Aufgaben zur Vorbereitung auf die Landesrunde der Mathematik-Olympiade für Klasse 7 - Teil 2

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1 Bezirkskomitee Chemnitz zur Förderung mthemtish-nturwissenshftlih begbter und interessierter Shüler Aufgben zur orbereitung uf die Lndesrunde der Mthemtik-Olympide für Klsse 7 - Teil Z h l e n t h e o r i e [Wiederhole us den Aufgben zur orbereitung uf die Lndesrunde der MO für Klsse 7 - Teil 1 uf S. 1 und S. 13 Einige mthemtishe und logishe Grundlgen. Lies in MtKZM7 die Abshnitte 3.1. Grundgleihung der Zhlentheorie; Euklidisher Algorithmus und 3.. Teilbrkeitslehre. Lies uf S. 6 Ds Beweisen von mthemtishen Sätzen. Stelle die Lösung der Aufgben Z17) bis Z1) in Form eines Beweisshems dr.] 13) ) Gegeben sei die Zhl 53. Bilde us den 3 Ziffern dieser Zhl lle zweistelligen Zhlen so, dss jede dieser zweistelligen Zhlen jede der 3 Ziffern höhstens einml enthält. Berehne die Summe s dieser zweistelligen Zhlen. b) Ermittle lle dreistelligen ntürlihen Zhlen z, die folgende Bedingungen gleihzeitig erfüllen: () Die Summe ller derjenigen zweistelligen Zhlen, die sih wie im Aufgbenteil ) us den Ziffern von z bilden lssen, beträgt z. (b) Die Ziffern von z sind ungleih Null. () Die drei Ziffern von z sind untereinnder vershieden. ) Untersuhe, ob die im Aufgbenteil b) gestellte Aufgbe weitere Lösungen ht, wenn mn die Bedingung () weglässt. 14) Ermittle die Anzhl ller geordneten Zhlentripel (x; y; z) positiver gnzer Zhlen, welhe die Gleihung + + = 1 erfüllen. x y z 15) Ermittle lle ntürlihen Zhlen x, die folgende Bedingungen gleihzeitig erfüllen: () 0 < x < 10000; (b) x ist ein ielfhes von ggt(737; 8568); () 8 (x - 5); (d) 3 und 5 sind keine Teiler von x. [Stelle die Lösung in Form eines Lösungsshems dr.] 1

2 16) ) Gegeben seien zwei ntürlihe Zhlen und b. Bei Division durh 7 lässt den Rest 5 und b lässt den Rest 3. Welhen Rest lässt dnn die Summe der Qudrte dieser Zhlen bei Division durh 7? b) Gegeben seien zwei ntürlihe Zhlen und b. Bei Division durh 4 lässt den Rest 7 und b lässt den Rest 5. Ermittle die Menge ller Teiler der Differenz der Qudrte dieser beiden Zhlen. [Lies im Arbeitsmteril des KZM7 den Abshnitt 3.3. (Ds Rehnen mit Kongruenzen).] 17) Beweise oder widerlege folgende Aussgen über ntürlihe Zhlen. erwende beim Beweisen ds Übersetzen in die Sprhe der Gleihungen. ) Wenn b und, dnn b. b) Wenn b und, dnn ² b. ) Wenn und b, dnn b. 18) ) Ws lässt sih über ds Produkt von vier beliebigen ntürlihen Zhlen ussgen, wenn die Summe us diesen Zhlen eine ungerde Zhl ist? Finde eine ermutung und beweise diese ermutung. b) Suhe nh einer whren erllgemeinerung des gefundenen Stzes, indem du die orussetzung, dss es sih um vier ntürlihe Zhlen hndelt, geeignet bshwähst. [Lies im Arbeitsmteril des KZM7 den Abshnitt (erllgemeinern und Spezilisieren von Sätzen).] 19) Seien p und (p + 1) Primzhlen und es gelte p 3. Es ist zu beweisen, dss dnn stets (4p + 1) keine Primzhl ist. Leite us diesen orussetzungen noh eine ndere Behuptung b. [erwende ds Rehnen mit Kongruenzen ls Hilfsmittel.] 0) Sei n eine beliebige ntürlihe Zhl und es gelte z = Beweise, dss dnn stets 197 z gilt. [erwende ds Rehnen mit Kongruenzen ls Hilfsmittel.] n 46 - n 1. 1) Seien und b ntürlihe Zhlen. Beweise folgenden Stz: Wenn bei Division durh 4 den Rest 7 lässt und b bei Division durh 4 den Rest 5, dnn ist die Differenz der Qudrte dieser beiden Zhlen stets durh 4 teilbr. [erwende ds Rehnen mit Kongruenzen ls Hilfsmittel.]

