Geometrie - Lösungen C E. Bestimmungsaufgaben Aufgabe 1) Geg.: (a) DE AC; (c) FDB = 145 ; Ges.: = ECG; = DEB. (Bezeichnungen siehe Figur)

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1 Geometrie - Lösungen estimmungsufgben ufgbe 1) Geg.: () ; (b) ; () F = 145 ; Ges.: = G; =. (ezeihnungen siehe Figur) F G Lösung: () (1) = = 35 ; [Nebenwinkelstz für F]. (),(1) () = = 35 ; [Stufenwinkelstz]. (b),() (3) = = 35 ; [siswinkelstz für ]. (),(3) (4) G = + = 70 ; [ußenwinkelstz für ]. (4) (5) = G = 110 ; [Nebenwinkelstz für G]. (5),() (6) = = 110 ; [Stufenwinkelstz]. Folglih gilt: G = 70 ; = 110. ufgbe ) Gegebene edingungen: () = (= ); (b) = (= ); () = F (= ). Ges.: = s gelte = (),(b) (1) + + = + + (= 180 ); [Innenwinkelstz für die reieke und ]. (1) () = ; [Umformung]. () (3) F = + = 180 ; [ls gestrekter Winkel]. 1 (3) (4) = 90 - ; [Umformung]. s gilt (5) = + ; [ußenwinkelstz für reiek ]. (),(4),(5) (6) = (90-1 ) + ; [insetzen]. (6) (7) F 3 = 90 + ; [beidseitige ddition von 1 ]. (7) (8) = [beidseitige Subtrktion von 90 ]. Für = 70 folgt us (8), dss = = 15 gilt

2 ufgbe 3) (ie edeutung der verwendeten Symbole entnehme mn der Figur.) Geg.: = 50 ; = 100 ; = 70 ; Ges.:. ie gegebenen edingungen sind ebenflls in der Figur festgehlten. s gilt (1) = ', = ', '; [ls Sheitelwinkel]. s gilt () ' = ' - '; [nh dem Innenwinkelstz]. (1),() (3) = ; [insetzen]. s gilt (4) ' = ; [nh dem Nebenwinkelstz]. s gilt (5) = + '; [nh dem ußenwinkelstz]. (3),(4),(5) (6) = ; [insetzen]. Für die gegebenen Winkelgrößen gilt = = 140. Nh dem Stufenwinkelstz und seiner Umkehrung gilt g 1 g genu dnn, wenn = ' gilt. Wegen ' = (lut Nebenwinkelstz) und wegen (6) ist dies gleihbedeutend mit = ( ) = , lso mit + = 180. ies ist die gesuhte edingung. ufgbe 4) Gegeben: = ; (= 80 bzw. = 40 ). edingungen: () ; (b) ; () = P. Gesuht: =. Für welhes gilt =, d.h. =? (ie edeutung der verwendeten ezeihnungen entnehme mn der Figur.) () (1) = 90 - ; [weil + = 180 ]. () () = ; [siswinkelstz für reiek ]. s gilt (3) = + ; [ußenwinkelstz für reiek ]. (1),(),(3) (4) = = 45 - ; 4 [insetzen; Umformen]. (b) (5) = ; [siswinkelstz für reiek ]. (5),(4) (6) + = 180 ; [Innenwinkelstz für reiek ]. = 90 - = 90 -,5 + (6) = 67,5 + ; [insetzen; Umformen]. 8 ) Für = 80 gilt = 77,5. b) Für = 40 gilt = 7,5. ) = 67,5 + ; 7 = 67,5. 8 Für = 8 67, ,14 gilt =. ' 8 ; ' P ' ' ' - -

