Download VORSCHAU. Trigonometrie an Stationen. Übungsmaterial zu den Bildungsstandards. Marco Bettner, Erik Dinges.

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1 Downlod Mro Bettner, Erik Dinges Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Downloduszug us dem Originltitel:

2 Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Dieser Downlod ist ein Auszug us dem Originltitel Mthe n Sttionen Üer diesen Link gelngen Sie zur entsprehenden Produktseite im We.

3 Sttion 1 Ktheten und Hypotenuse fären Aufge (R) Färe vom jeweils eingezeihneten Winkel ) die Gegenkthete grün. ) die Ankthete rot. ) die Hypotenuse lu. / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

4 / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 Aufge (R) ) Berehne die ngegeenen Seitenverhältnisse. Behte: 12 Winkel der 4 Dreieke sind gleih groß. ' ' '' ' ''' ''' '' Verhältnis / / / '/' '/' '/' ''/'' ''/'' ''/'' '''/''' '''/''' '''/''' Ergenis ) Ws fällt Dir ei den Ergenissen uf? '' ''' Längenverhältnisse erehnen Sttion 2

5 Sttion 3 Verhältnisse ngeen Aufge (R) Gi die entsprehende Verhältnisse n. ) sin = ) os = ) tn = d) sin = e) os = f) tn = g) sin d = h) os d = i) tn d = j) sin «= k) os «= l) tn «= m) sin f = n) os f = o) tn f = p) sin l = q) os l = r) tn l = φ e d f λ δ y z x ε Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

6 Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 Aufge (R) Erstelle für Sinus, Kosinus und Tngens je einen Stekrief. Zeihne dzu ein rehtwinkliges Dreiek und eshrifte es. Notiere die entsprehende Formeln für Sinus, Kosinus und Tngens. Sinus m Kosinus m Tngens m Stekriefe Sttion 4

7 Sttion 5 Werte mit der trigonometrishen Sheie lesen Aufge (Z/V) Um einen Sinus- oder Kosinuswert eines Winkels zulesen, gehst du wie folgt vor: Stelle einen entsprehenden Winkel ein. Die x-koordinte des Punktes ist der Kosinuswert des Winkels. Die y-koordinte des Punktes ist der Sinuswert des Winkels. Stelle folgende Winkel ein, lies die Sinus- und Kosinuswerte und notiere in der Telle. Winkel Sinus Kosinus Begründe die Funktionsweise der trigonometrishen Sheie. Anders gefrgt: Wrum ist die x-koordinte des Punktes der Kosinuswert des Winkels und die y-koordinte der Sinuswert des Winkels? Tipp: Denke n den Rdius des Kreises und n die Sklierung der Ahsen. Zeihne eventuell ein geeignetes rehtwinkliges Dreiek ein. / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

8 Sttion 5 Eine trigonometrishe Sheie steln Aufge Um eine trigonometrishe Sheie zu steln, gehst du wie folgt vor: / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 Zeihne eine Koordintenkreuz uf Millimeterppier. Sklierung: siehe Aildung. 1 m in Wirklihkeit sind 1 mm uf der x- und y-ahse. Skliere eide Ahsen von 0,1 is 1. Zeihne eine Winkelskl uf ds Millimeterppier (siehe Aildung). Zeihne uf trnsprenter Folie einen Kreis mit r = 10 m. Zeihne in dem Kreis eine Rdiusstreke ein (siehe Aildung). Befestige die Folie m Koordintenursprung mithilfe eines Drukknopfes, sodss die Folie drehr wird.

9 Sttion 6 Seitenlängen im Dreiek erehnen Aufge (R) Berehne die fehlenden Längen in den Dreieken und runde die Ergenisse uf zwei Stellen nh dem Komm. Trge die Lösungen n die jeweilige Stelle im Kreuzzhlrätsel ein. Behte: Jedes Komm steht in einem eigenen Kästhen. ) ) ) 50 7 m d) = 6 m; = 55 e) = 2,4 dm; = 30 f) = 10 m; = 70 ) e) 8 m ) 40 f) f) ) ) ) d) ) d) e) 22 m 70 / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

