Abitur 2018 Mathematik Geometrie VI

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1 Seite Seite Abitur 8 Mthemtik Geometrie VI Die Punkte A( ), B( ) und C( ) liegen in der Ebene E. Teilufgbe Teil A (4 BE) Die Abbildung zeigt modellhft wesentliche Elemente einer Kletternlge: zwei horizontle Plttformen, die jeweils um einen vertikl stehenden Pfhl gebut sind, sowie eine Kletterwnd, die n einer der beiden Plttformen ngebrcht ist. Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normlenform. Teilufgbe Teil A b ( BE) Geben Sie die Koordinten des Schnittpunkts von E mit der x -Achse n. Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und F ( 4 4) sowie die Gerde g : X = 4 + λ, λ R. Teilufgbe Teil A (4 BE) Die Gerde h verläuft durch die Punkte A und B. Zeigen Sie, dss sich g und h im Punkt F senkrecht schneiden. Teilufgbe Teil A b ( BE) Ein Punkt C liegt uf g und ist verschieden von F. Geben Sie die besondere Bedeutung der Strecke [C F ] im Dreieck A B C n. Im verwendeten Koordintensystem beschreibt die x x -Ebene den horizontlen Untergrund. Die Plttformen und die Kletterwnd werden ls ebene Vielecke betrchtet. Eine Längeneinheit entspricht m in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle us dem Untergrund ustreten, werden durch P ( ) und P ( ) drgestellt. Außerdem sind die Eckpunkte A( ), B( ), E( ), F ( ), R( 7 ) und T ( ) gegeben. Die Mterilstärke ller Buteile der Anlge soll vernchlässigt werden. Teilufgbe Teil B ( BE) In den Mittelpunkten der oberen und unteren Knte der Kletterwnd sind die Enden eines Seils befestigt, ds % länger ist ls der Abstnd der gennnten Mittelpunkte. Berechnen Sie die Länge des Seils. Teilufgbe Teil B b (4 BE) Die Punkte A, B, E und F liegen in der Ebene L. Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normlenform. (zur Kontrolle: L : x + x + x = ) Teilufgbe Teil B c ( BE) Zeigen Sie, dss die Kletterwnd die Form eines Trpezes ht. Teilufgbe Teil B d ( BE) Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwnd mit dem Untergrund einschließt. Abitur Byern 8 Geometrie VI

2 Seite Seite 4 Über ein Kletternetz knn mn von einer Plttform zur nderen gelngen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind n den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich n Pfhl uf der Höhe der zugehörigen Plttform, der ndere untere Eckpunkt n Pfhl oberhlb der Plttform. An jedem Pfhl beträgt der Abstnd der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes,8 m. Ds Netz ist so gespnnt, dss dvon usgegngen werden knn, dss es die Form eines ebenen Vierecks ht. Teilufgbe Teil B e ( BE) Berechnen Sie den Flächeninhlt des Netzes und erläutern Sie Ihren Anstz. Teilufgbe Teil B f ( BE) Die untere Netzknte berührt die Plttform n der Seite, die durch die Strecke [R T ] drgestellt wird. Betrchtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhlb der Plttform befestigt ist. Im Modell ht dieser Eckpunkt die Koordinten ( h) mit einer reellen Zhl h >. Die untere Netzknte liegt uf der Gerden g : X = + λ, λ R. Berechnen Sie den Abstnd des betrchteten Eckpunkts von der Plttform. h Lösung Teilufgbe Teil A (4 BE) Die Punkte A( ), B( ) und C( ) liegen in der Ebene E. Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normlenform. Lösung zu Teilufgbe Teil A Ebene us drei Punkte Richtungsvektoren der Ebene E: A B = B A = = A C = C A = = A( ) sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene E. Ebenengleichung in Normlenform Normlenvektor n E der Ebene E bestimmen: Erläuterung: Vektorprodukt Ds Vektorprodukt (Kreuzprodukt) b zweier Vektoren und b ist ein Vektor n, der senkrecht uf der von beiden Vektoren ufgespnnte Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: b b b b = b = b b b b b A B A C = = Abitur Byern 8 Geometrie VI