3 ufgbe 5) Geg.: () ist Winkelhlbierende im reiek, d.h. ; (b) ; (). Ges.: =. (), (b) (1) = = = ; / / b [weil ; siswinkelstz für reiek ]. () () + = ; [ußenwinkelstz für ]. (1), () (3) = ; [insetzen; Umformen]. () (4) = ; [siswinkelstz für ]. () (5) = ; [Winkelhlbierende]. () (6) + + = 180 ; [Innenwinkelstz für ]. (4), (6) (7) + = 180 ; [insetzen]. (1),(3),(5),(7) (8) + = 180 ; [insetzen, Umformen]. (8) (9) = 36 ; [Umformen]. er Winkel ht die Winkelgröße = 36. ufgbe 6) Nh ufgbenstellung gilt () = ; (b) = ; () = mit uf ; (d) = ; (e). us () und (e) folgt nh dem Wehselwinkelstz =. nh Vorussetzung uf liegt, gilt uh = (1) us (1) und (d) folgt für ds reiek nh dem siswinkelstz =. () us (1) und () folgt für ds reiek nh dem ußenwinkelstz =. (3) us (1) und (3) folgt für ds reiek nh dem ußenwinkelstz =. (4) us (4) und () folgt =. (5) us (4), (5) und (b) folgt dher nh dem siswinkelstz =. (6) us (), (4), (5) und (6) folgt für ds reiek nh dem Innenwinkelstz 5 = 180, lso = 36. ufgbe 7) ezeihne J() den Fläheninhlt des Viereks. Gegebene edingungen: () ist ein Qudrt mit der Seitenlänge s; (b) () GHF, GKL, LKH, F sind Rehteke; J(GHF) = J(GKL) = J(LKH) = J(F); F H L G K

4 Gesuht: u(lkh) = f(s). us () folgt nh der Inhltsformel für Qudrte J() = s². us () folgt, dss ds Qudrt us vier inhltsgleihen Rehteken zusmmengesetzt ist. s² Folglih gilt J(F) = J(GHF) = J(LKH) =. (1) 4 us (b) folgt nh der Inhltsformel für Rehteke J(F) = F. us () folgt = s. us (1) folgt dher 4 s² = s F, lso F = s 4. () F uf liegt gilt F +F =. us () folgt = s. us () folgt dher F + s 4 = s, lso F = 3 s. 4 (3) us (b) folgt nh der Inhltsformel für Rehteke J(GHF) = F HF. s² 3 s us (1) und (3) folgt dher = HF, lso 4 4 s HF = 3. (4) H uf F liegt gilt H + HF = F. us () und (b) folgt F = = s. us (4) folgt dher H + s 3 = s, lso H = s. 3 (5) us (b) folgt nh der Inhltsformel für Rehteke J(HLK) = H K. s² us (1) und (5) folgt dher 4 s = K, lso 3 3 s K =. 8 (6) us (b) folgt nh der Umfngsformel für Rehteke u(lkh) = H + K. s s 6 3 s 3s 18s 50s 5 us (5) und (6) folgt dher u(hlk) = + = s. 3 8s Folglih gilt für den Umfng des Rehteks HLK unter den gestellten edingungen u(lkh) = 5 1 s. eweisufgben ufgbe 8) n diesem eispiel soll gezeigt werden, wie mn einen eweis in Form eines eweisshems drstellen knn. ei dieser rstellungsform knn mn leiht nhprüfen, ob ein eweis exkt und vollständig ist. Wir bezeihnen die Vorussetzungen des Stzes mit, V,... und seine ehuptung mit (). ie us den Vorussetzungen bgeleiteten Feststellungen werden durhnummeriert: (1), (),...., (1) () bedeutet: us Vorussetzung und Feststellung (1) folgt Feststellung (). ine jede solhe Folgerung muss begründet werden, indem mn die hierzu verwendeten Sätze, efinitionen, Formeln, Umformungsregeln usw. ngibt. In der letzten eweiszeile muss die ehuptung bgeleitet werden. Unser zu beweisende Stz ht die Gestlt V () (lies: Wenn und V, dnn ())

5 : w ist die Winkelhlbierende des zur Seite im Punkt gehörenden ußenwinkels von. V : w und. (): =. w F w w F Für die eweisdrstellung ist es günstig, die beiden Punkte und F einzuführen, um die ezeihnungen zu vereinfhen (vgl. Skizze). In der Skizze wurden vershiedenrtige reieke festgehlten; so knn mn sih überzeugen, dss unser eweis unbhängig dvon gilt, ob uf der Streke oder ußerhlb der Streke liegt oder mit zusmmenfällt. eweis: (1) = F; [igenshft der Winkelhlbierenden]. V () = F; [Stufenwinkelstz]. (1), () (3) = ; [rittengleihheit]. V (4) = ; [Wehselwinkelstz]. (3), (4) (5) = ; [rittengleihheit]. (5) () = ; [Umkehrung des siswinkelstzes]. mit ist gezeigt, dss V () gilt, w.z.b.w. ufgbe 9) : ; V : = ; (): =. eweis: (1) = ; [ls Wehselwinkel n geshnittenen Prllelen]. V () = ; [ls siswinkel im gleihshenkligen ]. (1),() () = ; [rittengleihheit]. mit ist gezeigt, dss V () gilt, w.z.b.w