3 G e o m e t r i e [Lies im Arbeitsmteril des KZM7 den Abshnitt 1.4. (Ds Beweisen von Sätzen). Wiederhole in Einige grundlegende plnimetrishe Sätze die Abshnitte II. (Winkel),. (iereke) und in I. (Dreieke) die Abshnitte I., Ib. und I. Lies dir die Beweismittel zum Beweis plnimetrisher Sätze durh.] 7) Ein ierek ABCD erfülle folgende orussetzungen: : ABCD ist ein Qudrt; 1 : M ist der Mittelpunkt der Seite BC ; N ist der Mittelpunkt der Seite CD. Beweise, dss us diesen orussetzungen die Behuptung NMA = ANM folgt. 8) Ein Dreiek ABC erfülle folgende orussetzungen: : K ist der Mittelpunkt der Seite AB des Dreieks ABC. 1 : M ist der Mittelpunkt der Seite AC des Dreieks ABC. 3: Der Punkt D liegt so, dss der Mittelpunkt S der Streke CD uf der Seite AB liegt. 4 : N ist der Mittelpunkt der Streke BD. Beweise, dss unter diesen orussetzungen die Streken MN und KS stets einnder hlbieren. 9) Ein Dreiek ABC erfülle folgende orussetzungen: 1: Die Seitenhlbierenden CS und AS des Dreieks ABC shneiden einnder im Punkt S. : X ist der Mittelpunkt der Streke AS. 3: Y liegt uf dem Strhl CS ußerhlb des Dreieks ABC so, dss CS = 3 YS gilt. Beweise, dss us diesen orussetzungen folgt, dss ds ierek XYS C stets ein Prllelogrmm ist. 10) Beweise folgenden Stz: Hlbiert mn die der Seite BC nliegenden Außenwinkel eines Dreieks ABC und fällt vom Shnittpunkt M dieser Hlbierenden uf die Seiten dieses Dreieks oder uf deren erlängerungen die Lote MD, ME und MF, dnn gilt MD = ME = MF. 11) In einem gleihshenkligen Dreiek ABC (mit der Bsis AB ) hbe der Winkel ACB ein Grdmß von 10. 3

4 Beweise, dss unter diesen orussetzungen die Mittelsenkrehte der Seite BC und die Mittelsenkrehte der Seite AC die Seite AB stets in drei gleih lnge Teile zerlegen. 1) Gegeben sei ein Dreiek ABC mit AB < AC und BAC = α. Sei D derjenige Punkt uf AC, für den CD = AB gilt; sei M der Mittelpunkt von AD und N der Mittelpunkt von BC ; sei E der Shnittpunkt der beiden Gerden MN und AB. Beweise, dss unter diesen orussetzungen stets AEM = 1 α gilt. 13) Sei ABCD ein ierek, in dem die Digonle AC den Winkel BAD hlbiert. Der Punkt D liege uf der Mittelsenkrehten m AC von AC und m AC shneide die Gerde AB im Punkt E. ) Beweise, dss unter diesen orussetzungen ABCD stets ein Trpez ist. b) Welhes spezielle ierek liegt vor, flls E = B gilt? Beweise deine ermutung. 14) In einem Kreis mit dem Mittelpunkt M seien A und C die Endpunkte eines Durhmessers. Durh A und durh C seien zwei Gerden gezogen, die zueinnder prllel sind und die den Kreis in B bzw. D shneiden. Beweise, dss unter diesen orussetzungen die Gerde BD stets durh den Mittelpunkt M dieses Kreises verläuft. Konstruktionsufgben [Lies in MtKZM7 den Abshnitt.1. (Konstruktionsufgben). Lies ds Mteril Einige geometrishe Örter. Lies uf S. 6-7 Regeln zum Lösen geometrisher Konstruktionsufgben.] 15) Zu konstruieren sind lle (bis uf Kongruenz vershiedene) Dreieke ABC, die folgende Bedingungen erfüllen: () AC = b = 5 m; (b) CH = h = 4 m; () BS = s b = 6 m; (d) CH ist eine Höhe im Dreiek ABC; (e) BS ist eine Seitenhlbierende im Dreiek ABC. ) Beshreibe deine Konstruktion und stelle fest, ob durh die gegebenen Stüke ds Dreiek bis uf Kongruenz eindeutig bestimmt ist. b) Fertige eine Konstruktionszeihnung n. 16) Zu konstruieren sind lle (bis uf Kongruenz vershiedene) Dreieke ABC, die folgende Bedingungen erfüllen: () BC = = 6 m; (b) AH = h = 4 m; 4

