegelt. 3.. An welchem Kreis spiegelt mn N(z) 4, dmit N(z - 3) 9 heruskommt? Die Kreisschnittpunkte seien Fipunkte. Weshlb knn mn drei spezielle Punkte von N(z) 4 i. A. nicht durch diese Spiegelung in drei vorgegebene Punkte von N(z - 3) 9 überführen? (Vergleiche uch die folgende Aufgbe) Finde die Reihenfolge von Konstruktionsschritten, mit denen mn zeichnerisch für ds folgende Problem eine Lösung finden knn: Gesucht wird der Mittelpunkt M eines Inversionskreises, der A in A überführt und B B fest lässt. Wie viele Lösungen gibt es? Hinweis: Berechne zuerst M und gib nhnd der Rechnung die Reihenfolge der Konstruktionsschritte n ) Finde rechnerisch eine Homogrphie, die die folgenden Punkte trnsformiert: ( ) ( 1) (1 1) ( ) ( 1) (-1-1) b) Erläutere, in welcher Reihenfolge Konstruktionsschritte uszuführen wären, um diese Homogrphie zu erzeugen Finde für die Inversion z mit z 1 die Gleichung in krtesischen Koorindten. 4. Konstruktionsufgben:

2 4.1 Gegeben ist ein Punkt A. Zeichne einige Kreise durch A. 4. ) Gegeben ist ein Punkt A und eine Gerde durch A. Zeichne einige Kreise durch A, die berühren. Welche Kurve ist der Ort der Mittelpunkte dieser Kreise? b) Gegeben ist ein Punkt A und eine Gerde b nicht durch A. Zeichne einige Kreise durch A, die b berühren. Welche Kurve ist der Ort der Mittelpunkte dieser Kreise? 4.3 Gegeben sind zwei Punkte A und B. Zeichne einige Kreise durch A und B. Wo liegen die Mittelpunkte dieser Kreise? 4.4 Gegeben sind zwei Punkte A und B und eine Gerde durch A. Zeichne Kreise durch A und B, die berühren. 4.5 Gegeben sind zwei Punkte A und B und durch A und B die Gerde bzw. b. Begründe, wie viele Kreise durch A und B gehen, die und b berühren. 4.6 Wie groß ist die Punktnzhl von beliebig vorgegebenen Punkten, dss es durch sie jedenflls noch einen Kreis gibt? 4.7 Wie groß ist die Gerdennzhl von beliebig vorgegebenen Gerden, dss es jedenflls genu einen Kreis gibt, der lle gegebenen Gerden berührt? 4.8 Untersuche: Ws ist ds Inversionsbild einer Prbel? 4.9 Konstruiert wird der Ort der Mittelpunkte ller Kreise, die durch einen gegebenen Punkt A gehen und einen gegebenen Kreis k berühren. A liege nicht uf k. 4.1 Konstruiert wird der Ort der Mittelpunkte ller Kreise, die zwei gegebene Gerden berühren Konstruiert wird der Ort der Mittelpunkte ller Kreise, die eine gegebene Gerde und einen gegebenen Kreis berühren. 4.1 Konstruiert wird der Ort der Mittelpunkte ller Kreise, die zwei gegebene Kreise berühren Konstruiert wird der Ort der Mittelpunkte ller Kreise, die zwei gegebene Gerden berühren und durch einen Punkt geht Konstruiert wird der Ort der Mittelpunkte ller Kreise, die drei gegebene Gerden berühren Konstruiert wird der Ort der Mittelpunkte ller Kreise, die drei gegebene Kreise berühren.. Hinweise oder Lösungen Zu..1 Die Doppelverhältnisdefinition ht nur drei Prmeter; lso knn mn höchstens drei Punkte einsetzen. Drei Punkte reichen ber uch. Unter Umständen liegen die drei Punkte uf einer Gerden. Wie im Mnuskript knn mn ds DV in eine Gerdengleichung überführen. Zu 3..1