10 Sttion 7 Winkel und Seitenlängen im Dreiek erehnen / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 Aufge (R) Berehne die fehlenden Längen und Winkel in den Dreieken und runde die Ergenisse uf zwei Stellen nh dem Komm. Suhe die Ergenisse unten und verinde zu einem pssenden Bild. Die einzelnen Längen zw. Winkel sind durhnummeriert, sodss du weißt, welhe Zhl jeder Teilufge du zuerst suhen musst. ) ) ) (1) (3) 16 m 10 m (2) 30 m (1) d) = 7 m; = 10 m; g = 90 ; gesuht:,, e) = 9 m; = 12 m; g = 90 ; gesuht:,, f) = 74 m; = 70 m; g = 90 ; gesuht:,, g) = 20 m; = 40 ; g = 90 ; gesuht:,, 59,04 12,49 30,96 33,56 55,36 34,99 51, , ,21 30,8 99,20 31,11 (3) 44, ,84 18 m 49,20 (2) 100,01 45,57 101,86 7,14 48,59 7,94 43,41 41,41 21, ,59 40 m (3) (2) (1)

11 Sttion 8 Anwendungsufgen Aufge 1 (Z) Wie reit ist der Fluß n der eingezeihneten Stelle? Aufge 2 (Z) ) Wie hoh ist der geildete Sendemst? ) Wie lng sind die eiden Spnnseile? Aufge 3 (Z) Wie viel Grd Steigung ht die Strße? Aufge 4 (Z) x 50 m 12% m Wie groß ist ds durhshnittlihe Gefälle von Cormet de Roselend nh Beufort? 30 m 1968 m Cormet de Roselend SAVOIE m BEAUFORT km 18 km 38 Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

12 Sttion 9 Im Gelände messen Aufge (Z/V) Mit dem Winkelmessgerät knnst du große Gegenstände usmessen und durh Berehnung deren Höhe ermitteln. Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 Miss vershiedene Gegenstände uf dem Shulhof us und estimme deren Größe durh Berehnung. Notiere deine Ergenisse in der Telle. Du ruhst dzu ds Winkelmessgerät und einen Längenmesswerkzeug (z. B. Zollstok). Gegenstnd Gemessene Werte Höhe Shulgeäude Erkläre die Funktionsweise des Winkelmessgerätes.

13 Sttion 9 Winkelmessgerät uen Aufge Bue ein Gerät zum Messen von Winkeln. Gehe folgendermßen vor: Shneide den Kreis us und flte ihn n der Hlkreislinie. Stih eine Ndel durh den Mittelpunkt des Kreises und ziehe einen Fden durh. An ds Ende des Fdens knotest du eine Büroklmmer (siehe Aildung) Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

14 Sttion 10 Gleihshenklige Dreieke Aufge 1 (Z) Betrhte ds gleihshenklige Dreiek. γ Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 ) Notiere die wihtigsten Eigenshften von gleihshenkligen Dreieken. ) Berehne die fehlende Seitenlänge. Die gegeenen Größen sind = 35 und = 6 m. Tipp: Zeihne die Seitenhöhe ein. ) Ermittle die Größen der eiden Winkel und g. Aufge 2 (R) Berehne die gesuhten Größen im gleihshenkligen Dreiek. Behte: ist immer die Bsis des Dreieks. ) = 12 m; = 27 ; gesuht:,,, g ) = 4 m; = 40 ; gesuht:,,, g ) = 7 m; g = 100 ; gesuht:,,, d) = 4 m; = 6 m; gesuht:,,, g Aufge 3 (Z) Wenn die Leiter gnz zugeklppt n einer Wnd steht, ist sie 4 m lng. Die Stehleiter wurde mit dem Öffnungswinkel g = 40 ufgestellt. Wie hoh reiht die Leiter?

