Konstruktion mit Zirkel und Lineal

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1 Alert Ludigs Universität Freiurg Institut für Mthemtik Ateilung für Reine Mthemtik Prof Dr D Wolke Dipl Mth S Feiler Üungen ur Vorlesung Ergänungen ur Elementren Zhlentheorie Wintersemester 9/ 9 Üungsltt Musterlösung 6 Deemer 9 Konstruktion mit Zirkel und Linel Die Menge {t + ( t) C t R} heißt Gerde in C durh C und C\{} und die Menge { C = r} heißt Kreis in C um C mit dem Rdius r R + {} Ist G eine Menge von Gerden in C und K eine Menge von Kreisen in C, so sei f (G, K) die Menge der Zhlen in C, die durh den Shnittpunkt eier Gerden us G, einen Shnittpunkt eier Kreise us K oder einen Shnittpunkt einer Gerden us G und eines Kreis us K definiert sind Außerdem ird mit (g, h) für g G und h G der kleinste niht negtive Winkel eeihnet, um den g mthemtish positiv gedreht erden muss, um prllel u h u sein Sei M C Seien G M, die Menge ller Gerden, die durh ei Punkte us M lufen und K M, die Menge ller Kreise um einen Punkt us M mit einem Rdius, der der Länge des Astnds eines Punktes us M um Mittelpunkt des Kreises entspriht Für lle n N seien nun M n := f (G M,n, K M,n ), G M,n die Menge ller Gerden, die durh ei Punkte us M n lufen und K M,n die Menge ller Kreise um einen Punkt us M n mit einem Rdius, der der Länge des Astnds eines Punktes us M n um Mittelpunkt des Kreises entspriht Seien A M := M M n, GA M := G M,n und KA M := K M,n n= n= A M heißt Menge der us M konstruierren Zhlen n= Aufge 67 (Fliegender Zirkel und Prllelen) Sei M C derrt, dss es ein A M und ein A M \ {} git ) Zeigen Sie, dss für A M und A M \ {} uh die dritte Spite eines gleihseitigen Dreieks, dessen eine Seite die Streke von nh ist, in A M liegt! ) Zeigen Sie unter Verendung von Aufgenteil ), dss für s A M, A M und A M der Kreis um s mit dem Rdius in KA M liegt! Tipp: Verenden Sie ein gleihseitiges Dreiek mit den Eken s und! ) Zeigen Sie, dss für A M und g GA M uh die Senkrehte u g durh in GA M liegt! Folgern Sie hierus, dss uh die Prllele u g durh in GA M liegt!

2 Lösung: ) Seien A M und A M \ {} Der Kreis um mit Rdius ist in KA M Außerdem ist der Kreis um mit Rdius in KA M Die Shnittpunkte der eiden Kreise sind die gesuhten Spiten der gleihseitigen Dreieke ) Seien s A M, A M und A M Ist =, so ist = und der Kreis vom Rdius um s liegt in KA M Ist s {, }, so ist der Kreis um s mit Rdius trivilereise in KA M Seien nun lso und s vorusgesett s Nh Aufgenteil ) ist die Spite C eines gleihseitigen Dreieks mit den Eken und s in A M Der Kreis um mit Rdius ist in KA M Die Gerde durh und ist in GA M Der eiter von entfernte Shnittpunkt des Kreises mit der Gerden C ist dmit in A M Der Kreis um mit Rdius ist in KA M und die Gerde durh und s ist in GA M Dmit ist deren näher ei s gelegener Shnittpunkt C ist in A M Zuguterlett ist der Kreis um s mit dem Rdius s in KA M Wegen s = s + s = = = = folgt die Behuptung

3 ) Seien A M und g GA M g h g g h h Es git ein (g A M ) \ {}, d g GA M und dmit eine Gerde durh ei Punkte us A M ist Der Kreis um mit dem Rdius ist in KA M und shneidet g Git es nur einen Shnittpunkt, so ist ds und die Gerde durh und steht senkreht uf g, d g eine Tngente n den Kreis ist Git es ei Shnittpunkte, so sei C \ {} der eite Shnittpunkt Die Kreise um und mit den Rdien liegen in KA M und shneiden sih in C \ {} Die Gerde h durh und ist in GA M und steht senkreht uf g Will mn die Prllele u g durh konstruieren, so muss mn lediglih die Senkrehte u h durh genu ie im ngegeenen Verfhren konstruieren Aufge 68 (A M R ist ein Unterkörper von R und A M ist ein Unterkörper von C) ) Zeigen Sie, dss mit A M und A M uh A M und + A M sind, enn A M und M C sind! ) Zeigen Sie, dss für M C, g GA M, h GA M, g GA M und h GA M ein k GA M, ein k GA M und ein k 3 GA M mit (g, k ) = (g, h ), (g, k ) = π (g, h ) (flls (g, h ) ist) { (g, h ) + (g, h ), flls (g, h ) + (g, h ) < π ist und (g, k 3 ) = (g, h ) + (g, h ) π, flls (g, h ) + (g, h ) π ist existieren, enn es ein A M und ein A M \ {} git! Bemerkung: Ds heißt, Winkel können hliert, gespiegelt und ddiert erden ) Zeigen Sie für M C, x R, y R und R \ {} dss xy A M und A M sind, enn {; ; x; y; } A M gilt! 3