3 ) Mn setzt in die llgemeine Gleichung einer Verschiebung ds gegebene Punktepr ein und berechnet den Prmeter T der Verschiebung. Bei einer zeichnerischen Lösung muss mn sich erst überlegen, wodurch eine Verschiebung gegeben ist, d zeichnerisch im Mnuskript eigentlich nur Spiegelungen n Kreisen und Gerden gegeben sind. Also wird mn n zwei prllelen Gerden spiegeln. b) Offenbr ist es eine Drehung um 9 o, deren zeichnerische Lösung durch zwei Gerdenspiegelungen vorgegeben ist, deren Achsen sich in ( ) um 45 o schneiden. Rechnerisch ergibt sich in der Drehungsdefinition (MEYER [1], Seite 1) der Prmeter S cos 9 o + i sin 9 o i. c) Eine zeichnerische Lösung ist bereits gegeben. Als Rechnung ergibt sich X. d) Die rechnerische wie zeichnerische Lösung folgt sofort us MEYER [1], Seite 1. Zu 3.. M sei der Mittelpunkt des Inversionskreises. Aus Smmetriegründen ist M uf der Smmetriechse. Die rechnerische Lösung ht mn rsch, wenn mn die zur Relchse smmetrische Lge der beiden gegebenen Kreise bechtet und in die llgemeine Inversionsformel des Stzes 1 uf Seite, MEYER [1] einsetzt. Mn bechte es ist M M. Zur zeichnerischen Lösung konstruiert mn die Relchsenkoordinte von M mittels des Höhenstzes us den gegebenen Stücken. Zu 3..3 Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien A und A uf der Relchse und dmit uch der Mittelpunkt M des gesuchten Inversionskreises. Mn zeichnet sich eine Anlsisfigur und berechnet für die dort definierten Größen: (c - )(c - + ) r + b ; drus folgt: B B' c - c - c + + c - + b ; so ergibt sich: c(c + ) - b (c + ) b r r Beide Seiten sind positiv. M c - A' A c(c + ) wird z. B. nch dem Höhenstz; - b z erhält mn us dem Lehrstz des PYTHAGORAS. erhält mn us z (c - ) z. B. us dem Höhenstz. Die Lösung ist eindeutig, so ist z. B. die weitere Vorgbe eines Fipunktes nicht möglich (vgl. Aufgbe 3..3). Zu 3..4 ) Mn setzt die gegebenen Punktepre in die Formel der Homogrphien ein, wobei mn ohne Beschränkung der Allgemeinheit nnehmen knn, dss S 1 ist, und löst ds Gleichungssstem nch den Prmetern der Homogrphie. b) Nennen wir die Zuordnungen A A, B B, C C. Mn könnte uf die Idee kommen, durch eine Trnsltion (ls Doppelspiegelung n Gerden) A A uszuführen, dnn gemäß Aufgbe 3..3 eine Inversion so zu konstruieren, dss A fi ist und ds trnsltierte B in B übergeführt wird. Allerdings kommt mn so nicht weiter, weil mn im Gegenstz zur Aufgbe 3..3 eine Inversion bräuchte, die die Bilder von A und B fest lässt und C in C überführt, ws es nur in Spezillgen geben wird.