15 Sttion 11 Fehler finden Aufge 1 (Z) Evi ht ihre Husufgen erledigt. Leider ht sie sih ei einigen Aufgen verrehnet. Streihe die Fehler n und korrigiere. ) ) ) 24 dm 5 m 6 m 72 8 m 65 sin 72 = 24_ sin = 22,83 = tn = _ 5 8 tn = 0,625 = 32,1 sin 65 = _ 6 sin 65 6 = 5,44 = Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

16 Lernkontrolle Aufge 1 (R) Färe vom ngegeen Winkel die Gegenkthete grün und die Ankthete rot. / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 ) ) Aufge 2 (R) Notiere die entsprehende Verhältnisse. Du sollst niht genu erehnen. ) sin = ) os = ) tn = Aufge 3 (R) Berehne die fehlenden Längen in den Dreieken. ) ) 40 Aufge 4 (R) 7 m Berehne die gesuhten Winkel im Dreiek. ) = 4 m; = 6 m; g = 90 ; gesuht: und ) = 12 m; = 20 m; g = 90 ; gesuht: und Aufge 5 (Z) Berehne die Größen,, g und im gleihshenkligen Dreiek. Aufge 6 (Z) 25 m 68 γ y m Eine Leiter soll nh Siherheitsvorshrift mit einem Winkel von mindestens 15 n eine Wnd ngestellt werden. Wie groß muss der Astnd des Fußes einer 3 m lngen Leiter von der Wnd dher sein? z x 15

17 Sttion 1: Ktheten und Hypotenusen fären Seite 50 Gegenkthete Ankthete Gegenkthete Ankthete Hypotenuse Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 Gegenkthete Hypotenuse Ankthete Ankthete Hypotenuse Hypotenuse Gegenkthete Gegenkthete Gegenkthete Hypotenuse Hypotenuse Ankthete Ankthete Sttion 2: Längenverhältnisse erehnen Seite 51 ) Verhältnis / / / '/' '/' '/' ''/'' ''/'' ''/'' '''/''' '''/''' '''/''' Ergenis 0,48 0,87 0,55 0,48 0,87 0,55 0,48 0,87 0,55 0,48 0,87 0,55 ) Alle Verhältnisse sind gleih. ' ' ' '' '' '' ''' ''' ''' Lösungen: Trigonometrie m

18 Sttion 3: Verhältnisse ngeen Seite 52 ) sin = _ ) os = _ ) tn = _ d) sin = _ e) os = _ f) tn = _ g) sin d = x_ z h) os d = _ y z i) tn d = x_ y j) sin «= _ y z k) os «= x_ z l) tn «= _ y x m) sin f = d_ f n) os f = e_ f o) tn f = d_ e Lösungen: Trigonometrie m p) sin l = e_ f A A C C q) os l = d_ f B B r) tn l = e_ d Sttion 4: Stekriefe Seite 53 A C B sin = Gegenkthete = _ Hypotenuse sin = Gegenkthete = _ Hypotenuse os = Ankthete Hypotenuse = _ os = Ankthete Hypotenuse = _ tn = Gegenkthete = _ Ankthete tn = Gegenkthete = _ Ankthete Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

19 Sttion 5: Werte mit der trigonometrishen Sheie lesen Seite 54 Winkel Sinus 0,64 0,94 0,37 0,57 1 Kosinus 0,77 0,34 0,93 0,82 0 Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10 Begründung: Shut mn sih den Rdius und die Sklierung n, stellt mn fest, dss der Rdius des Kreises 1 eträgt. 1 m in Wirklihkeit entsprehen 0,1 m uf dem Bltt. Also entsprehen 100 m in Wirklihkeit 10 m uf dem Bltt (= Rdius). Der Sinus ist definiert üer Gegenkthete. D die Hypotenuse 1 groß ist, ergit Gegenkthete = Gegenkthete, lso die Länge der y-koordinte des entsprehenden Hypotenuse Hypotenuse Punktes. Der Kosinus ist definiert üer Ankthete Ankthete. D die Hypotenuse 1 groß ist, ergit Hypotenuse Hypotenuse = Ankthete, lso die Länge der x-koordinte des entsprehenden Punktes. Bedingt durh den gewählten Rdius knn mn den sin-wert direkt n der y-ahse zw. den os- Wert direkt n der x-ahse lesen. Sttion 6: Seitenlängen im Dreiek erehnen Seite 56 ) = 9,14 m; = 5,87 m ) = 12,45 m; = 9,53 m ) = 20,67 m; = 7,52 m d) = 7,32 m; = 4,20 m e) = 2,77 m; = 1,39 m f) = 9,40 m; = 3,42 m e) 1, ) 3 2 f) 9, 4 0 f), e) 3 ) ) 6 2, ) 9, 1 4 7, 4, 2 d) 7, 3 2 5, ) ) 5, 8 7, 5 d) 4, 2 0 Lösungen: Trigonometrie m