6 ufgbe 10) : V : ist ein Qudrt; M ist der Mittelpunkt von ; N ist der Mittelpunkt von ; () : NM = NM. eweis: (1) = ; [im Qudrt sind lle Seiten gleih lng]. () M = N (= 90 ); [im Qudrt sind lle Winkel gleih groß]. (1), V (3) M = N ; [ef. "Mittelpunkt" gleih lnger Seiten]. (1), (), (3) (4) M N; [Kongruenzstz sws]. (4) (5) M = N ; [entsprehende Seiten in kongruenten reieken]. (5) () NM = NM; [siswinkelstz für reiek MN]. mit ist gezeigt, dss V () gilt, w.z.b.w. ufgbe 11) : K ist der Mittelpunkt der Seite des reieks ; V : M ist der Mittelpunkt der Seite des reieks ; : so, dss der Mittelpunkt S von uf liegt; V 4 : N ist der Mittelpunkt von ; M S K N (): eweis: MN und KS hlbieren einnder., V (1) MK = 1, MK ; [Stz über die Mittellinie im reiek ]., V 4 () SN = 1, SN ; [Stz über die Mittellinie im reiek ]. (1), () (3) MK = SN; [rittengleihheit]. (1), () (4) MK SN; [Trnsitivität der Prllelität]. (3), (4) (5) KNSM ist ein Prllelogrmm; [ls Vierek mit einem Pr gleih lnger und prlleler Gegenseiten]. (5) () MN und KS hlbieren einnder; [Stz über die igonlen im Prllelogrmm]. mit ist gezeigt, dss V () gilt, w.z.b.w

7 ufgbe 1) : S und S sind Seitenhlbierende im reiek und es gilt S S = {S}; V : X ist der Mittelpunkt von S ; : YS so, dss S = 3 YS gilt. (): XYS ist ein Prllelogrmm. X S S S eweis: (1) S = SS ; (1), V () X = XS = SS ; (3) S = S = SS ; 3 Y [igenshft von Seitenhlbierenden]. [Umformung]. [igenshft von Seitenhlbierenden]., (3) (4) S = 3 YS = YS ; 3 [insetzen, Umformen]. (3), (4) (5) SS = YS und SY = S ; [insetzen und Umformen]. (), (5) () XYS ist ein Prllelogrmm; [igenshft von Prllelogrmmen]. ufgbe 13) : M ist der Shnittpunkt der Hlbierenden der ußenwinkel von reiek, die der Seite nliegen; V : ist der Lotfußpunkt von M uf ; ist der Lotfußpunkt von M uf ; F ist der Lotfußpunkt von M uf. (): M = M = MF. eweis: Stets gilt: (1) M = M. () M = M; [efinition "Winkelhlbierende"]. V (3) M = M (= 90 ); [efinition "Lot"]. (1), (), (3) (4) M M; [Kongruenzstz wws]. (4) () M = M ; [entsprehende Seiten in kongruenten reieken]. ss uh M = MF gilt, lässt sih nlog bleiten. mit ist gezeigt, dss V () gilt, w.z.b.w. emerkung: mit ist gleihzeitig gezeigt, dss der Shnittpunkt der Hlbierenden dieser ußenwinkel der Mittelpunkt des zugehörigen nkreises des reieks ist. F M ufgbe 14) m m - 7 -