4 Mn wird deshlb nicht umhinkommen, gemäß den Seiten 1 und die unter ) gefundene Homogrphie in Spiegelungen zu zerlegen und diese dnn konstruktiv uszuführen. Zu 3..5 Aus der Inversionsgleichung mit z u + iv und + i folgt: 1 + i u + iv i + Aus Trnsformtionsgleichungen in krtesischen Koordinten findet mn lso: u (1) + und v + Bei den folgenden Aufgben sollte mn stets mit dem Zeichnen einiger Beispiele beginnen. Es eignet sich uch eine entsprechende Softwre hierfür(vgl. ULITZKA in diesem Heft). Zu 4.1 Es ergeben sich viele prbolische Kreisbüschel mit verschiedenen Trägertngenten durch A. Zu 4. ) Ein prbolisches Kreisbüschel mit der Trägertngente ist die Lösung. b) Anhnd der nebenstehenden Skizze findet mn, dss die Mittelpunkte M der Kreise uf einer Prbel liegen: Die schräge Gerde durch M( ) ht die Gleichung: +. Setzt mn den Punkt M ein, so bekommt mn zwischen seinen Koordinten die folgende Beziehung: Ds ist die Gleichung einer Prbel. (;o) A(;) M(o;o) Zu 4.3 Die Mittelpunkte liegen uf der Mittelprllelen zu AB. Zu 4.4 Flls B uf liegt ist die Aufgbe unlösbr, sonst gibt es genu eine Lösung. Zu 4.5 Mn stellt eine Fllunterscheidung hinsichtlich der gegenseitigen Lge der gegebenen Stücke uf und stellt fest, dss es genu einen Fll mit genu einer Lösung gibt.

5 Zu 4.6 Nur ds Dreieck ht in jedem Fll einen Umkreis. Zu 4.7 Nur ds Dreieck ht in jedem Fll einen Inkreis. Zu 4.8 Vor Berbeitung dieser Aufgbe muss 3..5 gelöst sein. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit knn mn sich uf eine Inversion m Einheitskreis beschränken bzw. druf, dss z. B. die Prbelchse die -Achse des Koordintensstems ist (us technischen Gründen musste in der Zeichnung in CABRI und nderes... in diesem Heft die -Achse ls Smmetrielinie der Prbel gewählt werden). Mn löst (1) u für die Prbel nch uf und erhält + p( ) pu pu pu pu 1 ± ( 1 ) ± u u Mit (1) findet mn: v ( + ) p( ) ( + p( )) 1 pu ± u. 1 pu ± p u 1 pu ± + p u Beseitigt mn die Wurzeln, ws hier für ds Weitere nicht mehr erforderlich ist, so ergibt sich eine sehr hohe lgebrische Funktion. Liegt der Prbelscheitel im Mittelpunkt des Inversionskreises, ist lso, ergibt sich etws Ähnliches wie eine sogennnte NEILsche Prbel (v u 3 ): v p p ( ) ( + p) ( + p ) 3 pu pu, 1 pu weil für us (1) für eine Prbel folgt 1 pu. u Vergleiche uch ULITZKA in diesem Heft. D die Prbel im Unendlichen zur -Achse prllele Tngenten ht, müssen die beiden im unendlichen liegenden Prbelpunkte uf den Mittelpunkt des Inversionskreises mit der -Achse ls Tngente bgebildet werden. Zusmmen mit den beiden Fipunkten knn mn so die Bildkurve schon recht ordentlich skizzieren. Zu 4.9 ) A liegt ußerhlb von k: M sei der Mittelpunkt des gegebenen Kreises k. Mn verbindet M mit dem gegebenen Punkt A. Diese Gerde schneidet den Kreis in zwei Punkten; einer der beiden sei P (lso zwei Wege!). Der Inversionskreis i um P