20 Sttion 7: Winkel und Seitenlängen im Dreiek erehnen Seite 57 ) = 38,68 ; = 51,32 ; = 12,49 m ) = 30,96 ; = 59,04 ; = 34,99 m ) = 33,56 m; = 50 ; = 52,21 m d) = 44,43 ; = 45,57 ; = 7,14 m e) = 7,94 m; = 41,41 ; = 48,59 f) = 46,59 ; = 43,41 ; = 101,86 m g) = 23,83 m; = 31,11 m; = 50 Lösungen: Trigonometrie m 59,04 30,96 12,49 33,56 34,99 51,32 38,68 1. tn 35 = x_ m. Der Fluss ist 35 m reit ,21 31,11 Sttion 8: Anwendungsufgen Seite 58 44,43 2. ) tn 70 = x_ ; x = 82,42 m; 82,42 m + 20 m = 102,42 m. 30 Der Sendemst ist 102,42 m hoh. ) sin 50 = _ 82,42 y ; y = 107,59 m os 70 = _ 30 z ; z = 87,71 m 23,83 Die eiden Seile sind 195,3 m lng (87,71 m + 107,59 m). 3. tn = _ 12 = 0,12; r tn = 6, Die Strße ht 6,84 Steigung. 4. tn = _ = 0,059 = 5,9 %; r tn = 3,38 Ds durhshnittlihe Gefälle eträgt 3,38 (5,9 %). Funktionsweise des Winkelmessgerätes: Die Büroklmmer zeigt durh die Erdnziehungskrft immer uf den Erdmittelpunkt und steht dher senkreht zum Boden. Der m Messgerät ngezeigte Winkel entspriht dher immer dem Winkel im Dreiek. 45,57 101,86 Sttion 9: Im Gelände messen Seite 59 7,14 48,59 7,94 43,41 41,41 46,59 Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10

21 Sttion 10: Gleihshenklige Dreieke Seite ) Die eiden Shenkel ( und ) sind gleih lng. Die eiden Bsiswinkel und (Winkel n der Bsis ) sind gleih groß. _ ) os 35 = 2_ ; = 9,83 m 6 = 6 m; = 9,83 m ) = (weil Bsiswinkel) = 35 ; g = = 110 Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse ) = = 27 ; g = = 126 ; = = 12 m; os 27 = 2_ ; = 21,38 m 12 ) = = 40 ; g = = 100 ; = = 4 m; os 40 = 2_ ; = 6,13 m 4 ( ) ) = = 2 = 40 ; os 40 = _ 3,5 ; = 4,57 m = ; = = 12 m; os 27 = 2_ ; = 21,38 m 12 d) os = 3_ = 0,75; r os = 41,41 = ; 4 g = ,41 = 97,18 ; = = 4 m _ 3. os 20 = h_ ; h = 3,76 m. Die Leiter reiht 3,76 m hoh. 4 ) flsh Sttion 11: Fehler finden Seite dm sin 72 = sin 72 24dm = sin 72 = 24 dm 22,83 dm = 24 dm = = 25,24 dm sin 72 ) korrekt ) flsh tn = 5 m 8 m tn = _ 8 m 5 m tn = 0,625 tn = 1,6 = 32,1 = 57,99 Lösungen: Trigonometrie m

22 Lernkontrolle: Trigonometrie im Seite ) ) Ankthete Gegenkthete Gegenkthete Ankthete Lösungen: Trigonometrie m 2. ) sin = x_ z ) os = y _ z ) tn = x_ y 3. ) tn 40 = 7_ ; = 8,34 m; sin 40 = 7_ ; = 10,89 m ) sin 28 = _ 25 ; = 11,74 m; os 28 = _ ; = 22,07 m ) tn = 4_ 6 = 2_ ; r tn = 33,69 = ; = ,69 = 56,31 3 ) sin = _ 12 ; r sin = = 36,87 ; = ,87 = 53, _ = = 68 ; g = = 44 ; = = 10 m; os 68 = 2_ ; = 7,49 m sin 15 = x_ 3 ; x = 0,78 m Der Astnd muss mindestens 0,78 m groß sein. y z x Bettner / Dinges: Mthe n Sttionen. Klsse 10