8 : = ; V : = 10 ; : m = {}, m = {}; (): = =. eweis: (ezeihnungen vgl. Figur) (1) = ; [siswinkel im gleihshenkligen reiek ]. V, (1) () = = 30 ; [Winkelsumme im reiek ; Umformung]., () (3) = 1 = 30 ; [Wenn Pm, dnn P = P]. = = 30 ; [Wenn Qm, dnn Q = Q]. (3) (4) =, = ; [Umkehrung des siswinkelstzes]., (3) (5) ; [Kongruenzstz wsw]. (5) (6) = ; [entsprehende Seiten in kongruenten reieken]. V, (3) (7) = 60 ; [Winkelsubtrktion]. (4), (6), (7) (8) = = ; [Jedes gleihshenklige reiek mit einem 60 - Winkel ist gleihseitig]. (4), (8) () = = ; [rittengleihheit]. mit ist gezeigt, dss V () gilt, w.z.b.w. ufgbe 15) : Im reiek gilt < und = ; V : mit = ; : M ist der Mittelpunkt von ; V 4 : N ist der Mittelpunkt von ; V 5 : MN = {}; (): M = 1. eweis: s gelte ZV: F ußerhlb der Streke mit F =. ZV (1) F = F; [siswinkel im gleihshenkligen reiek]., (1) () F = 1 ; [ußenwinkelstz für F; Umformung]. ZV, V (3) = F ; [rittengleihheit]. (4) M = M; [efinition "Mittelpunkt"]. (3), (4) (5) M = MF ; [Strekenddition; Lge der Punkte,, M,, F]. V 4, (5) (6) MN ist Mittellinie im F; [efinition "Mittellinie"]. (6) (7) MN F ; [Stz über die Mittellinie im F]. V 5, (7) (8) F = M; [Wehselwinkel n geshnittenen Prllelen]. (), (8) () M = 1 ; [rittengleihheit]. 3 F 4 1 M N - 8 -

9 ufgbe 16) : = = im Vierek ; V : m ; : m = {}; S ( 1 ): ist ein Trpez; ( ): ist ein Rhombus (Vermutung). m eweis: jeder Punkt, der uf der Mittelsenkrehten einer Streke liegt, von den ndpunkten dieser Streke den gleihen bstnd ht, folgt us V die Strekengleihheit =. (1) Nh dem siswinkelstz für ds reiek folgt hierus =. Wegen gilt = =, lso folgt nh dem Prinzip der rittengleihheit = =. die Winkel und Wehselwinkel n den geshnittenen Gerden und sind, gilt nh der Umkehrung des Wehselwinkelstzes. Hierus folgt nh efinition: s Vierek ist ein Trpez. ( 1 ) Wir bezeihnen den Shnittpunkt der Streken und mit S. Folglih liegt der Punkt S uf der Streke und dher gilt = S =. () us folgt, dss uf der Gerden liegt, und d S uf liegt folgt = = S =. (3) us, () und (3) folgt nh dem Prinzip der rittengleihheit S = S (< 90 ). (4) us folgt nh efinition der Mittelsenkrehten S = S (= 90 ). (5) Stets gilt S = S. (6) us (4), (5) und (6) folgt nh dem Kongruenzstz wsw S S. (7) und entsprehende Seiten in kongruenten reieken sind, folgt us (7) =. (8) us folgt, dss ein Punkt uf der Mittelsenkrehten von ist, folglih gilt =. (9) us (1), (8) und (9) folgt, dss im Vierek lle Seiten gleih lng sind. Hierus folgt nh efinition: s Vierek ist ein Rhombus. ( ) ufgbe 17) Nh Vorussetzung gilt : ist ein urhmesser des Kreises k(m;r); V : mit uf k(m;r) und uf k(m;r). Ferner gelte ZV: =. M () ie Gerde geht durh M

10 eweis: us folgt, dss der Mittelpunkt M des Kreises uf der Streke liegt. Hierus und us ZV folgt M = und M =. (1) us (1) und V folgt nh dem Wehselwinkelstz M = M =. () us und V folgt, dss M und M Rdien des Kreises sind, lso gilt M = M. Nh dem siswinkelstz für ds reiek M und wegen (1) folgt hierus M = M =. Nh dem ußenwinkelstz für ds reiek M folgt hierus M =. (3) us und V folgt, dss M und M Rdien des Kreises sind, lso gilt M = M. Nh dem siswinkelstz für ds reiek M und wegen (1) und () folgt hierus M = M =. Nh dem Innenwinkelstz für ds reiek M folgt hierus M = (4) Wegen M = M + M folgt us (4) und (3) durh insetzen M = (180 - ) + = 180, lso M = 180. ein gestrekter Winkel vorliegt, liegen die Punkte, M und uf einer Gerden. Hierus folgt, dss unter den gegebenen Vorussetzungen die Gerde stets durh den Mittelpunkt M des Kreises geht, w.z.b.w. Konstruktionsufgben ufgbe 18) Ges.: reieke ; Gegebene edingungen: () = b = 5 m; (b) H = h = 4 m; () S = s b = 6 m; b S h sb (d) H ist eine Höhe im ; (e) S ist eine Seitenhlbierende im. H g Teil ) Konstruktionsbeshreibung (in Kurzform): (1) H = h (usführlih: Zeihne eine Streke H mit der Länge h ); (eindeutig usführbr). () Senkrehte g zu H durh H; (eindeutig usführbr). (3) k(; b) g = { 1 ; }; für b = 5 m entstehen zwei Shnittpunkte. (4) Mittelpunkt S 1 von ; 1 Mittelpunkt S von ; (eindeutig usführbr). (5) k(s 1 ; s b ) g = { 1 ; 1 }; k(s ; s b ) g = { ; 11 }; für s b = 6 m entstehen jeweils Shnittpunkte. 1 1 und sind (nihtkongruente) Lösungen der ufgbe. (s gilt 1 1 und )