6 durch A führt den gegebenen Kreis k in eine Gerde über. Dmit ist ds Problem uf ds Problem der Aufgbe 4..b) übergegeführt. Die Lösung ist eine Prbel, die zurückgespiegelt n i eine wilde Kurve ergibt (vgl. 4.8 und ULITZKA in diesem Heft). b) A liegt innerhlb von k: Mn geht wie im Fll ) vor und findet nlog einen Inversionskreis i um P durch A. Ds Problem ist so uf Aufgbe 4..b) zurückgeführt; der Ort der Mittelpunkte der berührenden Kreise ist lso eine Prbel (vgl. 4.8 und ULITZKA in diesem Heft). Zu 4.1 Der gesuchte Ort der Mittelpunkte ist entweder eine Mittelprllele oder die Winkelhlbierenden. Zu 4.11 Mn knn eine Reihe Punkte konstruieren und stellt fest (uch nhnd eines CABRI-Bildes, vgl. ULITZKA in diesem Heft): Es gibt Kreise, die den gegebenen Kreis beinhlten und solche, die dies nicht tun. Mn ht deshlb die Vermutung, dss die gesuchten Mittelpunkte uf zwei Prbeln liegen. Im folgenden wird nur ein Beweis für diejenigen Kreise geführt, die den gegebenen nicht einschließen: Der Mittelpunkt ( ) eines gesuchten Kreises führt mit dem Stz des PYTHAGORAS zur folgenden Bedingung: + ( - ) ( + r), lso r + r (r + ) + r - R (;) Ds ist die Gleichung einer Prbel. Der ndere Fll knn genuso berechnet werden, bzw. eine Lösung für beide Fälle ngegeben werden. r (;) Die Lösung gilt uch für weitere Fälle, z. B. für r. Zu 4.1 Durch Inversion knn der Fll uf den Fll 4.1 zurückgeführt werden. Zu 4.13 ) Sind die beiden Gerden prllel, so gibt es keine Lösung, wenn der Punkt nicht zwischen ihnen liegt, und genu Lösungen, wenn der Punkt zwischen den Gerden liegt. b) Schneiden sich die Gerden, so gibt es genu zwei Lösungen, die mn je us einem die Gerden berührenden Kreis durch zentrische Streckung erhält. Zu 4.14 Siehe Aufgbe 4.7. Zu 4.15

7 Mn führt zunächst durch Inversion zwei Kreise in zwei Gerden über. Die Konstruktionszeichnung entsteht llein durch die Theorie des Aufblsens (us der Projektiven Geometrie im Kompleen) lso ohne Benutzung von Homogrphien und wird im Folgenden ngegeben: Mn bechte, in der folgenden Zeichnung ist b + c. Eigentlich ist zu viel gezeichnet, d ußen herum noch einml ein vergrößertes Bild ngegeben wird. Dmit ist ber der Beweis der Konstruktion ohne die Theorie der Projektiven Geometrie elementrgeometrisch, lso mit Schulgeometrie, möglich, wenn mn diejenige Prllelkurve betrchtet, bei der der Außenkreis zu einem Punkt schrumpft. Auch in nderen Fällen lässt sich ds Aufblsen oder Schrumpfen elementrgeometrisch im Einzelfll beweisen. Die komplee projektive Geometrie brucht mn lso nur, wenn mn ds Verfhren einheitlich ngehen will. Die Methode des Aufblsens und Schrumpfen-lssens kennt der Schüler us wenigen Beispielen wie etw: Konstruktion der gemeinsmen Tngenten n Kreise. Mn lässt den kleineren Kreis zu einem Punkt schrumpfen, konstruiert die Tngenten von ihm us n den Differenzkreis und bläst wieder uf. 3. Didktische Bemerkungen Die Reihenfolge der Aufgben ist nicht nch Schwierigkeitsgrd geordnet, sondern pssend zu den Kpiteln von MEYER [1] bzw. hinsichtlich der Kombintorik, die zu den Aufgben führte, entstnden. Es ist lso Vorsicht geboten, wenn mn einzelne Aufgben für eine häusliche Vorbereitung benutzt. Die ngesprochene Kombintorik knn uch zu weiteren Frgestellungen führen. Hier ist llerdings mit großer Vorsicht vorzugehen, weil mn rsch - zumindest bei Schülern - zu unlösbren Problemen kommt. Allerdings lssen sich uch dnn immer noch Zeichnungen u. U. mit einer Softwre fertigen (vgl. ULITZKA im Folgenden). Für ds Nchrechnen bednke ich mich herzlich bei Herrn Arthur Krämer. Litertur Dittmnn, H. [1]: komplee zhlen, bsv München 1973 Meer, Kh. [1]: Kreisgeometrie, Mthemtikinformtion 6, Seiten 3 bis 5, 1996