5 () (d) (e) AS = s = 4,5 m; AH ist eine Höhe im Dreiek ABC; AS ist eine Seitenhlbierende im Dreiek ABC. ) Beshreibe deine Konstruktion und stelle fest, ob durh die gegebenen Stüke ds Dreiek bis uf Kongruenz eindeutig bestimmt ist. b) Fertige eine Konstruktionszeihnung n. ) Beweise folgenden Stz: Wenn ein Dreiek ABC wie beshrieben konstruiert wird, dnn erfüllt es die gegebenen Bedingungen () bis (e). 17) Zu konstruieren sind lle (bis uf Kongruenz vershiedene) iereke ABCD, die folgende Bedingungen erfüllen: () AB = = 8 m; (b) CD = = 3 m; () AC = e = 7 m; (d) BD = f = 6 m; (e) ABCD ist ein Trpez mit AB CD. ) Beshreibe deine Konstruktion. b) Beweise folgenden Stz: Wenn ein ierek ABCD die Bedingungen () bis (e) erfüllt, dnn lässt es sih wie beshrieben konstruieren. 18) Zu konstruieren sind lle (bis uf Kongruenz vershiedene) iereke ABCD, die folgende Bedingungen erfüllen: () ABCD ist ein Drhenvierek (mit der Symmetriehse AC); (b) AC = f = 7 m; () AB + BC = s = 10 m; (d) BAD = α = 60. ) Gib eine Konstruktionsbeshreibung n. b) Beweise folgenden Stz: Wenn ein ierek ABCD die Bedingungen () bis (d) erfüllt, dnn lässt es sih wie beshrieben konstruieren. 19) Zu konstruieren sind lle (bis uf Kongruenz vershiedene) Dreieke ABC, die folgende Bedingungen erfüllen: () AB + BC = s; (b) CH = h ; () CBA = β ; (d) CH ist eine Höhe im Dreiek ABC. ) Beshreibe deine Konstruktion. b) Beweise folgenden Stz: Wenn ein Dreiek ABC die Bedingungen () bis (d) erfüllt, dnn lässt es sih wie beshrieben konstruieren. 5

6 ) Beweise folgenden Stz: Wenn ein Dreiek ABC wie beshrieben konstruiert wird, dnn erfüllt es die gegebenen Bedingungen () bis (d). Ds Beweisen von mthemtishen Sätzen Whre mthemtishe Aussgen nennt mn Lehrsätze oder kurz Sätze. Jeder mthemtishe Stz enthält orussetzungen 1,,..., n und eine Behuptung (B) und lässt sih in der Wenn-dnn-Form formulieren: Wenn 1 und und... und n gilt, dnn gilt uh (B). Ein Beweis ist erbrht, wenn mn von den orussetzungen oder llgemeingültigen Aussgen usgehend in endlih vielen Shritten über bgeleitete Feststellungen zur Behuptung gelngt, wobei jeder Beweisshritt durh die Angbe des verwendeten Beweismittels (Stz, Formel, Umformungsregel, Definition o.ä.) begründet werden muss. Beispiel: Stz: Ds Produkt us einer gerden und einer ungerden Zhl ist stets gerde. 1 : x ist gerde; : y ist ungerde; (B): x y ist gerde. Beweis: Aus 1 folgt (1) x = m mit m N; [nh Definition]. Aus folgt () y = n + 1 mit n N; [nh Definition]. Aus (1) und () folgt (3) x y = m ( n + 1); [Einsetzen]. Aus (3) folgt (4) x y = ( m n + m); [Distributivgesetz]. Aus (4) folgt (5) x y = k mit k N; [Summen und Produkte von ntürlihen Zhlen sind stets uh ntürlihe Zhlen]. Aus (5) folgt (B) x y ist gerde; [Definition]. Regeln zum Lösen geometrisher Konstruktionsufgben mit Hilfe der Methode der geometrishen Örter und der Methode der Hilfselemente - Formuliere die Aufgbe so um, dss nur Punkte (und Bedingungen) gegeben und nur Punkte gesuht sind. 6