11 Teil b) Konstruktionszeihnung: S1 S ufgbe 19) Ges.: reieke ; Gegebene edingungen: () = = 6 m; (b) () (d) (e) H = h = 4 m; S = s = 4,5 m; H ist eine Höhe im reiek ; S ist eine Seitenhlbierende im reiek. Teil ) Konstruktionsbeshreibung (Kurzform): (1) H = h = 4 m (Konstruiere eine Streke H mit der Länge h ); (eindeutig konstruierbr). () Senkrehte g uf H durh H ; (eindeutig konstruierbr). (3) k(; s ) g = {S, S 1 }; (Konstruiere die Shnittpunkte dieses Kreises mit der Gerden g); (wegen s > h gibt es genu Shnittpunkte). (4) k(s ; ) g = {, }, k(s ; )g = {, }; (eindeutig konstruierbr) ie reieke und 1 1 sind symmetrish bezüglih der Symmetriehse H und dher zueinnder kongruent. Folglih ist ds reiek die einzige Lösung der ufgbe. Teil b) Konstruktionszeihnung: H 1 h s H S Teil ) (1) (b) H = h = 4 m. (3) () S = s = 4,5 m; (ls Rdius eines Kreises mit der Länge s ). (4) () = = 6 m; (ls urhmesser eines Kreises mit dem Rdius ). (1), () (d) H ist Höhe im reiek ; (weil H und H ). (3), (4) (e) S ist Seitenhlbierende im reiek ; (weil S der Mittelpunkt von ist). mit ist bewiesen: Wenn ein reiek mit Hilfe der Konstruktionsshritte (1) bis (4) konstruiert wird, dnn erfüllt es die gestellten edingungen () bis (e). 1 S H S1 1 g

12 ufgbe 0) Ges: Viereke ; Gegebene edingungen: () = = 8 m; (b) = = 3 m; () (d) (e) = e = 7 m; = f = 6 m; ist ein Trpez mit. Teil ) Konstruktionsbeshreibung (in Kurzform): (1) us = +, = e, = f; (eindeutig konstruierbr, weil bei den gegebenen ten + < e + f, e < + + f und f < e + + gilt). () Gerde g mit g und g; (stets eindeutig konstruierbr). (3) mit g, = und uf derselben Seite von wie ; (stets eindeutig konstruierbr). (4) Gerde h mit h und h; (stets eindeutig konstruierbr). (5) h = {}; (eindeutig konstruierbr, weil h niht prllel zu ). lle Konstruktionsshritte eindeutig usführbr sind, ht die ufgbe genu eine Lösung. Teil b) Wenn es ein Vierek gibt, ds die gestellten edingungen erfüllt, dnn gilt: us () und (b) folgt, dss es genu einen Punkt uf dem Strhl mit = + gibt, für den = gilt. us (e) folgt dnn, wegen (b) lso = = ; hierus folgt dnn ist ein Prllelogrmm (#) (ls Vierek mit einem Pr gleih lnger und prlleler Gegenseiten). Hierus folgt und =, wegen (d) lso = f. Zusmmen mit () folgt dher, dss ds reiek us = +, = f und = e eindeutig konstruiert werden knn (flls die reieksungleihungen erfüllt sind). mit ist der Konstruktionsshritt (1) hergeleitet. us (#) folgt, dss uf der Prllelen g zu durh liegt [Shritt ()]. us (b) und (#) folgt, dss = gilt, wobei uf derselben Seite von liegt wie [Shritt (3)]. us (#) folgt, dss uf der Prllelen h zu durh und uf der Gerden liegt [Shritt (4) und (5)]. rus folgt: Wenn ein Vierek die edingungen () bis (e) erfüllt, dnn lässt es sih wie in (1) bis (5) beshrieben konstruieren. h e f g f ufgbe 1) Ges.: Viereke ; Gegebene edingungen: () ist ein rhenvierek (mit der Symmetriehse ); (b) = f = 7 m; () + = s = 10 m; (d) = = 60. f s F w - 1 -

