9 Vektorprodukt. Dieses Gleichungssystem muss man nun lösen! Das ist allerdings nicht ganz einfach. Die Lösung lautet:

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1 9 Vektorprodukt 9.1 Ds Vektorprodukt Gegeen seien zwei (komplnre) Vektoren und, die eine Eene ufspnnen. Suht mn einen Vektor n, der uf diese Eene senkreht steht, dnn muss n orthogonl zu und n orthogonl zu sein. Also gilt: n n Somit folgt: n 0 n n n n 0 1n1 n n 0 Dieses Gleihungssystem muss mn nun lösen! Ds ist llerdings niht gnz einfh. Die Lösung lutet: n1 n n 1 1 n 1 1 Wer es niht glut, der knn nun zeigen, dss n 0 und n 0 gilt. Definition: (Vektorprodukt) 1 Für die Vektoren und heißt: 1 des IR n ds Vektorprodukt der Vektoren und. Anmerkungen: Ds Vektorprodukt ist nur für Vektoren des IR definiert. Für Vektoren des IR git es kein Vektorprodukt. Ds Vektorprodukt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Ds Sklrprodukt zweier Vektoren liefert eine Zhl (Sklr). Zur Berehnung des Vektorprodukts hilft zum Glük die Formelsmmlung oder uh folgendes Shem: W. Strk; Beruflihe Oershule Freising 1

2 Aufgen: 1. Berehne 1 ) ) ) d) 1. Gegeen sind die Vektoren ) Berehne ) Stelle geometrish. und 1 1 ; ; 1 1 und vergleihe. ls Linerkomintion von, und dr. Deute dies 9. Rehengesetze für ds Vektorprodukt Für lle Vektoren,, IR und IR gilt: Alterntivgesetz Verträglihkeit S-Multipliktion Distriutivgesetz 0, sind liner hängig 0, sind liner unhängig,, sind liner unhängig W. Strk; Beruflihe Oershule Freising

3 9. Der Normlenvektor Der Vektor n stehe uf und senkreht, lso insesondere uh uf die Eene, die von den Vektoren und ufgespnnt wird. Den Vektor n nennt mn Normlenvektor, er ist is uf ein Vielfhes eindeutig festgelegt. (Anwendung: Geometrie; Physik; E-Tehnik; Mshinenu; Buingenieur) Definition: Den Normlenvektor n zu den Vektoren und erhält mn durh ds Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von und. Es gilt: 1 1 n Es gilt lso: n 0 und n 0 Die Rihtung des Normlenvektors n lässt sih mit der Rehten-Hnd-Regel estimmen: Zeigt der Dumen der rehten Hnd in die Rihtung des Vektors, der Zeigefinger in Rihtung des Vektors, dnn zeigt der (rehtwinklig) gespreizte Mittelfinger in die Rihtung des Normlenvektors n. Der Normlenvektor steht dei uf der von und ufgespnnten Eene senkreht. Die Vektoren,, ilden somit in dieser Reihenfolge ein Rehtssystem. Beispiel 1: Ein Mgnetfeld mit der Flussdihte B üt uf ein mit der Geshwindigkeit v ewegtes Teilhen, ds die Ldung Q trägt die (Lorentz-) Krft F L us. F Q v B Beispiel : Eine Krft F die uf den Krftrm r wirkt üt ein Drehmoment M us. M r F L W. Strk; Beruflihe Oershule Freising

4 9.4 Flähenerehnung Es stellt sih die Frge, ws die Länge des Vektorprodukts ngit? Dmit keine Wurzeln uftreten erehnen wir Trik! os os 1 os sin sin lso: sin sin os os h sin sin h F Prllelogrmm Der Fläheninhlt des von und ufgespnnten Prllelogrmms ergit sih us der Länge des Vektorprodukts von und. FP sin W. Strk; Beruflihe Oershule Freising 4

5 Für den Fläheninhlt des von den Vektoren und ufgespnnten Dreieks ABC gilt dnn: 1 F ABC Aufgen:. Berehne die Flähe des Prllelogrmms ABCD Zustz: Berehne uh den Umfng, die Innenwinkel und die Koordinten des Punktes D des Prllelogrmms! A 0 0 0, B 1 0, C ) ) A1 0 1, B1, C5 4. Berehne die Flähe des Dreieks ABC Zustz: Berehne uh den Umfng und die Innenwinkel des Dreieks! A, B 0 0 0, C 0 ) ) A 1, B5 1, C Bestimme die Länge der Höhe h im Dreiek ABC mit A 5 6, B 7 0 9, C Ein Dreiek ABC wird von den Vektoren und ) Berehne sämtlihe Innenwinkel. ) Berehne die Flähe des Dreieks ABC. ) Berehne die Höhen h, h und h. 7. Gegeen sind die Vektoren und 5 1 ufgespnnt. ) Berehne IR so, dss ds von den Vektoren und ufgespnnte Dreiek gleihshenklig ist. ) Berehnen Sie für 7 einen Vektor, der den Winkel zwishen und hliert. ) Berehnen Sie die Höhe h. d) Berehnen Sie den Vektor h. W. Strk; Beruflihe Oershule Freising 5

6 9.5 Volumenerehnung Shert mn ein gerdes Prism prllel zur Grundflähe, dnn leien Grundflähe und Höhe gleih. Nh CAVALIERI ist dnn uh ds Volumen gleih V G h h Es gilt: G h os h os VSpt G h Wird ein Spt durh die Vektoren, und ufgespnnt, so gilt für sein Volumen: Spt V det,, Für ds Volumen einer dreiseitigen Pyrmide (reguläres Tetreders), ds von den Vektoren, und ufgespnnt wird, gilt: V det,, 1 1 seitige Pyrmide 6 6 W. Strk; Beruflihe Oershule Freising 6

7 Für ds Volumen einer vierseitigen Pyrmide, ds von den Vektoren, und ufgespnnt wird gilt: V det,, seitige Pyrmide Aufgen: 8. Berehne ds Volumen V des von u, v und w ufgespnnten Prisms: 4 ) u 0, v 5, w ) u, v 5, w Berehne ds Volumen V der dreiseitigen Pyrmide ABCS ) A1 1 1, B1 4 4, C4 1 4, S4 4 1 ) A1 1 1, B0 0, C0 0, S 0 0 ) A0 0 0, B1, C4 5 6, S Berehne ds Volumen der (vierseitigen) Pyrmide ABCDS mit A1 1 5, B5 1 5, C 5 5, D0 5, Spitze S4 1 1 W. Strk; Beruflihe Oershule Freising 7