3 Seite n E = Ebenengleichung in Normlenform bestimmen: Seite Erläuterung: Spurpunkte einer Ebene Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordintenchsen nennt mn Spurpunkte. Um sie zu bestimmen, setzt mn die Gleichung der Koordintenchse in die Normlenform (Koordintenform) der Ebene ein, löst nch dem Prmeter λ uf und setzt diesen Wert in die Gerdengleichung ein. Erläuterung: Normlenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normlenform einer Ebene werden nur der Normlenvektor und ein Punkt P us der Ebene (Aufpunkt) benötigt. Spurpunkt S mit der x -Koordintenchse: λ + = 4 λ = 4 S ( 4 ) E : n E X = n E P Hier ( A ist Aufpunkt): E : X = } {{ } n E E : x x + x = + E : x x + x + 4 = Teilufgbe Teil A b ( BE) A Geben Sie die Koordinten des Schnittpunkts von E mit der x -Achse n. Lösung zu Teilufgbe Teil A b Spurpunkte einer Ebene E : x x + x = 4 x -Koordintenchse: X = λ Teilufgbe Teil A (4 BE) Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und F ( 4 4) sowie die Gerde g : X = 4 + λ, λ R. Die Gerde h verläuft durch die Punkte A und B. Zeigen Sie, dss sich g und h im Punkt F senkrecht schneiden. Lösung zu Teilufgbe Teil A Gerdengleichung ufstellen Richtungsvektor der Gerden h: A B = B A = = Erläuterung: Gerdengleichung Eine Gerde g ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: g : X = P + µ v, µ R Wenn A ls Aufpunkt genommen wird, dnn ist Aufpunkts) der Gerden h. A der Ortsvektor (des Abitur Byern 8 Geometrie VI

4 Seite 7 h : X = + µ A Seite 8 Lgebeziehung von Vektoren Sklrprodukt der Richtungsvektoren der Gerden g und h bilden: = + + = g h Lgebeziehung Punkt und Gerde Für µ = ist: Für λ = ist: + 4 = 4. 4 F = 4 4. } {{ } F Im Dreieck A B C ist die Strecke [C F ] die Höhe vom Eckpunkt C uf die Seite [A B]. Teilufgbe Teil B ( BE) Die Abbildung zeigt modellhft wesentliche Elemente einer Kletternlge: zwei horizontle Plttformen, die jeweils um einen vertikl stehenden Pfhl gebut sind, sowie eine Kletterwnd, die n einer der beiden Plttformen ngebrcht ist. Der Punkt F liegt sowohl uf g ls uch uf h. Teilufgbe Teil A b ( BE) Ein Punkt C liegt uf g und ist verschieden von F. Geben Sie die besondere Bedeutung der Strecke [C F ] im Dreieck A B C n. Lösung zu Teilufgbe Teil A b -dimensionle Geometrie z. B.: Im verwendeten Koordintensystem beschreibt die x x -Ebene den horizontlen Untergrund. Die Plttformen und die Kletterwnd werden ls ebene Vielecke betrchtet. Eine Längeneinheit entspricht m in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle us dem Untergrund ustreten, werden durch P ( ) und P ( ) drgestellt. Außerdem sind die Eckpunkte A( ), B( ), E( ), F ( ), R( 7 ) und T ( ) gegeben. Die Mterilstärke ller Buteile der Anlge soll vernchlässigt werden. In den Mittelpunkten der oberen und unteren Knte der Kletterwnd sind die Enden eines Seils befestigt, ds % länger ist ls der Abstnd der gennnten Mittelpunkte. Berechnen Sie die Länge des Seils. Abitur Byern 8 Geometrie VI

5 Seite 9 Seite Lösung zu Teilufgbe Teil B Mittelpunkt einer Strecke Erläuterung: Betrg eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrg) eines Vektors = ist gegeben durch: = = = + + M A B M E F =, +, + () = 8, Länge des Seils:, 8, =, m Erläuterung: Mittelpunkt einer Strecke Die Formel für die Berechnung des Mittelpunktes M zwischen zwei Punkten A und B lutet: M = ( A ) + B M A B = + = M E F = + = Länge eines Vektors,, M A B M E F = M E F M A B =,, =,, Teilufgbe Teil B b (4 BE) Die Punkte A, B, E und F liegen in der Ebene L. Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normlenform. (zur Kontrolle: L : x + x + x = ) Lösung zu Teilufgbe Teil B b Ebene us drei Punkte Richtungsvektoren der Ebene L: A B = B A = = A E = E A = = A( ) sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene L. Ebenengleichung in Normlenform Normlenvektor n L der Ebene L bestimmen: Abitur Byern 8 Geometrie VI