13 Teil ) Konstruktionsbeshreibung (Kurzform): (1) reiek us = s, = f, = 1. () Mittelsenkrehte m ; m = {}. (3) F so uf derselben Seite von wie, dss F =. (4) k(; )F = {}. lle Konstruktionsshritte sind (für die gegebenen Größen f, s, ) eindeutig usführbr. s so konstruierte Vierek ist die einzige Lösung der ufgbe. Teil b) Wenn ein Vierek die gegebenen edingungen erfüllt, dnn gilt: us () folgt, dss es genu einen Punkt uf dem Strhl gibt, so dss = s = + gilt. us () folgt, dss eine Symmetriehse von ist, us (d) folgt dher = 1 = 1. Wegen (b) gilt = f. Folglih ist ds reiek nh Kongruenzstz sws eindeutig konstruierbr [Shritt (1)]. Wegen () gilt + = s, wegen + = s folgt hierus =, lso liegt uf der Mittelsenkrehten m. uf liegt, ist ein. GO für. niht m gilt, ist eindeutig konstruierbr [Shritt ()]. us (d) folgt, dss uf dem freien Shenkel des Winkels F ( = ) liegt [Shritt 3]. us () folgt = (igenshft eines rhenviereks). Folglih ist k(; ) ein. GO für [Shritt 4]. mit ist nhgewiesen: Wenn ein Vierek die edingungen () bis (d) erfüllt, dnn lässt es sih wie in (1) bis (4) beshrieben konstruieren. ufgbe ) Ges.: reieke ; Gegebene edingungen: () + = s; (b) H = h ; () = < 90 ; (d) H ist eine Höhe. Teil ) Konstruktionsbeshreibung (Kurzform): (1) = s. () X = 1. X g b/ m h b b/ H (3) Prllelenpr g, g 1 zu im bstnd h ; (s ehten von g 1 führt nur zu einem spiegelbildlih kongruenten reiek und dher zu keiner weiteren Lösung). (4) X g = {}. (5) m = {}; ( stets < 90 gilt, shneidet die Mittelsenkrehte m stets die Streke ). s so konstruierte reiek ist dher die einzige Lösung der ufgbe

14 Teil b) inzigkeitsnhweis: Wenn ein reiek die gegebenen edingungen erfüllt, dnn gilt: us () folgt, dss es genu einen Punkt uf der Verlängerung von über hinus gibt, für den = + = s = + gilt [Shritt (1)]. Folglih gilt =, lut siswinkelstz lso =. Hierus und nh dem ußenwinkelstz folgt wegen edingung () dnn = 1 [Shritt ()]. her ist (mit dem freien Shenkel dieses Winkels) ein 1. GO für gefunden. us (b) und (d) folgt, dss uf der Prllelen zu im bstnd h liegt. her hben wir einen. GO für gefunden [Shritt (3) und (4)]. Wegen = + = s liegt uf der Mittelsenkrehten m. uh uf liegt, kennen wir zwei geometrishe Örter für [Shritt (5)]. mit hben wir bewiesen: Wenn ein reiek die edingungen (), bis (d) erfüllt, dnn lässt es sih wie in (1) bis (5) beshrieben konstruieren. Teil ) xistenznhweis: us den Konstruktionsshritten (1) und (5) folgt = + = s; wegen (5) gilt m, worus dnn = folgt. urh insetzen folgt hierus, dss die edingung () ist. us (4) folgt, dss uf g liegt, us (5) folgt, dss uf liegt, wegen (3) ist dher h der bstnd der prllelen Gerden g und und dmit des Punktes von der Gerden. Hierus folgt, dss H = h gilt und dss H eine Höhe im reiek ist. Folglih sind die edingungen (b) und (d) erfüllt. Wegen = ist ds reiek gleihshenklig, lso gilt lut siswinkelstz und Konstruktionsshritt () die eziehung = = 1, worus nh dem ußenwinkelstz = folgt. lso ist uh die edingung () erfüllt. mit ist bewiesen: Wenn ein reiek wie in (1) bis (5) beshrieben konstruiert wird, dnn erfüllt es die edingungen () bis (d)