4 Lösung: ) Seien A M und A M Wegen A M ist die Gerde durh und in GA M Außerdem ist der Kreis um mit Rdius in KA M Die Shnittpunkte von Gerde und Kreis sind gerde und + Wegen A M und Aufge 67 ) ist der Kreis um mit Rdius in KA M Außerdem ist der Kreis um mit Rdius in KA M Ein Shnittpunkt der eiden Kreise ist gerde + ) Seien g GA M, h GA M, g GA M und h GA M Hlieren: Ist g prllel u h, so sei k die Senkrehte uf g durh einen der g definierenden Punkte Nh Aufge 67 ) liegt diese in GA M g shneide nun lso h h d k g Sei C der Shnittpunkt von g und h Es git ein A M \{} und der Kreis um mit Rdius ist in KA M Ein Shnittpunkt des Kreises mit g sei, der in mthemtish positiver Rihtung näherliegende Shnittpunkt des Kreises mit h sei Die Kreise um mit Rdius und um mit Rdius sind in KA M und shneiden sih in und in d C \ {} Sei k die Gerde durh und d Spiegeln: Sei nun g niht prllel u h g d h k Sei C der Shnittpunkt von g und h Es git ein A M \ {} und der Kreis um mit Rdius ist in KA M Der Kreis und h shneiden sih in C Der Kreis um mit Rdius ist in KA M und shneidet g in und in C \ {} Der Kreis um mit Rdius ist in KA M und shneidet den Kreis um mit Rdius in und in d C \ {} Sei k die Gerde durh und d 4

5 Addieren: Sind g und h prllel, so sei k 3 := h Seien nun lso g und h niht prllel h g s k 3 g h Sei C ein Shnittpunkt von g und h Sei s C der Shnittpunkt von g und h Es git ein g A M mit s, d g eine Gerde durh ei vershiedene Punkte us A M ist Der Kreis um s mit Rdius s ist in KA M Sei C derjenige Shnittpunkt dieses Kreises mit h, der in mthemtish positiver Rihtung näher n liegt Nh Aufgenteil 67 ) ist der Kreis um mit Rdius s in KA M Er shneidet h in C Nh Aufgenteil 67 ) ist der Kreis um mit Rdius in KA M Sei C derjenige Shnittpunkt dieses Kreises mit dem Kreis um mit Rdius s, der in mthemtish positiver Rihtung näher n liegt Sei k 3 die Gerde durh und ) Seien x R, y R und R \ {} Es gelte {; ; x; y; } A M Produkt: Ist {x; y} {; }, so ist xy A M egen {; x; y} A M Es gelte lso x und y xy y x Die Kreise um und um mit den Rdien sind in KA M und shneiden sih in C Die Gerde durh und ist in GA M und der Kreis um mit dem Rdius y ist in KA M Ein Shnittpunkt der eiden sei C Die Gerde durh und x ist in GA M Nh Aufgenteil 67 ) ist die Prllele durh ur Gerden durh und x eenflls in GA M Die Gerde durh und ist in GA M und shneidet diese Prllele in C Der Kreis um mit Rdius ist in KA M und shneidet die Gerde durh und in xy und xy Beeis des letten Stes: Nh dem Strhlenst gilt x = Nun sind x = x, = = = und = y = y Ds liefert = x x = x = x y = xy = xy

6 Quotient: Ist =, so ist = A M Sei von nun n lso Die Kreise um und um mit den Rdien sind in KA M und shneiden sih in C Die Gerde durh und ist in GA M und der Kreis um mit dem Rdius ist in KA M Ein Shnittpunkt der eiden sei C Die Gerde durh und ist in GA M Nh Aufgenteil 67 ) ist die Prllele durh ur Gerden durh und eenflls in GA M Die Gerde durh und ist in GA M und shneidet diese Prllele in C Der Kreis um mit Rdius ist in KA M und shneidet die Gerde durh und in und Beeis des letten Stes: Nh dem Strhlenst gilt = Nun sind = = = und = = Ds liefert = = = = = Aufge 69 (Konstruktion der Wurel einer niht negtiven reellen Zhl) Seien M C mit A M und A M Zeigen Sie, dss x A M ist, enn x A M R mit x ist! Lösung: Sei x A M R mit x Ist x {; }, so ist x = x A M Es gelte nun lso x x+ x x + v h u x x+ x x + D A M nh Aufge 68 ein Körper ist, sind egen A M und x A M uh = + A M und x + A M Wiederum mit der Körpereigenshft folgt x+ A M (Die Konstruktion ist in hler Größe links nohmls drgestellt) 6