7 Als gegebene Punkte eignen sih die Endpunkte einer Streke, deren Länge beknnt ist. Welhes sind die beiden (grün zu kennzeihnenden) gegebenen Punkte, welhes sind die (rot zu kennzeihnenden) gesuhten Punkte? Welhe der gegebenen Bedingungen liefert die gegebenen Punkte? - Ermittle zu jedem gesuhten Punkt (möglihst) zwei geometrishe Örter. Welhe der gegebenen Bedingungen liefert einen solhen geometrishen Ort? Welhe Bedingung wurde noh niht verwendet? Sie könnte den gesuhten zweiten geometrishen Ort liefern. Wenn du uf diese Weise niht sofort ns Ziel gelngst, dnn suhe nh (konstruierbren bzw. hinreihenden, blu zu kennzeihnenden) Hilfspunkten. - A: Welhe Hilfspunkte lssen sih us den gegebenen Bedingungen unmittelbr konstruieren? Welhes sind die benötigten beiden geometrishen Örter? - RA: Aus welhen Hilfspunkten ließe sih der gesuhte Punkt unmittelbr konstruieren? - Wenn eine Summe s oder eine Differenz d von zwei Strekenlängen gegeben ist, dnn erzeuge durh Strekenbtrgung einen Hilfspunkt, der Endpunkt einer Streke ist, deren Länge gleih s bzw. d ist. (Dies ist ein nheliegender Hilfspunkt.) - Wähle Hilfspunkte stets so, dss eine Figur entsteht, über die viel beknnt ist (gleihseitiges, gleihshenkliges oder rehtwinkliges Dreiek; Prllelogrmm, Sehnenvierek, Tngentenvierek u.ä.). - Welhe ( gestrihelt zu zeihnenden) Hilfslinien könnten nützlih sein, um eine derrtige nützlihe Hilfsfigur zu erzeugen? - Welhe Hilfsmittel (Sätze, Formeln, Definitionen u.ä.) könnten helfen, us den gegebenen Größen (Strekenlängen, Winkelgrößen) oder us den gegebenen Bedingungen weitere Größen oder Bedingungen bzuleiten, die bei der Suhe nh geometrishen Örter helfen können? Ein Lösungspln ist gefunden, wenn mn von den gegebenen Punkten über die gefundenen Hilfspunkte zu den gesuhten Punkten gelngen knn, wobei zu jedem konstruierten Punkt zwei geometrishe Örter beknnt sind. - Gib zu jedem Hilfspunkt durh eine Zustzvorussetzung n, wie er konstruiert werden soll. 7

8 - Nummeriere die Konstruktionsshritte durh und untersuhe, ob bzw. unter welhen Bedingungen ds erhltene geometrishe Objekt (bis uf Kongruenz) eindeutig konstruierbr ist. Einige Regeln zum Lösen problemhfter Aufgben (1) Ws ist gegeben, ws ist gesuht? Führe günstige Bezeihnungen (z.b. riblen, Symbole) ein! [Z18, G11] (1.1) Lssen sih die gegebenen Bedingungen in Form von Gleihungen oder Ungleihungen festhlten? (Dies erhöht die Übersihtlihkeit und erleihtert ds Folgern.) [Z13, Z17] (1.) Lssen sih die gegebenen Zhlen oder Größen und die zwishen ihnen bestehenden Beziehungen in einer Tbelle übersihtlih festhlten? [Z13, Z15] () orwärtsrbeiten: Betrhte ds Gegebene (Größen, Bedingungen oder orussetzungen)! Welhe Teilziele lssen sih hierus unmittelbr erreihen (berehnen, folgern)? Begründe! [Diese orgehensweise ist bei llen Aufgben nwendbr.] (.1) Auf welhe Hilfsmittel (Sätze, Formeln, Definitionen) weisen die gegebenen Größen, Bedingungen oder orussetzungen hin? [Z15, Z18, G7, G1] (.) Mit welher Bedingung / orussetzung sollte mn beginnen, welhe Bedingung / orussetzung sollte mn im zweiten Shritt verwenden? Ws lässt sih nun us den bgeleiteten und den gegebenen Bedingungen / orussetzungen folgern? Begründe! [G19] (3) Rükwärtsrbeiten: Betrhte ds Ziel (die gesuhte Größe, die Behuptung)! on welhem Teilziel (Größe; bgeleitete Feststellung) us knn mn ds Ziel unmittelbr erreihen? Begründe! [G13, G16, G17, G18] (3.1) Auf welhe Hilfsmittel (Sätze, Formeln, Definitionen) weist die gesuhte Größe oder die Behuptung hin? [Z0, G7, G8, G9, G10, G11, G1, G14] (4) Durhshnittsbildung von Erfüllungsmengen: Ermittle zu jeder der gegebenen Bedingungen die Erfüllungsmenge und bilde den Durhshnitt dieser Erfüllungsmengen. (4.1) Die Elemente endliher Erfüllungsmengen lssen sih durh systemtishes Erfssen ller möglihen Fälle (systemtishes Probieren / vollständige Flluntersheidung) ermitteln. erwende dbei ein Ordnungsprinzip, dessen Anwendung grntiert, dss ttsählih lle möglihen Fälle erfsst werden [z.b. der Größe nh, lexikogrfish (d.h. lphbetish) u.ä.]. [Z5, Z7, Z8, Z9] Hinweis: In ekigen Klmmern werden jeweils diejenigen Aufgben us der Zhlentheorie (Z) oder Geometrie (G) ngegeben, bei deren Lösung die Regel nwendbr ist. 8