6 Seite Seite Erläuterung: Vektorprodukt Erläuterung: Normlenform einer Ebene Ds Vektorprodukt (Kreuzprodukt) b zweier Vektoren und b ist ein Vektor n, der senkrecht uf der von beiden Vektoren ufgespnnte Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: b = = In diesem Fll ist: = A B A E = b b b b b b b b b () ( ) () = = 9 9 Zum Aufstellen der Normlenform einer Ebene werden nur der Normlenvektor und ein Punkt P us der Ebene (Aufpunkt) benötigt. E : n E X = n E P Hier ( A ist Aufpunkt): L : X = n L A L : x + x + x = + + L : x + x + x = Erläuterung: Vereinfchen Die Länge eines Normlenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normlenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfchungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Fktor sind erlubt. Hier wird der Normlenvektor mit multipliziert. Ds erleichtert ds Weiterrechnen wesentlich. n L = = 9 Teilufgbe Teil B c ( BE) Zeigen Sie, dss die Kletterwnd die Form eines Trpezes ht. Lösung zu Teilufgbe Teil B c Lgebeziehung von Vektoren A B = E F = Ebenengleichung in Normlenform bestimmen: = k k = k = k R E F ist ein Vielfches von A B, lso prllel. Abitur Byern 8 Geometrie VI

7 Seite Seite 4 Teilufgbe Teil B d ( BE) Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwnd mit dem Untergrund einschließt. Lösung zu Teilufgbe Teil B d Winkel zwischen zwei Ebenen Normlenvektor n L der Ebene L: Normlenvektor der x x -Ebene: n L = n = Erläuterung: Winkel zwischen zwei Ebenen Erläuterung: Sklrprodukt, Winkel zwischen zwei Ebenen Aus der llgemeinen Definition des Sklrproduktes zweier Vektoren und b b = b cos (, b ) } {{ } α folgt für den Winkel α zwischen den beiden Vektoren: b cos α = b (Formel zur Winkelberechnung zwischen Vektoren) cos ϕ = Der Winkel α zwischen zwei Ebenen E und G ist gleich dem Winkel zwischen den Normlenvektoren n E und n G. Winkel ϕ zwischen den Normlenvektoren der Ebene L und der x x -Ebene bestimmen: Erläuterung: Betrg eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrg) eines Vektors = ist gegeben durch: = = = + + Für den Richtungsvektor der x x -Ebene n E = n E = + + = gilt z.b: + + cos ϕ = + + = 7 ( ) ϕ = cos 4, 7 Abitur Byern 8 Geometrie VI

8 Seite Seite Teilufgbe Teil B e ( BE) Über ein Kletternetz knn mn von einer Plttform zur nderen gelngen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind n den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich n Pfhl uf der Höhe der zugehörigen Plttform, der ndere untere Eckpunkt n Pfhl oberhlb der Plttform. An jedem Pfhl beträgt der Abstnd der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes,8 m. Ds Netz ist so gespnnt, dss dvon usgegngen werden knn, dss es die Form eines ebenen Vierecks ht. Berechnen Sie den Flächeninhlt des Netzes und erläutern Sie Ihren Anstz. Lösung zu Teilufgbe Teil B e Länge eines Vektors Erläuterung: Betrg eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrg) eines Vektors = ist gegeben durch: = = P P = + + = Flächeninhlt eines Prllelogrmms = + + A =, 8, m Prllelogrmm mit Höhe P P und der Grundseite der Länge,8 m. Teilufgbe Teil B f ( BE) P ( ) P ( ) P P = P P = Die untere Netzknte berührt die Plttform n der Seite, die durch die Strecke [R T ] drgestellt wird. Betrchtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhlb der Plttform befestigt ist. Im Modell ht dieser Eckpunkt die Koordinten ( h) mit einer reellen Zhl h >. Die untere Netzknte liegt uf der Gerden g : X = + λ, λ R. Berechnen Sie den Abstnd des betrchteten Eckpunkts von der Plttform. Lösung zu Teilufgbe Teil B f Gerdengleichung ufstellen h Abitur Byern 8 Geometrie VI

9 Seite 7 Seite 8 Erläuterung: Gleichsetzen Die Gerdengleichungen werden gleichgesetzt. Es entsteht somit ein Gleichungssystem mit zwei Unbeknnten. 7 + µ = + λ h R( 7 ) T ( ) Richtungsvektor der Gerden R T : R T = T R = 7 = Erläuterung: Rechenweg Der Vektor 7 wird uf die rechte und der Term λ uf die linke h Seite gebrcht. µ λ h = 7 I. µ λ = II. µ λ = 7 III. λ(h ) = Erläuterung: Gerdengleichung Eine Gerde g ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: g : X = P + µ v, µ R I + II: λ = λ = 4 λ in III: 4 (h ) = h = 4 h =, Wenn R ls Aufpunkt genommen wird, dnn ist Aufpunkts) der Gerden R T. R der Ortsvektor (des Abstnd:, =, m R T : X = 7 + µ R Schnitt zweier Gerden Gerde R T und g schneiden: R T g Abitur Byern 8 Geometrie VI