7 Die Gerde durh und ist in GA M Der Kreis um x+ mit Rdius x+ ist in K A M Die Sekrehte durh ur Gerden durh und ist nh Aufgenteil 67 ) in GA M Die Senkrehte shneidet den Kreis in C Der Kreis um mit dem Rdius ist nh Aufgenteil 67 ) in KA M und shneidet die Gerde durh und in x und x Beeis des letten Stes: Seien u := =, v := x + und h := Nh dem St des Thles ist ds Dreiek mit den Eken, und x + rehtinklig Außerdem sind die Dreieke mit den Eken, und, x + und rehtinklig Nh dem St des Pythgors folgen + x + = x +, + = und + x + = x + Mit x + = x + = x +, x + = x = x und = = folgt lso u + v = (x + ), + h = u und h + x = v Sett mn die hinteren eiden Gleihungen in die erste Gleihung ein und multipliiert die Klmmer us, so erhält mn Dmit folgt + h + h + x = x + x + h = x x = h = h = Zustufge (Konstruktion eines regelmäßigen Fünfeks) Seien M C derrt, dss GA M ist, und (, ) T A M mit Zeigen Sie, dss p q mit p und q ie folgt die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfeks mit Umkreisrdius ist! Die Gerde durh und ist in GA M Der Kreis um mit Rdius ist in KA M p Die Senkrehte durh uf die Gerde durh und ist in GA M Sei p C der Shnittpunkt der Senkrehten mit dem Kreis Der Kreis um mit Rdius ist in KA M q und shneidet den Kreis um mit Rdius in den Punkten C und C \ {} Deshl ist die Gerde durh und in GA M und shneidet die Gerde durh und in C Der Kreis um mit dem Rdius p ist in KA M Sei q C der Shnittpunkt dieses Kreises mit der Gerden durh und Tipp: Um die Länge der Seite eines regelmäßigen Fünfeks in Ahängigkeit des Umkreisrdius des Fünfeks u erehnen, etrhtet mn die Gleihung = ζ + ζ ζ ζ, in der ζ C eine fünfte Einheitsurel ist Dmit knn mn Re (ζ) = ζ + estimmen ζ Re (ζ) ist der Kosinusert des Shnittinkels eier Winkelhlierenden des Fünfeks Mit sin (α) = sin (α) os (α) = sin (α) sin (α) = os α) os α) für lle α R knn mn dnn die Seitenlänge des regelmäßigen Fünfeks estimmen 7

8 Lösung: Für ζ := e i π ist ζ = e πi = und es folgt Dmit ergit sih ζ + ζ + + ζ + ζ = ζ 4 j= ζ j = ζ ζ ζ = ( ζ + ) ( + ζ + ) = ζ + ζ ζ ζ ζ + ζ + ζ + ζ = ζ + ζ + + ζ + ζ = Ferner ist egen ζ ζ = ζ = ζ + ζ = ζ + ζ = ζ ζ + ζ ζ ζ = ζ + ζ = Re (ζ) = os ( ) π Zusmmengesett folgt ( ( ) ) ( ( ) ) π π os os ( ( ) π = os + ( ) ( ( )) ( ) π π = os + os ) ( ( )) ( ( )) ( π π = os + os = ζ + ) ( + ζ + ) ζ ζ = Wegen π π ist os ( ) π und dmit folgt ( ) π os = 4 Dmit ergit sih ) ( sin = sin π ) ( π ) = sin os = sin sin ) ) ) = os ) π os π ) ( ) π = os os ( ) 6 ( + ) = = (3 = = ) ( ) = + 3 = 4 ) 8

9 d In der Konstruktion ist π x (r) r Im neenstehenden Bild ird klr, dss die Seitenlänge x (r) eines regelmäßigen Fünfeks mit einem Umkreisrdius von r R + der folgenden Bedingung genügt: ) sin = x(r) r Mit dem Vorhergehenden folgt x (r) = r p =, = egen = und eil die Gerde durh und senkreht uf der Gerden durh und, uf der liegt, steht, p = p + nh dem St des Pythgors, q = p, q = q und iederum nh dem St des Pythgors p q = q + p Dmit folgt p q = q + p = ( q ) + ( p = ) + ( ) = p + + ( = + ( ) ) + ( = + 4 ) + Mit ( + 4 ) + = ( ) = = 4 folgt die Behuptung 9